江苏泰州2024届高三2月调研测试数学试题 含答案

泰州市2024届高三调研测试

数学试题

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.有一组样本数据9,4,5,7,8,2,则样本中位数为（）

A.5B.6C.7D.8

2.已知｛4｝为等差数列，若〃3n,p,q是正整数，则加+“=p+q是a,”=4+4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不必要条件

3.每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质

量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量.随机抽取100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）

近似服从正态分布N（002）,尸（X22）=0.02,则X介于一2〜2的食盐袋数大约为（）

A.4B.48C.50D.96

4.若,，6是夹角为60°的两个单位向量，则向量色与色的夹角为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

pQinx

5.已知函数=是定义在R上的奇函数，则实数（）

1

A.-1B.0C.-D.1

2

6.若复数z满足|z—l|=|z+i|,贝“z-l|的最小值为C)

V2

A.B.——C.1D.、

22

7.已知点P(Xo，%))在双曲线必啖=19〉0)上，过点尸作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为A,B,

—►—►21

若无o〉l,PAPB=——,贝!］方=()

32

A.V3B.2C.V?D.2也

8.在△ABC中，角A,B,。的对边分别为〃，b,c,若A=*,(V3-l^sinC=V2tanAsin+

则()

A.c<b<41cB.V2c<b<y/3cC.V3c<b<2cD.b>2c

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(%)=sin2x+2sin2%,则()

A.函数的图象关于点1,0对称

B.函数在区间上单调递增

Q-TT

C.函数/（X）的图象向左平移B个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数

8

D.函数”X）在区间（-兀,兀）上恰有3个零点

10.已知正方形A3CD的边长为4,点E在线段上，BE=1.沿DE将△ADE折起，使点A翻折至平

面BCDE外的点P,贝U（）

A.存在点P,使得PELDCB.存在点P,使得直线〃平面尸£（£

C.不存在点P,使得PCLDED.不存在点尸，使得四棱锥P-BCDE的体积为8

11.甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.把从甲、乙两个口袋中各任取

一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复〃次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记

为事件A，Bn,Cn,则（）

尸⑻=［

A.B,P（C3|A）=1-C,P（B1C2）=1-D,P（A+52）=||

yZ/0101

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4=｛（羽丁）,+丁=2卜5=｛（x,y）|（x-l）2+y2=1｝,则AA3中元素的个数为.

22

13.在平面直角坐标系xOy中，椭圆T+云=1（。〉》〉°）的左焦点为八点尸在椭圆上，PP的中点为

Q,若PF=V3OP,则椭圆离心率的值为.

14.将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上〃个颜色各不相

同的点经过上次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这〃个点和左条边所构成的图

形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为则T（5,4）=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数〃％）=%4+加，xeR.

（1）若函数在点处的切线过原点，求实数a的值；

（2）若。=-4,求函数“X）在区间［-1,4］上的最大值.

16.(15分)某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子〃次，若"次结果向上的点数之和大于2时，

继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛

掷，否则停止抛掷.

(1)若执行规则A,求抛掷次数恰为1次的概率；

(2)若执行规则8,证明：抛掷次数的数学期望不大于3.

17.(15分)如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是菱形，ABAD=60°,△PAO为等边三角形,

点M,N分别为AB,PC的中点.

(1)证明：直线MN〃平面B4Z)；

(2)当二面角尸-AD-C为120。时，求直线与平面PCD所成的角的正弦值.

18.(17分)已知抛物线氏x2=2y,焦点为R过歹作y轴的垂线/。，点尸在无轴下方，过点P作抛物线

E的两条切线/r/2,小4分别交了轴于48两点，L，4分别交4于C，D两点.

(1)若小人与抛物线E相切于C，。两点，求点尸的坐标；

(2)证明：△PA3的外接圆过定点；

(3)求△PC。面积S的最小值.

19.(17分)已知数列｛%,｝满足2%+]T+一2,neN*.

a

n2a"+i

(1)已知an>0,

①若a3=l,求％;

②若关于根的不等式4<1的解集为M,集合M中的最小元素为8,求％的取值范围；

(2)若％=^,是否存在正整数左(左之2),使得久=%，若存在，求出左的最小值，若不存在，请说明

理由.

泰州市2024届高三调研测试

数学参考答案

(考试时间：120分钟；总分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】B

【解析】2,4,5,7,8,9,中位数2=6,选B.

