2024年中考数学第一次模拟试卷（湖南卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（湖南卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.有理数-4的相反数是（）

11

A.——B.4C.-4D.-

44

【答案】B

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.

【详解】有理数-4的相反数是4,

故选：B.

【点睛】此题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.

2.下列计算中，正确的是（）

A.（-x2）3=-x6B.（x+1）2=x2+l

6

C.A=dD.6+6=由

X

【答案】A

【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数塞的除法，二次根式的加法对各选项进行判断即可.

【详解】解：由题意知，（-X2）3=-X6,正确，故A符合要求；

（X+1）2=X2+2X+1^X2+1,错误，故B不符合要求；

1=一片/,错误，故c不符合要求；

X

血+6/右，错误，故D不符合要求；

故选：A.

【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数暴的除法，二次根式的加法.熟练掌握积的乘方，

完全平方公式，同底数塞的除法，二次根式的加法是解题的关键.

%+1>-1

3.一元一次方程不等式组1,的解在数轴上表示正确的是（）

-x<l

【答案】D

【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“2”，要用

实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.熟练掌握不等式组的解法是解题的关键.先分别解出两个不

等式，然后找出解集，表示在数轴上即可.

x+l>-l®

【详解】解：19，

-x<l@

[2

由①得，x>—2,

由②得，%<2,

故原不等式组的解集为：-2<x<2.

在数轴上表示为：

故答案为：D.

4.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的；由此问题可求

解.

【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以都不是中心对称图

形，而C选项可以找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以是中心对称图形；

故选C.

【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键.

5.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青

团员7358万.数据7358万用科学记数法表示为（)

A.7.358x107B.7.358x103C.7.358xl04D.7.358xl06

【答案】A

【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可.

【详解】解：7358万=73580000=7.358x107,

故选：A.

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，由于0CJL/8于点C,所以由垂径定理可得/C=g/B=4,在RfZOC中,

由勾股定理即可得到答案.熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键.

【详解】解：民=8,

AC=-AB=4,

2

在RtA/OC中，。4=5,

由勾股定理可得：OC=yJo^-AC2=3-

故选：C.

7.如图所示几何体的俯视图是（）

【答案】D

3

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可.

【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：

故选：D.

【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体

的正面，左面，上面看得到的图形.

8.如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下

列说法错误的是()

0H；:::a

859095100分数

A.众数是90分B.方差是10C.平均数是91分D.中位数是90分

【答案】B

【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案.

【详解】解：A、：90出现了5次，出现的次数最多，...众数是90；故此选项不符合题意；

B、方差是：^X[2X(85-91)2+2X(95-91)2+5(90-91)2+(100-91)2]=19^10；故此选项符合题意；

C、平均数是(85x2+100x1+90x5+95x2)-10=91；故此选项不符合题意；

D、：共有10个数，二中位数是第5、6个数的平均数，，中位数是(90+90)+2=90；故此选项不符合题

思.

故选：B.

【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关

数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键.

9.如图，正方形/BCD的对角线/C,BD交于点O,M是边4D上一点，连接。M,过点。作CW_L(W交

CD于点、N,若四边形MONO的面积是4,则48的长为()

4

272C.4D.472

【答案】C

【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.过点。作OFLCD,证明

△OEM沿AOFN,进而得到四边形MOND的面积等于正方形。EDE的面积，进而求出。E的长，即可得解.

【详解】解：过点。作于点£,OFLCD于点尸,

则：ZOEM=ZOFN=ZOFD=90°,

:四边形48CD是正方形，

OA=OD=OC,ZADC=9cp,

AAE^DE=-AD=-CD^DF,四边形OEDF为矩形,

22-

.••四边形。即尸为正方形，

AOE=OF,AEOF=90P,

ON1OM,

：.NMON=90°=NEOF,

ZEOM=ZFON,

AOEMaOFV(ASA),

正方形OEDE的面积等于四边形MOND的面积，

•*-DE2=4，

...DE=2(负值已舍掉)；

AB=AD=2DE=4；

故选：C.

