海南省天一2023-2024学年高三高考模拟卷（六）数学试题含答案

2023—2024学年海南省高模拟卷（六）

数学

1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.

2.考查范围：高考全部内容.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知复数z满足（3+4i）z=5i,则z的共软复数I在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合2=｛司2<%（疗—机+7,xeN*｝,5=何4<x<7｝,若/口8中恰有两个元素，则实数〃?

的取值范围为（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.[0,1]D.R

3.已知x>0,则“。=1”是“〔2x+亍1的二项展开式中常数项为60”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.如图，点、P,A,8均在边长为1的小正方形组成的网格上，贝U莎•（而-2万）=（）

5.等差数列｛4｝的前"项和为S"，已知％o=7,S]o=4O,则｛4｝的前100项中，%为整数的各项之和为

（）

A.1089B.1099C.1156D.1166

6.在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形沿对角线NC进行翻折，使得。

到达£>'的位置，此时平面。平面A4C,连接AD',得到四面体4BC。'，记四面体4BC。'的外接球

球心为O,则点O到平面ABD'的距离为（）

7.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线C:/=2px（夕>0）的焦点为尸，过点尸且倾斜角为120。的直线/

与抛物线C交于HB两点,其中点/在第一象限，若[48|=8,则△08尸的面积为（)

9百

D.-------------

4

41,----

8.若a=ln—,Z?=—,c=#e二1,则a,6,c的大小关系为（）

34

A.a>b>cB.ob>aC.c>a>bD.b>a>c

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A.68,60,62,78,70,84,74,46,73,81这组数据的第80百分位数是78

B.若一组数据为,工2,…,x”的方差为0.2,贝！15X1，5%,…,5x”的方差为1

C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性

D.若变量&〜N（170,CT2）,尸（172<J4180）=0.4,贝U尸（J<164）=0.1

10.已知函数/（x）=Zsin（0x+e）2>0,。〉0,例<引的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

A.f（x）=2sin^2x+yj

B.直线x=-2是函数/（x）的一条对称轴

C.当/（x）>l时，x的取值范围为1左匹左〃

D.若方程/（x）=机在-],0上有两个不相等的实数根，则加的取值范围为卜2,-G]

11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形

状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为/+/+”=。产衣,口〉0,图形如图所示.当。=1时,

点片（再,必）,6（/，％）在这条心形线。上，且毛/。。，则下列说法正确的是（）

A.若西〃。月，则山鸟|=2

B.若西〃漉，贝1]|。用・|。©=1

C.|。制+|。囿＜4

D.C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知函数/（x）=alnx（awO）,过原点作曲线y=/（x）的切线/,则切线/的斜率为.

13.设耳，鸟分别为椭圆C:3+/=1的左、右焦点，。为坐标原点，点尸在C上，若|尸。|=百，则△尸耳心

的内切圆的面积为.

14.已知数列｛%｝是递减数列，且—则实数,的取值范围为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）

A-L-C

已知A45C的内角力,B,。所对的边分别为Q,b,c,且Z?sin（B+C）=Qsin--—

（I）求3；

a

（II）若点。在NC上，且AD=BD=2DC,求一.

c

16.（15分）

2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会.某校想

趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了

男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图.

男生女生

□不喜欢・喜欢

(I)根据等高堆积条形图，填写下列2x2列联表，并依据a=0.010的独立性检验，推断是否可以认为该校

学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联;

性别是否喜欢羽毛球运动合计

是否

男生

女生

合计

(II)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中

喜欢羽毛球运动的学生人数为X,求尸QX=k)取得最大值时的左(左eN*)值.

附:

a0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

X。

参考公式:

2〃(ad-bc)~

其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.(15分)

如图，在四棱柱Z5CD—451GA中，四边形45与4为菱形，四边形Z2CD为矩形，AB=4,BC=243,

444=60°,二面角2—CD—N的大小为60。，M,N分别为BC,GQ的中点.

4N

18.(17分)已知双曲线C:^-%=1(。〉0力〉0)的一条渐近线方程为y=缶，右焦点为尸(G,o卜

(/)求C的标准方程；

(II)过点尸且相互垂直的两条直线/和/'分别与C交于点4,2和点尸，Q,记/瓦尸。的中点分别为

N,求证：直线A/N过定点.

19.(17分)

已知函数=m—£sinx,且/⑴的图象在x=?处的切线斜率为2.

(/)求加；

(II)求/(X)的单调区间；

(III)若/(x)=Glnx有两个不等的实根X],与，求证：XjX2<a.

数学•答案

5i(3-4i)-5i_43.43

1.D*/(3+4i)z=5i,z=——-—(3+4i)(3-4i)+5n/.F=—--i,在复平面内对应的点位于

3+4i55

第四象限，故选D.

2.D由2口8中恰有两个元素，可知幺口8={5,6},故加2—〃z+7〉6,即加之—机+i〉o.

又方程加2一机+1=0的△<(),故机2-机+1>0在R上恒成立，故实数机的取值范围为R,故选D.

3.B的展开式的通项为IM

3

令6——r=0,得井=4,的常数项为C)/.22=60/.

