2022年西藏高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设。、beR+,数列｛4｝满足4=2,an+l=a-a；+b,〃eN*，则（）

A.对于任意。，都存在实数使得恒成立

B.对于任意匕，都存在实数〃，使得恒成立

C.对于任意be（2-4a,+8）,都存在实数〃，使得恒成立

D.对于任意4a）,都存在实数"，使得恒成立

2.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖

牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人

都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（）

22o

3.E（—c,0）为双曲线E：0—卓=1的左焦点，过点口的直线与圆必+/=；°2交于人、B两点,（人在尸、B之

3

间）与双曲线E在第一象限的交点为P,。为坐标原点，若FA=BP，且。4-03=-前。92,则双曲线E的离心率

为（）

A.75B.-C.好D.5

22

4.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面

积为（）

正视图

A.2B.5C.V13D.V22

5.已知全集。=2人={1,2,3,4},3=N（x+l）（x—3）＞0,xeZ},则集合Ac（QB）的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

根据该折线图可知，下列说法错误的是（）

A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高

B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低

C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益

D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

7.在各项均为正数的等比数列｛。“｝中，若a5a6=3,则%+logs4++bg3%o=（）

A.l+log35B.6C.4D.5

22122

8.设双曲线斗—1r=1（。>0,b>0）的一条渐近线与抛物线y=有且只有一个公共点，且椭圆三+卓=1

的焦距为2,则双曲线的标准方程为（）

222222

A.B.乙-土=1C.工上=1D.工-土=1

43432332

9.如图，正方体A3CD-A4GR的棱长为1，动点E在线段AC上，F、〃分别是A。、CD的中点，则下列

结论中错误的是（）

A.FM//AQ,B.存在点E,使得平面8瓦V/平面CG

C.平面D.三棱锥3-CE尸的体积为定值

10.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点A作

AF\

准线的垂线，垂足为".若tan/AfH=2,则)

BF\

543

B.-C.一D.2

432

11.已知直线y=x—2q2是曲线y=lnx—a的切线，则。=（)

C.—1或,1一

A.-2或1B.-1或2D.——或1

22

12.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（)

D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛4｝满足囚=1,g=g对任意〃22,"eN*,若a“（4i+2a“+i）=3a,i%+i，则数列｛4｝的通项公式

an=------

14.曲线y=（无2+1）/在点（0,1）处的切线方程为

15.已知函数f（x）=alnx-法？图象上一点（2,/（2）处的切线方程为y=—3x+21n2+2,则a+b=.

x-1>0,

16.已知x,y满足约束条件（x+2y—4W0,则z=3x+4y的最小值为.

2x-y-6<Q,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥尸-A6CD中，底面ABC。，底面ABC。是直角梯形，〃为侧棱PD上一点，

已知BD=2,BC=2后,CD=4,DP=4,DM=3.

（1）证明:平面P3C_L平面PBD；

（II）求二面角A-BM-C的余弦值.

18.（12分）如图，四棱锥尸—A3CD中，底面为直角梯形，AB//CD,NBW=9O。，AB=2CD=4,PA1CD,

在锐角△QAD中，E是边PD上一点,且AD=PD=3ED=3垃•

（2）当R1的长为何值时，AC与平面尸。所成的角为30。？

19.（12分）本小题满分14分）

已知曲线C的极坐标方程为夕=4sin6»,以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线/的

1

X=-t,

2

参数方程为G"为参数)，求直线/被曲线c截得的线段的长度

y=Tt+i

gX2+x)xe(0,+oo).

20.(12分)已知函数/(x)=xe*

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)曲线/(力在点(2,〃2))处的切线斜率为3卜2—1).

(i)求。；

(«)若(X-左)/'(X)2-(X+l)2,求整数上的最大值.

21.(12分)设椭圆,+方=1,(。〉6〉0)的左右焦点分别为耳,耳，离心率e右准线为/,是/上的

2

两个动点，RM亦=a.

(I)若|而1=1和1=2氐求的值;

(U)证明：当|MN|取最小值时,耳M+gN与耳耳共线.

