2024年中考数学二轮提升训练：圆的综合

2024年中考数学二轮专题提升训练：圆的综合

1.如图，以ABC的边AB为直径的O交BC于点D,。的切线QE1AC,垂足为

点E.

⑴求证：BD=CD.

⑵若二。的半径等于5,BC=8,求AK的长.

2.如图，为：。的直径,C为。上一点,D为BC延长线一点，且3C=CD,CELAD

于点E.

⑴求证：直线EC为O的切线；

(2)设BE与＜O交于点尸，AF的延长线与CE交于点尸,

①求证：PC2=PFPA；

②若PC=5,PF=4,求尸E和sinNPEF的值

3.已知。中，直径AC长为12,MA,MB分别切。于点A,B,弦ADBM.

(1)如图1,若ZAMB=120。，求NC的大小和弦8的长；

(2)如图2,过点C的切线分别与AD、MB的延长线交于点E,F,且CE=］所，求弦

8的长.

4.如图，A3为C。的直径，点C、点。在O上，CE1AD,交AD延长线于点E,

连接AC,且NOCE=/D4C.

(1)证明：△CDEs/vW。；

(2)证明：CE为。的切线；

(3)若ZM=DC,AB=8,求AD的长.

5.如图1,是。的直径，BC是。的切线，点O是直径右侧半圆上一点，过

点。作于点E,连结AC交DE于点P.

AA

BB

图1图2

⑴求证：ACPE=APBC.

(2)连结OC、AD,若AD〃OC,求证：PE=PD.

(3)如图2,连结C。，若CD是。的切线，求证：PE=PD.

6.如图，AB为。的直径，弦CDLAB于点E,CFLAF于点R且CF=CB.

⑴求证：CF是：。的切线；

⑵若“=30。，AB=10,求8的长.

7.如图，AB是。的直径，弦。0，至于£,与弦反交于G,过点尸的直线分别与

AB,CD的延长线交于M,N,FN=GN.

⑴求证：MN是Q的切线;

4

(2)右BM=1，sinM=—,求AF的长.

8.如图，AB是匚0的直径，点C是半圆A8的中点，点。是：。上一点，连接CD交48

于点E,点尸是延长线上一点，且EF=DF.

⑴求证：DE是。的切线；

⑵连接3C、BD、AD,若tanC=：,DF=3,求。的半径.

9.如图，已知CE是圆。的直径，点8在圆。上，且BD=BC,过点3作弦CD的平行

线与CE的延长线交于点A

D

（1）若圆。的半径为2,且点。为弧EC的中点时，求线段CD的长度；

⑵在（1）的条件下，当NCBD=45。,Z）F=a时，求线段的长度；（答案用含a的

代数式表示）

⑶若AB=3AE,且C»=12,求，BCD的面积.

10.如图，2（7为（。的直径，A为二。上一点，作一A4c的平分线交。于点。，过

点。作的切线，交AC的延长线于点E.

⑴求证：DE//BC；

(2)若45=8,AC=6,求。E的长.

11.如图，四边形ABCD为。的内接四边形，8D为直径，AC平分过点C作

8。的平行线，交AD的延长线于点E.

⑴求证：CE与二O相切;

⑵求证：BC2=ABDE.

12.如图，。半径为2,弦BC=3,A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长

交《。点连接40,过点8作BE,AC,垂足为E.

⑴求证：BE//AM.

(2)过点A作AD43C,分别交BE,BC于点H,D.求的长.

13.已知43为(。的直径，点C和点。为(。上的动点(两点在48的异侧且都不与4、

2重合)，连接8与A3交于点E,连接AC,BC

DD

图1图2

(1)如图1,若AB=10,农D,兀,求NDCB的度数；

(2)如图2,在(1)的条件下，若BC=6,求DE的长度；

(3)如图2,若=4,NDCB=60°,且对任意的点C,弦CD上都有一点F满足BC=2DF,

连接防，求线段所的最小值.

14.已知：。是ASC的外接圆，连接49并延长交BC于点。，AD1BC.

(1)如图1,求证：ABAD=ACAD-

(2)如图2,点E在4)的延长线上，连接BE并延长交O于点/，且=

求证：CF=EF；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作OG〃BP交43于点G,若OG=5,BF=13,

求线段的长.

