2024年高考数学 排列组合与二项式定理（解析版）

排列组合与二项式定理

目录一览

2023董题展现

考向一排列组合

真题考查解读

近年真题对比

考向一排列组合

考向二二项式定理

命题规律

名校模拟探源

易错易混速记/二级结论速记

：2023年真题展现

rr5

考向一排列组合

1.（2023•新高考n•第3题）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法

作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200

名学生，则不同的抽样结果共有（）

A.C400,。品种B.C400,种

C.C400,。为种D-C400,第种

【答案】D

解：：初中部和高中部分别有400和200名学生，

，人数比例为400：200=2：1,

则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，

则有C温,c纵种.

2.（2023•新高考I•第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中

选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一种（用数字作答）.

【答案】64

解:若选2门,则只能各选1门,有以以=16种，

如选3门，则分体育类选修课选2,艺术类选修课选1,或体育类选修课选1,艺术类选修课选2,

则有以鬣+Clcl=24+24=48,

综上共有16+48=64种不同的方案.

.真题考查解读

力——

【命题意图】

考查二项式定理、排列组合。考查二项式定理公式和应用排列组合计算

【考查要点】

二项展开基本定理，还会涉及到三项展开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到

赋值法的应用，排列组合常以现实生活、社会热点为载体.多为小题.

【得分要点】

1.排列组合问题的一些解题技巧

(1)特殊元素优先安排.

(2)合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

(5)不相邻问题插空处理.

(6)定序问题除法处理.

(7)分排问题直排处理.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

(9)构造模型.

(10)正难则反、等价转化.

2.排列、组合问题几大解题方法：

(1)直接法.

(2)排除法.

(3)捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它

们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”.

(4)插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决

“元素不相邻问题”.

(5)占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位

置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的

解题原则.

(6)调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.

(7)平均法：若把版个不同元素平均分成左组，每组〃个，共有笫解常…7

(8)隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

(9)定位问题：从〃个不同元素中每次取出左个不同元素作排列规定某:•个元素都包含在内，并且都

排在某r个指定位置则有勺鹰二.

（10）指定元素排列组合问题：

①从〃个不同元素中每次取出左个不同的元素作排列（或组合），规定某7•个元素都包含在内.先C

后A策略，排列&第二A4；组合a鬣二.

②从〃个不同元素中每次取出发个不同元素作排列（或组合），规定某7•个元素都不包含在内.先C

后A策略，排列第一闻；组合第

③从〃个不同元素中每次取出左个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某厂

个元素中的s个元素.先C后A策略，排列C；C仁/猊组合

3.二项式定理

（a+b）"=C%"+C』a"TbHHC姑"（〃GN*）,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右

边的多项式叫做（a+b）"的二项展开式，其中的系数C"&=0,1,2,…，"）叫做第r+1项的二项式系数.式

中的C%"-。,叫做二项式展开式的第r+1项（通项），用「+1表示，即展开式的第r+1项；T,+i=C%"一%、

[[I近年真题对比

考向一排列组合

3.（2022•新高考H）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相

邻，则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有A：・A：=48种情况，

132

甲站在两端的情况有c3AA=24种情况，

232

...甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，

故选：B.

考向二二项式定理

4.（2022•新高考I）（1-X）（x+y）8的展开式中的系数为（用数字作答）.

X

【解答】解：G+y）8的通项公式为7kl=最兴-y,

35

当r=6时，,=（：舐2丫6,^r=50^,T6=c|xy;

（1-工）（x+y）8的展开式中/了6的系数为--—^—=28-56=-28-

x686!*2!5!*3!

故答案为：-28.

命题规律

二项展开基本定理考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。排列组合

常以现实生活为载体.多为小题.

1名校模拟探源］

一.计数原理的应用（共4小题）

1.（多选）（2023•罗定市校级模拟）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许

有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）

A.ClcQclB.C2/3

321343

C.Cd"D.18

342

【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子

中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个,

有2种解法:

（1）分2步进行分析:

①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；

②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有/33种放法;

则没有空盒的放法有弓49种;

（2）分2步进行分析：

①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C1C2

34

种情况

②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法;

则没有空盒的放法有。1。2422种;

34

故选：BC.