22.(10分)已知/(x)=A%2+e-h(左〉0)

(1)当X〉，时，判断函数/'(%)的极值点的个数;

2

(2)记g(x)=/(x)+r—若存在实数/，使直线y=/与函数g«)的图象交于不同的两点

,t),B(X2,t),求证：m>2%々.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

取。=6=1,可排除AB；由蛛网图可得数列｛4｝的单调情况，进而得到要使只需2<耳他三由此

2a

可得到答案.

【详解】

取a=)=l,an+l=a；,+l,数列｛4｝恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；

由蛛网图可知，ar?+b=x存在两个不动点，且X］」&一皿,马J&-4叱

2a2a

因为当0<q<%时，数列｛4｝单调递增，则为<%；

当石<%<々时，数列｛%｝单调递减，则％<%<4；

所以要使%<“，只需要0<4<工2,故2<1+'1一4"J化简得人<2—4。且b>0.

2a

故选：D.

【点睛】

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.

2.A

【解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.

【详解】

五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，

所有可能的分组共有C；=10种，

甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关,

故甲和乙恰好在同一组的概率是5.

故选：A.

【点睛】

本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.

3.D

【解析】

一一3

过点。作可得出点"为A6的中点，由。=-----。一9可求得cosNAOB的值，可计算出

100

cos勺里的值，进而可得出|0闾，结合E4=BP可知点"为PF的中点，可得出忸尸|,利用勾股定理求得怛目

（F为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】

如下图所示，过点。作设该双曲线的右焦点为b'，连接PP.

:3管=产*=半,:.\OM\=\O^^=lc

FA=BP，：M为PF的中低，：.PF'〃OM，ZFPF'=90，\PF'\=2\OM\=~,

.'.|PF|=7（2c）2-|PFf=1,

由双曲线的定义得归同-归犷卜？。，即£=2”，

因此，该双曲线的离心率为e=£=5.

a

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

4.D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P-ABC.=5^=713,5^=722,SMBC^2,故最大面的面积为近.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

5.C

【解析】

先求B.再求求得Ac(GB)则子集个数可求

【详解】

由题={x|(x+1)(X—3)K0,Xez}=3―1VXV3,XeZ}=={-1,0,1,2,3},则集合Ac(C胆)={1,2,3}，故

其子集个数为23=8

故选C

【点睛】

此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题

6.D

【解析】

用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.

【详解】

用收入减去支出，求得每月收益(万元)，如下表所示：

月份123456789101112

收益203020103030604030305030

所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；1-6月总收益140万元，7-12月总收益240

万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240-140=100万

元，所以D选项说法错误.故选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.

7.D

【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算.

【详解】

由题意log34+log3a2++log3%)=log3(ai42«10)

5

=log3(a5o6)=5log3(a5a6)=51og33=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.

8.B

【解析】

设双曲线的渐近线方程为了=依，与抛物线方程联立，利用A=O,求出左的值，得到区的值，求出关系，进而判

b

22

断大小，结合椭圆斗+号=1的焦距为2,即可求出结论.

a2b1

【详解】

设双曲线的渐近线方程为y=kx,

01

代入抛物线方程得x2-kx+-=0,

42

依题意△=左之一§=0次=土耳，

22_______

；・椭圆二+七=1的焦距25片一/=2,

ab

—b2―/=—b2=1,b1=3,«2=4,

33

22

双曲线的标准方程为匕-上=1.

43

故选:B.

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.

9.B

【解析】

根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥3-CE尸以三角

形为底，则高和底面积都为定值，判断D.

【详解】

在A中，因为”M分别是ARC。中点，所以M0〃AC〃AG，故A正确；

在B中，由于直线5尸与平面CG2。有交点，所以不存在点E，使得平面3即//平面CC12。，故B错误；

在C中，由平面几何得BAf根据线面垂直的性质得出3/，GC,结合线面垂直的判定定理得出平

面CC/,故C正确；

在D中，三棱锥3-CEF以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥3-CEF的体积为定值，故D正

确；

故选:B

【点睛】

本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.

