新疆阿勒泰地区2023-2024学年高二年级上册期末联考数学试题（含答案）

阿勒泰地区2023-2024学年第一学期

期末大联考高二数学试卷

考试时间：120分钟试卷满分：150分

考生须知：

1.本卷由试题卷和答题卡两部分组成。要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效。

3.作答选择题时，请选出正确答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案字母涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案字母，在试卷上作答无效。

4.答题前，请用0.5mm黑色签字笔在答题卡相应位置上认真填写准考证号、姓名、考场号、座位号、

学校。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1.已知直线/:&x-3y+l=O,则直线/的倾斜角为()

7171兀2K

A.-B.-C.lD.

632T

22

2.双曲线C:土-匕=1的渐近线方程为()

425

A.5x±2y=0B.2x±5y=0

C.25x±4y=0D.4x±25y=0

3.已知向量a=(1,0,1),匕=(2,1,3),则4-26=()

A.(—3,2,5)B.(—3,2,—5)C.(-3,—2,5)D.（-3,-2,-5）

4.两平彳亍直线4：3x+4y—2=0,4：6x+8y—5=0的星巨离等于()

A.3B.0.1C.0.5D.7

5.抛物线的准线方程为()

1111

A.y=—B.y=—C.y=­D.y二一

4848

6.等差数列｛〃〃｝中，4+。4+%=39,a3+a6+a9=27,则该数列｛g｝的公差为（）

A.-2B.2C.-3D.3

7.三棱柱MC-DEF中，G为棱A。的中点，若A4=a,BC=b,BD=c，则CG=（）a

17

A.—a+b—cB.——a+b+c

1

C.—ciH—Z?+cD.-d—b~\—c

2222

8.2023年10月17〜18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参

与论坛.从2013年到2022年，中国与共建"一带一路"国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013

年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）.

参考数据：1.0648«1.64,1.0649»1.75,1.06410»1.86,1.064*1«1.98

A.17.9万亿B.19.1万亿C.20.3万亿D.21.6万亿

二、多选题（本题共4小题，每小题5分,共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分）

9.下列数列是等差数列的是（）

A.0,0,0,0,0,...B.1,I,111,1111,...

C.—5,—3,—1,1,3,D.1,2,3,5,8,...

10.已知直线2尤+ay=2和ov+2y=1,下列说法正确的是

A.若则2B.若4_L4，贝!1。=0

C.若贝!]a=±2D.若/』2，贝1=1

11.已知加，，是空间中两条不同的直线，夕是不同的两个平面，则下列说法正确的是（）

A.若夕，all/3,则机B.若机_La,nLa,nX.f3,则m_1_夕

C.若mJ!a,n//a,则租〃"D.若〃_La,nLf3,则

22

12.己知方程式+==1表示的曲线为C,则以下四个判断正确的为（）

4Tt-1

A.当1V，<4时，曲线。表示椭圆

B.当然4或，<1时，曲线。表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在无轴上的椭圆，则l<f<|

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

22

13.若椭圆工+匕=1上一点尸到焦点月的距离为6,则点P到另一个焦点用的距离___

10036

14.已知空间向量。=（0,1,4）,6=（1,-1,0）,则卜+b卜.

2

15.在等比数列｛%｝中，%=8,4=64,则公比q是.

16.由直线y=x-l上的一点向圆d+（y一2）2=1引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为

五、解答题（本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3,2）,8（4,3）,C（2,l）.

⑴求经过点A且与直线8c平行的直线方程；（5分）

⑵在ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程.（5）

18.（12分）已知圆O的圆心坐标为（1,0）,且经过点C（l,2）.

⑴求圆。的标准方程；（6分）

（2）若直线/：3x-4y+2=0与圆。交于M、N两点，求线段的长度.（6分）

22后

19.（12分）已知椭圆r力+券=1（。>6>0）的离心率为三，右焦点为产（1,。）.

⑴求此椭圆的方程；（6分）

TT

⑵若过点厂且倾斜角为了的直线与此椭圆相交于4、8两点’求用的值.（6分）

20.（12分）等差数列｛4｝的前〃项和为S“，满足的=5,S5=35.

⑴求｛。力的通项公式（6分）；

（2）设6“=2a”（〃eN*）,求证数列也｝为等比数列，并求其前"项和J（6分）

3

21.（12分）如图，在四棱锥尸—ABCD中，PC，平面ABCD,

AB//CD,CD±AD,PC=AB=2CD=2,BC=应，E是棱PB上一点.

