2024年安庆市高三模拟考试（二模） 数学含答案

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2024年安庆市高三模拟考试(二模)

数学试题

命题：

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

有且只有一项符合题目要求。

1.设集合力=卜"—归3),集合8=卜合＞0卜则力AB=

A.(1,2]B.[1,2]C.(-1,1)D.(-1,2)

2.已知复数2=彳是Z的共趣复数，贝Ijz-，=

B.1C.2D.4

4

3.设尸是椭圆C：三+匕=1的一个焦点，过椭圆。中心的直线交椭圆于尸，。两

259

点，则△尸0尸的局长的坡小值为

A12B.14C.16D.18

4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为

100分),将所有数据按[40,50],(50,60],(60,70]

(70,80],(80,90],(90,100]进行分组，整理得

到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的

第64百分位数为

A.80B.78C.76D.74

数学试题第】页共6页

5.设｛Q.｝是公比不为1的无穷正项等比数列，则”｛%｝为递减数列”是“存在正整数

%,对任意的正整数〃>%,都有*VI”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知点尸(bO),C(0,、间，O是坐标原点，点3满足园=1,则无与丽夹

角最大值为

7.己知函数，a)=2cos20x+sin2s:-l(。>0)的图象关于点色,0对称，且

(4)

/(x)在0,1上没有最小值，则g的值为

\3)

8.如图，在长方体48co-4与£乌中，AB=2AD=2AAit点E是棱45上任意

一点(端点除外)，则

A.不存在点E,使得EC_LAE

B.空间中与三条直线4A，EC,B4都相交的

直线有且只有1条

C.过点£与平面和平面D4EC所成角都等第8题图

于4的直线有且只有1条

8

D.过点E与三条棱AB,AD,4］所在直线所成的角都相等的直线有且只有4条

数学试题第2页共6页

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有

多项符^题目要求。全部选对的得6分，部分痴t的得部分分，有选错的得。分。

9.已知定义在R上的函数/(%)，满足对任意的实数％，V，均有

/(x+y)=/(%)+/(V)-1，且当％>0时,/(x)<1,则

A-/(0)=1

B./(!)+/(-1)=1

C,函数f(x)为减函数

D.函数夕=/(力的图象关于点(0，1)对称

10.抛物线C：^=2py(p>0)的焦点为尸(。，1)，经过点下且倾斜角为a的直

线/与抛物线C交于2，3两点，分别过点4、点B作抛物线C的切线，两切线

相交于点E,则

A当|期=16时，a=—

B.△408面积的最大值为2

C.点E在一条定直线上

D.设直线即倾斜角为耳，门一划为定值

11.满足4=2,勺=1,勺+2=。”+1+勺卜GN］的数列称为卢卡斯数列，则

A.存在非零实数t，使得｛4+i+^n｝(neN*)为等差数列

B,存在非零实数X，使得｛4+i+sJ(〃eN')为等比数列

C.3%%%(八eN，)

2024

D.2cM=。2023-3

数学试题第3页共6页

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在二项式的展开式中，常数项为.

13.已知圆锥的顶点为P,底面圆圆心为〃，底面图直任四=2.其内切球和外接球

的球心重合于一点0,则该圆锥的表面积为_-

14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装旌话或配合其他民俗活动的中

国民间艺术.其传承度续的视觉形象和造型格式，1ST

丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认如滤

观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、

表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.现有如图而澧

222

纸图案，其花纹中就隐含方程为川+炉=后（。＞0）的第14题图

曲线。（称为星形线），则曲线。的内切圆将为一；以曲线。上点

（加，n）（mnH0）为切点的直线被坐标轴彼得的线要长等于.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出娉娜,证明过程或演算步骤。

15.(13分)

2sinZBAD

如图，在平面凸四边形NBCD中，tan45D+i2n®8=

cosZ.ABD

（1）求乙4DB；

(2)若4D=BD=4,NACB=4DC「虹D.

6

第15题图

数学试鹿第4页共6员

16.(15分)

已知函数/(x)=21nx-x+巴(zweR).

