广东省江门市2024届高考模拟考试 数学试题（一模）

江门市2024年高考模拟考试

数学

本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的

位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

5.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N（175,52）.现随机选择一

名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（）参考数据:

P（//-cr<x<〃+。卜0.6827

A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.15865

2.在-ABC中，B=3Q力=2,0=2近，则角A的大小为（）

A.45B.135或45C.15D.105或15

3.已知｛g｝是等比数列，〃3。5=8〃4，且。2，〃6是方程f—34%+m=0两根，贝！J加二（）

A.8B.-8C.64D.-64

a的终边上有一点尸］一肃,则3生4=「

4.已知角）

4433

A.—B.-C.--D.-

5555

22

5.设月，尸2为双曲线C：^-方=1（。>0,6>0）的左、右焦点，点A为双曲线的左顶

点，以耳鸟为直径的圆交双曲线C的渐近线于"，N两点,且点N分别在第一、

2

三象限，若=则双曲线的离心率为（）

A.半B.V21C.誓D.后

6.已知（l+«x）+（l+x）+--+（1+1）=4+q（2+兄）+%（2+兀）++6］（2+x）,则

aQ+a2+a^+-+%（）的值是（）

A.680B.-680C.1360D.-1360

7.已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm）,方差为26,若增加一名身高172（单

位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为（）

A.32.4B.32.8C.31.4D.31.8

8.物理学家本・福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以〃开头的数出现的概

率为片5）=log,巴巳.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错

n

误.若£%（“）=普/优―*）,则左的值为（）

v7

l+log25

A.7B.8C.9D.10

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.z-z=\z^,zwC

B.i2024=-l

C.若|z|=l,zeC,则|z-2|的最小值为1

D.若一l+3i是关于尤的方程/+*+4=05,4©1＜）的根，贝!|p=8

10.己知函数/（x）=sin120x+51+sin（20x-[]+26cos,ox-百（0＞0）,则下列结论

正确的是（）

A.若/（尤）相邻两条对称轴的距离为叁，则。=2

B.当0=1,xe0.|时，的值域为卜6,2]

C.当。=1时，/（尤）的图象向左平移9个单位长度得到函数解析式为＞=2cosI2xH—

6I6

71

D.若〃尤）在区间0,-上有且仅有两个零点，则5W。＜8

11.已知曲线E:组+W=1,则下列结论正确的是（）

48

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为[-2,2]

C.曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第二象限

D.〃（五,九）是曲线E上任意一点，贝"、反加+力|的取值范围为（0,4]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量。=（1,0），6=（1]），若°+"与b垂直，则2=.

13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得

到的（如图），则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该

几何体的表面积是cm2.

14.函数的定义域为R,对任意的尤，九恒有

/（x+y）=-+成立请写出满足上述条件的函数的一个

解析式________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.如图，四边形ABCZ）是圆柱底面的内接矩形，是圆柱的母线.

⑴证明：在侧棱上存在点E,使PB〃平面AEC；

⑵在（1）的条件下，设二面角D—AE-C为60。，AP=1,代，求三棱锥E—ACD

的体积.

16.在数字通信中，信号是由数字。和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素

的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到I的概率

为&（0<g</）,收到0的概率为1-《：发送1时，收到0的概率为收到

1.的概率为1-正假设发送信号。和1是等可能的.

(1)己知接收的信号为1,且a=(M,£=0.05,求发送的信号是0的概率；

(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次

传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，

收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依

次收到1,0,1,则译码为1).已知发送1,若采用三次传输方案译码为1的概率大于采

用单次传输方案译码为1的概率，求£的取值范围.

17.己知椭圆E：=+4=l(a>b>0)的离心率是由，过点M(2,O)的动直线/与椭圆相

ab3

交于A,8两点，当直线/与x轴垂直时，直线/被椭圆E截得的线段长为速.

3

⑴求椭圆E的方程；

\NAMA—

(2)是否存在与点"不同的定点N,使得局=诉■恒成立?若存在，求出点N的坐标；

若不存在，请说明理由.