⑴求证：平面E4C_L平面尸8C；（6分）

（2）若£是尸3的中点，求平面POC和平面EAC的夹角的余弦值.（6分）

22.（12分）已知抛物线。：9=2皿0>0）经过点“（2,-2夜），直线/与抛物线相交于不同的4、B两点.

⑴求抛物线C的方程；（4分）

（2）如果03=T,证明直线/过定点，并求定点坐标.（8分）

数学参考答案：

1.A

【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】直线/的斜率4=¥=tana,由于戊«。,兀），所以"哈

.•・/的倾斜角为白7T

6

故选：A.

2.A

【分析】根据双曲线方程可知焦点位置和o,b的值，然后可得.

【详解】由题知，双曲线C的焦点在x轴上，且，=2/=5,

所以，渐近线方程为y=±gx,即5x±2y=0.

故选：A

3.D

【分析】根据向量数乘和减法的坐标运算求解即可.

【详解】由题得如=（4,2,6）,所以2。=（-3,-2,-5）,

故选：D.

4.B

4

【分析】借助两平行线的距离公式即可得.

【详解】4：3x+4y-2=0即为6x+8y-4=0,

,-4-(-5)

则d」,七力=1

用+一10

故选：B.

5.B

【分析】由于抛物线(p>0)的准线方程为>=-《，抛物线尤②的准线方程即可求解.

【详解】由于抛物线/=2力5>0)的准线方程为y=,

则的准线方程为：产-1

2o

故选：B

6.A

【分析】运用等差数列的性质4“-%=(〃-〃)d计算即可.

【详解】设等差数列｛七｝的公差为d,

jaA+/+%=39①

+4+佝=27②

则②-①可得：6d=-12,

所以d=-2.

故选：A.

7.D

【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.

【详解】CG=CA+AG=CA+-AD=(BA-BC^+-(BD-BA^=(a-by-｛c-d)=-d-b+-c

故选：D.

8.B

【分析】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可.

【详解】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列｛%｝,

其中％=10.9,公比q=1+6.4%=1.064,

所以2022年进出口累计总额为4o=q/=10.9x1.064晨10.9x1.75亡19.1（万亿）.

5

故选:B

【分析】利用等差数列的定义判断即可

【详解】根据等差数列的定义可知A,C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项的差

不是同一个常数，

故选：AC.

10.BC

【分析】由两直线平行、垂直的条件计算可得答案.

【详解】若4〃4,则4一〃=0且—“rT,解得a=故A错误，C正确；

若4,贝！)2<7+2a=0,解得a=O,故B正确，D错误.

故选：BC.

11.AB

【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，由于alip,所以所以A选项正确.

B选项，由于n±a,所以就/〃，

由于〃，2，所以机，尸，所以B选项正确.

C选项，若〃nila,则“7，"可能平行、相交或异面，所以C选项错误.

D选项，若"_La,则a〃/?,所以D选项错误.

故选：AB

12.BCD

【分析】根据椭圆、双曲线的定义及标准方程，逐项判断正误.

4T>0

22

【详解】若曲线C:一v一+工V=1表示椭圆，则?-1>0，解得1</<4且蜂］5，故A不正确;

4-rt-1A2

22

若曲线C：七+士=1表示双曲线，则(4-3”1)<0,解得r<l或t>4,故B正确；

'4一方〉0

22

若曲线C:一r一+工v=1表示焦点在X轴上的椭圆，则?-1>0，解得1</<5巳故C正确；

4-/t-12

22t-l>0

若曲线c：工+工=1表示焦点在y轴上的双曲线，则4T<。,解得,>4,故D正确•

4一/t-1

6

故选:BCD.

13.14

【分析】借助椭圆定义即可得.

22

【详解】由志+女=1，贝腐=10,由尸在椭圆上，故有|明|+户闾=2a=20,

又忸耳|=6,所以忸匐=20—6=14.

故答案为：14.

14.V17

【分析】利用空间向量的加法运算及模的坐标表示即可得解.

【详解】因为2=(0,1,4),fo=(l,-l,0),

所以a+8=(L0,4),贝*++&+16=折.

故答案为：717.

15.2

【分析】运用等比数列通项公式的基本量计算即可.

【详解】解：根据题意，等比数列｛%｝中，%=%"2=8,0=。4=64,

所以/="=8,

所以4=2.

故答案为：2.

V14

2

【分析】数形结合的方法.设尸为直线y=x-l上一点，以为切线长，直角PC4中，AC=1,故CP最小时,

切线长丛也最小.根据点到直线距离公式，可求PC的最小值，再由勾股定理可得申的最小值.

