2024届北京市九级数学八年级第二学期期末调研试题含解析

2024届北京市九级数学八年级第二学期期末调研试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.若a,0是方程x?+2x-2005=0的两个实数根，贝！］<?+3（1+0的值为（）

A.2005B.2003C.-2005D.4010

2.已知三角形的周长是1.它的三条中位线围成的三角形的周长是（）

A.1B.12C.8D.4

3.若:=!■,则修的值是。

b5b

7335

A.—B.一C.—D.——

5527

4.如图，点P是正方形ABC。内一点，连接AP并延长，交于点。.连接OP,将AADP绕点A顺时针旋转90。

至AABP,连结FP.若AP=1,PB=2也，PD=M，则线段AQ的长为（）

I—1513

A.A/10B.4C.—D.—

43

5.某校九年级（1）班全体学生体能测试成绩统计如下表（总分30分）：

成绩（分）24252627282930

人数（人）2566876

根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）

A.该班一共有40名同学B.成绩的众数是28分

C.成绩的中位数是27分D.成绩的平均数是27.45分

6.若反比例函数y='的图象经过点（-L-2）,则该反比例函数的图象位于（）

X

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第一、三象限

7.下列计算错误的是（）

A.0+布=非B.0xg'=#C.M+0=3D.（20）2=8

8.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）

9.下列各点一定在函数y=3x-l的图象上的是（）

A.（1,2）B.（2,1）C.（0,1）D.(1,0)

10.在平面直角坐标系中，点P（-4,3）到原点的距离是（）

A.3B.4C.5D.6

11.已知甲，乙两组数据的折线图如图所示，设甲，乙两组数据的方差分别为枭，s3则s看与暖大小关系为（）

RC2—C2

A.D・。甲一。乙

C.魇＜馥D.不能确定

12.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC于点D,AE〃BD交CB的延长线于点E,若NE=35。，则

ZBAC的度数为（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

二、填空题（每题4分，共24分）

1

13.函数丁=万=^的自变量x的取值范围是.

5/X-1

14.已知一次函数y=（l—根）%+根—2图像不经过第一象限，求机的取值范围是.

15.已知一组数据为1,10,6,4,7,4,则这组数据的中位数为.

16.如图，在。ABCD中，AB=10,AD=8,AC±BC.则。ABCD的面积是

17.如图，在平面直角坐标系中直线y=-1x+10与x轴,y轴分别交于A.B两点,C是OB的中点,D是线段AB上一

点，若CD=OC,则点D的坐标为一

18.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点0,且AB/AD,过0作0E_LBD交BC于点E,若平行四边形ABCD的周

长为20,则4CDE的周长为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，在正方形A8CZ）中，点E是3C边所在直线上一动点（不与点5、C重合），过点5作5Z>E,

交射线。E于点尸，连接CF.

备用图

（1）如图，当点E在线段5c上时，ZBDF=a.

①按要求补全图形；

@ZEBF=（用含a的式子表示）;

③判断线段BF,CF,O歹之间的数量关系，并证明.

（2）当点E在直线5c上时，直接写出线段3尸，CF,Of之间的数量关系，不需证明.

20.（8分）已知一次函数y=2x+l.

（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象;

⑵点（万，5）在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由.

21.（8分）化简:

x2+2xy+y2

22.（10分）在及ABC中，NC43=90°,AD是边上的中线，E是AD的中点，过点A作”BC交BE的

延长线于点尸，连接。尸.

（1）如图1,求证：AF=DC

（2）如图2,若=其它条件不变，试判断四边形ADCN的形状，并证明你的结论.

23.（10分）问题情境：在AA5C中，AB=AC,点。是的中点，以。为角的顶点作NMDN=.

感知易证：（1）如图1,当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E.将NMDN从图1中的位置开始，绕点。按

逆时针方向旋转，使射线DM、DN始终分别交边AC,A3于点E、F,如图2所示，易证ABFDACDE,则

DF_BF

有而下一）,

操作探究：（2）如图2,ADM与Aft*是否相似，若相似，请证明；若不相似，请说明理由；

拓展应用：（3）若NB=50°,直接写出当（2）中的旋转角为多少度时，AD即与AABC相似.