(1)当加=-3时，求函数〃x)的单调区间;

(2)若不等式/(x)WO对任意的x«l,+oo)恒成立，求实数机的取值范围.

17.(15分)

如图，将边长为2的菱形力助。沿其对角线8C对折，使得点4、。分别位于边

长为2的等边△P5C所在平面的两侧，且以亚,

PD=^3,设E是我的中点.

(1)证明：平面P8cd.平面43C；

(2)求平面五阳与平面49c夹角的正弦值.

第17题图

18.(17分)

树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学

生身体体能指标和航天知识素养有明确要求.学校所有3000名学生参加了遴选，遴选

分以下两个环节，当两个环节均测试合格就可以参加体验活动.

第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值。212.2时体能指标合格；

第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为

对A,B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求.每类试题均在题库中随机

产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，则该类试题测试

合格，不再进行第二次测试；若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测

试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试

结束.

经过统计，该校学生身体体能指标J服从正态分布N(9,2.56).

参考数值：尸仇一tr<X<〃+cr)=0.6827,P^-2a<X<ju+2a)=0.9545,

尸仇一3。<X<H+3b)=0.9973.

数学试题第5页共6页

(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数(结果取整数)；

(2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题,

每次恻试合格的概率为1；作答B类试题，每次测试合格的概率为1，且每次测试相

34

互独立，

①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率.

②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X,求X的分布列和数学期望.

19.⑴分)

取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设xwR,

不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作函数y=［%］称为取整函数.另外

也称付是x的整数部分，称｛x］=x-［x］为x的小数部分.

3

(1)直接写出［hrn］和的值;

⑵设a,beN，,证明：a-b—+b>—►,且并求在b

b

的倍数中不大于a的正整数的个数;

⑶对于任意一个大于1的整数a,“能唯一写为a=p?xp/x…xp；J其

中R为质数，4.为正整数，且对任意的都有Pi<Pj，i，JG｛1,2,3,…，左｝,

称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为100=22x5?.证明：在〃!的标

准分解式中，质因数Pi(P/W%neN*)的指数

2024年安庆二模数学参考答案

一、选择题

1.A

【解析】A=[T，2],B=(-OO,-1)U(L+OO),4nB=0,2],故选A.

2.B

【解析】因为z=-3i—=上回，所以』=土遮，得公=1,故选B.

y/3-i22

3.C

【解析】设尸是椭圆的另一个焦点，根据题意和椭圆的对称性可知，

\PF\=\QF'\,所以△PFQ的周长「刊+|Q刊+|PQ|=|QP|+\QF\+|PG|=10+\PQ\

三10+6=16,当且仅当直线PQ与y轴重合时等号成立，故选C.

4.B

【解析】因为前3组数据的频率之和为0.05+0.15+0.2=0.4,前4组数据的

频率之和为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7,则64%分位数在(70,80]内，设64%分位

数为x,则0.4+(x-70)x0.030=0.64,解得x=78,所以64%分位数为78,故选

B.

5.C

,A

【解析】已知%>0,q>0,且纭1,an=axq'.

若｛凡｝为递减数列，由指数型函数的性质可知，0<q<l,随着“趋向无穷大，

%趋向于0,所以一定存在正整数相，当">加时，an<l.

若存在正整数加，当〃>用时，为<1恒成立，假使q〉l,由指数型函数的性质，

则当〃趋向无穷大，明趋向于无穷大，不符合要求.只有当0<4<1满足条件，止匕时

｛%｝为递减数列，所以是充要条件，故选C.

6.A

【解析】因为C(0,6),且卜4=1,所以点8在以点C为圆心，1为半径

的圆上.

如图，过点尸作圆C的切线，设在第二象限的切点为8,连接BC,则

BCLBP.连接CP,在RtZ\CBP中，|BC|=1,

|PC|=^12+(A/3)2=2,所以，

NCPB」.又易知/。尸0=殳，所以

63

第6题解答图

ZBPO=ZCPO-ZCPB=

366

因为兀—二=包，所以而与丽夹角最大值为包，故选A.

