考研数学 高等数学 中值定理公式

Part1函数极限与连续

1.等价无穷小：当X一。时

sinx〜x,tanx〜x,arcsinx〜x,arctanx〜x,1—cosx~-x2

ex—1~x,ax-1=exlna—1〜xlna,(1+x)a—1〜ax

ln(l+x)〜x

2.泰勒公式

ex=1+x++…++…

2!n!

sinx=x-lx3+…+(-l)n-----1-----x2n+1+…

3!⑵+1)!

11

cosx=1——X29+…+(z―lx)n---x72n+…

2!17(2n)!

Ixn

ln(l+x)=x--x2+—F(―l)n-1----F…

1°

------=1+X+X2+—I-xn+•••,|x|<1

1-X

--=1—X+x2——卜(―l)nxn+•••,|x|<1

(1+X)a=1+ax+Ll-X2+o(x3)(XT0)

tanx=x+$3+o(x3)(xt0)

arcsinx=x+-x3+o(x3)(xt0)

arctanx=x--x3+o(x3)(x70)

泰勒公式展开原则：

①；"上下同阶"

②A-B:"幕次最低"

3.无穷小x有界函数=无穷小

limu1v

4.如果limuv属于"18"型，贝（jlimuv=e（-）

5.夹逼准则：

①g(x)<f(x)<h(x)

②limg(x)=Alim/i(x)=A

X+XT-

则limf(x)=A

XT•

6.间断点：

㈣f(x)。蜘f(x)

第一类间断点,跳跃间断点

可去间断点1,f(x)=L■!f(x)Wf(x)

(酎”f(x)与〃”(x)存在)xYX一寸0

无穷间断点

第二类间断点｛壬-、_上

zxfc-"、R卜晨汤间断点

ilff(fx)与0Ff(x)至少

有一个不存在)

Part2一元函数微分学

1.导数定义：

叫、../(i+Ar)-/(x)f(x)-f(x)

KxoJ=hm-----0-------7-----------#--=lim-----------------0-

/XrOnJXXyoX-Xn

2.微分定义

y=f(x)在Xo的某邻域内有定义，且Xo+Ax在该邻域内，若函数增量

△y=f(x0+Ax)-f(x0),可以写成Ay=AAx+0(Ax)的形式(A为常数)，则称f(x)在点

xo处可微。(整理自：学长小谭)

3.基本求导公式

(xk),=kxk-1

(ex)z=ex;(a*)'=axlna,a>0,aW1

/

(Inx)'=1(x>0)；(logax)=-2—,a>0,aW1

XXltMl

(sinx)'=cosx;(cosx)，=—sinx

(tanx)'=sec2x=-(cotx)'=—csc2x-------^―

f

CM"snx

(secx)z=secxtanx;(cscx)/=—cscxcotx

(arcsinx),=—!—;(aTCcosx)'=――!—

Vl-ri、―

(arctanx)=1.J；(arccotx)=一.

[ln(x+Vx2+r)]r=—!—;[ln(x+Vx2—l)]z=--

、小*1Vr2-

4.复合函数求导

f[g(x)]'=f，[g(x)]g,(x)

d{f[g(x)]}=f[g(x)]g'(x)

5.参数方程确定的函数求导

函数y=y(x)由参数方程{X=丫：，确定，且隼(t)W(t)均二阶可导，隼'(t)彳0t为

参数，则

dy_dy/dt

dxdx/dt<p,(t)

dy

dx

=U'(t)隼'(t)—W'(t)<p"(t)

-)/d

d比

x/

6.高阶导数

①归纳

②莱布尼茨公式

设u=u(x),V=v(x),均n阶可导，则

(u±v)(n)=u(n)+V(n)

(UV)S)=u(n)v+砧U(nT)，+c2u(n-2)y"_|_..._|_cn-luv(n-D+uv(n)

=Xk=Oc3u(n-k)v(k)

7.几何应用(切线、法线、截距)