2.（2023•汕头二模）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0〜255.在电脑上绘

画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（

A.2563B.27C.2553D.6

【解答】解：分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法,

根据分步乘法计数原理得，共可配成256X256X256=2563种颜色.

故选：A.

3.（2023•盐都区校级三模）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同

的排法共有一种.

【解答】解：最左端排甲，共有455=120种，最左端排乙，最右端不能排甲，有C//44=96种,

根据加法原理可得，共有120+96=216种.

故答案为：216.

4.（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每

日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各

不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

【解答】解：依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为女，Y,X,Z,则每个字母出现2次或4次，分类计算

分堆可能：

（1）/7,H-,Y,Y；X,X；Z,Z,

若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是SZ,故1种可能;

若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（H/）正※）（X）（X），故有C^C；=12种可能；

小计：1+12+12=25；

（2）诸如“〃，H,H,H；Y,Y；X,X；Z,Z”类型，

若是“10=4+3+1+1+1”，则四个“无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放，，故0种可能；

若是“10=4+2+2+1+1”,则“1+1”中有一个是

H,“4+2+2”中各一个H,“2+2”巾除了一个H外，另一个互异，故袱=3种可能；

若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个区“3+3+2”中各一个H可以考虑含※模式，（口※

X）（“※※）（77※）（X）（"）,故有C§A^=6种可能；

若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+C弃C期；=10种可能;

YXZ//※//※//※H

//※//※//※X

//※※

//※“※※※H

若是“10=2+2+2+2+2”，则四个X至少有两个出现搭配相同，故0种可能；

小计：Cjx（0+3+6+10+0）=76；

（3）诸如“H,H,H,H；Y,Y,Y,匕X,X-,Z,Z”类型，

若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；

若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（"EXZ）（HYZ）（HYX）（HYX）（Z）

（X）可能；

若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（//XAZ）（H丫※）（:※※）（:※X）（:※）或（/TXXZ）（宓※）

（※※）（※※）（X）,有以己=4种可能；

若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（Z/XAZ）（〃丫※）（:※※）（:※※）（:※）或（"DZ）（应※）

（:※※）（:※※）（:※），

若是“12-3+3+3+2+1”，则有（HEY）（HYZ）（ZA77）（HY）（丫）或CHYZ）（ZAT）

（HY1（H）都成立，有2种可能;

若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYZ）（HY）（口※）㈠※），有2

种可能.

小计。X9=54；

诸如“〃，H,H,H-,Y,Y,Y,y；X,X,X,X；Z,Z”类型

若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；

若是“14=4+3+3+3+1”,则“4+3+3+3”中至少有3个Z,故0种可能；

若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z,考虑（切XZ）（HYX）&※※）（;※※）（X

X）,其中Z※※有c：=3种可能，故此小类有3种可能；

若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z,故0种可能；

小计3C：=12：

（5）aH,H,H,H；Y,Y,Y,Y；X,X,X,X；Z,Z,Z,Z”

只有"16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；

综上：共有个分堆可能，故不同的方案数为168Ag=168X120=2016册・

25+76+54+12+1=168U

故选：A.

二.排列及排列数公式（共3小题）

5.（2023•荔湾区校级模拟）设a€N+,且a<27,则（27-a）（28-a）（29-a）…（34-a）等于（）

B.i.27-a

A34-a

【解答】解：a£N+,且a<27,（27-a）（28-a）（29-a）…（34-a）

故选：D.

6.（2023•安化县校级模拟）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若

7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

（）

A.504种B.960种C.1008种D.1108种

【解答】解：分两类：

第一类甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2XA狎，然后排丁，有A；种，剩下其他

四个人全排列有种，因此共有2X/22/4/44=384种方法

第二类：甲乙相邻排中间，

若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4XA：种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有A：

种,

若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4XA失中，然后排丙，丙不再1号和7号，有A；

种,接着排丁,丁不排在10月7日，有舄种，剩下3个人全排列，有A涉，

2423

因此共有（4A2A4+4A2A3%%）=624种方法，

故共有1008种不同的排法

故选：C.