666

7.B

【解析】由jf(x)=cos25+sin2公r=V5sin[2s+：),因为/(X)的图象关

于点［匕。］对称，所以2。＞＜女+'=攵兀，a)=2k--,ke.Z.

(4J442

又/(x)在(0曰上没有最小值，2s+等+1所以

2。兀兀37r-15i»3if卜

-------1——,coW—,故co=_,故选B.

34282

8.D

【解析】对于A,若EC，D［E,则EC1平面D.ED,

故在矩形至CD中取边的中点E,因为

AB=2AD,易证得ECLDE，所以故A错

误；

对于B,在4A上任取点6,过片，耳，8作正方

体的截面《用3P,其中［P〃与3,PBCEC=M.

2

在平面《43P中，与g8不平行，故=N.因为6是在上任

取的点，故这样的直线4N有无数条.故B错误；

对于C,易求得二面角AE-。的平面角为/D]AD=：,在锐二面角

A-AE-。中过点A作ZDjAD的平分线，显然满足与平面D.AE和平面DAEC都

成]；在平面QAE和平面DAEC所成钝二面角中，过点A作与平面QAE和平面

D4EC都成巴的直线有2条；现过点E分别作这3条直线的平行线可作3条，即

8

过点E与平面和平面ZMEC所成角都等于N的直线有且只有3条.故C错

误；

对于D,第一类：通过点A位于三条棱之间的直线中有一条与AB,AD,A41

所成的角都相等；第二类：在图形外部与每条棱的反向延长线和另2条棱夹角相

等的直线有3条，合计4条.现过点E分别作这4条直线的平行线，这样的平行线

共有4条，D正确，故选D.

二、多项选择题

9.ACD

【解析】解析：令x=y=O,可得，/(0)=1,A项正确；

令x=i,丁=_1,可得，/(o)=y(i)+y(-i)-i=b所以/(i)+/(—i)=2,B

项错误；

令%>12，则/而玉_%2>0，/(玉—尤2)<1，则

/(%1)-/=-x2)-l<0,/(七)</(々)，所以函数/(£)为减函数，C项

正确；

令y=r，/(0)=/(%)+/(-%)-1=1,/(x)+/(-x)=2,则函数关于

点(0,1)对称，D项正确.

10.CD

【解析】易知抛物线。的方程为必=分，直线/的方程为丁=木2111+1,将

3

y二%tan。+1代入=4y,整理得f-4%tana-4=。.

设则%+%2=4tano,xrx2=-4.

所以|AB|=J(l+tan?a)[(2+/)?-例/]=J(l+tan?[16tan?卜+16]

=4(l+tan2c),

由|AB|=16,得tan2q=3,所以tana=±6，所以a=工或a=」，所以A

1133

不正确.

因为SAAOB=SMOF+S^BOF=।\OF\|^2-1=11^2-^11=^l+t^a>2,当且

仅当a=0时，△A03的面积有最小值2,故B不正确.

因为切线AE的方程为y=1x1(x-x1)+y1,切线BE的方程为

y=^x2(x-x2)+y2,联立可得点E的坐标为(2tana,-1),故点E在一条定直线

y=-1上，所以C正确.

当时&=0。时，显然,=90。，|a—"=90。；当时(z/0。时，因为

tanp=------—=------,所以tan(ztan/7=-1,这说明直线EF与直线/互相

2tana—0tana

垂直，所以|a-"=90。，所以D正确.

11.BCD.

【解析】若A成立，由已知有%=3，%=4，%=7，由

2(473+勿2)=。2+'。1+。4+'。3，解得f=§，得到｛。0+1+%“｝的刖4项依次为m,

1S25

,不可能构成等差数列，故A错误.

33

s_t—]

对B,设a,+2+/a,+]=s(a,+i+%),则a.=(s+血〃，故(，，有

-"MSt=1

非零实数解，且。2+5。。，故B正确.

4

c,a,+4+a=(4+3+4+2)+(a,+2-1)=34+2

对n。,+,故C正确.