10.C

【解析】

需结合抛物线第一定义和图形，得AFH为等腰三角形，设准线与x轴的交点为"，过点E作CAH,再由三角

函数定义和几何关系分别表示转化出忸尸卜一J\，

1cos（〃一2a）

网I.„=i方一为pta'n结a合比值与正切二倍角公式化简即可

【详解】

如图，设准线与x轴的交点为“，过点歹作/CL47.由抛物线定义知5=M笈|,

,.\MF\

所以ZAHF=ZAFH=a,NFAH=兀一"=NOFB,\BF\=~~~-=—卢p——-

1cos(»-2a)cos(1一2a)

%_|CF|_|C"|tan。_ptana

।sin(〃-2a)sin(〃-2a)sin(〃-2a)'

~,A尸|tanatanatan2cif-l3

所以----L=------------

BF\tan(乃-2a)-tan2a2-2

故选:C

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题

11.D

【解析】

求得直线y=x-2储的斜率，利用曲线y=lnx-a的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得。的值.

【详解】

直线y=x—2/的斜率为1,

对于y=lnx-a,令9=工=1,解得％=1,故切点为（1,—a）,代入直线方程得—“=1—21,解得。=—；或1.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.

12.A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

1Q

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.

2"-1

【解析】

/、11C/11、11

由an(%-1+2%+1)=3%_1。“+1可得---------=2(--------------)，利用等比数列的通项公式可得--------=2",再利用

an+\anan4-14，+1区

累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.

【详解】

由4+2a“+J=341T。“+1，得三广=~一

Un+\UnUnUn-\

11cr11.

---------=2,数列｛---------｝是等比数列，首项为2,公比为2,

4%。〃+1册

———-=2",n>2,-———=2"-1,

4+1ananan-l

i_2n

=2n-12n-2...2+l=--------=2"-l,

+++1-2

.1.1

"=14=1’满足上式，4=正，

故答案为:而二.

【点睛】

本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.

14.x-y+l=O

【解析】

对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.

【详解】

因为y=(f+l)，，所以丁'=(/+2%+1产，从而切线的斜率左=1,

所以切线方程为y—l=l(x—O),即x_y+l=O.

故答案为：x-y+l=O

【点睛】

本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.

15.1

【解析】

求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得。,氏

【详解】

由题意/'(x)=2",

X

•••函数图象在点(2,/(2)处的切线方程为y=-3x+21n2+2,

——4b=—3a=2

2解得

b=l

aIn2—4b——6+2In2+2

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础,

16.-13

【解析】

画出可行域，通过平移基准直线3x+4y=0到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知：

可行域是由三点80,-4),构成的三角形及其内部，当直线3x+4y—z=0过点(1,T)时，二取

得最小值3xl+4x(T)=-13.

本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)证明见解析；(II)一旦.

4

【解析】

(I)先证明BCLPD,再证明平面尸瓦＞,利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；

(II)根据题意以为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面BMC的向量，利用公式

即可求解.

【详解】

(I)证：由已知得班＞2+802=82

又PDL平面ABC。，BCu平面ABC。，.-.BCLPD,

而P£>c6£>=£>故，3C，平面PBD

BCu平面尸5C,.,.平面P3C_L平面PB£>

(II)由(I)知5CL班)，推理知梯形中AB//CD,AD±AB,ADLDC,

有/4£)5+/5。。=90，又/5。+/5£>。=90，故ZADB=NBCD

.ABBDAB24nl

所以AABD相似A^DC,故有=,即an=—=>AB=1

BDDC24

AD=y/BDr-AB2=722-12=g

所以，以D4,DC,DP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则£)(0,0,0),A(A0,0),B(Al,0),C(0,4,0),Af(0,0,3)

AB=(0,1,0),8C=(—g,3,0),BM=(-5-1,3),设平面ABM的法向量为1=(%,%,zj，则

勺.AB=0JX=0

Y\•BM=0-百%-％+3Z]=0

令为=3,则Z]=Q,.•・&=卜,0,6)是平面41”的一个法向量

设平面BMC的一个法向量为%=(x2,y2,z2),

n2-BC-0—^/3x2+3y2—0

几2.BM=0-y/3x2-%+3z?-0

令％=3,则%=G

/rr\

.•.%=3市,笠~是平面BMC的一个法向量

(3,0,/)•◎,£：)

cos<%,%>=।；=-----------------13-_A/13

同闷丁

又二面角A-C为钝二面角，其余弦值为一巫.