5

10.抛物线、="2+反+。的对称轴是直线》=-2,抛物线与X轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间，其

部分图象如图所示，下列结论①4a-6=0；②。-6+c>0；③关于x的方程也?+区+°=2有两个不相等实

数根；④当x>-2时，y随x增大而增大；⑤abc>0；⑥y的最小值为3.其中正确的个数是()

【答案】B

【分析】本题考查了V=Q2+6x+c的图象与性质，根据对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点，补全图象

是解题关键.

【详解】解：：抛物线了="2+法+0的对称轴是直线》=-2,

b=4a,

即：4a-b=0,故①正确；

V抛物线与X轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间，对称轴是直线X=-2,

•••抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和点(0,0)之间，

补全图象如下：

...当x=-l时，y=a-b+c>Q,故②正确；

由图象可知：抛物线与直线y=2有两个交点,

故关于x的方程办2+厩+c=2有两个不相等实数根，故③正确;

6

由图象可知：当x>-2时，y随x增大而减小，故④错误；

:图象开口向下，

a<0

*.*b=4a,

：.b<0

结合抛物线与X轴的两个交点范围可知，抛物线与，轴负半轴相交，

c<0,

/.abc<0,故⑤错误；

由图象可知：歹的最大值为3,故⑥错误；

故选：B

第n卷

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.因式分解：,ia2-3b1=.

【答案】3,+»（"6）

【分析】此题考查了多项式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键.利用提公因式法和平方差

公式分解因式即可.

【详解】解：3a2-3b2

=3（/一〃）

=3（a+6）（a-b）

故答案为：3（a+Z>）（a-Z>）.

12.若无巨在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.

2

【答案】x>2

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键.直接利用二次根式有意

义则被开方数大于或等于零即可得出答案.

【详解】解：立三在实数范围内有意义，

2

故x—220,

解得：x>2.

7

故答案为：x>2.

13.圆锥的底面半径是3aw,母线长10cm,则它的侧面展开图的圆心角的度数为.

【答案】108°

【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为〃。，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥

底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2.3=噜¥，然后解关于〃的方程即可.

【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为"°,

根据题意得2^3==^

180

解得〃=108,

即圆锥的侧面展开图的圆心角为108。.

故答案为：108。.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

14.如图，直线。〃6,将含有45。角的三角形板N8C的直角顶点C放在直线6上，若Zl=27。，则N2的

度数为.

【答案】18°/18度

【分析】如图，过3作直线。的平行线3E,则直线。〃Z2=ZABE,Zl=ZCBE=27c,根据

Z2=NABE=ZABC-NCBE,计算求解即可.

【详解】解：如图，过8作直线。的平行线3E,

,:直线a"b,

二直线a〃6〃8£,

Z2=ZABE,Zl=Z.CBE=27°,

8

,?ZABC=A5°,

Z2=ZABE=ZABC-NCBE=18。，

故答案为：18。.

【点睛】本题考查了平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.

15.若关于x的一元二次方程/一2》+〃?=0有两个不相等的实数根，实数机的取值范围是

【答案】m<1/1>m

【分析】利用方程有两个不相等的实数根时，A>0,建立关于加的不等式，求出加的取值范围.

【详解】解：•.・关于x的一元二次方程/-2x+m=0有两个不相等的实数根，

AA=(-2)2-4m>0,即4一4机>0,

解得:m<1,

故答案为：7〃<1.

【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△>()时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

16.如图所示，在平行四边形488中，点尸在CD上，且CF：。尸=1：2,贝US,：S平行四边形Z6CD-.

【答案】1：24

【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设C尸=a,DF=2a,S、CEF=S，

则CD=3a,利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数解

决问题.

【详解】解：设CF=a,DF=2a,S©=S,贝IJCD=3a,

四边形/BCD是平行四边形,

AB=CD=3a,AB//CF,

ACFESDBE,

CFCE\

AB一AE一3'

S、EFC_]

S9'

4Ats匕

9

:♦SHE=3s,

S4ABe=12S,

••S平行四边形age。=2L%=24S,

•v,v—rod

,•°ACEF・。口ABCD—'

故答案为:1：24.

17.《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”

译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出7钱，还差三钱.问合伙人数、羊价各

是多少？”设合伙人数为x人，羊价为y钱，可列方程组为

5x+45=y

【答案】

7x4-3=y

【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”中的等量关系分别列二元一次方程,

即可求解.