N'M\M

24.（10分）在6.26国际禁毒日到来之际，某市教委为了普及禁毒知识，提高禁毒意识，举办了“关爱生命，拒绝毒

品”的知识竞赛，某校七年级、八年级分别有300人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如

下：

七年级68881001007994898510088

1009098977794961009267

69979169981009910090100

八年级

998997100999479999879

（1）根据上述数据，将下列表格补充完成.

（整理、描述数据）：

分数段60<x<6970<x<7980Vx<8990<x<100

七年级人数2——12

八年级人数22115

（分析数据）：样本数据的平均数、中位数如下表:

年级平均数中位数

七年级90.193

八年级92.3—

（得出结论）：

（2）你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好，从两个方面说明你的理由.

25.（12分）已知在△ABC中，AB=1,BC=4J-,CA=-A/125.

V25

（1）分别化简4、口，!叵的值.

V25

（2）试在4x4的方格纸上画出△ABC,使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）.

（3）求出△ABC的面积.

26.已知：如图平行四边形ABC。中，BD=CD,且443£>=45，过。作。尸J_A3于P,点E是AD的中点,

连接班交。咒于点P,点G是AB的中点，过3作河，瓦）交PG的延长线于4.

D

C

(1)若AB=2,求。。的长.(2)求证：DP=BH.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【解题分析】

根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可.设xi,X2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a用，a,b,

bc

c为常数)的两个实数根，则xi+x2=-—,xix=—.jfffa2+3a+p=a2+2a+(a+p),即可求解.

a2a

【题目详解】

a,P是方程X2+2X-2005=0的两个实数根，则有a+p=-2.

a是方程x2+2x-2005=0的根，得a2+2a-2005=0,BP：a2+2a=2005.

所以a2+3a+p=a2+2a+(a+p)=a2+2a-2=2005-2=2003,

故选B.

【题目点拨】

此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.

2、C

【解题分析】

由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长.

【题目详解】

解：•.•三角形的周长是1,

它的三条中位线围成的三角形的周长是：lxg=2.

2

故选：c.

【题目点拨】

此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

3、A

【解题分析】

先设a=2k,则b=5k,然后将它们分别代入竺计算即可求出其值即可.

b

【题目详解】

5a2

解：*/-=-,

b5

设a=2k,则b=5k,

.a+b_2k+5k_lk_7

,•~b5"

故选A.

【题目点拨】

本题考查了比例的基本性质，比较简单，关键是巧设未知数，可使计算简便.

4、D

【解题分析】

如图作BHLAQ于H.首先证明NBPP，=90。，再证明APHB是等腰直角三角形，求出PH、BH、AB,再证明

△ABH^AAQB,nTWAB2=AH«AQ,由此即可解决问题。

【题目详解】

解：如图作于

P

；AE4P'是等腰直角三角形，PA=1.

•*-PP=旧

,:BP=PD=M，PB=2®，

p'B2=PB2+PP'-，

/.ZBPP,=90°,

••,ZAP。=45。，

:./HPB=45。,

:.PH=HB=2,AH=AP+PH=l+2=3,

在RtAABH中，ABj、*=眄，

；NBAH=NBAQ,ZABQ=ZAHB=90°,

AABHAAQB,

：.AB2AHAQ,

,“八13

••AQ=—>

故选：D.

【题目点拨】

本题考查正方形的性质、旋转变换、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

5、C

【解题分析】

结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解.

【题目详解】

A、该班的学生人数为2+5+6+6+8+7+6=40（人），故此选项正确;

B、由于28分出现次数最多，即众数为28分，故此选项正确;

+28

C、成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，即中位数为一^=28（分），故此选项错误;

2

24x2+25x5+26x6+27x6+28x8+29x7+30x6

=27.45（分），故此选项正确,

40

故选C.

【题目点拨】

本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键.

6、D

【解题分析】

首先将点坐标代入函数解析式，即可得出左的值，即可判定反比例函数所处的象限.

【题目详解】

解：:反比例函数图象经过点（—L—2）,

-1

:•k=2

...该反比例函数图像位于第一、三象限，

故答案为D.

【题目点拨】

此题主要考查利用点坐标求出反比例函数解析式，即可判定其所在象限.