4

【点睛】

本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力,

属于中档题.

18.(1)证明见解析；(2)当丛=而时，AC与平面PCD所成的角为30。.

【解析】

(1)连接6。交AC于。，由相似三角形可得也=工，结合匹=」得出OE//P3,故而M//平面ACE；

OB2EP2

(2)过4作”，PD,可证平面PC。，根据NACF=30计算AF,得出NAZ加的大小，再计算R1的长.

【详解】

(1)证明：连接5。交AC于点0,连接0E,

DOCD1DE

QCD//AB,

~OB~^B~2~~EP

：.OE//PB

又OEu平面ACE,尸Ba平面ACE,

.•.尸3//平面ACE.

(2)CDLAD,CDLPA,ADr>PA=A

\CD人平面协Z>

作AF_LPD,尸为垂足，连接CF

CD_L平面RW,AFu平面RW.

：.CD±AF,有AFLPD,CDP£>=£>,.•.CE_L平面PC。

NAC尸就是AC与平面PCD所成的角，,ZACF=30°,

AC^ylAD2+CD2=V22-AE=殍，

sinZADF=—=^,cosZADF=A/1-sin2ZAZ>F=-

AD66

PA2=AD~+DP2-2AD-DPcosZADP=6,..PA="

.•・R4=#时，AC与平面尸。所成的角为30。.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.

19.29=岳

【解析】解：解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为Y+y2—4y=0,

即Y+(y-2)2=4,它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆，..................4分

直线方程/的普通方程为y=A+l,..........8分

圆C的圆心到直线/的距离4=工，......................10分

2

故直线/被曲线C截得的线段长度为2」22-心2=715.....................14分

20.(1)在(Ina,+8)上增；在(0,Ina)上减；(2)(i)1；(«)2

【解析】

(1)求导求出了‘(X),对。分类讨论，求出/(%)〉0,/00<0的解，即可得出结论；

(2)(0由-(2)=302—1),求出。的值；

(«)由⑴得所求问题转化为(％—可产―l)+x+G0,xe(0,+s)恒成立，设

g(x)=(九一女)(e"—l)+x+l,xe(0,+oo),只需g(x)min20,根据g(龙)的单调性，即可求解.

【详解】

(1)八%)=(x+l)(e*-a)

当aWl时，f'(x)>0,即〃尤)在(0,+。)上增；

当a>l时，/'(尤)>0,X>lna,f'(x)<0,0<x<ln«,

即/(%)在(Ina,+8)上增；在(0,Ina)上减；

⑵(i)八2)=3(e?-a)=3(/-1),\a=1.

(ii)(x-k)f\x)>-(x+I)2,即(x-Q(e-l)+x+120,

即g(x)=(x—Q(e*T)+x+l,只需8⑴而。>0.

g\x)={x-k+V)ex

当左W1时，g'(x)>o,g(x)在(0,+。)单调递增，

所以8(%)>8(0)=1>0满足题意；

当左>1时，g'(x)>0,x>k—l,g'(x)>0,0<x<A;-l

所以g(x)在(O,Z-1)上减，在住-上增，

kl

g(X)^=g(k-l)=-e~+k+l>Q

令丸伏)=—e*-、左+1,/z'(£)=l—e*L

h'W=0.W)在(1,4w)单调递减，所以“(。)<0

所以人(左)在(1,+8)上单调递减

h(V)=1>0,/z(2)=3-e>0,"(3)=4-。<0

综上可知，整数上的最大值为2.

【点睛】

本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想,

属于中档题.

21.(I)a=2,b=y[2

(II)证明见解析.

【解析】

由储—廿二。?与e=q=Yl,得1=2/，

c2

£，无[，/的方程为x=J5a.

设y),N^y/2a,%)，

}

贝！JF[M=a,%,F2N=~a,%，

2

/I7

由甲0•耳N=0得

3

（i）由WMT且M=2G,得

J当a+靖=2/，②

J~~a+%?=245>③

由①、②、③三式，消去％,