2

...当。=1时，常数项为60；

当常数项为60时，a=±l,

6

“。=1”是“2x+的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件，故选B.

4.A如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则秒=(1,-3),而=(6,-2)：,

.•.而-2万=(6,-2)-(2,-6)=(4,4),

5.C设等差数列｛g｝的公差为d,

a、+9d=7,%=1,

解得

由%(；=7,510=40<

lOt/j+45d=40,d=T

by1/1、22〃+l

所以%=I+(〃—I)xm=--—•

要使为为整数，则2〃+l是3的倍数，又l«〃Vl00,〃eN*,

所以可令〃=3k-2(l<k<34,左GN*).

记｛%｝的前100项中的整数项构成的数列为｛4｝,

则4=2(3-12)+1=29_1(]«后434,左eN*),

所以他｝的前34项的和&=弘义(；+67)=]”6,故选c.

6.A根据题意作出图形如图所示，连接02,OD',

则OA=OB=OC=OD'=2V2,显然四面体ABCD'的外接球球心。为/C的中点.

22

BD'=yJOD'+OB=4,5A.，=—x4=4A/3.

设点O到平面48。的距离为九则由VO_ABD,=VD,_AB0,

nT^-x/?x4V3=-X2V2X-X272x272,解得力二」一，故选A.

3323

ir

匕，

------------%

7.B根据题意得直线/:>=一看1》-

J2=2px,

“一年―空得4"亨=0.(*)

则再+%=；夕，

设/(%,弘),8(》2，%),%>0,j2<0,

8

故|AB|=再+/+?=§2=8,

19

解得夕=3,代入(*)式，解得演=

将代入直线/的方程中，

36=述，故选B.

解得乃7G故也

4

X

8.C设/(x)=ln(x+l)—-—,

X+1

则/'(x)=—7—丁

x+1(x+1广(X+1)2'

，x>0时，/'(%)>01,/(X)在(0,+8)上单调递增.

"电〉/(0)，即:41

In---->0,

34

.141,

••In—>一，a>b.

34

1

设g(x)=e"—l—ln(x+l)：，贝！Jg<x)=e”一

x+1

・••当x>0时，g'(x)>0,即g(x)在(0,+8)上单调递增.

Ve-l-lnj>0,l/e-l>In-^,即c>〃..

综上，故选C.

9.CD对于A,这组数据从小到大排列为：46,60,62,68,70,73,74,78,81,又10x80%=8,

7R-1-21

第8位数字是78,第9位数字是81,故这组数据的第80百分位数是=79.5,故A错误；

2

对于B,5为5%,…,5%的方差为52x0.2=5,故B错误；

对于C,样本相关系数厂的符号反映了相关关系的正负性，当r>0时，成对样本数据正相关，当「<0时，成

对样本数据负相关，故C正确；

对于D,JV(172,CT2),P(172<^<180)=0.4,

/.<164)=>180)=0.5-P(172<^<180)=0.5-0.4=0.1,

故D正确，故选CD.

j-rr八/c32»71(3»

10.AD对于A,由图可知4=2,------=——------=—,

4G1213J4

co=2,/(x)=2sin(2x+(p).

n

又/2sin(2x^-+^l=2,

12

即sin*+0)=1,

.7171

・・—(p——F2k兀，左£Z,

62

71

J.-2k兀，左£Z.

TT7T/7T1\

V=—,/(x)=2sinI2x+yI,故A正确;

3

对于B,f

对于C,/(x)>1,

TTTT\冗

：.-+2k7i<2x+-<—+2k7r,keZ,

636J

77TT

解得---\-kn<x<——卜k兀,k€Z,故C错误;

124

对于D,当xej—色,o］时2x+工ej—物，色.

2333

当2x+§e——时，/(x)单调递减;

当2x+§e1—万,§时，/(x)单调递增.

•••2sin1—=—6，2sin1—a］=—2,2sin1=V3,

jr

...要使方程/(x)=机在-^刀上有两个不相等的实数根，

则机4-2,—G],故D正确，故选AD.

11.ACD依题意，心形线C的直角坐标方程为4+真+美=5棚+了2,过原点o(o,o).

由西〃硕，可知。,片,《三点共线，

可设直线用B：y=/X,由F+y+丫=虫+y，

[y=tx

消去乃得(1+/濡-Ji+『国+笈=0.

不妨设阳>0,x2<0,

.J1+1、-t-Jl+/—t

则须二------丁，％2=------;一

11+/21+/

.________,/］4/2

2

|P1P2|=J1+*.|xx—X2\=yjl+t.=2,故A正确;

3H阳=历］里=|屈］书斗三

当,70时，I。6Ho6上1,故B错误；

设点尸(x,y)在心形线C上，ZPOx=a,角a以x轴非负半轴为起始边,

则心形线C的方程转化为I0尸『+1opsina=\OP\,

Bp|(9P|-(|(9P|+sin«-l)=0,

/.\OP\=l-sin«<2,又X[X2丰0,

：.\OP{\+\OP2\<4,故C正确；

由=旧+y2<2,可知—2<y<2.

