2024年高考模拟数学试卷5(新高考Ⅰ数学试卷专用)(解析版)

备战2024年高考数学模拟卷05(新高考I卷专用)

第I卷(选择题)

一、单项选择题

1.设集合4=卜|：211,8=}母=2],则AB=()

A.[0,+功B.[0,1]C.(0,1]D.[0,1)

k答案UC

K解析I由题设4=卜|二4。1=5|0<工41},8={y|y>0},

所以Afi=(O,l].

故选：C.

2.设复数z对应的点在第四象限，则复数z-(l+if°对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

[答案》B

[解析》由复数2-(1+40°对应的点在第四象限，

则设z=。+bi(a>0,Z?<0),

由(1+以0°=[(1+讲『=⑵户=25/°=25k=—250

得z-(1+i)1，，0=-250(a+bi)=-250a-250bi,

由一25%<0,—25%>0,

得复数z-(l+if°对应的点在第二象限.

故选：B.

3.在平行四边形ABC©中，E是5c的中点，下是8的中点，DE■与即相交于点G,则AG=

()

2221111?

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

33333333

K答案XA

k解析》设ACBD=O,

由题意可知：G为的重心，且。为AC的中点,

可知A,O,G,C四点共线，且AO=OC=3OG,

uum21012z1012uun21011

所以AG=—AC=—A3+AC=—A3+—AO.

33、*33

故选：A.

4.某地投资。亿元进行基础建设，，年后产生的社会经济效益为/«）="e加亿元，若该地投

资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过。年，该项投资产生的社会

经济效益是投资额的16倍，贝篙=（）

A.4B.8C.12D.16

K答案Xc

K解析X依题意/（4）=温、2。，显然awO,即e"=2,所以4/l=ln2,则彳=竽，

In2in2In2

所以人）=碇7，令％）=®,即公7=16。，所以工”也16，

即"f=41n2,所以t=16,所以该地投资基础建设16年后产生的社会经济效益是投资额的

16倍,

所以彳=16-4=12.

故选：C.

5.某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5

个选项，假设若会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的

同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四

个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%,则真会做此题的学生比例最可

能为（）

A.5%B.10%C.15%D.20%

（答案』B

K解析』设测试总人数为"，真会做此题的学生人数为X,

111、1

X+WX+(W-X)X

Ml：,2524_ono/-解得二=10%.

-------------JU/oYI

n

故选：B

6.设函数/(x)=sin(0x+e)[0>O,[0|<m，/[Q]=Oj[g7r)=-l,且/(x)在上

单调，则下列结论不正确的是()

A.[-1,。)是/(x)的一个对称中心

JT

B.函数/⑺的图象关于直线x=F对称

6

C.函数/⑴在区间盘,;上的值域为孝考

D.先将V=sinx的图象的横坐标缩短为原来的然后向左平移卷个单位得到了⑴的图象

(答案』c

5兀，

0G>+°=占兀

2兀。73兀

k解析》依题意,3CD(p—2化2兀—,k、,k?£Z,

兀〉5兀

•①+'=勺兀,①

27r—,37r

G)-\-(p—2左2兀H——,

巴2丝③

CD12

②-①并化简得。=诙2-4K+6,K，&eZ,。是偶数,

12

由③得0<50<12,0</《M，所以0=2,

SirSir

代入①得—x2+0=k0,(p=k[7i----,k\£Z,

126

而⑷<£,所以0=2，所以/(无)=sin|2x+[].

266\07

A选项，一7三冗义2+占7T=一无，所以言，。]是/(X)的一个对称中心，A选项正确.

126

B选项，?2+==三，所以函数/(x)的图象关于直线x=£对称，B选项正确.

6626

、八-e7L'兀兀7L7T_7T27r

C选项，——<x<—,——<2x<—,—<2x+—<——,

244122463

所以+《卜

sin12x争,所以C选项错误.