15.已知AB为］。的直径，C为，。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为

图①图②

(1)如图①，求证：AC平分

(2)如图②，过B作3p〃4。交(O于点孔连接Cf,若AC=4拈，DC=4,求CE的

长.

参考答案:

【详解】（1）证明：如图，连接onAD.

•：DE为o的切线，

：.OD1DE,

：.OD//AC,

：.ZC=ZODB.

9：OD=OB,

:.ZODB=ZABC,

：.ZC=ZABC.

•・•AB为O的直径，

・•・ZADC=ZADB=90°.

XVAD=AD,

.ADC^ADB(AAS),

:.BD=CD；

(2)解：:。的半径等于5,

・•・AB=1Q.

:3c=8,

・•・BD=CD=4,

・••在RtZkAB。中，AD=VAB2-BD2=2721•

9：AADC^/\ADB,

：.ZEAD=ZDAB.

又•:ZAED=ZADB=90°,

:.Z\AED^Z\ADB,

.AEADanAE2A/21

••-----—，即--7=—，

ADAB2V2110

42

解得：AE--.

4

2.@PE=5,sinZP£F=-

【详解】(1)证明：如图所示，连接OC.

<.*CE_LAD于点E,

，C是8。的中点，

又是AB的中点，

，OC是ABDA的中位线,

OC//AD,

：.ZOCE=ZCED=90°,

：.OC1CE,

又•.•点C在圆上，

是圆。的切线；

，NECO=90°,

AB是直径,

・•・ZACB=90°=ZECO,

:.NECA=NOCB,

•；OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=ZACE,

•；ZABF=ZACF,

：.ZOBC-ZABF=ZACE-ZACF,

:,ZEBC=/ECF,且NEBC=NG4P,

：.ZECF=/CAP,&ZCPF=ZCPAf

：.APCF^APAC,

.PCPF

••一，

PAPC

PC2=PFPA;

②・・・A5是直径，点/在圆上，

JZAFB=ZPFE=90°=ZCEA,

•:ZEPF=ZEPA,

・•・APEFsAR4£,

.PEPF

**PA-PE?

・・・PE2=PFPA

又由（2）的①知：PC?=PFPA,

：.PE=PC=5f

PF4

・••在直角！P即中，sinZPEF=—=-.

PE5

3.（l）ZC=60°,CD=6

（2）CD=—

13

【详解】（1）解：MA.MB分别切一。于点A,B,

:.ZMBO=ZMAO=9Q0,

在四边形M4OB中，

ZAC«=360。—ZAMB-AMBO-ZMAO=360。-1200-90°-90°=60°,

..AD//BM,OBIBM,

:.OB.LAD9

AC是：。的直径,

,\ZADC=90°,即AD_LCD,

:.OB//CDf

ZC=ZAOB=6Q0,

:.CD=ACcosC=ACcos600=12x-=6

2

(2)解：连接05、OF.OM,如图，FC,FB为O的切线,

OC.LFC,OB±FB,

在Rt/CO和RtFBO中，

[FO=FO

[OC=OB

/.RtFCO^RtFBO(HL)

:.FC=FB,

同理：MB二MA,

FC,MA为。的切线，

AC1FC,MAVAC,

MA\FC,

ADBM,

・・・四边形为平行四边形，

:.MF=AE,MA=EF.

QCE=，EF,

4

设CE=5匕则EF=4R

:.MA=MB=EF=4k,FC=FB=9kf

MF=MB+FB=13k,:.AE=MF=13k,

在RtAEC中，

AC2+EC2^AE2,即12?+（5幻2=（13发）2,

k>Q,:.k=\,

EC=5,AE=13.

AC是O的直径，

/.ZADC=90°,

「.8为斜边AE上的高，

S.=-AC-EC=-AECD,

“FcC22

/.AC-EC=AECD,12x560

.rn_12x5_60

1313

4.（3）4

【详解】（1）证明：•・,四边形ABCD内接于O,

：.ZABC+ZADC=180°.

•・・^EDC+^ADC=180°.

：.ZABC=ZEDC.

・・•AB为O的直径，

・•.ZACB=90°.

t：CELAD,

：.NE=90。.

・•・ZE=ZACB.

：./\CDE^Z\ABC；

（2）证明：连接OC,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA.