7.（2023•洪山区校级模拟）已知加，n,2均为正整数，则湖足加!+加=夕的一组解为（加，n,p）

【解答】解：当加25时，加!的尾数为0,而夕尾数为5,；・加，

然后取加，n,p---检验可得，（冽，n,p）=（1,4,2）或（4,1,2）.

故答案为：（1,4,2）或（4,1,2）（写一个即可）.

三.组合及组合数公式（共4小题）

2320222023

8.(2023•沙河口区校级一模)-2Cnn9o+2Cnn9o-2Cnnoq+--+2Cnjno-2Cnjno

乙U乙J乙U£»。乙U乙-J4U匕。匕U4。C»Uo。

是

【解答】解：由已知可得,,0_r)r14.02r.2_03r3.,02022r2022_O2023r2023

■2023—“2023+4^2023v2023v2023-zv2023

C2023XI2023X(-2)°+C2023X产Nx(-2)1XI1X(-2)2022+C2J93X1°X(-2)2023

(1-2)202』-1

故答案为：-1.

O

C5

66

9.（2023•绍兴二模）

【解答】解:

6」_1

(]3)6-

"264

故答案为：J_.

64

10.（2023•辽宁模拟）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1,

2,3,,,,,"+1的"+1个球的口袋中取出加个球（0</nW〃，m,〃eN）,共有「也，种取法.在「也.种

取法中，不取1号球有C：种取法；取1号球有C『种取法.所以C：+C，1=CM.试运用此方法，写

出如下等式的结果:Y+C泻_]+C%cL+…+0C2"—%一

【解答】解：从编号为1,2,3,…，〃+3个球中，取出6个球，记所选取的六个小球的编号分别为四,

〃2，…，〃6，且<…<%，

当的=3时，分三步完成本次选取：

第一步，从编号为1,2的球中选取2个；第二步，选取编号为3的球；第三步，从剩下的"个球中任选

3个，故选取的方法数为eg卜c：=cj

当的=4时，分三步完成本次选取：

第一步，从编号为1,2,3的球中选取2个；第二步，选取编号为4的球；第三步，从剩下的个球

中任选3个，故选取的方法数为1=C；（3；

当的=〃时，分三步完成本次选取：

第一步，从编号为1,2,3,1的球中选取2个；第二步，选取编号为〃的球；第三步，从剩下

的3个球中选3个，故选取的方法数为,C卜C?=C

至此，完成了从编号为1,2,3,〃+3个球中，选取6个球，第3个球的编号确定时的全部情况，

另外，从编号为1,2,3,…，〃+3个球中，取出6个球，有c6c种取法，

n+3

所以C3c2弋3+「2（3+…+©23c2Q6.

%十七4-1+匕Ln-2^n-2L4+^n-l^m-3

故答案为：,6

n+3

11.（2023•常德二模）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各

1台，则不同的取法共有一种.

【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C42c51=30种；

甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有。4匕52=40种；

共有30+40=70种.

故答案为：70

四.排列、组合及简单计数问题（共31小题）

12.（2023•贺兰县校级四模）从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求

入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）

A.20B.25C.30D.55

【解答】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有C73=35种选法，

若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有。53=10种，

则有35-10=25种不同的选取方案，

故选：B.

13.（2023•让胡路区校级模拟）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前

两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

A.36种B.42种C.48种D.54种

【解答】解：根据题意，分3步进行分析:

①节目甲必须排在前两位，则节目甲有2种排法，

②节目乙必须排在最后一位，节目乙有1种排法，

③剩下的4个节目安排到其他4个位置，有温=24种排法，

则有2X1X24=48种编排方案；

故选：C.

14.（2023•商丘三模）某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1

人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（）种.