18.已知关于x的方程e[x|=〃z(wieR)有三个根，分别为4，%3>且玉〈尤?〈尤

(1)求小的取值范围；

⑵设/=一%,证明：Q随着f的增大而减小.

19.将2024表示成5个正整数A，x2,演，无4，天之和，得到方程

国+%+毛+匕+%=2。24①，称五元有序数组(可,尤2，玉,羽天)为方程①的解，对于上述

的五元有序数组(4孙£,%%)，当时，若11^(%-毛)=/«€：\),则称

(士,孙事,尤4,七)是，-密集的一组解.

(1)方程①是否存在一组解(占,马,毛,4，%)，使得/「X,(=1,2,3,4)等于同一常数?若存

在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；

(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的？

5

(3)记5=£可2,问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明

Z=1

理由.

1.D

【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.

【详解】由题意，〃=175,b=5,

且P(〃-+卜0.6827,

所以P(X4170)=P(XQ10,27=015865

故选：D

2.D

【分析】

利用正弦定理求得角C,根据三角形内角和，即可求得答案.

【详解】由题意知,ABC中，B=30,b=2,c=2夜,

,,bc日口.-csinB2A/2Xsin30A/2

故才荷R|JsinCz--------------------------------,

b22

由于c>b,故C>8=30,则C=45或135,

故A的大小为180-30-45=105或180-30-135=15,

故选：D

3.C

【分析】

根据等比数列下标和性质计算可得.

【详解】在｛%｝是等比数列，a3a5=aj,a2a6=a1,又％%=8%,所以的=8,

又出，“6是方程Y-34x+〃?=0两根,

所以优=a2a6=aj=64.

故选：C

4.A

【分析】

根据三角函数的定义可求得sina的值，再利用诱导公式，即可求得答案.

【详解】由题意知角a的终边上有一点尸则|OP|=二1，

4[71,4

故sina=一,贝|cos—+a=-sma=——

5125

故选：A

5.C

【分析】

根据已知条件得出渐近线与圆的方程，确定直线与圆的交点，根据交点坐标结合

/MAN=—兀，由此可知=根据tan^=,确定6二2ya，再根据双曲

36633

a

b

丫—_Y

以耳耳为直径的圆的方程为Y+V=c2,直线与圆方程联立有：厂一“

x1+y2=c2

解得尤2=/,x=±a,所以y=±b,所以N（-a,-b）,

TT

所以Ml垂直于x轴，设B为双曲线右顶点，MB垂直于x轴，所以NNAO=5,

又因为/M4N=2TC,所以NMAO=工，所以tan巴=2=3,b=^a,

3662a33

KUI、I22/22Y72KUI,I7口口CJ21

以c~=a~+6=a-+----------ci——a~,以一,=—,即e=—=------.

33a13a3

故选：C

6.B

【分析】利用赋值法，分别令尸-1和龙=-3,将得到的两式相加，结合等比数列的求和,

即可求得答案.

【详解】令x=—1,则0=/+%+%++〃11，即%+%+〃2++%1=。

f

令x=_3,贝！J(一2)+(—2)++(—2)=a。—%+%一/+~

即g_/+/_/+--«!!=(­2)=-1360,

1一(一2)

1360…

两式相力口可得%+%+〃4++%=---厂--68°

故选：B

7.A

【分析】

根据给定条件，利用平均数、方差的计算公式计算得解.

i=9i=9

【详解】令9名女生的身高为尔i€N*,iW9),依题意，W>,=9X162,£(4-162)2=9x26,

Z=11=1

1i=91

因此增加一名女生后身高的平均值为高(£6+172)=高(9x162+172)=163,

IUz=i

1i=91i=9

所以这10名女生身高的方差为G[W>T63)2+(172-163)2]=高{£[(%-162)-If+81}

1Ui=i1Uj=i

ii=9i

=—{Z[(4一162)2—2(0一162)+9]+81}=—(9x26+9+81)=32.4.