2024

，，+1

对D，(一1)"'an+2=-(-1)an+1+(-1)"an,即£(一1)4=—(一1)皿。23+(一D4

i=3

2024

=&2023-2,故l)tZ,=。2023—3，故D正确.

(=1

三、填空题

12.210

f[\io

【解析】二项式4+3的展开式中，通项公式为

OWrWlO,当厂=6时，常数项C^=210.

13.37r

【解析】过圆锥的轴PM作截面，显然其截面为等腰

△PAB,球心。在轴PM上，点。是内切球的球心，故

OM=ON,点。是外接球的球心，故OP=OB,所以APAB

是等边三角形.因为AB=2,所以半径M3=1,母线PB=2,

求得圆锥的表面积为线37r.

14.-CL,CI第13题解答图

2

【解析】曲线C有x轴，y轴，y=x,y=-x四条对称轴，由曲线的对称

性，内切圆心为坐标原点，只需考察第一象限内，曲线上的点到原点距离的最小

值即为内切圆半径，第一象限内曲线上的点为P（x,y）,则|尸。|=疗17,令

始=oncost/,=a3sina,«e0,—,则1Poi=Ja?卜os'a+sin6a)

=N-*2a,故当a=时，即内切圆半径为%

由曲线的对称性，只需考察第一象限内的点（加，〃）（机>0,〃>0）为切点的直

5

3

/22、22/22、2

线，考查函数丁=-x^,则切线方程为y=-/(x-m)+n,设切

77

222

线与入轴，)轴交点为A,B,由于加+后=〃"令y=0,得A点坐标

f12(21、

3333

mn+m,0,令x=0,得B点坐标mn+n,0，故

\77

、22

/J.22J_丫2，22A2，22丫

网m3n3+m+m3n3+〃而n3+m3m3+〃3=a.

7777

四、解答题

15.【解析】

sinZABDsinZADB2sinZBAD

(1)由已知得:---------------1---------------

cosZABDcosZADBcosZABD

,,sin/ABDcosZADB+cos/ABDsinZADB2sin/BAD

故--------------:---------------------=-------——

cos/ABDcosNADBcosZABD

sin(NABD+NADB)_2sinNBAD

所以

cosZABDcosZADBcos/ABD

3分

因为sin(ZABD+ZADB)=sin(兀一ZBAD)=sinZBAD丰0,

1jr

故cos/ADB=—,所以NAD3=—.

23

6分

(2)解法一：由已知，△A3。为边长为4的等边三角形,

7TBCAB

在△人⑶。中，ZACB--,由正弦定理得

6sinABACsinZACB

MABsin/BAC.

故3。=-----------=8osinABAC.

sinZACB

jr

由于ABAC+ZBCA+/ABD+ZCBD=兀,所以NBAC+NCE”一，

2

故BC=8cosNC8。.

.........................9分

在△BCD中，由余弦定理得CZ)2=5。2+502—250x5。Xcos/CB。,

6

即CZ>2=4?+3c2—8x3CxcosNC应>=16,得CD=4.

......................13分

解法二：设NACD=a,因为NADC=90。，所以AD=ACxsina,即

4

AC=——①.

sine

......................8分

~/r*A\，＞"ACABr-r；151AC4pin

在△ABC中，---------=---------,所以一；-----=—=8,即

sinZABCsinZACBsin(兀一a)工

2

AC=8sina②.

......................10分

由①②得，sin«=——，所以tz=45。，

2

......................12分

所以CD=4.

......................13分

解法三：以。为圆心，D4为半径作圆。.

若点。在圆。内，如图，连接AC并延长交圆。于C,连

17T

贝UZACB=ZAC'B+ZCBC>ZAC'B=-ZADB=-,

26

与NAC3=2矛盾；

6

...........9分

若点C在圆。外，同理可得NAC3〈/，

6

与=?矛盾.

6

...........12分

故点C在圆。上，所以。C=D4=4.