7、A

【解题分析】

根据二次根式的运算法则逐一进行计算即可.

【题目详解】

0+6#亚，二次根式不能相加，故A计算错误，符合题意，

G6=4,B计算正确，不符合题意，

5三贬=耶=3,C计算正确，不符合题意，

（2行¥=4x2=8，D计算正确，不符合题意，

故选A.

【题目点拨】

本题考查二次根式的运算，熟知二次根式的运算法则是解题关键.

8、B

【解题分析】

结合轴对称图形的概念进行求解即可.

【题目详解】

解：根据轴对称图形的概念可知：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

9、A

【解题分析】

分别把x=l、2、0代入直线解析式，计算出对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断.

【题目详解】

解：A＞当x=l时，y=2,故选项正确；

B、当x=2时，y=5#l,故选项错误；

C、当x=0时，y=-l^l,故选项错误；

D、当x=l时，y=2#),故选项错误；

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，将点的横坐标代入解析式求出函

数值判断是否等于纵坐标是解决此题的关键.

10、C

【解题分析】

根据勾股定理可求点P(-4,3)到原点的距离.

【题目详解】

解：点P(-4,3)到原点的距离为：^(-4)2+32=5;

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

11、A

【解题分析】

通过折线统计图中得出甲、乙两个组的各个数据，进而求出甲、乙的平均数，甲、乙的方差，进而做比较得出答案.

【题目详解】

1

甲的平均数：(3+6+2+6+4+3)4-6=4,乙的平均数：(4+3+5+3+4+5)+6=4,S看7=—[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)

6

1

2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=2.33,9=-[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)

6

2]=0.1・

V2.33>0.1,二5看〉覆.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了折线统计图、平均数、方差的计算方法和各个统计量的所反映数据的特征，掌握平均数、方差的计算公式

是正确解答的前提.

12>A

【解题分析】

解：'.,AE//BD,：.ZCBD=ZE=35°.•.'B。平分

ZABC,：.ZCBA=1Q°.'：AB=AC,：.ZC=ZCBA=70°,：.ZBAC=180°-70°x2=40°.故选A.

点睛：考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理.关键是得到

ZC=ZCBA=70°.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、x>l

【解题分析】

解：依题意可得解得x>l,所以函数的自变量x的取值范围是无>1

14、l<m^2

【解题分析】

【分析】一次函数y=。-m）x+m-2图像不经过第一象限，则一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴或原点.

【题目详解】

•••图象不经过第一象限，即：一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴或原点，

l-m<0,m-2<0

・・・m的取值范围为：l<m/2

故答案为：

【题目点拨】本题考核知识点：一次函数的图象.解题关键点：理解一次函数的性质.

15、5.

【解题分析】

将一组数据按照从小到大的顺序进行排列，排在中间位置上的数叫作这组数据的中位数，若这组数据的个数为偶数个,

那么中间两位数的平均数就是这组数据的中位数，据此解答即可得到答案.

【题目详解】

解：将这组数据按从小到大的顺序排列是：1,4,4,6,7,10,位于最中是的两个数是4和6,因此中位数为（4+6）

4-2=5.

故答案为5.

【题目点拨】

本题考查了中位数的含义及计算方法.

16、1

【解题分析】

先根据平行四边形的性质求出BC的长，再根据勾股定理及三角形的面积公式解答即可.

【题目详解】

根据平行四边形的性质得AD=BC=8

在RtZ\ABC中，AB=10,AD=8,AC1BC

根据勾股定理得AC=7AB2-BC2=6,

贝！IS平行四边形ABCD=BC*AC=1,

故答案为：L

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的对边相等的性质和勾股定理，正确求出AC的长是解题的关键.

17、(4,8)

【解题分析】

2

由解析式求得B的坐标，加入求得C的坐标，OC=5,设D(x,--x+10),根据勾股定理得出x2+(lx-5)=25,

22

解得x=4,即可求得D的坐标.

【题目详解】

由直线y=-；x+10可知：B(0,10),

.*.OB=10,

是OB的中点，

AC(0,5),OC=5,

；D是线段AB上一点，

.,.设D(x,--x+10),

2

."D=卜+(5+*可=5

/.X2+QX-5^=25

解得X[=4,x2=0(舍去)

AD(4,8),

故答案为：(4,8)

【题目点拨】

此题考查一次函数与平面直角坐标系，勾股定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算

18、3.

