赣州市2024年高三年级摸底考试（一模）数学试卷（含标准答案）

赣州市2024年高三年级摸底考试

数学试卷2024年3月

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合力={x|x2-4x>0},B={x|y=log2（2-x）},则（qz）n3=

A.[0,2)B.(-00,2)C.[0,4]D.S，4]

史上=2+6i(a,b

2.已知i为虚数单位，GR),则|a+bi|=

1-i

A.1B.y[ZC.2D.4

3.在A48C中，AB=41,AC=2,C=120°,则sin4=

cV21.5近35/21

A.--B.---c.----D.

14141414

4.在棱长为1的正方体4BCQ-44CQi中，E为棱4。的中点，过用且平行于平面4BE

的平面截正方体所得截面面积为

A.——B.-C.y[6D.2.y/6

24

5.在平行四边形中，45=3,40=4,ABAD=-6,DC=3DM,则必•血=

A.16B.14C.12D.10

8

6.若一组样本数据玉，工2,…，W的方差为2,>（—1）乜=一2,yt=xz+（-iy（/=1,2,

…，8）,则样本数据％,y2,•••,外的方差为

A.1B.2C.2.5D.2.75

-e.3

7.已知a=---,b=—，c=In3,贝1]

e-1e

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

高三年级操底考试数学试卷第1页（共4页）

8.在边长为4的正方体力BCD-44GA中，点E是BC的中点,点尸是侧面力344内的

动点(含四条边)，且tan乙IPQ=4tanNEP6,则尸的枕迹长度为

7tc27t-4冗871

A.-B.—C.—D.—

9999

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S.，％=18,$3=26,则

A.a„n>0B.Sn>Q

C.数列｛|q,|｝为单调数列D.数列｛|Sj｝为单调数列

10.已知函数/(x)=sinx+；sin2x+；sin3x,则

A.2几是/(x)的一个周期B./(x)的图象关于原点对称

C./(x)的图象过点(凡0)D./(*)为R上的单调函数

11.曲线C是平面内与两个定点6(0,1),6(0,-1)的距离的积等于士的点P的轨迹，则

A.曲线。关于坐标轴对称B.△/?；2用周长的最小值为2+痣

C.尸到J轴距离的最大值为孝D.P到原点距离的最小值为辛

第II卷(非选择题共92分)

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.二入/无、

兀7.;

12.求值：sin—+sin—=________.夕i」

12__12-----------'

13.(V+y+1+,)7展开式中的常数项为________.

xy

14.已知尸是抛物线上异于顶点的点，E在尸处的切线/分别交X轴、y轴于点

S,T,过尸作/的垂线分别交x轴、＞轴于点〃，N,分别记△PMS与的面积

C2

为SE，则出的最小值为.

高三年级摸底考试数学试卷第2页(共4页)

四'解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.（13分）

如图，在四棱锥尸一43。。中，底面/6CD为直角梯形，乙4BC=4BCD=90°,PA1.

平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,〃为侧棱PC的中点.

（I）求点。到平面尸BC的距离；

（2）求二面角的正切值.

16.（15分）

某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项

专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.己知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试

252

通过的概率均为一，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为一，一，加，

363

其中0＜加＜1.技能测试是否通过相互独立.

2

（1）若m=§，求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；

（2）已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以

专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据.若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，

求加的取值范围.

高三年级摸底考试数学成卷第3页（共4页）

17.(15分)

已知椭圆C:三+乐=1(。＞分＞0)过点(1,平)，椭圆C的右焦点与点0(2,-2)所在直

线的斜率为-2.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若过。的直线/与椭圆C交于4,B两点，点P(3,0),直线尸4,分别交椭圆C于

兼M,N,直线.MTV的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

18.(17分)

已知函数/(x)=eZ-lnx.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)已知m＞0,若函数g(x)=/(x)—加QT)有唯一的零点兀，证明：

19.(17分)

设数列弓，…，a/N22).如果对小于〃(2的每个正整数上都有4

＞凡，则称〃是数列4的一个“。时刻”.记。(⑷是数列/的所有“。时刻”组成的集合，

D(A)的元素个数记为card(D,A).

(1)对数列4:-1,1,-2,2,-3,3,写出。(/)的所有元素；

⑵数列a2,…，/满足Si，出，…，=0，2,3,4,5,6},若cwdCD,/)=4,

求数列4的种数.

(3)证明：若数列力满足。“一见_[2-15=2,3,4,…,N),则card(O,力)Mq-%,•

高三年级摸底考试数学试卷第4页供4页)

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数学（理科）参考答案

12.—；13.630；14.1.

2

四、解答题（共77分）

15.解：（1）由R41平面NBC。，可得P三校饰.P幺

令点D到平面PBC的距离为d,则匕棱.=-S^-d分

_.fXP1DB!_■CC<~P/QBJC......................................................1

由嚏校他-尸=,三梭版-589可得三S&pBc，d=]S^CD，P”2分

则

d=S^CD.尸”3分

S△PBC

由/ABC=90°,BC=4,CD=3,可得：=6.....................................4分

由241平面Z3C£>,ZABC=90。,可得BCLPB,则葭户g=g0=8五……5分

则"=与=速，即点。到平面尸3C的距离为逆.............................6分

8V222

（2）设。为47的中点，过。作OH14D交力。于H,连结OM,HM.............................8分

:〃是尸。的中点，...QW〃尸4,...OMI平面力BCZ）......................................................9分

.•.0A/1Z。，...Z。！平面.•.4。1班，

二为二面角河一40-3的一个平面角.....................................10分

又SAAOD=；AD6H=：S3=；x^CD-BC=3,

6

且可得分

OHVnu

nI八ecOMV17..