10z=i10

故选：A

8.C

【分析】

结合条件及对数的运算法则计算即可.

80jL।1+9Q1Q1

【详解】下。(")=4。⑻+片。(％+1)++^o(8O)=lg—+1§1^++lg-=lgT；

lg8141g3

而log$81lg4著;=21g3=lg9,故左=9.

railog5-lg5

+21+1+曾

lg2lg2

故选：C.

9.ACD

【分析】

根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设

z=x+M，(x,yeR),根据复数的模的计算公式，可得/+必=1,以及1-2|=j+5,结

合龙的范围可判断C；将T+3i代入方程，结合复数的相等，求出p,即可判断D.

22

【详解】对于A,zeC,设复数z=<7+6i,(a,6eR),贝l]z=a-历,(a,beR),|z|=y/a+b>

故z.彳=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z|2,A正确；

对于B,由于i2=_l,i，=l,故i.=(i4)506=l,B错误;

对于C,zeC,设z=x+yi,(x,yeR),由于|z|=l,则Jd+y：=1,.•.尤?+,=1,

故|z—2|="(x_2>+A=J(尤-2)2+1-x2=jTx+5,

由/+丁=1,得-IVJCWI,贝ljTx+521,

故当x=l时，|z-2|的最小值为1,C正确；

对于D,T+3i是关于x的方程V+px+quOMqeRW绢R,

故(一4+3i)?+p(—4+3i)+q=O(0,qeR),即7-4/2+q+(3p-24)i=0,

1-4p+q=0J〃=8

D正确,

3p-24=0"[q=25

故选：ACD

10.BCD

【分析】

根据三角恒等变换化简〃x)=2sin128+，，进而根据周期可判断A,根据整体法求解函

数的值域判断B,根据函数图象的平移可判断C,根据零点个数确定不等式满足的条件可判

断D.

【详解】/(%)=sin2a)x+—+sin2a)x--+2^cos28x一布

=sin2公vcos—+cos2ssin—+sin2Gxeos--cos2ssin—+cos2a)x

3333

=sin2Gx+石cos2tyx=2sin2a)x+—,

I3j

对于A,若〃无)相邻两条对称轴的距离为£则7=2'£=无=言,故。=1,A错误,

222co

对于B,当①=1,/(x)=2sinf2x+,当xe0,—时，2XH—G—,,

k3JL2」333

则“X)的值域为卜后2],B正确，

对于C,当0=1,/(x)=2sinf2x+|-

/（X）的图象向左平移夕个单位长度得到函数解析式为

/^+^=2sin^2^x+^+j^=2sin2x+=2cos卜彳+看）,C正确，

对于D,当x/0,£］时，23+袅、,2吗+!，

6J3|_363

若“X）在区间上有且仅有两个零点，则271420m+g<3*解得5Vo<8,故D正

_0J63

确，

故选：BCD

11.AD

【分析】首先对X、y分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B,

由双曲线的渐近线与y=-L4x的关系判断C,由点到直线的距离公式得至“近天+为|,即点

册（飞,九）到直线J%+y=O的距离的百倍，求出直线0x+y+c=O与曲线

9+1=1（x20,y20）相切时c的值，再由两平行线将的距离公式求出|拒演+%|的最大值,

即可判断D.

【详解】因为曲线E:殂+四=1,

48

当xNO,>2。时］+!=1,则曲线£为椭圆:+二=1的一部分；

4848

当x>0,y<0时上一工=1,则曲线石为双曲线不一上=1的一部分，

4848

且双曲线的渐近线为y=±3x；

2222

当x<0,y>0时匕一土=1,则曲线E为双曲线匕-土=1的一部分，

8484

且双曲线的渐近线为>=±缶；

可得曲线的图形如下所示:

由图可知y随着工增大而减小，故A正确；

曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误；

因为-1.4>-行，所以曲线E与直线y=T4x相交，且交点在第四象限，故C错误;