【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y元,

依据“若每人出5钱，还差45钱”得：5x+45=y,

依据“若每人出7钱，还差3钱”得：lx+3=y,

5x+45=>

因此可列方程组为:

7x+3=y

5x+45='

故答案为:

7x+3=y

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

18.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容

方几何？”其大意是：如图，Rt4/BC的两条直角边的长分别为5和12,则它的内接正方形C£）斯的边长

为.

・小田、60-9

【答案】I7/3i7

【分析】先设正方形的边长为x,再表示出DE,AD,然后说明并根据对应边成比例得

10

出答案.

【详解】根据题意可知/C=5,BC=T2.

设正方形的边长为x,则庞二CD=x,AD=5-x.

・・,四边形CO跖是正方形，

・・・/O/ADE=9G。.

•・♦4="

VADEs丛ACB,

.ADDE

・・就一兹，

即左£=2L,

512

解得X*.

所以正方形的边长为三.

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段

长的常用方法.

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10

分，第26题12分，共66分）

19.计算：（万-3.14）°-痔-W-2COS30词与

【答案】-3

【分析】直接利用零指数、绝对值、立方根、特殊角的函数化简计算即可.

【详解】解:（万一3.14）°-|6-2卜2cos30°+历

-1+V3-2-2X--2

2

=1+g-2-6-2

=—3.

【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握零指数、绝对值、立方根、特殊角函数值，熟练计算.

20.先化简，再求值：江4+（》+2-一=）,其中x=&+3.

x-2x-2

【答案】一二，

X—32

11

【分析】原式第二项变形后约分，然后通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将X的值代

入计算即可求出值.

【详解】解：原式=山十土」

x—2x-2

x+3x-2

x—2(x+3)(%—3)

1

工一3

1日

当x=0+3时，原式=方=-----.

V2+3-32

【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的

乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式.

21.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌。，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部。的仰角为60。.沿

坡面48向上走到B处测得广告牌顶部。的仰角为45。，已知山坡的坡度i=1:6,48=8米，4E=10米.

C

□。

□

□

B445。/□

\./60°□

HAE

(1)求点3距水平面/E的高度28；

(2)求广告牌CD的高度.

【答案】⑴4米；

(2)广告牌CD的高度约为(14-6")米.

【分析】(1)在Rt2X/Af/中，通过解直角三角形求出58、即可；

(2)过3作3G_LD£于G在VNOE解直角三角形求出。£的长，进而可求出E8即8G的长，在Rt^C5G中,

NC8G=45。，则CG=3G,由此可求出CG的长，然后根据CD=CG+GE-Z)E即可求出广告牌。的高度.

【详解】(1)解：在RtZ\488中，

12

tanNBAH=-\==

V33

/BAH=30°,

二58=4米;

2

(2)过3作3G_LOE于G,

如图所示:

C

。

口

□口

□

“45°G□

60°□

HAE

由(1)得:

88=4米，AH=4乖，米,

RtZXCBG中，ZCBG=45°,

CG=8G=(4>/i+10)米,

R3/DE中，ZDAE=60°,/E=10米,

；.DE=6AE=IQ拈米,

：.CD=CG+GE-DE

=473+10+4-1073

=(14-6班)米

答：广告牌CD的高度约为(14-66)米.

【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三

角形的问题是解答此类题的关键.

22.如图，在“8C中，=点。为3c中点，过点4c分别作的平行线，相交于点E.

13

（1）求证：四边形4DCE为矩形；

4

⑵连接若tan/C3E=],CD=3,求48的长.

【答案】（1）见详解

⑵加

【分析】（1）先根据平行四边形的判定，证明四边形/DCE是平行四边形，再根据矩形的判定，证明

ZADC=90°即可；

（2）根据矩形的性质，三角函数，及勾股定理即可得出结果.

