2024年高考数学一轮复习 椭圆 高频考点+精练（解析版）（艺考生基础版）

第05讲椭圆（精练）

A夯实基础

一、单选题

2222

1.（2022•四川眉山中学高二期中（文））椭圆一+2r=1与双曲线二一=1有相同的焦

4a~a22

点，贝！!。=（）

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】C

【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在无轴上，且焦点相同，

所以c=,4-/='Ja2+2>

解得。=±1（经检验，都符合题意），

故选：C.

y2

2.（2022•江苏•无锡市第一中学高二期中）椭圆。:炉+=1的一个焦点是（0,1）,则上的

k

值是（）

A.yB.2C.3D.4

【答案】B

2

【详解】,•椭圆c：r+匕=1的一个焦点是（0,1）,焦点在y轴上，

k

c—1,a?=k,6=1,

k=c2+b2=2.

故选：B

2222

3.（2022•湖南师大附中高二期中）曲线工+匕=1与曲线^=1（左<9且％W0）

2599一k25-k

的（）

A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等

【答案】C

2

【详解】曲线二f+乙V=1表示焦点在X轴上，长轴长为10,短轴长为6,离心率为4三，焦距

2595

为8的椭圆.

22

曲线』一+二一=1（k<9且左。0）表示焦点在丁轴上，长轴长为2425-k，

9-k25-k

____।-------------------------4

短轴长为27^1,焦总巨为2J（25-1）-（9-左）=8,离心率为岳二的椭圆.

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故选：c.

4.（2022•天津河北•高二期中）若椭圆［+==1上一点P到右焦点的距离为5,则它到左

焦点的距离为（）

A.31B.15C.7D.1

【答案】C

【详解】椭圆（+《=1中，a2=36=>a=6,

3620

22

记椭圆刍+9=1的左焦点为%右焦点为匕则|尸耳1=5,

3620

由椭圆的定义可知:归耳+|P&|=2a=12,

所以|P司=12—5=7,

故选：C.

5.（2022,山东青岛•高二期中）在平面上，动点尸与两个定点片，工的距离之和为7,若

闺阊=10,则P点的轨迹为（）

A.线段B.两条射线C.椭圆D.不存在

【答案】D

【详解】由题意可知，归耳|+|尸局=7<10=寓司，

所以P点的轨迹为不存在.

故选：D.

22

6.（2022•全国•高三专题练习）已知耳，B是椭圆C：工+匕=1的两个焦点，点〃在C上，

94

则“阈闾的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【详解】法一：由题意，"=9*2=4,贝”屿|+|年|=2〃=6,

所以耳卜|年区［画业=9（当且仅当|町|二|叫|=3时，等号成立）.

I2J

法二：设〃（々，几），-3<x0<3,

由焦半径公式可得：\MF1\=a+exQ=3+xQ,\MF2\=a-exQ=3-&,

故阿娟.|加月|=3+岑入0.3一半/=9一■|/2,

因为—3（工043,所以0W%02K9,

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当x02=o,即毛=0时，|吗居|取得最大值，最大值为9.

故选：C.

7.（2022•河南•驻马店市第二高级中学高二阶段练习）已知"、尸2是椭圆C：工+匕=1的

59

焦点，尸为C上一点，且归耳|=|月月则△2/笆的内切圆半径一（）

A.1B.75C.叵D.苣

53

【答案】C

22

【详解】椭圆C:工+匕=1中，片=9,片=5，

59

则，=/->2=4,、」.“=3,c=2,.,.寓用=2c=4.

|尸耳|+|尸闾=%=6,忸耳|=|耳弱二|%|=2,

22

VSPFJF2=1X2XV4-1=715,

」•S晔=1（］尸闻+|产国+山川）“小，

解得一巫.

5

故选：C.

8.（2022•浙江•长兴县教育研究中心高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆

锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；当平面不垂

直于圆锥轴时得到的截面可能是椭圆.若用周长为28的矩形ABC。截某圆锥得到椭圆丁,

且椭圆「与矩形ABCD的四边恰好相切.设椭圆「在平面直角坐标系中的方程为

22

=+与=l（a>6>0）,下列选项中满足题意的方程为（）

ab

22

AB.旦+片=1C片+片-1D.片+片=1

A.——%+—y=1,

36646436169916

【答案】C

【点睛】•「用周长为28的矩形A5c。截某圆锥得到椭圆汇,且与矩形A3CD的四边相切,

4（〃+。）=28,即a+b=7,

对于A,Q=6,。=8,不满足故A错误,

对于B,4=8,。=6,。+6=14/7,故B错误,

对于C,〃=4,b=3,满足〃+b=7,故C正确,

对于D,〃=3,6=4,不满足故D错误.