Ir-|昌+%|

+%’篇丫[,，即点〃（方，%）到直线而+>=0的距离的百倍,

22

当直线\[2x+y+c=O与曲线亍+\=l(x20,y20)相切时,

归+J1「

由48，消去y整理得4元?+2忘cx+c2-8=0，

\[lx+y+c=0

贝必=倒其『-16卜2-8）=0,解得c=4（舍去）或0=4

”_|4|4

又-Jlx+y=0与y[lx+y-4=0的距离J（&J+F/,

所以阵%+=局=4,

IImax

所以2%+%|的取值范围为（0,4],故D正确；

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线E的图形，D选项的关键是转化为点到直线的

距离.

12.--##-0.5

2

【分析】

首先求出a+Xb的坐标，再依题意可得(。+几匕)年=0,即可得到方程，解得即可.

【详解】因为。=(1,0),万=。,1),所以£+"=(1+」川,

又a+9与6垂直，所以(。+用”=1+2+彳=0,解得％=

故答案为：-；

13.1410800+3600^

【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小

正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.

【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，

再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；

如果被截正方体的棱长是60cm,那么石凳的表面积是

S=8x1x300x3072xsin60°+6x30后x30收=(10800+360073)(cm2).

故答案为：14,10800+3600百.

14./(%)=sinx(答案不唯一)

【分析】

本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令〃x)=sinx,根据两角

和的正弦公式及诱导公式证明即可.

【详解】依题意不妨令〃x)=sinx,

贝/(x+y)=sin(;v+y)=sinxcosy+cos;vsiny,

y-xj/(y)=sinxsin5一yj+sin

又于(x)于Ty}+fsin,

=sinxcosy+cosxsiny,

故〃x)=sinx符合题意.

同理可证明/(x)=sin5x,/(x)=sin9x,L,也符合题意.

故答案为：""=sinx(答案不唯一)

15.(1)证明见解析

⑵络

【分析】(1)取尸D的中点E,连接8。交AC于。，连接E。，即可证明EO/PB,从而得

证；

(2)设AB=《r>0),建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可

求出f,再根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】(1)取尸。的中点E,连接83交AC于0,连接E0,

因为ABCD为矩形，所以。为3D的中点，

所以EO//PB,又EOu平面AEC,PBa平面AEC,

所以PB〃平面AEC,

⑵设AB=r(t>0),如图建立空间直角坐标系，则A(OQO),C«,60),£>(0,73,0),

所以AC=［括,0),A£>=(0,V3,0),AE=0,^,1,

又平面ADE的法向量可以为〃=(1,0,0)，设平面ACE的法向量为〃?=(x,y,z),

m-AC=tx+y/3y=0

则一A…Jc'取=

m•AE=——y+—z=0

22

力川石13

因为二面角O—AE—C为60。，所以cos60。，*^J,=彳,解得，=：（负值舍去）,

网刊j3+4»22

3

所以43=。。=大，

2

所以SAS=-AD-CD=-xy/3x-=^,

ACD2224

又点E到平面ACD的距离"=%A=g,

所以V/'地」一?

加女VE-ACD_3JACDa—gx4x2—8,

16.⑴工

21

⑵0</<；

【分析】

（I）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式

可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；

（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由

题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.

【详解】（1）设4发送的信号为1,B：接收到的信号为1,

则X：发送的信号为0,B--接收到的信号为0，

则P（A）=P（A）=|,P（B|A）=0.95,P（B|A）=0.1,

P（B）=P（ABAB）=P（AB）+P（AB）

=P（A）P（BIA）+P（A）P（BIA）

=0.5x0.95+0.5x0.1=0.525,

故尸'伍⑻）一P（如B）一坐P（皿B）1一30.525一2工1.,

（2）

采用三次传输方案译码为1的概率为耳=c；月（i_/?y+（i-/?）3=3/?（i_py+（i_/?）3,

采用单次传输方案译码为1的概率为鸟=i-4，

由题意得耳_£=3月(1_£)2+(1—分)3_(1_/?)=(1_0)(-2伊+/?)=0(1-/?)(1-2/7)>0

而0＜尸＜1,故1-2£＞0,

故0＜夕」.