【详解】（1）证明：由题意得/E〃CD,/O〃CE,

四边形NDCE是平行四边形，

AB=AC,点。为3C中点，

.SBC,即//DC=90。，

四边形/DCE为矩形；

（2）解：：四边形4DCE为矩形，

ZBCE=ZADB=90°,

;点。为8C中点，

:.BC=2CD=6,BD=?>,

CECE4

在'R1ABCE中，tanZ.CBE=----=----=—,

BC63

解得：CE=8,AD=CE=8,

在RtA&D3中，AB=yjAD2+BD2=782+32=V73»

故的长为月.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质,

14

熟练掌握定理与性质是解题的关键.

23.为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次.现对九年级（1）

班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题.

投篮命中率条形统计图投篮命中率扇形统计图

（1）九年级（1）班的学生人数%=_人，扇形统计图中“=_%；

（2）扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为_。；

（3）在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列

表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

【答案】（1）40,55

⑵36

【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所

占的百分数；

（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；

（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解.

【详解】（1）解:九年级（1）班的学生人数加=12+30%=40（人），

投中2次的人数为：40-2-12-4=22（人），

_22

扇形统计图中〃=—xl00%=55%,

40

故答案为：40,55；

•14

（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：—X360°=36°,

40

故答案为：36；

（3）解：画树状图如下：

15

开始

男1男2女1女2

/N/K/K/K

男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，

_8__2

12-3，

即恰好抽到一男一女的概率是:.

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表或画树状图法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇

形统计图间的信息进行关联，掌握列表或画树状图法求概率的原理.

24.如图，在平面直角坐标系中，ABC的边在V轴上，/。〃无轴，点。的坐标为(4,6),48=3,将“6。

向下方平移，得到9£尸，且点A的对应点。落在反比例函数y=：(x>0)的图象上，点8的对应点E落在x

轴上，连接OD,OD〃BC.

(1)求证：四边形也为平行四边形；

(2)求反比例函数y=*>0)的表达式；

(3)求AABC平移的距离及线段3c扫过的面积.

【答案】(1)见解析

12,、

⑵y=T(x>o)

(3)5,24

【分析】(1)利用平移的性质，可得出8C〃跖,/C〃。厂由/C〃x轴且OE在x轴上，可得

出/C〃您，结合/C〃。尸，可得出DF〃OE,由OD〃BC,BC〃EF,可得出OD〃£F,再利用“两组对

边分别平行的四边形是平行四边形”，可证出四边形右为平行四边形；

16

(2)连接CO,易证四边形BCDO是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出〃/8,结合DE〃AB,

可得出GD,E三点共线，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出的长，结

合DE=AB=3,可得出点。的坐标，再利用反比例函数系数上的几何意义，可求出发的值，进而可得出反

比例函数的表达式；

(3)连接BE,CF,在RMBOE中，利用勾股定理，可求出3E的长，由此可得出。平移的距离为5,

由BC〃EF,BC=EF,可得出四边形BCFE是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式,

即可求出线段8C扫过的面积.

【详解】(1)证明：由平移的性质，得：BC//EF,AC//DF,AB//DE,

•••/C〃尤轴，且在x轴上，

AC〃OE,

DF//OE.

OD//BC,BC//EF,

OD//EF,

四边形ODEE为平行四边形；

(2)解：连接CD,如图1所示.

四边形OD/芯为平行四边形,

OD=EF=BC,

y.-：OD//BC,

，四边形8cDO是平行四边形,

:.CD=OB,CD//AB,

•1-DE//AB,

C,D,E三点共线.

•.•/C〃尤轴，在x轴上，CE||AO,

二四边形4CE■。是平行四边形，

17

/.OE=AC.

•・•点。的坐标为（4,6）,/B=3,

:.0E=AC=4,DE=AB=3,

.••点。的坐标为（4,3）.

丁点。在反比例函数>=：（x>0）的图象上,

「"=4x3=12,

・••反比例函数的表达式为y=?（x>0）；

（3）解：连接BE,CF,如图2所示.

在RtABOE中，OB=OA—AB=6—3=3,0E=4,

.­.BE=y/OB2+OE2="+4?=5，

.•.A/8C平移的距离为5.

BC//EF,BC=EF,

，四边形BCFE是平行四边形，

/.S„=2s„„=2x—CE-OE=2x6x4=24,

OjDrCPrPcAJOrCU22，

线段BC扫过的面积为24.