A.16B.20C.96D.120

【解答】解：当只有1为语文教师入选时，则有C；C：AW=2X6X6=72种安排方法，

当2为语文教师均入选时，则有j=lX4X6=24种安排方法，

故共有72+24=96种安排方法.

故选：C.

15.（2023•沙坪坝区校级模拟）N,B,C,D,£共5人排成一列，要求/与8不相邻，且。排在N后面,

则共有（）种排法.

A.36B.54C.72D.96

【解答】解利用间接法，仅考虑C排在/后面的情况，采用先排NC,然后8OE插空，共有3X4X5=

60种，

其中N8相邻的有A：X3X4=24种（将48捆绑，有A狎，然后排好后插空），

故C排在/后面且48不相邻的有60-24=36种.

故选：A.

16.（2023•南通三模）某人将斐波那契数列的前6项“1,1,2,3,5,8”进行排列设置数字密码，其中

两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（）

A.120种B.240种C.360种D.480种

【解答】解：将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有代职120种・

故选：A.

17.（2023•雁峰区校级模拟）如图，一圆形信号灯分成4,B,C,。四块灯带区域，现有3种不同的颜色

供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数

A.18B.24C.30D.42

【解答】解：若3种不同的颜色灯带都使用，

故有两块区域涂色相同，要么C,要么B,。相同，有2种方案，

则不同的信号数为2Ag=12；

若只用2种不同的颜色灯带，则4C颜色相同，B,。颜色相同，只有1种方案，

则不同的信号数为C：A：=6；

则不同的信号总数为12+6=18.

故选：A.

18.（2023•屯昌县二模）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其

中讲座/只能安排在第一或最后一场，讲座2和C必须相邻，问不同的安排方法共有（）

A.34种B.56种C.96种D.144种

【解答】解：•••由题意知讲座/只能安排在第一或最后一场，

♦,.有A；=2种结果，

•..讲座8和C必须相邻，

•••共有A：A：=48种结果，

根据分步计数原理知共有2X48=96种结果.

故选：C.

19.（2023•连云港模拟）现要从N,B,C,D,£这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上,

如果/不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）

A.56种B.64种C.72种D.96种

【解答】解：根据/是否入选进行分类：

若/入选，

则先给/从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有吗=3种，再给剩下三个岗位安排人有A：=4X3X2=24

种，共有3X24=72种方法；

若/不入选，

则4个人4个岗位全排有A：=4X3X2X1=24种方法，

所以共有72+24=96种不同的安排方法.

故选：D.

20.（2023•贺兰县校级模拟）某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠

送给4为学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（）

A.15种B.20种C.48种D.60种

【解答】解：根据题意，按取出4本书的情况不同分4种情况讨论:

①、若取出的4本书全部是数学参考书，将其赠送给4位学生，有1种情况，

②、若取出的4本书有1本语文参考书，3本数学参考书，需要在4个学生中选取1人，接受语文参考

书，剩下的3人接受数学参考书，

有C/=4种赠送方法，

③、若取出的4本书有2本语文参考书，2本数学参考书，需要在4个学生中选取2人，接受语文参考

书，剩下的2人接受数学参考书，

有042=6种赠送方法，

④、若取出的4本书有3本语文参考书，1本数学参考书，需要在4个学生中选取3人，接受语文参考

书，剩下的1人接受数学参考书，

3

有C4=4种赠送方法，

则一共有1+4+6+4=15种赠送方法，

故选：A.

21.（2023•贵州模拟）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率n的值的范围：3.1415926<it<3.1415927,

为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为

帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数

部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（）

A.240B.360C.600D.720

【解答】解：小于3.14的不同数字的个数有两类：

第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有媪=120种；

第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有/^=120种-

根据分类加法计数原理可知，共120+120=240种.

故选：A.

22.（2023•日喀则市模拟）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出

3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且

国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（）

A.150B.90C.48D.36

【解答】解：根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：

选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有或C弘§=90种不同的提问方式；

3J3

②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有C2C!AW=6O种不同的

提问方式.