D选项，先将y=sinx的图象的横坐标缩短为原来的得到y=sin2x,

然后向左平移已个单位得到y=sin2卜+总=sin〔2x+£j="x),

所以D选项正确.

故选：C

7.已知。=25_2+，6=Jln2,c=l-也,贝。()

22

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

K答案』c

K解析工/=22—2+2-5=四一2+变=述一2=

22

c2=l-V2+-=--V2<a2,：.c<a.

22

在B,C中选，比较a,6大小，

令g(x)=lnx_«+

,/\1112\/x-x—1

g(“丁市一百一/^，

令/(X)=2A/X-X-1,/'(冗)=2-1<。在。,+8)上恒成立,

所以/(%)在(L”)上单调递减,所以/(X)</⑴=。，所以/(“<0,

所以g(x)在(L+⑹上单调递减，所以g(x)<g(l)=O,

所以x>l时,lnx<6一木，则ln2；<2；-2一，即故">"c.

故选：C.

8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北

京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所

示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60时，

在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为

e,则e2=()

D.3^3-5

(答案ID

《解析》因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,

由图可知，椭圆的短半轴长》=2,

在，ASC中，ZB=60,ZC=45,|AC|=4,

由正弦定理得:

忸C|_|AC|_______2a________4___________2a____________4

sinAsinBsin(180-60-45)sin60sin60cos45+cos60sin45sin60

「2a2-b2

所以

a

故选：D.

二、多项选择题

9.在棱长为2的正方体ABC。-A旦G，中，分别是棱BC,C。的中点，贝|()

A.4R与跖是异面直线

B.存在点尸，使得4尸=2尸如，且BC//平面AP21

c.A/与平面AE3所成角的余弦值为述

3

4

D.点用到平面4EP的距离为

K答案UBC

k解析》A选项，以A作坐标原点，A2,AD,A4,所在直线分别为％y，z轴，建立空间直角坐

标系，

B1（2,0,2）,7）1（0,2,2）,£（2,l,0）,F（l,2,0），4（0,0,2）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,

则EQ=（-2,2,0）,EF=（-1,1,0）,由于gR=2EF,故8a与砂平行，A错误；

B选项,设P（x,y,z）,因为辛=2所,所以（x,y,z-2）=2（l—x,2—y,—z）,

x=2-2尤

即y=4—2y,解得x=2=；4,z2,故尸

z-2=-2z

设平面APBX的法向量为m=（a,6,c）,

AP=(a,Z>,c)-f|)|)|242

m-=-a+-b+-c=0

则333

m,AB]=(«,/?,c)-(2,0,2)=2a+2c=0

令a=l,贝！J8=0,c=T,则根=(1,0,—1),

因为3cm=(0,2,0乂1,0,-1)=0,故Bed"”?，BC//平面4冉,

故存在点p,使得AP=2P尸，且BC//平面AP81,B正确;

C选项，平面瓦EB的法向量为^=（1,0,0）,

故A/与平面B.EB所成角的正弦值为

则4尸与平面B'EB所成角的余弦值为

D选项，设平面AE尸的法向量为4=(%,%,4),

■•4月=(%,%,力(2,1,-2)=2元]+%-24=0

贝(J3--

[4•£■〃=(%,%，4>(-1,1,。)=-&+%=0

令玉=1,贝！]M=1,Z]=:,故%=[1,1,g

则点4到平面4呼的距离为=—,D错误.故选：BC.