..........13分

16.【解析】

3

(1)当机=一3时，y(x)=21nx-x——,其定义域为(0,+℃),

7

求导，得小)/_]+±二±2£±3二区3)(廿1).

XXXX

............3分

令r(x)=0,得x=3(x=-l舍去),

............4分

当0<x<3时，f'(x)>0,函数/(X)单调递增；

............5分

当x〉3时，f'(x)<0,函数/(X)单调递减.

............6分

所以函数〃x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(3,+oo).

............7分

(2)方法1：由条件可知于是〃z-1W0,

解得rnW1.

............8分

当加W1时，f(x)=21nx-x+—^21nx-x+—,

xx

............9分

构造函数g(x)=21nx-x+L

x

对其求导，得/⑴二―1一与=__tzp_wo,

XX%

............10分

所以函数g(x)在[1,+8)上单调递减，于是g(x)Wg⑴=0,

............14分

因此实数m的取值范围是(-8,1].

............15分

方法2:由条件可知机W/-2xlnx对任意的xe[l,+co)恒成立，

............8分

8

令/z(x)=%2—2%lnx,1三1,只需冽W［从理而即可.

............10分

对函数/z(x)求导，得W(x)=2x-2(lnx+l)=2(x-lnx-l),

")=21-丝二D^O,所以函数〃(x)在［1,+oo)上单调递增,

X

12分

于是h'(x)三〃⑴=0,所以函数h(x)在［1,+oo)上单调递增,

所以=硝)=1，于是加W1,

14分

因此实数m的取值范围是(-00,1］.

15分

17.【解析】

(1)证明：取的中点。，连接。4、0P,如图所示.

因为四边形ABDC是边长为2的菱形，APBC是边长为2的等边三角形,

所以AABC也是边长为2的等边三角形.

在等边AP8C中，。是的中点，故0PL8C；且

0A=0P=也,

又PA=46,故0PLQ4；又。4C3。=。,故

OP±平面ABC；

第17题解答图1

又OPu平面PBC,故平面0，平面ABC

.............6分

(2)由(1)知，0P1BC,0P10A.

又。是等边A钻C的边中点，故。1LBC.

所以，以。为原点，分别以。4、OB、0P所在直线为x、y、z轴，建立如图示

空间直角坐标系.

9

则A(V3,0,0),3(0,1,0),C(0,-l,0),P(0,0，V3),故,

............8分

因为AD5C是边长为2的等边三角形，故OD=OPf=PD,所以

ZPOD-60，且。。_L5C,

又。P_L,ODPIOP=。，故3C_L平面。OP,则

O在平面xOz内.故求得D(-1,0,y-),所以

/百1/3百、

第17题解答图2

设平面ABC的法向量为蔡=(〃，b,c),显然可令

m=(0,0,1);

f__»736

n-BE=——x—y+—z=0

22

设平面£8□的法向量为3=(%,»z),则

——»3V3c，

n-BD=

、22

令z=2,则%=0,y=8,即3=(0,省,2).

............11分

匚口、［m•n225/7

/TTCOSVm^n>=r,~r=--j==-------，

|m||n|A/77

设平面EBD与平面ABC的夹角为。，则sin8=Jl-cos?<mn>-,

故平面EBD与平面ABC的夹角的正弦值为.

7

............15分

18•【解析】

(1)P住212.2)=P(J2〃+2a)=——1—=0.02275.

10

所以符合该项指标的学生人数为：3000x0.02275=68.25土68人.

.........................4分

（2）①记4表示解答A类试题第一次测试合格，B,,B2分别表示解答B类试

题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M,则尸=

__1Q11331

P（AM）=P（AB1B2）+P（AB1B2）=-X-X-+-X-X-=-.

.........................7分

___1

O_尸（A瓦生）+尸（4瓦瓦）_3

W|A)=

尸(A)P（A）14

3

.........................10分

②设X的取值为0,1,2,

.........................11分

224

尸(冗=0)=一义一=一，

339

»八13321335

P(X=l)——X—X—+—X—X—X—=——

344334416

35

p(x=2)=l-P(x=0)-P(x=l)=—