设y=y(x)可导且y'(x)H0,则在(x,y)处的

切线：斜率k=：/(x)

方程为y-y=y'(x)(x-x)

在x轴上的截距x-上，y轴上的截距y-x/(x)

垓：斜率—=--

tv»(x)

方程为y—y=—；；(x-x)

在x轴上的截距x+yy'(x),y轴上的截距y+/

理解概念、会计算即可

X

8.几何应用(极值、单调性)

极值定义：对函数f(x),若在X。的某个邻域中，任意x满足

f(x)<f(Xo)今Xo为f(x)的极大值点，f(Xo)为极大值或

f(x)>f(x0)=>Xo为f(x)的极小值点,f(Xo)为极小值

单调性(一阶导数)：若f(X)在区间I上满足

f(x)>00f(x)在区间I内严格单调递增

f'(x)<0今f(x)在区间I内严格单调递减

判断极值：

一阶导数：f(X)在X=Xo连续，且在Xo的去心邻域内可导

若xe(x0-8,Xo)时，f'(x)<0；xe(x0,x0+6)时，f(x)>0,则f(x)在x=x0

处取得极小值，反之极大值。

二阶导数：f(x)在X=Xo二阶可导，且f'(Xo)=O,，产(xo)中0

若f”(Xo)>0,则f(x)在X=Xo处取得极小值；反之极大值(整理自：学长小谭)

9.几何应用(拐点、凹凸性)

凹凸性定义：f(空)</u>>yto,)=凹

fji.+工，｝>'-=>凸

判断方法(二阶导数)：若f(X)在区间I上二阶可导

f〃(x)>0今f(x)在区间I上为凹函数(斜率逐渐增大)

f"(x)<0nf(x)在区间I上为凸函数(斜率逐渐减小)

拐点的必要条件，即由已知拐点可推出f'(x)=0

判断拐点的充分条件：

①f(x)变号

②(三阶导数)f'(x)=0且f'〃(x0)*0

10.渐近线

铅垂渐近线：limf(x)=8或limf(x)=8则x=x()为铅垂渐近线。

X->X0XTXO

水平渐近线：limf(x)=yi,贝!]y=%为水平渐近线或

X7+8

limf(x)=y2,则y=y2为水平渐近线或

x->—00

limf(x)=limf(x)=y0,则y=y()为水平渐近线

X1+8XT—8

斜渐近线：bin—=k且1]n[f(x)-kx]=b,贝[Jy=kx+b为斜渐近线

x-eosXX-MD

11.(数一、数二)曲率k=曲率半径R=

Part3中值定理

设f(x)在［a,b］上连续,

1.有界与最值定理：

若m和M分别是f(x)在［a,b］上的最小值与最大值，则m<f(x)<M

2.介值定理：

当mW日WM时，存在SG［a,b］使得f0=口

3.平均值定理：

当a<Xi<X2<…<Xn<b时，在［X［Xn］内至少存在一点号使得

心峪)+皿)+…+%

吟=n

4.零点定理：

当f(a)•f(b)<0时,存在me(a,b),使得f0=0

5.费马定理：

、①可导

f(x)在Xo处满足｛则f'(xo)=0

②取极值

6.罗尔定理:

(①［a,b］上连续

设f(x)满足｛②(a,b)内可导则存在彳e(劣m，使得?®=0

{③f(a)=f(b)

7.拉格朗日中值定理：

、、并口，①［ab］及续

设f(x)；两足{,则存在己e(a,b)，使得f(b)-f(a)=F(3)(b-a)

②，a.b内可17

也可写作？©=

b-<i

8.柯西中值定理:

(①［a,b］上连续

设f(x),g(x)满足②(a,b)内可导则存在彳e(a,b)，使得‘〜

{③g'(x)丰0

9.泰勒公式:

①带拉格朗日余项的n阶泰勒公式

设f(x)在X。的某个邻域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任一点x