17

10.已知函数/(X)=sin3x-sin2x(xe(0,27t)),贝!]()

B.“X）恰有5个零点

D,小）在。,上单调递减

C.f（x）必有极值点

［［答案』BCD

K解析》对于A,/^yj=siny-siny=sin^+|psin^-^j=-2sin|^0,错误;

对于B,/(x)=sin3x-sin2x=sinf-x+-x>|-sinf-x--x>|=2cos-xsin-x,

令〃尤)=°得cosgxsin；x=0,所以sin；x=°或c°s*1x=0,又彳€(0,2兀),

by5兀353兀一,55兀057兀-59兀

所以二•工二7或二•工二三-或二•兀=二-或二•工二二-或二入=二-

2222222222

解得X=1或x=g或X=7T或》=《或彳=与，即“X）恰有5个零点，正确;

对于C,因为/(x)=sin3%-sin2x,所以(x)=3cos3x-2cos2x,

因为/'=3COSTI-2cos1=-3+A/3<0,-3cos2兀-2cos：=4>0,

由零点存在性定理知r（x）=3cos3x-2cos2x在与鼻上存在异号零点，

则/（“）在［1彳］必有极值点，正确；

一.।7C7C._

对t于D,当xw二时，cos3xe_V|,0,cos2xe0,—I,

（64」一工

72

所以/'（x）=3cos3x-2cos2x<0,

当时，cos3xG，cos2x£,

所以3cos3XE-3,-^^-^,-2COS2XG（0,1）,所以/r（%）=3cos3x-2cos2x<0,

所以.中］时，所以尸（x）=3cos3x-2cos2x<0,所以〃x）在］，［上单调递减，正

确.故选：BCD

11.已知0为坐标原点，下为抛物线E：V=2x的焦点，过点尸（2,0）的直线交E于A、B两

点，直线■、M分别交E于C、。，贝!）（）

A.E的准线方程为x=-1B.ZAOB=90

2

C.|川+|咫的最小值为4D.卜。+2|即的最小值为3+至

［答案XABD

k解析》对于A选项，对于抛物线E,2。=2,可得p=l,

所以，抛物线E的准线方程为x=-1,A对；

对于B选项，若直线A5与无轴重合，此时，直线45与抛物线E只有一个公共点，不合乎

题意,

设直线的方程为x=my+2,设点A（%,yJ、3（孙力），

（V2=2x

联立《小，可得/—2叫y-4=0,A=4m2+16>0,

［x=my+2

所以，必+%=2根，M%=—4,

则OA,OB=+必％=（：'——4=0，贝1）NAO6=9。，B对；

对于C选项，阿+阀=玉+：+々+：吟+争122下工+1=E%|+1=5，

乙乙乙乙VI,

（2_2

当且仅当j；y=1_4时，即当％=±2时，等号成立，故|E4|+|FB|的最小值为5,C错；

对于D选项，设点。（七,%）、。（%4，%），

设直线AF的方程为1=）+:，联立「二）+,可得产_2）_]=0,

2〔/=2尤

判别式为A=4产+4>0,由韦达定理可得%+%=2乙％%=T，同理可得力以=-1，

[4。|=占+迅+1=追%+1,同理可得，|BZ）|=2l±2£+i,

11

所以，“|+2|即=五+-7+/+3+3=五+-^+/+五+3

111122yf及第22y；才16

爷十》灯>=3+手

当且仅当誓=若时，即当％=±：殍时，等号成立，

162y1V3

所以，H。+2忸q的最小值为3+乎，D对.

故选：ABD.

12.在平面直角坐标系尤Oy中，将函数y=/（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转

a（O°<a<9O°）Js,所得曲线仍然是某个函数的图象，则称/（可为旋转函数”，则（）

A.存在“90。旋转函数”

B.“70。旋转函数”一定是“80。旋转函数”

C.若g（x）=rzx+J为“45。旋转函数"，贝以=1

D.若人（力点为“45。旋转函数函则-eYbWO

（答案]ACD

(解析力对于A,如'=工，旋转90。后为y=T满足条件，故A正确；

对于B,如倾斜角为10。的直线是70。旋转函数，不是80。旋转函数，故B错误;

对与C,若g(x)=ar+，为45。旋转函数，

X

则根据函数的性质可得，g(x)=狈+!逆时针旋转45。后，

X

不存在与X轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.

故不存在倾斜角为45。的直线与g(x)=G+』的函数图象有两个交点.