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反

比例函数系数上的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：⑴由平移的性质及平行线的性

质，找出。尸〃OE及OD〃斯；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点。的坐标；（3）利用勾

股定理及平行四边形的性质，求出8E的长及平行四边形8CFE的面积.

25.如图，在RtZS/BC中，NABC=90。,43是O。的直径，。。交NC于点。，过点。的直线交于点

E,交48的延长线于点尸，PD是。。的切线.

18

⑴求/COB的度数；

⑵若AP=3,2P=2PDB,求图1中阴影部分的周长；

(3)如图2,若连接。M,交AB于点、N,tanZDMB=1,求的值.

【答案】(l)/CDB=90。

⑵万+36

瑶

【分析】(1)根据直径所对的圆周角为直角进行解答即可；

6n乂勿■乂a

(2)证明AOBD是等边三角形，可得4＞。8=60。，再由弧AD的长度==",在RtZXCDB中，求出

CD=6BC=2s]3,则阴影部分的周长为乃+3省；

(3)连接M9，/M,过。作_L4B于反点，利用同弧所对的圆周角相等，得到tan/DAB=tanZDMB=

2

设BO=x,贝!!/D=2x,求出/g=J.+BD?=&，由4BDH=4DDB得:0H=名纱，证明

.，〜0MMN4一5

△OMNs^HDN,得出八〃二二77=八厂=工，即可求出A£¥：MD.

DHND2V5X59

5

【详解】(1)解：・.・/5是。。的直径，

・•・ZADB=90°,

：.ZCDB=ZADB=90°.

(2)解：连接00,如图所示：

19

•：/P=/PDB,

：.BD=BP=3,

•・•尸。是。。的切线，

：.ODVPD,

：.ZODB+ZPDB=90°,ZP+/POD=90°,

XV/P=/PDB,

：.ZODB=APOD,

：.OB=BD=3,

：.OB=BD=OD,

.•・△005是等边三角形.

：.ZDOB=ZOBD=60°,

・-.nr»60^x3

・・弧DB的长度==兀，

180

在RtZXCDB中，BD=3,ZCBD=90°-ZOBD=30°,

二CD=BDxtan^CBD=3x—=73，

3

；•BC=2CD=2#,

阴影部分的周长为：%+3省.

(3)解：连接MO,AM,过。作。于8点，如图所示:

tanZ.DAB=tanZ.DMB=—

2

20

...设BD=x，则/。=2尤，AB=＜AI)2+BD?=&，

?/7

由4B・DH=4D-DB得:DH==^—,

5

,:AM=BM,OA=OB,

OMLAB,

：.OM//DH,

：.AOMN^AHDN,

好

.OM_MN__4

''~DH~^D~2y[5x~~5,

5

.MN_5

・•赤―，•

【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，切线的性质，弧长公式，同弧所对的圆周角相等，

直径所对的圆周角为直角，三角形相似的判定及性质，平行线的性质是解题的关键.

26.定义:在平面直角坐标系中，抛物线＞=加+加+4g0)与了轴的交点坐标为(O,c),那么我们把经过

点(O,c)且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线.

【特例感知】

(1)抛物线y=d+2x+l的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为.

【深入探究】

⑵经过点Z(-2,0)和8(x,0)(x＞-2)的抛物线＞=+^mx+n与夕轴交于点C,它的极限分割线与该抛

物线另一个交点为。，请用含加的代数式表示点。的坐标.

【拓展运用】

(3)在(2)的条件下，设抛物线＞=；加x+〃的顶点为尸，直线E尸垂直平分。C,垂足为E,交该抛

物线的对称轴于点尸.

①当NCA尸=45。时，求点P的坐标.

②若直线E尸与直线跖V关于极限分割线对称，是否存在使点尸到直线跖V的距离与点3到直线E尸的距离

相等的根的值？若存在，直接写出机的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴(0,1)和(-2,1)

21

⑵点r＞的坐标为(2私加+1)

(3)①顶点为小。或顶点为②存在，机=0或机=2+2收或加=2-2亚

【分析】(1)根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可.

(2)把点/(-2,0)代入解析式，确定〃=加+1,根据定义建立方程求解即可.

(3)①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可.

②设跖V与对称轴的交点