由（1）得，△CDEsZv^c,

:.ZDCE=ZBAC.

又丁NDCE=NDAC,

：.ZDAC=ZOCA.

：.OC//AE.

9：CE±AD,

：.OC.LEF.

・・・C£为。的切线；

(3)解：,：DA=DC,

：.ZDCA=ZDAC.

XVNDCE=NDAC,

：.ZDAC=ZDCA=NDCE.

•・・/£=90。，

90°

:.NDAC=ZDCA=NDCE=——=30。.

3

连接5。，：.ZABD=ZDCA=3G°.

•・•AB为。的直径，

：.ZADB=90°.

在RtAABD中，AB=8,

AD=—AB=—x8=4.

22

5.【详解】(1)证明：AB是二。的直径，BC是。的切线,

:.BC±ABf

「DE_LAB于点E,AC交。石于点P,

:.PE//BC,

AEPsABC,

.PEAP

•,一，

BCAC

:.ACPE=APBC；

(2)证明：如图1,延长A。、BC交于点厂，

A

BCF

图1

ADOC,

,.,——工，

CFOA

PE//CB,

APE^_ACB,

.PEAP

,,一，

CBAC

PD//CF,

APD^ACF,

.PDAP

,,一，

CFAC

.PEPD

,•二,

CBCF

PECBi

..-------------1,

PDCF

.\PE=PD；

(3)证明：如图2,连结AD并延长AD、BC交于点G,连结5£＞、OD、OC

A

1

BCG

图2

CB、CD都是.。的切线，

:.CB=CD,NOCB=ZOCD,

:.OC1,BD,

AB是。的直径，

ZADB=90°,

:.AG±BD,

S.AG//OC,

CBOB1

——=——=1,

CGOA

PE//CB,

APEs«ACB,

.PEAP

,,一，

CBAC

PD//CG,

.PDAP

,CG-AC?

.PEPD

"'CB~~CGf

PECBi

…----=-----=1，

PDCG

:.PE=PD.

6.(2)CD的长是5月

:.ZOCA=ZBAC,

•・・CD_LAB于点及CF_LAF于点R且Cb=CE,

・••点。在NBA厂的平分线上，

・・・AC平分NBA产，

ZBAC=ZCAF,

ZOCA=ZCAFf

：.OC//AF,

/.ZOCG=ZF=90°,

•.•er经过o的半径oc的外端，且CFLOC,

二.c/是。的切线.

(2)解：为的直径，弦8，至于点£,

CE=DE,BC=BD<ZACB=ZBEC=90°,

：.ABAC=NBCE=ZD=30。，

"：AB=IO,

：,BC=-AB=-xl0=5,

22

BE^-BC^-x5^~,

222

CE=JBC?—BE。=卜—=当，

sh

・•・CD=2CE=2X-^-=5A/3,

2

・・・CD的长是5百.

7.(2)AF=y^

【详解】(1)证明：连接。尸.则。尸=Q4.

FN=GN,

：・N2=N3.

•・•Z3=ZAGE,

JZ1+Z2=ZA+ZAGE.

*：CDLAB,

：.ZAEG=90°.

：.ZA+ZAGE=90°.

AZOFN=90°.^OFIMN.

「•MN是。的切线.

OF4

(2)连接由(1),sinM=——=一.

OM5

可设O尸=43OM=5k.

•：OB=OF,

：.BM=k.

k=1.

；.OF=4fOM=5.

：・MF=452-42=3.

AB是直径，

・•・ZBFA=ZMFO=90°.

・•・ZMFB=Z1=ZA

;ZM=ZM,

Z\MFB^/\MAF.

.FBMB

AFMF3

Z.AF=3BF.

AF2+BF2=AB2,

：.10BF2=82.

84/—

：.BF=n==-^10.

V105

/.AF=y710.