【解题分析】

试题分析：由平行四边形ABCD的对角线相交于点O,OELBD,根据线段垂直平分线的性质，可得BE=DE,又由

平行四边形ABCD的周长为30,可得BC+CD的长，继而可得ACDE的周长等于BC+CD.

试题解析：四边形ABCD是平行四边形，

.*.OB=OD,AB=CD,AD=BC,

•••平行四边形ABCD的周长为30,

；.BC+CD=3,

VOE1BD,

:.BE=DE9

/.△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+BE=CD+BC=3.

考点：3.平行四边形的性质；3.线段垂直平分线的性质.

三、解答题(共78分)

19、(1)①详见解析；②45。-图③DF=BF+也CF，详见解析；(2)DF=BF+41CF或BF=DF+在CF，

或BF+DF=41CF

【解题分析】

(1)①由题意补全图形即可；

②由正方形的性质得出ND3E=L/A3C=45°,由三角形的外角性质得出N3防=+甲=45°+夕，由

2

直角三角形的性质得出ZEBF=90°-NBEF=45°即可；

③在DF上截取DM=BF,连接CM,证明△COMgZkCB歹，得出CM=CF,/DCM=NBCF,得出MF=0C/即可

得出结论；

(2)分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+&b，理由同⑴③；

②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+72CF»在BF_上截取BM=DF,连接CM.同(1)③得△CBM^^CDF

得出CM=CF,ZBCM=ZDCF,证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=J5c/，即可得出结论；

③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=72CF»在DF上截取DM=BF,连接CM,同⑴③得:ACDM丝Z\CBF

得出CM=CF,ZDCM=ZBCF,证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=J5c/，即可得出结论.

【题目详解】

解：(1)①如图，

②；四边形ABCD是正方形，

，NABC=90。，ZDBE=-ZABC=45°,

2

•••ZBEF=NDBE+ZBDF=450+c，

VBF±DE,

.,.ZBFE=90°,

:.ZEBF=90°-ZBEF=45°—。，

故答案为：45。-外

③线段CF,O尸之间的数量关系是DF=3尸+力叱.

证明如下：在。尸上截取OM=BF,连接CM.如图2所示，

V正方形48。，

:.BC=CD,NBDC=/DBC=45。,N5CZ)=90°

，ZCDM=ZCBF=45°-a,

：./\CDM^/\CBF(SAS).

DM=BF,CM=CF,ZDCM=ZBCF.

：.ZMCF=ZBCF+ZMCE

=ZDCM+ZMCE

=N3CZ)=90。，

•*-MF=42CF-

:.DF=DM+MF=BF+0CF.

(2)分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+行CP，理由同⑴③；

②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+J^CP，理由如下：

在BF上截取BM=DF,连接CM,如图3所示，

同(1)③，得：△CBM之△CDF(SAS),

/.CM=CF,ZBCM=ZDCF.

/.ZMCF=ZDCF+ZMCD=ZBCM+ZMCD=ZBCD=90。，

△CMF是等腰直角三角形，

.,.MF=V2CF>

/•BF=BM+MF=DF+叵CF;

③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=V2CF;理由如下：

在DF上截取DM=BF,连接CM,如图4所示，

同(1)③得：ACDM之△CBF,

/.CM=CF,ZDCM=ZBCF,

/.ZMCF=ZDCF+ZMCD=ZDCF+ZBCF=ZBCD=90°,

△CMF是等腰直角三角形，

.•.MF=0CF,

即DM+DF=72CF，

.-.BF+DF=V2CF；

综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF,CF,DF之间的数导关系为：DF=BF+，或BF=DF+®CF，

或3歹+=41CF-

【题目点拨】

此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解

题中分情况讨论避免漏解.

20、(1)见解析；(2)点在该函数图象的上方，理由见解析.

【解题分析】

(1)根据题意代入x=0和!，进行描点，并连接两点即可画出该函数的图象;；

(2)根据题意先求出x=；时的y的值，判断其与5的大小即可解决问题.

【题目详解】

解：(1)如图，列表描点如下

X0

~2

y12

函数图象如图2所示.