X

即y=x+Z?(Z?eR)与g(x)=av+，至多1个交点.

X

1

y=ax——c

联立，x,可得(。-1)/一汝+1=0.

y=x+b

当a=l时，-Z?x+l=0最多1个解，满足题意；

当awl时，(a—1)炉—"+1=0的判别式A=/—4(a—1),

对任意的。，都存在b使得判别式大于0,不满足题意，故。=1.故C正确；

对与D,同C,3)="与y=x+a(aeR)的交点个数小于等于1,

e

即对任意的a,a="-x至多1个解，故g(x)=x为单调函数，

ee

由g，(x)=^^-l,g'(l)=-l＜0,故8'。)=^^-140恒成立，即e'NM(x-l)恒成

ec

立.即＞=6,图象在＞=-伏彳-1)上方，故—620,即6＜0.

当y=e，与y=-。(X-1)相切时，可设切点(X°,e'。)，

对＞=0，求导有y，=e*,故-^=非，解得4=2,此时匕=_e%=-e2,故TWbWO.故

D正确.故选：ACD.

第n卷(非选择题)

三、填空题

13.已知”eZ,S.3<n<6,若的展开式中存在常数项，则展开式中厂"的系数

为.

K答案X6

K解析》口-展开式的通项公式为却|=（-1）（"7•/，=（_iyc：x"H,3<〃<6

因为存在常数项，所以〃=4r,故只有当厂=1,九=4时满足题意，

即求［无-［）展开式中含X-的项的系数，令4—4r=T,即r=2,

所以展开式中含尤T的项为（-1）弋％-4=6一,

所以展开式中无T的系数为6.故（答案》为：6.

14.已知圆C:（x-6）2+（y-8?=1和两点A（O,-m）,8（0,租）（租>0）.若圆C上存在点P,

使得ZAPB=90°,则机的最大值为.

1答案X11

K解析X由题意得：圆C:（x-6y+（y-8）2=1的圆心C（6,8）,半径

•：ZAPB=90°,则点尸在以AB为直径的圆上（不能是48两点），

以AB为直径的圆的圆心为0（0,0）,半径2=m（m>0）,

注意到圆心C（6,8）到y轴的距离为6>勺即y轴与圆C相离，

由题意得：圆C与圆。有公共点（由于y轴与圆C相离，公共点不可能为A,3）,且

|OC|=V62+82=10,

贝！］卜一目0|OCjS/+马,即|1一时<1041+加,帆>0,解得故加的最大值为11.

故［答案』为：11

15.已知是定义域为(-4,4)的奇函数.若以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在龙轴上方的

部分恰好是y=图像的一部分，则/(》)的K解析X式为.

K答知小)=]可口中'4)

—v—x—4X,%£(—4,0)

K解析工以点(2,0)为圆心，半径为2的圆的方程为(x-2>+y2=4,

则该圆在无轴上方的部分的方程为y=7-X2+4X(0<X<4),

由/(x)是奇函数，得/(。)=。，当无e(-4,0)时，-xe(0,4),

/(X)=_/(-x)=+4(-x)=-yj-x2-Ax，

,、,.J-V+4x,xe「0,4)

所以〃无)的K解析》式为了("==一L’.

—v—x—4%,%£(—4,0)

..J-%2+4%,xG[0,4)

故K答案』为：/(%)==—、

—v—x—4X,%£(—4,0)

16.如图，对于曲线G所在平面内的点O,若存在以。为顶点的角。，使得对于曲线G上

的任意两个不同的点AB恒有NAO3V。成立，则称角a为曲线G的相对于点。的“界角”,

xex~'+1,x>0

并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点。的“确界角”.已知曲线C：y=\12

—r+i,xwo

116

(其中e是自然对数的底数)，点。为坐标原点，曲线C的相对于点。的“确界角”为"，则

sin/?=.