17"+白

NA_

⑵存在定点N（3,0）,使得丽=碉恒成立

【分析】

（1）由离心率及过点列方程组求解

（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出N（3,0）,设点5关于光轴的对称点证得N,A,E

NAMA

三点共线得到而二布成立.

【详解】（1）依题意可得点2,在椭圆上,

44,

一旷1

a2=6

c7322

所以e=—=—,解得片=4,所以椭圆的方程为今+J=i.

a3

2964

1c=2

“2=/+c

（2）当/垂直于无轴时，设直线/与椭圆相交于A,8两点，如果存在点N满足条件,

即|N4|=|NB|,所以点N在x轴上，设N（%,0）,

Jn\NB\\MB\

当/与x轴重合时，设直线/与椭圆相交于A,8两点，不妨设A（_#,0）,B（＞/6,0）,

则由凶=也=]

，即卜+竭一展解得X。=2或M=3,

\NB\\MB\|xo-^6|76-2

所以若存在不同于点M的定点N满足条件，则点N的坐标为（3,0）；

\NA\\MA\

下面证明：对任意的直线/,均有=1,

||"|MB|

当/不平行于x轴且不垂直于x轴时，设直线/方程为^=上（》-2）,巩9，%），

y=k(x-2)

联立住+工2=】‘消去九得（螃+2产--1212=。,

I64

因为直线/恒过椭圆内定点M（2,0）,故A>0恒成立,

12k212r-12

所以无1+%=3/+2‘%1%2-3V+2

11再+%2-6石+%2-6

所以----------1----------=—

玉一3x2-3(x1-3)(X2-3)xxx2-3(Xj+X2)+9

易知点3关于％轴的对称点E的坐标为（兀2，-%）,

k(x1-2)_k—左（马—2）k

又七4二-A.=—k一——=k+

百一3%一39—3%2—39—3

NANAMA

所以右4=%而，则MA&三点共线，所以

NBNB'%MB

综上：存在与点以不同的定点N（3,0）,使g£=丘淑恒成立・

NDMD

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（七,珀、（七，外）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为％+%、占多的形式;

(5)代入韦达定理求解.

18.⑴[0,(

(2)证明见解析

【分析】

(1)将函数写成分段函数，再利用导数分别求出函数在各段的单调性，即可画出函数图象，

从而求出优的取值范围；

(2)由(1)可知花<-1<%<0<三，且现«0,1),使得〃/)=工，则三e(O,x0),再由

炉(一%)=炉=wi,得到七一%=ln-土，令f=-五，则te—,+■»，从而得至(jx,=F，

X3X31无0J1+f

te—,+s,再令人(。=粤，te—,+s,利用导数说明函数的单调性即可.

［无。)1+f1无。)

xex,x>0

【详解】⑴令〃"=小=0,x=0,

-xex,x<0

当%>0时广(x)=(』+l)e'>。,所以"％)在(0,+。)上单调递增，

当光<0时/'(x)=-(^+l)ex>0,所以一1<%<0时/r(x)<0,

%<T时>0,

所以“切在(TO)上单调递减，在(-匕T)上单调递增，

又〃-i)=L当x<。时y(x)>o,且x--8时〃x)-o,

当尤f+00时“X)—>+co,

则/(X)的图象如下所示:

因为关于X的方程e'|x|=m(meR)有三个根，即y=/⑺与V=根有三个交点,

由图可知0<机<：,即实数加的取值范围为(0,：］.

(2)由(1)可知西<_1c%<0<三，X/(O)=O,y(l)=e>-,

e

且“X)在(O,+8)上单调递增，所以现«0,1),使得

所以凡五。,公),

由9(一%)=e3.％=如所以e*