故选：C.

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二、多选题

22

9.（2022•江苏•高二期中）若椭圆C：±+T—=1上的一个焦点坐标为（0,1）,则下

mm—1

列结论中正确的是（）

A.m=2B.C的长轴长为2A

C.C的长轴长为4D.C的离心率为:

【答案】AB

【详解】因为焦点坐标为（0』），所以1一1一根=1,解得帆=2或机=-1（舍），

所以椭圆C的方程为］+：=1,长轴长为2折离心率eg4.

故选：AB.

10.（2022•云南•昆明一中高二期中）已知椭圆C:三+二=1,%总是椭圆的左右焦点,

43

尸为椭圆上任意一点.下列说法中亚确的是（）

A.椭圆离心率为：B.|P周的最大值为3

C.0<ZF,PF2<^D.|「国+|尸闾=4

【答案】ABCD

221

【详解】A：由工+工=1知。=2*=石，则C=GF=1，所以e=£）,故A正确；

43a2

B：当点P为椭圆的右顶点时，归周最大，且最大值为a+c=3,故B正确；

C：当点P为椭圆的左、右顶点时，/与尸工最小，且最小值为0,

当点尸为椭圆的上、下顶点时，/耳尸鸟最大，此时|P耳|=|P闾=|片闾=2,

△£产工为等边三角形，NRPRW，所以故C正确；

D：由椭圆的定义知，忸耳|+怛鸟|=2。=4,故D正确.

故选：ABCD.

11.（2022・广西・桂平市潺州高级中学高二期中）已知椭圆以2+9=1的离心率为半，则

加的值可能为（）

J51

A.—B.-C.5D.25

55

【答案】BC

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［详解］晟+丁=］可化为I+y=1

m

当山＞1时，0＜工＜1,椭圆血2+y2=l的离心率为］工=2叵,解得m=5；

mVm5

当0＜相＜1时，-＞1,椭圆3Z+y2=l的离心率为产/=马5,解得根=：.

m55

故选：BC.

22

12.（2022・广东潮州•高二期末）方程上+工=1表示的曲线为C,下列正确的命题是（）

4-kk-1

A.曲线C可以是圆B.若1（上＜4,则曲线C为椭圆

C.若曲线C为双曲线，则上＜1或%＞4D.若曲线C表示焦点在无轴上的椭圆，则

2

【答案】ACD

【详解】A.若曲线C是圆，则4-左=左-1＞0,解得％=£,故正确；

,4-%＞0

B.若曲线C为椭圆，则珠-1＞0,解得1＜%＜4且k\,故错误；

4-k^k-1~

C,若曲线C为双曲线，则（4-相左一1）＜0,解得左＜1或左＞4,故正确；

4-%＞0

D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则＜01＞0,解得1（上故正确；

4-%＞左-1"

故选：ACD

三、填空题

22

13.（2022・四川省绵阳江油中学高二期中（文））若点尸为椭圆土+匕=1上的一点，式,

43

7T

尸2为左右焦点，若/£产工=耳，则点尸到X轴的距离为.

【答案】b

【详解】由己知a=2,b=y/3,因此c=J4-3=1,

\FXF2\=2,

当尸为短轴端点时，|P周=|P图=。=2,△21后是等边三角形，NF\PF『三,

此时P到x轴距离等于6=«.

故答案为：6

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22

14.(2022・上海复旦附中高二期中)椭圆±+q=l优>0)的焦距为2,则实数上的值为

【答案】夜或2##2或0

【详解】当椭圆的焦点在无轴上时，则〃=鼠b=y/3,此时°=收—3=\,

k>0,解得k=2；

当椭圆的焦点在y轴上时，则4=若，b=k,此时c=J/_Z?=13-/=1，

k>0,解得笈=0.

综上所述，上=2或0.

故答案为：2或夜.

22

15.(2022•江苏省响水中学高二期中)设《，工是椭圆C：三+乙=1的两个焦点，尸为

94

椭圆C上的点，当鸟=90时，工的面积为.