贝!jtanZMHO=------=...........12分

OH3

1/5

即二面角A/—ZD—B的正切值为业............................................13分

3

说明：也可以利用向量法！

16.解：(1)记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件4

由题设尸(4)='义。；义衿+卜中(1)2=:

4分

(2)分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为

由题设知：J〜3(3,§)..............................................................................................................6分

所以/=3xg=2....................................................................................................................8分

77的所有可能取值为0,1,2,3......................................................................................................9分

1-m

P（T]=0）=—X—X（l-W7）=

6318

P（Z7=1）UX1X（1.W）+1X2X（1.W）+LXLXW=LZ^

63636318

PS=2）=3-X（I一〃7）+2/x〃,+LM〃7=g

63636318

n,5210m5m

r（77=3）=-x-xw=-----=——12分

63189

故〃的分布列为

0123

1一〃71-6m10-3w5m

p

181818~9~

l-wi7—6加八1O-3T?7C5ni2m+3

从而E〃=0x------+lx---------+2x----------+3x——=--------14分

18181892

2加+3小

'助〉祥,>2

由＜得—*

0<〃7<1,

0<Z72<1,

解得—<m<\15分

2

17.解：(D由题意可设椭圆的半焦距为c,且椭圆。的右焦点为(c,0)1分

141

-—7—]9

a3b

由题意得：＜a2=b2+c2,3分

-2-0-

--------=-2

2-c

2/5

・••当X£(0』)时，，(X)vO,/(X)单调递减；

当X£(l,+oo)时，r(x)>0,/G)单调递增.......................................5分

・・・/(x)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8)..........................................................................6分

(2)Vg(x)==ex-1-\nx-mx+m{ni>0)

/.g'(x)=ex-1------m(x>0,m>0)....................................................................................7分

由⑴可知g”)在(0,+oo)单调递增，且g\l)=-w<0,

又g，(l+〃7)=e"-1-----m>ew-(777+l)>0....................................................................8分

,存在唯一的/G(l,l+加)Q(1,+8)使得g'«)=0.............................................................9分

・••当xw(O,Z)时g'(z)V。，g(x)单调递减；当XG(Z,+8)时g(x)单调递增；

g(x)min=g(/)=e"T-InZ-〃7/+〃7.................................................................................10分

若方程8(%)二«1-出丫一〃犹+〃2=0有唯一的实数维)，则%=t>l..............................11分

g7/)=eM---m=0,

JV7t........................................................................................12分

g(/)=e'T-In/-mt+ni=0

消去a可得(2—/)e'T—ln/+l—；=0(Z>1)......................................................................13分

令〃(/)=(2—f)e"—In'+]_1(/>]),

则〃'(，)=0—，)e'T-；+*=(1—/)(e'T+<。.................................14分

二〃⑴在/€。,收)上为减函数..................................................15分

且〃⑴=1>0,〃(2)=；-ln2<0.....................................................................................16分

••・当〃(/)=0时/c(l,2),即1</<2................................................................................17分

19.解：(1)由题设知当〃=3时，ax>a3,a2>a3,故〃=3是数列Z的一个“。时刻”……2分

同理当〃=5时，都有q>=1,2,3,4).即"=5也是数列A的一个“D时刻”.....3分

综上，。(4)={3,5}..................................................................................................................4分

(2)由约70(。,4)=4,易知q=5或q=6................................................................................5分

①当q=5时，4,3,21必须从左往右排列，6可以是a,。=2,3,4,5,6)中任一个，共有5种情

况................................................................................6分

4/5

解得C=l,。2=3,及=24分

x2v2

所以。的方程为：—+2-=1........................................................................................5分

32

⑵设/的方程为x=〃7(_y+2)+2,设4(巧,歹]),B(^x2,y2),A/(X3,J?3),A^(x4,^4),

则直线以的方程为》=五二^y+3...............................................................................6分

乂

x,-3

x=-1----y+3,

由I必可得[2(毛-3)2+3M2口2+12(/-3)72+12必2=0....................7分

二+J1,

[32

22

结合工+纥=1,可得(2_毛)_/+(玉_3)%)+%2=0..............................................8分

可得必•必=£■'解得％..............................................9分

代入x=五二2y+2,解得七=±^・二一+3=-^+2......................................10分

yX2—药药一2

同理可得居

=3^,x4=-------11分

2—x2x2-2

乃弘

故”上占二2：................................................................................12分

〜-5_2_____L_

x2一2玉—2

=%(2一再)一必(2—Z).............................................................................................13分

以2-(niy+2m+2)]-九2-(〃/+2m+2)]

二...........}...................................................................147T

加仍一切)

=2用(M一8)=2,故直线北火的斜率是定值，且定值为2.........................................15分

加5一%)

18.解：(l)；/(x)=e、T_lnx,Af'(x)=ex-1--........................................................1分

X

,,x1

：./(x)=e-+-ir>0.................................................................................................2分

X

.•.当x>0时，为增函数............................................3分

X

又:/XI)=0.................................................................................................................4分

②当q=6时，若。(4)中的四个元素是由集合幺中的元素4,3,2,1或5,3,2,1或5,4,2,1或

5,4,3」引起的....................................................................7分

。若由4,3,2」引起，即4,3,2,1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4种；

❷若由5,3,2」引起，即5,3,2」从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种........8分

❸若由5,4,2」引起，即5,4,2,1从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；

❹若由5,4,3」