图2

(2)对于y=2x+l,当x=g时，y=2.

因为5>2,

所以点在该函数图象的上方.

【题目点拨】

本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握列表描点法和待定系数法解决问题.

21、(1)—^；(2)

a-2x

【解题分析】

(1)根据平方差公式和提公因式法，对分式进行化简即可

(2)利用完全平方公式和平方差公式,进行化简，再对括号里面的分式进行通分约分，再把除法转化为乘法，即可解

答

【题目详解】

(1)原式=+1=

a—2ci—2

-maa1+2aa

6Z-4a-2

一,x-yx2-xyx-y2(x+y)_2

(2)原式二-一±=--

x+yx+yx(x-y)x

【题目点拨】

此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键

22、(1)见解析；(2)四边形ADC5为正方形，见解析

【解题分析】

(1)先证明VAEF且VDE3得到AF=DB,于是可证AE=DC；

(2)先证明四边形ADb是平行四边形，再加一组邻边相等证明它是菱形，最后利用等腰三角形三线合一的性质证

明有一个直角，从而证明它是正方形.

【题目详解】

(1)证明：•••£是AD的中点

AE=DE，

AF//BC,

:.ZAFE=ZDBE,

又ZAEF=ZDEB,

:.AAEFmADEB,

:.AF=DB,

-AZ)是边上的中线，

DB=DC,

:.AF=DCx

(2)解：四边形40C5为正方形，理由如下：

由(1)得AF=DC,

又AF//BC,

二四边形ADCN为平行四边形，

在HrABC中，

AD是边上的中线，

r.AD-CD=—BC,

2

二四边形AZXE为菱形，

:AB=AC,是边上的中线,

:.AD±BC

:.ZADC=90°

二四边形A£>C5为正方形.

【题目点拨】

本题考查了正方形的判定，涉及的知识点有直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定、平行四边形及菱形、正

方形的判定，掌握相关性质定理进行推理论证是解题关键.

23、(1)CD；(2)/\BDF^/\DEF,理由见详解；(3)10°或40°.

【解题分析】

(1)如图2,根据NEO尸=N3及三角形外角性质可得尸。=NCDE,再根据NB=NC即可得到43歹。

解决问题.

BFDFBFDF

(2)如图2,由(2)得ABFOs^cDE,则有黑==，由。是的中点可得黑=芸.再根据尸

即可得到△5。尸SAOEV.

(3)由NB=NC=50°可得N3AC=80°,AB^AC,再由8O=CZ>可得AO_LBC.若△£)£；尸与△ABC相似，由

△BORSADE尸可得△30尸与△ABC相似，从而得到N3O尸=NBAC=80°,或N5O尸=NC=50°,即可解决问题.

【题目详解】

解：(1)如图2,

图2

'：AB=AC

:"B=NC,

VZFDC是48尸O的一个外角,

:.NFDC=ZB+ZBFD.

VNFDC=ZFDE+ZEDC,ZEDF^ZB,

:.NBFD=NCDE.

；N3=NG

：.ABFD^/\CDE；

.DFBF

*"ED"CD'

(2)如图2,结论：/\BDFs/\DEF.

A

E

B

D

图2

BFDF

理由：由⑴得而=而

YD是5C的中点,

：.BD=CD,

BFDF

BDED

又,：4B=4EDF,

：./\BDF^/\DEF.

VZB=ZC=50°,

：.ZBAC=80°,AB^AC.

"：BD=CD,

：.AD±BC.

若ADEF与AABC相似,

".'ABDF^ADEF,

ABDF与△ABC相似，

.•.N5OF=N3AC=80°,或N5O尸=NC=50°,

/.ZADF=90°-80°=10°,或NAZ>F=90°-50°=40°,

...当(2)中的旋转角为10°或40°时，ADEF与△A3C相似.

【题目点拨】

本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角

形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的判定条件，属于中考常考题型.

24、(1)2,4,97.5；(2)见解析.

【解题分析】

(1)根据七八年级的成绩数据即可填写表格；根据中位数的定义即可求解;

(2)根据平均数、中位数的定义与性质言之有理即可.

【题目详解】

解：依次为(1)2,4,

把八年级的成绩从小到大排序为

69979169