2

2.【答案】A

【解析】阴+〃=p+q时，+〃〃=+(加一l)d+%

=24+(用+〃—2)d=2q+(p+q—2)d=q+(p—l)d+%+(q—l)d=册,

充分〃机+4=册+〃］时，(阳+〃-2)d=(p+q—2)d,

d=0时，加+几与p+q不一定相等，不必要，选A.

3.【答案】D

【解析】X〜N(0Q2),p(X>2)=0.02,则P(O<X<2)=O.48,

尸(―2<X<2)=0.96,100x0.96=96,选D.

4.【答案】D

/»»\»»»»2］］

［解析］一q)g=耳与一与=»

『「sbJci-ZGIV+G=卜-2义万+1=1,

ee

/———\(^1~2)251

cos\—^2^2/="F^一||一।=---=---，夹角120。，选D.

'/*4间1x12

5.【答案】C

【解析】〃x)为奇函数，g(x)=----?为偶函数,g(-x)=g(x),

1+e

..------=------,..-------=------,x-ax=ax,a=—

1+ex1+e%ex+lex+l2

6.【答案】B

【解析】令z=x+yi,|z—l|=|z+i|,.,・>=-%,

|z-l|=+y-J/一2%+1+%2=J2%"-2%+1,

1/?

x=g时匕―1|取最小值三，选B.

7.【答案】C

[解析】B4：y—%=—g(x—x())，＜

y-bx

x_x0+by0

解得

_1+/%(6+1b+1J

/=~^7r

；、

、I

=1/X-X；y-K=—(x-xn)

PB：y-y0T(O)\b，

b[y=-bx

'x^x0-by0

解得F+i

_-bx°+b2yo(6+1b+1J

k一+1

P^J如J/E-%]—J_如一/%心o-%、

2，22

[b+lb+1)[&+1b~+1?

丽丽_/焉—方尤।一年_/方,_21

,」.+1)2.+1)2.+1)2.+1)232

b=5，选C.

8.【答案】A

-^-^-[―sinC+—cosC

【解析】(G—OsinC=0

cosAl22

V3sinCcosA=sinAsinC+sinAcosC+sinCcosA

=sinAsinC+sin(A+C)=sinAsinC+sinB,

sinB=V3COSA-sinsinC,—=2sin(g-A]=2sin^G(1,行),

c<b<V2c,选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】BCD

【解析】/(x)=sin2x+l-cos2x^42sinf2x-^-j+1,对称中心纵坐标为1,A错.

7T_兀兀rI兀3兀

——<2x—<—,贝!)——<X<——，.••/■（X）的一个单调增区间为

24288

.••/（X）在0,（口，B对.

/[x+g]=V^sin21%+事]一：+1=V^sin[2x+^]+l=V^cos2x+l为偶函数，C对.

/(%)=0,贝ijsin[2x—：]=一^^,2%一巳=-g+24]兀或一巳+242兀，

X=-1+%]兀或左2兀，Z]=0,X———；左]=1,X=-71;鼠=0,X=0,

4-

...”X)在(-私兀)有三个零点，D对,选BCD.

10.【答案】AC

【解析】若PELDC，又PE工PD,则PEL面PCD,则PELPC,

而CE=屈,PE=3,PC=20有解，A对.

若BC〃平面PZJE,BCu平面3CDE,平面BCDEPl平面PDE=OE，

取PC中点N,•.•PD=DC,则。NLPC,若PCLOE,则PC,面。EN,

则尸CLNE,则EP=EC矛盾，.•.不存在P使得「CLDE,C对.

SBCD=^(1+4)-4=10,A到QE距离1=言=£,

11?

(L—BCDE)max=§*二、10=8,存在，D错，选AC.

11.【答案】ABD

119?5

【解析】方法一：P(B)=-x-+-x-=-,A对.

,"133339

2214

尸(GlA)=lx—x—x—二一,B对.

13|〃33327

P（B,C）=-x-x-=—,C错.

v12793381

2255224Q

P（B2）=P（?l1B2）+P（BlB2）+P（C1B2）=-xlx-+-x-+-x-xl=—,

4

产（4团=药,

1249455

P（A+与）=尸（4）+「（52）-p（4昆）=¥义6+嬴一行=£,D对，选ABD.

3jo1Z/o1

方法二：甲：1红2白，乙：1红2白.

11225

对于A,重复1次操作，甲口袋中有1红的概率尸=—x—+—x—=/,A正确.

33339

,,、P（AC）,122/、12221

对于B,P（GA）=V尸（A）=x+x*=*,P（AG=-x-x-x-x-

131”尸（a）\"339v733333

17221

（-X-：甲：3白乙2红1白，一x—x—：甲2白1红；乙1红2白）

33333

；・2914）=2,B正确.