综上，共有60+90=150种不同的提问方式.

故选：A.

23.（2023•平定县校级模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假

设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验

舱的种数有（）

A.60B.66C.72D.80

【解答】解：5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有c；C；C：=90种安排方法，

若甲乙在同一实验舱的种数有=种，

故甲乙不在同一实验舱的种数有90-18=72种.

故选：C.

24.（2023•江西模拟）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天

实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分

的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国

空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开

展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）

A.450种B.72种C.90种D.360种

【解答】解：由题知，6名航天员安排三舱，

三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种，分人数为1-2-3的三组,共有\Ag=360种;

0uJ3

CfiC?CnQ

第二种，分人数为2-2-2的三组，共有6，2/上9册;

所以不同的安排方法共有360+90=450种.

故选：A.

25.（2023•河北模拟）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京石开.会议期间，5男3

女共8位代表相约在人民大会堂前站成一排合影，若女代表中恰有2人相邻，且男代表甲不站在两端，

则不同的站位方法共有（）

A.7920种B.9360种C.15840种D.18720种

【解答】解：8人站成一排，女代表中恰有2人相邻的站位方法有NI=《A）"会21600种，

其中男代表甲站在两端的方法有电=以（：负负'2760种，

故所求的站位方法共有21600-5760=15840种.

故选：C.

26.（2023•香坊区校级三模）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文

底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承

系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，则甲、乙、

丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（）

A.135种B.720种C.1080种D.1800种

【解答】解：恰有2名学生选课相同，

第一步，先将选课相同的2名学生选出，有cj=6种可能；

第二步，从6个项目中选出3个排好，有A,=120种排法，

根据分步计数原理可得，方法有6X120=720种；

4名学生所选的课全不相同的方法有A，=360种.

根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有

720+360=1080种.

故选：C.

27.（2023•武威模拟）将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组

方法种数为一.

【解答】解：先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.

C3c3c2

满足条件的分组方法种数为8旌2=56、10=280.

A：2

故答案为：280.

28.（2023•武昌区校级模拟）已知有L,M,S三种尺寸的检测样品盒，其中每个乙盒至多放置10支完全

相同的样品，且工盒至少比M盒多2支样品，〃盒至少比S盒多2只样品，则不同的放置方法共有—

一种.（注：L,M,S不可为空盒）

【解答】解：由题意得，当£盒放10支样品，且M盒放8支样品时，S盒可放6、5、4、3、2、1支样

品，共有6种不同的放置方法；

当工盒放10支样品，且M盒放7支样品时，S盒可放置5、4、3、2、1支样品，共有5种不同的放置

方法；

……当工盒放10支样品，且“盒放3支样品时，S盒可放1支样品，只有1种放置方法，

所以工盒放置10支样品，共有放置方法：6+5+4+3+2+1=21种，

同理，Z盒放9支样品，共有放置方法：5+4+3+2+1=15种，

£盒放8支样品，共有放置方法：4+3+2+1=10种，

£盒放7支样品，共有放置方法：3+2+1=6种，

工盒放6支样品，共有放置方法：2+1=3种，

工盒放5支样品，共有放置方法：1种，

所以不同的放置方法总数为21+15+10+6+3+1=56种.

故答案为：56.

29.（2023•沙坪坝区校级模拟）某班级计划安排学号为1〜9的九名同学中的某5位，分别担任周一至周

五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有一

—种.（用数字作答）

【解答】解：第一类：当学号为偶数的同学有3位时，有AW=24X20=480；

第二类：当学号为偶数的同学有4位时，有对=24X10=240；

所以不同的安排方法有480+240=720种.

故答案为：720.

30.（2023•泰安二模）用数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位

数，这样的四位数一共有一个.（用数字作答）

【解答】解：根据题意，分成两类情况：

①四位数中没有偶数，即在1,3,5,7中任选4个，共有A：=24种，

②四位数中只有一个偶数，即在1,3,5,7中任选3个，在2,4,6种选一个，共有C：C；A：=288种，

故共有24+288=312.