K答案11

xex-1+1,x>0

(解析H函数y=<;1,，

—x+1,xW0

116

因为％>o,y=(%+l)e"T>0,

所以该函数在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

过原点作y=xei+1的切线，设切点A伍,邛'曰+1）,

由y=（x+l）e-^,则切线。4的斜率为匕=（占+1）6-，

直线。4：y-（个中+1）=&+1）9-（x-占）过（0,0）,

_再炉7_]=（_/_xJe*T,龙;efT-l=0（&>0）,

即炉」=无「，由函数y=e'T与y=K?的图象在（0,+功有且只有一个交点,

且当%=1时满足方程，故方程有唯一解为=1,则尤=2；

则切线02:y-A考+1卜(x-%)过原点(0,0),

则有一7工；-1=—3无；(工2V。)，X=—4,

1082

则k2=——,则有kxk2=—1,

・・・两切线垂直，曲线。的相对于点0的“确界角''为夕，

则/=],sin^=l.

故K答案》为：L

四、解答题

17.已知数列｛4｝的前“项和为S",且，=/+〃.

⑴求｛%｝的通项公式；

%,"为奇数

⑵若数列｛2｝满足〃=&,求数列他,｝的前2九项和七.

2万,〃为偶数

22

解：(1)当时，an=Sn-S„_!=7i+z7-(w-l)-(/i-l)=2/i,

当”=1时，al=Sl=2,因为由也符合上式.

所以4=2”.

2",〃为奇数

⑵由⑴可知勿=

2",〃为偶数

所以=(2+6+10+…+4"-2)+(22+2，+26+…+2*)

〃(2+4〃-2)।4(l-4")c214,!+|-4

―21-4n-3

18.在DABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且向量m=(。,4-9,

zz=(sinB-sinC,sinA+sinB),mLn.

⑴求角A的大小；

(2)若。为AC上一点，且位>=%>,BC=3,求△BCD面积的最大值.

解：(I);;?!n,r^m-n=(c,a-Z?)-(sinB-sinC,sinA+sinB)=0,

即c(sinB-sinC)+(a-Z?)(sinA+sinB)=O,故c(b-c)+(a-b)(a+b)=0,

整理得至1」/=62+°2一反，即cosA=；,Ae(0,7i),故4吟

(2)AD=BD,A=g故△ABD为等边三角形，即48。。=三，

。J

c

△BCD中:BC-=CD'+BD2-2CDBD-COSy,

即9=CD?+5+a)•8922CDBD+CDBD^3CDBD,

即CD-BDV3,当且仅当3。=CD=括时等号成立.

S=-BDCDsin—=—BDCD<^-.

2344

19.如图，已知四边形ABCO和CDE尸都是直角梯形，AB//DC,DCHEF,AB=5,DC=3,

EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,且二面角尸一DC-3的大小为60。.

(1)证明：平面BCBJ_平面ABCD；

⑵在线段AE上是否存在点知,使得二面角M-3C-P的大小为45。，若存在，请求出点的

位置；若不存在，请说明理由.

解：(1)因为四边形ABC。和EFCD都是直角梯形，

所以。C_LC/，DC±CB,且CP。8=。,5,。3<=平面3。/，

所以，DC,平面3CF,

因为。Cu平面ABC。，所以平面ABCD1平面BC/.

(2)过点E、。分别作直线DC、A3的垂线EG、0H垂足为G、H.

由已知和平面几何知识易知，DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°,

则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，所以在RtEGD和RtVDHA中，EG=。"=2若，

假设在AE上存在点M,使得二面角M-BC-F的大小为45。.

由(1)知DC，平面BCF,则是二面角F-DC-B的平面角，

所以/BCF=60。，所以△氏才是正三角形.