9

8.(2);。的半径为i

【详解】(1)证明：连接OC、OD

•・•点。是半圆AB的中点

・•・ZAOC=ZBOC=90°,

Zl+Z2=90°

OC=OD

：.Z1=Z3

*.*EF=DF

：.ZFED=ZFDE

又•：Z2=/FED

：.Z2=AFDE

：.N3+NZD£=90。

ZODF=90°,即OD_L”

又•：OD为O的半径

：・DF为O的切线

(2)解：TAB为O的直径

JZADB=90°

■:ZBCD=ZA

.ABD1

..tanA=-----=—

AD2

丁ZADB=ZODF=90°

AZADO+ZODB=90°,ZBDF+/ODB=90。

：.ZADO=ZBDF

\9OA=OD

：.ZA=ZADO

ZA=ZBDF

又•：ZBFD=ZDFA

:.BFia…DFA

.BFDFBD31

-FA-DA-

3

BF=—,FA=6

2

39

AB=AF-BF=6——=-

22

，的半径为9:

4

9.⑴20；

(2)-；

a

(3)108.

【详解】(1)解：如图，过。作QHLCD于H,连接。石，则CD=2C",

・・・CE是圆。的直径，

：.ZEDC=9Q0,

••,点。为弧石。的中点，

・••弧即=弧C。，

:.ED=CD,

：.^OCH=45°,

；・/HOC=NOCH=45。,

：.OH=CH,

・・•圆。的半径为2,即0c=2,

：・OH=CH=6,

：.CD=2CH=242;

(2)解：V^FCD=45°,/DBC=45。,

:,NFCD=NDBC,

ND=ND,

:・-CDFS'BDC,

,FDCD

•・布一访’

由(1)可知CQ=20,

•272x272_8

••DD----------------——

aa

(3)解：如图，连接BE,BO,DO,并延长3。至H点,

・・・CE是圆。的直径,

・•・/£BC=90。，

•：BD=BC,OD=OC,

・•・垂直平分CO,

：.ZBHC=90°,

XVABCD,

：.ZABO=NDHO=90°=ZEBC,

JNABE=NOBC=NOCB,

又・・NA=/A,

JABEs一ACB,

.AEAB2

•«~~―――即nnAB=AE-AC9

ABAC

设AE=x,则AB=3x,

AC=9x,EC=8x,

OE=OB=OC=4x,OA=5x,

9：CD=12,

CH=6,

・.,ABCH,

：.ZOAB=ZOCH,NOBA=NOHC,

：.AOB^COH,

AOBOAB口口5x3x

——=---即一=

coHOCH4x6

解％=9,OH=8,05=10,

2

；・BH=BO+OH=18,

：.5co的面积=』xl8xl2=108.

2

35

10.(2)—.

4

【详解】(1)证明：如图1,连接0。,

图1

*/DE是。的切线，

AOD1DE,NODE=90。,

•：BC为。的直径，

：.ZBAC=9Q0,

・・・AD平分/B4C,

/BAD=-ABAC=-x90°=45°,

22

・・•一B4O是圆周角，/3OD是圆心角，所对弧相同，

JN5OD=2N5AT)=2x450=90。，

:.NBOD=NODE,

：.DE//BC.

(2)解：如图2,过点C作CFLOE于点尸，连接OD,

图2

VABAC=90°,AB=8,AC=6,

・•・BC7AB'AC?=而+62=10,

・•・OC=OD=5,

由（1）知：ZODE=ZBOD=90°f

：.ZCOD=180。一ZBOD=90°,

•；CFLDE,

：.ZCFD=ZCFE=90°,

：.ZCOD=ZODE=ZCFD=90°,

・・・四边形OC尸。是矩形,

；・CF=OD=5,DF=OC=5,

9：DE//BC,

ZE=ZACB9

•・•ZCFE=ZBAC=90°,

:..CEFsBCA,

空=空，即竺二,

ACAB68

・・tLr=—

4

1535

:.DE=DF+EF=5+—=—

44

n.【详解】（i）证明：如图：连接oc.

AC平分/BAD,

・・BC=DC，

：.BC=DC；

,：为直径,

:.OB=OD,

:.COIBD,

・•・ZCOD=90°,

•・・BD//CE,

・・・ZOCE=ZCOD=90°,

:.OC.LCE,

：・CE与。相切.

(2)解：■:BD〃CE,

ZADB=ZE,

又・・・/42汨=/4。8,

ZACB=ZE；

•・,四边形ABC。为。的内接四边形，

JABC=ZCDE,

：.ABCDCE,

.ABBC

••一,

DCDE

：.DCBC=ABDE,

又＜BC=DC,

:.BC2=ABDE.