2?14

或P（C31A）=—X—X—=一（甲：2白1红，乙1红2白）

’31“33327

11222110

对于C,P（BQ=—x—+—x—x—x—C错.

33333381

对于D,尸（4+与）=尸（4）+尸（与）一尸（4鸟）

1122^51222121212255

—X—+—X—X—+—X—X—+—X—X—+—X----X—X—=—,D正确.选：ABD.

3333；93333333333381

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】2

叱=也＜

【解析】B表示（1,0）为圆心1为半径的圆，A表示直线，d=1,

V22

直线与圆相交有两个公共点，An3的元素的个数为2.

13.【答案】V3-1

【解析】取右焦点工，:。为尸尸中点，OQLPF,则△尸口/为等腰三角形，PO=OF,APFF?为

直角三角形，PF=6c,PF?=c,GC+C=2〃，—=—j=—=也—1.

aV3+1

14.【答案】30

【解析】情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，C；砥=10.

情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，

另3个点是1条边的端点，

C；C；C；=20,T（5,4）=30.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15•【解析】

（1）切点（1,1+。），=4x3+3ax2,k=r（l）=4+3a.

切线y-(l+a)=(4+3a)(x—l)过(0,0),

3

-1-a=(4+3a)(-1),:.a=—.

(2)o=-4,/(x)=x4-4x3,

r(X)=4x3—12/=%2(4x—12)=0,x=0或3,

〃x)在[—1,3)口，(3,4]|D

43

〃T）=l+4=5,/（4）=4-4X4=0,，4M、=5.

16•【解析】

（1）若执行规则A,抛掷次数恰为1次的概率p=1.

（2）若执行规则B,抛掷次数X的所有可能取值为1,2,3,-

尸（X=l）fP（X=2）=n，P（X=3）=S",

记S"=l+2x：+3x]|）+…+"|）①,

3

Sn<9.：.E（X）<3.

17•【解析】

(1)证明：取中点E,连接AE,NE,YN为PC中点、,

AEN//-CD,又：AM〃工CD,?.EN//AM,

=2=2=

四边形AMNE为平行四边形，；.MN//AE,

•.•加二平面及⑦，AEu平面E4D,MN〃平面

(2)取中点R如图建系，设A3=2,

.".B（V3,0,0）,P,0,-,C（V3,2,0）,A（0,-l,0）,

（22J

"1、

：.M——,0,0（0,1,0）,N—,1,-,

22'744

\7\J

3yf33

X+2y-2Z=°^n=（-j3,3,l）

设平面PC£>的一个法向量〃=(x,y,z),/.<2

-y/3x-y=0

设MN与平面PCD所成角为。,

18.【解析】

(1)・・・/1,乙与抛物线石相切于

1

y+51

此时4方程：一％=2-------,即x+y+—=0.

122

1

一+y

/,方程：x=2-^—nx—y—g=0,联立得P(0,g1].

222

(2\

(2)设过产的两条切线分别与抛物线切于。西，.，R%2，之，

I2JV27

2,2

1-+y,同理PR方程：x2x=^+y>

拳。,

22

)3+々石+%2X1

设△P4B外接圆方程为:+(y-机J=I+加之，

4

222

%1+%2xx

它过尸，・・・9+m2，

42

,XXX,22„x,x+,11

..^-^9-+-L^--mxx=0,..m=9——

441294

222

xx+1XX+1

%Xl+%2I+L-r2+x2

,444

整理得V-弋迨、+/一可尸苧=°'

2,

.22yX1+%

..X+y----------1——-x+

224

2

X+/-2O

2=x=0

1，.•.△PA3的外接圆过定点(0,；］

令%=0

y=

l-2y=02

/(、/(、

1111

(3)CD：y二—,：.C-^+―,D-%T-----

2121’5121

11

；.|CD|=~xl-x2H------=--石-”+1-

石工22中2

xx111xx1

尸到CD的距离为d二{2sAPCD=^r2

-2__2-2--2

xxx2J

设/々=_『，/>0,|xj-x2|=m,

m>2t,当且仅当玉+%=0时等号成立.

22

T+1、myt'+1『+1

1-m-(14---

-

2212，--sF4t

2+了

t2+1]2(厂+]).27,2

令f«)=

4?t2

(

(八^-,+co上口,

/”)在0,手上口；

3J

(4G

3J9

19•【解析】

26f1

(1)Q3-+£l1l=2^±+f2±l=2=>a：—3%+2=0,；.%=1或2,