取5C的中点N,则7WJ_3C,又/Wu平面3C。

所以印，平面ABC。，过点N作AB平行线NK,

则以点N为原点，NK,NB、桥所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

N-xyz,

=,则A（5,6,0）,B（0,V3,0）,C（0,-迅,0）,E（l,0,3）,

贝ljM（5—446一扇,34）,贝（5—4%—石4,3/1）,BC=（0,-273,0）,

设平面3cM的法向量为4=(x,y9z),

、

由n.-BC—0，得/、—2yj3」y—0，(i,o,4—2——5,

凸-BM=Q[(5-42)%-V32y+3Az=0I3A)

…。一除人「1

又平面3(才的法向量%=(1,0,0),所以一同”厂]j

整理化简的7万-404+25=0,解得2、或2=5(舍去).

所以存在点"，使得二面角M-BC-尸的大小为45。，且加0=^4石.

20.已知/(％)=e"-比，xeR.

⑴函数/(%)有且仅有一个零点，求，的取值范围.

⑵当仁1时，证明：送e(a,6)(其中。＞0),使得/⑻一”」=＞一1.

b-a

⑴解：由函数〃尤)=e=比，可得了⑼=1,所以x=0不是函数的零点,

因为函数f(x)有且仅有一个零点，即方程/(%)=0仅有一个实数根,

即方程tx-tx=0仅有一个实数根，即方程t=-仅有一个实数根，

X

设g(x)=F，可得g，(x)=三*D,

当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

当Ovxvl时，g'(x)<0,g(无)单调递减；

当尤<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以函数g⑺的极小值为g(1)=e,

又由当x>0且x->0时，g(x)-»+8；当尤<0且x-»0时，g(£)-—00,

所以函数g(x)的图象如图所示，

要使得函数有且仅有一个零点，则满足7=e或f<0,

即实数f的取值范围是(e,0)U{e}.

(2)解：设‘⑸一"")=左,即/⑻一劫=/(。)一切,

b-a

当，=1,令/z(x)=/(x)-Ax=e(左+l)x,x£(a,b)

满足人(〃)=%()),且=—左一1,

若//(X)在区间(4,6)单调递增，此时〃.)</?仅)，不满足题意;

若〃(x)在区间(4,6)单调递减，此时不满足题意;

所以函数Mx)在区间(。,6)上不是单调函数，所以函数〃(X)在区间(区为上必有极值点,

即存在使得//《)=苗一左一1=0,即心占一1,

即使得〃')_/(")=仁_1.

b-a

21.已知动点尸到定点尸(0,4)的距离和它到直线y=l距离之比为2；

⑴求点尸的轨迹C的方程；

⑵直线/在无轴上方与x轴平行，交曲线C于A,B两点，直线/交y轴于点D设。。的中

点、为M,是否存在定直线/,使得经过"的直线与C交于尸，Q,与线段A8交于点N,

PM=4PN，MQ=4QN均成立；若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

解：（1）设尸（x,y）,由动点尸到定点尸（0,4）的距离和它到直线y=l距离之比为2,

可得J无2：化简得39_/=12,BP^--=1,

|y-i|412

22

故点P的轨迹c的方程为匕一上=1；

412

⑵设7的方程为3=2冽则。（0,2根），故对（0团）,

由已知直线PQ斜率存在，设直线尸。的方程为>=后+加（出题），故N[,2

与双曲线方程联立得：（3^2-l）x2+6fonr+3m2-12-0,

由上-《=1对应渐近线方程为：y=±^-x,易判断女2>1,

4123

公>0得公=1202左2+病一4)>0,设g(x,,y2),

2

nil-6km3m-12

人J玉+%2=2727，X\X2二①,

3K—13k2-1

由MQ=2QN得:

uuuruum(m

PM=(一玉,m-),PN=I—-,2m-%

BP2%]%2-----(%+%)=。(2)

k

由①②得：室:+能1r。，化简得病3。，由已知吟夜,

故存在定直线/：y=2&满足条件.

22.（12分）某种植物感染病毒/极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒/的

制剂.现对20株感染了病毒/的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”

和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计.规定植

株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植

株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共

1株.

编号12345678910

吸收量（毫克）6838956627

编号11121314151617181920

吸收量