12.(2)A"=g

【详解】(1)证明：由题意得CM为。的直径，

：.ZMAC=90°,

：.MALAC

9：BEVAC,

・•・BE//AM；

(2)解：如下图所示，连接MB,延长3石交：。于点N,连接4V

BE//AM,

：.ZMAD=ZAHN,ZMAB=ZABN,

:・MB=AN,

u：ADIBC,BEVAC,

：.ZHAE+ZAHE=NHAE+ZACD,

：.ZAHE=ZACD,

•・•ZANB=ZACD,

：.ZANB=ZAHE9

：.AH=AN=MB,

是直径，

MB=^MC--BC1=J42—32=不，

：.AH=不.

13.(1)/OCB=45°

Q)DE=

7

(3)VH-1

【详解】(1)解：连接0。，如图所示:

OA=OB=OD=5,

'：初=9万，

2

..•ZAOD的度数为：1八歹

ZACD=-ZAOD=45°,

2

/ACB=90°,

ZDCB=90°-45°=45°.

(2)解：过点C作CGLAB于点G,如图所示:

D

VZACB=9Q°,AB=10,BC=6,

AC=NAB2—BC2=8,

cosZCBG=—BG

ABBC

6BG

106

解得：5G=3.6,

•*-CG=dBC2-BG=4.8,

JOG=5—3.6=14,

•.*ZAOD=90°,

・•・Z£>OE=180°-90°=90°,

VCG1AB,

・•・NCGE=90。,

:.NDOE=NCGE,

ZOED=ZCEG,

：.DOE^CGE,

.CGGE

^~6D~~6E"

.4.81.4—OE

•・丁―OE，

解得：OE=1,

DE=Joz)2+OE'=卜2+[mJ

(3)解：连接A£),AF,DO,如图所示:

c

TAB为直径，

・•・NACB=90。，

VZDCB=60°,

・・・NDC4=90。—60。=30。，

・•・ZAOD=2ZACD=60°,

AO=DO,

・•・△AOD为等边三角形，

AD=AO=—AB=2,

2

,:BC=2DF,

.AD_DF_1

BC-2?

,:AC=AC9

：.ZADC=ZABC,

即ZADF=ZABC,

，一ADFS^ABC,

：.ZAFD=ZACB=90°9

工点厂在以AP为直径的圆上，设点M为AO的中点，连接交：M于点H,当点厂在

点〃处时，BF最小,过点M作肱V1AB于点N,如图所示：

•••△AOD为等边三角形,

・•・ZOAD=60°,

VZAW=90°,

ZAMN=90°-60°=30°,

AM=-AD=l,

2

：.AN=-AM,

22

/.MN=^AM--AN2=—,BN^AB-AN=4--=3-,

222

BM=\lBN2-MN2=y/13，

：.BH=岳-3

8尸的最小值为屈-1.

14.（3）2^2

10

【详解】（1）如图1,连接。3,OC,

ADLBC,

:.BD=CD,

:.AB^AC（垂直平分线上的点到两端点的距离相等）.

AD1BC,

:.ZBAD=ZCAD-,

(2)证明：如图2,连接CE,

图2

设/CBF=a,

:"BAE=2/CBF=2a=/CAE,

:.ZBAC=ZBAE+ZCAE=4a.

AE1BC,BD=CD,

:.BE=CE(垂直平分线上的点到两端点的距离相等)，

/BCE=/CBE=a,

ZCEF=ZBCE+ZCBE=2a.

四边形ABFC是二。的内接四边形，

/.ZBAC+ZF=180°,

:"F=180。—ABAC=180。—4a,

:.ZFCE=18Q0-ZCEF-ZF=180°-2a-(1800-4a)=2a=ZCEF9

：.CF=EF；

(3)解：如图3,连接OC,OF,CE,过点尸作FNLC石于点/，过点。作ONLAB于

ZCOF=2ZCBF=2a=ZOAG.

DEIBC,

;./BDE=ZADB=90。,

./BED=90°—NDBE=90°—a,

oo

:.ZABE=180-ZBAE-ZAEB=1800-2a-(9Q°-a)=90-a=ZAEBf

-'-AB=AE.

■:OG//BF,

:.ZAOG=ZAEB,ZAGO=ZABEf

.\ZAOG=ZAGO,

：.AG=AO=OF=OC,

ZAOG咨