令/=Jx2+y2(/N0),则心形线C的方程可

化为-/+/—y=o,A=i-4yNO：,

-2<j,当y=0,得x=±l或0,

当y=—1时，方程无整数解；

当y=-2时，x=0

・・・。上有4个整点(一1,0),(1,0),(0,0),(0,-2),故D正确，故选ACD.

12.-根据题意得，f\x)=-.设切点坐标为(为,%),则/'(%)=巴，

exx0

所以切线/的方程为y=q(x—Xo)+v0,

%

将点(0,0)代入，可得0=色(0—x0)+Vo，

%

整理得比=。，故Qln%o=a,解得％o=e,

故r(x0)=q,即切线/，(/)=@的斜率为q.

eee

13.(7-4\/§)»不妨设/片尸鸟=8,|尸公卜私|尸=〃，则加+“=4.

222

在△尸大鸟中，由余弦定理得，(IFXF2\)=n=m+n-2mncos6.

/k(■、2

由丽丁尸片+尸鸟,且忸0|=百，

(2J

一口C加2+“2+2mncos0

可得3二-------------------,

4

即加2+/+2mmcos6=12,

所以cosS=0,/片和=90°,

所以内切圆半径为।尸耳+叫I片曰=2-73,

2

所以△尸片鸟的内切圆的面积为(7-46)万.

14.:数列｛4｝是递减数列，

n2

an<a,,-(n>2),即£—<一<?~t-,

化简得〃一2。—1)>；.

当/<0时，/-1<0,广2的值有正有负，

.•""一2。一1)〉；不恒成立；

当0</41时，Z-l<0,tn-2>0,

..""-2Q—1)〉；不成立；

当/>1时，/—1>0广2〉。

由题意得，［广2。一川出〉；，

..•当〃=2时，/"2。一1)取得最小值，

即有/一1〉工，解得/〉3,

44

实数/的取值范围为［j,+oo)

15.解：(I)'：A+B+C=K,

sin(5+C)=sinN,

.,.,.兀一BB

..bsmA=asm-----=acos一，

22

B

由正弦定理得，sin5sinA=sin/cos一，

即sinS=cos一，

2

….BBB

故2sm—cos—=cos—.

222

・•・c』0,

222

^B=~.

3

2

(ID•••AD=BD=2DC,：.BD=-b,

3

BD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC

3333

|^D|2=-1A4|2+-\BA\BC\cos5+-15CI2,即3/=工02+3M*工+3/，

99999929

整理得〃=-c2+-ca+a2,

42

.221212

••Cl+C—C1C=—CH---C<2+(7,

42

16.解：（I）由题意，完成2x2列联表如下:

性别是否喜欢羽毛球运动合计

是否

男生7525100

女生5545100

合计13070200

零假设为

Ho：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联.

200x(75x45-55x2»/,791〉6.635=x0010

100x100x130x700010

依据小概率值a=0.010的独立性检验,

我们推断Ho不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联.

（II）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率1为30次=二13,

20020

•••随机变量X〜

k30-k

13

：.P(X=k)=C；o

20

要使尸（X=左）取得最大值,

2020

左eN*,

当左=20时，尸(X=左)取得最大值.

17.解：(I)取的中点O,连接。M,ON,AN,DN.

在菱形QCG2中，易知DN=2^,且DNLCD

又4DLCD,故NNZM即为二面角N的平面角，

故NNDZ=60。.

所以△NON为等边三角形，所以ONLN。.

显然2。，。肠，且<wnoN=o,

所以4D_L平面MON

又MNu平面MON,所以40_LMV,

又ADHBC,所以8dW,

故N7WC=90°.

(II)由(I)可知，CD_L平面/DN.

又C£>u平面48CD,,

所以平面ADNA平面ABCD.

又平面4DNn平面4SCD=4D，ONu平面/DN,且ON，4D,

故ONJ_平面48CD,故。/,OM,ON两两相互垂直.

以。为原点，以CM,OM,ON所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(6,4,0),C(-V3,4,0),N(0,0,3),。(0,2,3),

故屈=(2行,0,0),CN=(73,-4,3),

您=西=(忘-2,3).

CB-n=2y/ix=0,

则.———广，

CN-n=\3x-4y+3z=0,

取z=4,则"=(0,3,4).

记直线AAX与平面2CN所成角为巴

|幺4，〃|3

则sin£=］」E=2,

|M|-H10

3

故直线幺4与平面8CN所成角的正弦值为士.

18.解：(I)设双曲线C的半焦距为c,根据题意

aa—1,

得卜=石，解得｛2=2,

a1+b2=c2c1—3,

;.c的标准方程为——匕=1.

2

(II)当直线/和/'斜率均存在时,

设直线/的方程为％=叩+w0),/(国,必)，5(、2，%)，中点Af(xo/o)

x=my+V3,

由＜2/消去x,得(2/—1)/+4Mmy+4=0,加w±.

X—1,

2

・_必+%_2G加_、立

••Vn------------；，X—+yH3=_----Z

-022m2—1°o为2m2-1

设直线/'的方程为x=〃y+6〃w土―，且〃wO

k

尸(X；,必'),。(》242‘)，中点N,'.

同理可得N