【答案】4

2

【详解】Vo=3,b=2；/.c=V5,因为/月尸&=90,所以|Pf；「+|P用=|居闻2,

设网因，|尸引=切

则4+^=6①，片+以=(2石『②,

由①2-②得区=8,

=?12

••S.F{PF22^=5x8=4.

故答案为：4.

22

16.(2022・山西•高二期中)设乙巴分别是椭圆C*+方=l(a>6>0)的左、右焦点,

点P,Q在椭圆C上，若博+叫=摩-明，且尸耳=26。，则椭圆C的离心率为

【答案】祖

3

【详解】由同+叫=%-明两边平方并化简得尸耳•也=0,所以尸耳口吃

设周=2|Q阊=2/(>0),

贝ij|尸耳|=2a—2t,\QF^=2a—t,

(2Q-2^+(2疔=(2域a?—2at+2t2-W

所以a

(2Q-+(3/『=(2Q-Jt=-

3

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c2_5c

故答案为：与

四、解答题

17.（2022•辽宁•大连市第二十三中学高二期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程:

⑴经过两点（2,-3卜

（2）长轴长是短轴长的2倍，且过点（-2,T）.

22

【答案】％+一

222

VvV尤2

(2)土+2=1或乙+土=1

6817328

42

=1

22L后/=8

【详解】（1）①当焦点在X轴时，设椭圆方程为1+多=1,则，,解得

ab17〃=4'

[a2-2-b-21-=-1--

22

所以此时椭圆方程为二+二=1;

84

241

--------1-------=1「2

②当焦点在y轴时，设椭圆方程为**=1,贝Ub\,解得仁:，不符合要

ab/।11匕=8

—T+F=1

[2a2b2

求；

22

所以椭圆方程为二+二=1.

84

（2）①当焦点在x轴时，设椭圆方程为京+£=1,则京+，=1,解得〃=17,所以

22

此时椭圆方程为土+上~=1；

6817

221/7A

②当焦点在y轴时，设椭圆方程为泰+点=1,则券+3=1，解得廿=8,所以此时椭

22

圆方程为匕+工=1,

328

所以椭圆方程为反+片=1或$+旦=1.

6817328

22

18.（2022•山东青岛•高二期中）已知椭圆C：=+与4,用分别为其左、

ab

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右焦点’短轴长为2,离心率”与过耳作倾斜角为6。。的直线,‘直线"与椭圆交于4

2两点.

⑴求线段A8的长;

⑵求&AB的周长和面积.

【答案】⑴半

(2)/AB的周长为4正，面积为警.

【详解】(1)1•椭圆的短轴长为2,

b=l,又=e=,

2

c2a2-b2

=—^>a=\/2,

a2a22

椭圆C的方程为：y+y2=l,4(TO),耳(1,0),

设4口,必)，B(x2,j2),直线/的方程为：y=6(x+l),

y=石(％+1)

由(炉,可得7尤2+12X+4=0,

—+y=1

12'

124

所以％+%=--'X\X2=~

所以|AB|=J(%2_%1)2+⑶-My=_占y+［同/+1)_君a+nJ

Tx二还

2J(%2+玉)2_4玉%2-2

77

(2)由于f；,总分别为椭圆的左、右焦点,

所以一旦AB的周长为|"|+|A司+忸制+忸国=4°=4忘,

273

因为区(1,0)到直线/：y=G(x+l)的距离为〃==&,

所以一小的面积=g网M=；x半x艮孚

B能力提升

22

19.(2022•安徽•马鞍山二中高二期中)在平面直角坐标系中，椭圆C：*■+2=1(〃〉"0)

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的离心率为且，焦距为2后.

3

⑴求椭圆C的方程.

(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60。的直线与椭圆交于A,8两点，求.403的面积.

22

【答案】⑴土+匕=1

96

36

⑵z——

11

【详解】(1)因为椭圆离心率为6=且，，焦距2c=20，则解得。=3,。=出力=遥，

3a

所以椭圆方程为工+工=1.

96

(2)已知椭圆方程《+反=1,左焦点为尸(-四,0),若倾斜角为60。，则斜率为tan60。=6,

96

过左焦点且倾斜角为60。的直线方程为：J=A/3(X+A/3)

设A,8点的坐标分别为(占,%),(马,为)，则sAOB=Jo4%-%|=今代再-氐J％|