故答案为：312.

31.（2023•鼓楼区校级模拟）某市文明办积极创建全国文明典范城市，号召志愿者深入开展交通督导、旅

游宣传、洁净家园、秩序维护4项志愿服务.现有6组志愿者服务队，若每组参与一项志愿服务，每项

志愿服务至少有1组参与，其中甲组志愿服务队不参与旅游宣传志愿服务，则不同的参与方式共有—

一种.

【解答】解：以参与旅游宣传的组数分类，有3种情况：

①1组：从甲组之外的5中任选一组参与旅游宣传，其余5组参与其余3项服务，

,C5C3Q

共有（-A^+吟9•A?=750种；

5白/03

A2

②2组：从甲组之外的5组中任选2组参与旅游游宣传，其余4组参与另外3项服务，

共有：嵋C涧=360种；

③3组：从甲组之外的5组中选3组参与游宣传，其余3组参与其包3项服务，

共有CrAq=60种;

共计：750+360+66=1170种.

故答案为：1170.

32.（2023•香洲区校级模拟）“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人

文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的

校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则

甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（）

A.360种B.480种C.720种D.1080种

【解答】解：①恰有2名学生选课相同，

第一步，先将选课相同的2名学生选出，有c/=6种可能；

第二步，从5个项目中选出3个排序，有A2=60,

根据分步计数原理可得，方法有6X60=360种；

②4名学生所选的课全不相同的方法有=120种，

□

根据分类加法计数原理可得，

甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有360+120=480种.

故选：B.

33.（2023•秦淮区一模）某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要,

学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原

来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（）

A.135种B.360种C.90种D.270种

【解答】解：根据题意，6个数学兴趣小组有一位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小

组有或=15种情况，

其余的4个小组的指导老师由原来的小组均相应地调整到其他数学兴趣小组，

假设4个小组为1、2、3、4,对应的4位指导老师依次为/、B、C、D,

/不能在第1小组，有3种情况，假设工分到第2小组，则8有3种情况，剩下的两人有1种情况，

则其余的4个小组有3X3=9种调整方案，

故有15X9=135种调整方案，

故选：A.

34.（2023•山西模拟）如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为/,B,C,。的4

个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求8不在同一行也不在同一列，C,。也是此要求.那么

不同的盖法总数为（）

1234

5678

A.224B.336C.448D.576

【解答】解：第一步：先盖/,B,有8X3=24种方法；

第二步：再盖C,D.

①若C与4或3在同一列，则有2种盖法，。就有3种盖法，共2X3=6种方法；

②若C与N或8不在同一列，则有4种盖法，。就有2种盖法，共4X2=8种方法.

综上所述，满足要求的有24X（6+8）=336种方法.

故选：B.

35.（2023•抚松县校级模拟）琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文

化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节.若“琴”

“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共

种.（用数字作答）

【解答】解：首先从诗、酒、花、茶中选“两雅”有C：种选法，

“琴”“棋”相邻用捆绑法看做一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”全排列，有人为狎排法，

再将“书”与“画”插入到刚刚所形成的4个空中的2个空，有种插法，

按照分步乘法计数原理可得一共有c7弘|A4864种排法.

故答案为：864.

36.（2023•蕉城区校级模拟）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多.某猫舍只有5个不同的猫笼，金渐层猫

3只（猫妈妈和2只小猫篇）、银渐层猫4只、布偶猫1只.该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫

笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（）

A.8种B.30种C.360种D.1440种

【解答】解：根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1个整体，

C2c2

4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有二丫=3（种），

4

一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼，

则一共可以安排的方法有：A（X3=360（种）.

故选：C.

37.（2023•唐县校级二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物

六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人

中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有（）

A.56种B.64种C.72种D.86种

【解答】解：若乙担任数学课代表，则不同的安排方式共有C；.A：=48种，

若丙担任数学课代表，则甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，不同的安排方

式共有C；卜A；=24种,

所以不同的安排方式共有4