【详解】解：...圆d+(y-2)2=1的圆心为C(0,2),半径厂=1

•••圆心c到直线y=x-i的距离为〃=任/山=述

V22

7

当点P在直线y=x-i上运动时，P与圆心c在直线上的射影重合时，

切线长达到最小值.设切点为4得RtARAC中，1PAl=JPC|2_|C4|2=当

即切线长(此点到切点的线段长)的最小值为恒.

2

故答案为：叵.

2

17.(l)x-y+5=0

⑵x+y+l=O

【分析】(1)根据题意，求得直线BC的斜率&c=l，结合直线的点斜式方程，即可求解;

(2)根据题意，求得边上的高线斜率上=-1,结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】(1)解：由ASC的三个顶点的坐标分别为4-3,2),8(4,3),C(2,l),

可得直线BC的斜率凝c=F=l，-----------------------------------------1分

4—2

所以过点A且与直线BC平行的直线方程为y-2=(尤+3),--------------------1分

即x-y+5=0.------------------------------------------------------------3分

(2)解：由直线3C的斜率心c=l，可得8C边上的高线斜率上=-1,-------1分

所以BC边上的高线方程为y-2=—(x+3),---------------------------------1分

即3C边上的高线所在的直线方程为无+y+i=o.-----------------------------3分

18.(1)(X-1)2+/=4

(2)2^

【分析】(1)求出圆。的半径，即可得圆的标准方程；

(2)利用圆的弦长公式即可得出答案.

【详解】(1)由题意可得：圆。的半径厂=|CD|=2,------------------------2分

所以圆。的标准方程为(无-+V=4；4分

8

（2）由（1）可知圆心。（1,0）,半径r=2,---------------------------------1分

则圆心。（1,0）到直线/：3x-4y+2=0的距离1=与占；=1,----------------2分

所以|=2j以一d?=2g.-------------------------------------------------3分

2

19.（1）^r-+j2=1

（2）逆

3

【分析】（1）根据椭圆的性质即可求解，

（2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.

【详解】（1）由£=变,c=l,-----------------------------------------1分

a2

得a=/?=Ja?-02=],a正确得1分，b正确得1分

，椭圆方程为]+产=1-----------------------------------------------3分

（2）由题意可知直线的方程为：y=x-l,--------------------------1分

《+2=r

由'万,一’得3/一4尤=0,

J=l.

4

解得占=0,无2=g.---------------------------------------------------2分

•|AB|=V2|X1-X2|=V2x|=^^.-----------------------------------3分

20.⑴%=2w+l；

（2）证明见解析,*（4"T）

【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式以及前〃项和公式，列出方程，即可得到结果；

（2）根据题意，由等比数列的定义即可证明，再结合等比数列的前”项和公式，即可得到结果.

【详解】（1）设等差数列｛。“｝的公差为d,

q+d=5

2分

5%+10J=35

=3

解得1分

d=2'

9

.%=q+(〃—l)d=3+(〃—1)x2=2九+13分

(2)由(1)可得勿=22田，1分

b22M+1

，广=^T=4(W22),2分

,数列也｝为等比数列，首项为4=8,公比为4=4----------------------------------1分

8(1-4")..

82分

1-43、)

21.⑴证明见解析

喈

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理证明；

(2)利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值.

【详解】(1)因为AB〃Cr>,CO_LAD,PC=A2=2CO=2,3C=0,

取A8中点/W,连接C/W,则---------------------------------1分

CM==1,CM=；42,所以ZACB=90。，

即BC±AC,----------------------------------------------------------------------------------------1分

又PC_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以尸C_LAC,----------------------------1分

且BC尸C=C,JBC,尸Cu平面尸BC,---------------------------------------------------------1分

所以AC,平面P3C,

又因为ACu平面E4C,所以平面胡C,平面PBC；---------------------------------2分

(2)以C/W为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系(或在图中标注出坐标系)

----------------------------------------------------------------------------------------1分

因为E是PB的中点，则C(0,0,0)4(1X0)1,0),尸(0,0,2),11,

uiruur(iiA

所以04=(1,1,0),CE七,一刮.

10

设平面EAC的法向量为%=(x,y,z),

「i八[x+y=O

m-CA=0,,

则<即<11八，令x=i,则y=-i,z=-i

m-CE=0,一龙——y+z=0

1122

所以平面EAC的法向量为咪,---------------------------------2分

显然，平面