2023-2024学年高考数学直线和圆的方程专项练习题（含答案）

2023-2024学年高考数学直线和圆的方程小专题

一、单选题

1.直线x+6〉-3=°的倾斜角是（）

A.30。B.60°C.150。D.120°

2.直线/：2如C+y-加-l=0与圆C:x2+。-2）2=4交于a两点，则当弦■最短时直线

1的方程为（）

Ax—4y+3=0B2%—4y—3=0

C2x+4-y+1-0D2x—4y+3=0

3.实数x,y满足，2+/-，6x-4y+4=0,则x+2的最大值为（）

1516+3岳

A.8B.3+2应c,7D.0

4.若两平行直线x+2y+加=°（加＞°）与Xi尸3=0之间的距离是世，贝lj加+〃=（）

A.-1B.0C.1D.可

5.设直线/的方程为x+"°sO+3=°（deR）,则直线/的倾斜角a的取值范围是（）

兀兀）兀3兀

A」。，71）B,-4,2＞c.-4,4

6.已知点/（TO,'◎』），直线/过点CM）且与线段N8相交，则直线/与圆

酸6）2+r=2的位置关系是（）

A.相交B.相离

C.相切或相离D.相交或相切

7.两圆G：/+/=/与。2：6-6）2+3+2）2=，（厂＞0）外切，则,的值为（）

A.而TB.2

c.屈D.MT或加+i

8.直线=x+a和4：y=x+6将单位圆C:X2+/=2分成长度相等的四段弧，则

a2+b2=（）

A.^2B.2C.3D.4

二、多选题

9.已知直线/：d+a+l）x-V+l=。，其中aeR,贝|（）

A.当。=-1时，直线/与直线x+N=°垂直

B.若直线/与直线x-y=°平行，则。=°

C.直线/过定点（°，1）

D.当。=°时，直线/在两坐标轴上的截距相等

]0已知直线加：（。+1）X+即+2=°,n:ax+（1-a）y-l=O则（）

A.直线“恒过点（2=2）B.若加〃“，则"2

C.若机贝M=1D.当时，直线〃不经过第三象限

11.圆/+y2-4x-i=o（）

A.关于点（2,°）对称

B.关于直线＞=°对称

C.关于直线x+3y-2=0对称

D.关于直线x-"2=°对称

2

12.已知直线（2"?+l）x+（l-⑼V-机-2=0（%eR）与圆：x+/-4x=0；则下述正确的是

（）

A.对V/neR,直线恒过一定点

B.3wgR,使得直线与圆相切

C.对V/eR,直线与圆一定相交

D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为2&

三、填空题

13.若直线mxr-（加+5）=0与直线2x_3+l）y+3=0平行，贝色=

14.已知圆的圆心在直线x_2y_3=0上，且过点/（2，-3）,3（-2,-5）,则圆的一般方程为

15.在平面直角坐标系中，矩形。/8C,°（°，°）,"（2,0）,C（0,l）,将矩形折叠，使。点

落在线段8c上，设折痕所在直线的斜率为左，则左的取值范围为.

16.在平面直角坐标系xP中，圆Ci"'*/：2关于直线/对称的圆为

22

C2:x+y+2x-4y+3=0则/的方程为

答案:

1.c

【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角.

【详解】直线、+届-3=0的斜率为一设倾斜角为a,

_V3

tancc-------

则3,且0。4&<180。，所以a=150。.

故选：C.

2.D

【分析】先求直线所过定点，结合图形分析，由直线1与CP垂直时弦最短可解.

【详解】由2加1+/_机_1=0得(2x_l)%+j_]=0,

，_1

12x-l=0<X=2J\]

则令1了-1=。,解得卜=i,故直线/过定点D,

由-+3-2)2=4,则圆心C(0,2),半径r=2,

,_1-2_。

kcp=~~r~=-2

—k=—

当48LC尸时，弦最短，直线CP的斜率2,则直线/的斜率AB2,

1一"1)

y—1—-X—

故直线/为‘2人则2x-4y+3=0.

【分析】/+/-61了+4=0可化为6-3）2+（了-2）2=9,表示圆心为C（3,2）,半径为

y+1

3的圆，高工表示圆上的点々J）与点,（一2,T）连线的斜率，设过/（一2，-1）且与圆C相切的直

线为V+l=*（x+2）,利用点到直线的距离等于半径，结合图形即可求解.

[详解]/+/_6工一4了+4=0可化为(x-3y+(y-2)2=9,

表示圆心为C**),半径为3的圆.

y+1

高工表示圆上的点与点M一2,T)连线的斜率.

设过2(-2,7)且与圆C相切的直线为了+1=左6+2),即区-y+2左-1=0,

|3左一2+2左一1|_|5左一3|_315

所以VF+T7F+T,化简可得16公=30左，解得左=0或一8,

y+i15

由图可得x+2的最大值为8.

故选:A.

4.B

【分析】根据平行直线的性质，结合平行线间的距离公式进行求解即可.

【详解】因为直线"2了+加=°(加>°)与直线x-〃y-3=0平行，

1—n-3

—=—w—

所以有12心，所以有"=-2,加~3,

又因为这两条平行线间距离为石，

卜+3=y[sn\m+3]=5n机=2

所以有«+2,,或加=-8<0舍去，

所以机+〃=°,

故选：B

5.C

71

【分析】当cos8二°时，可得倾斜角为5,当cosOwO时，由直线方程可得斜率

1

k7=---------=tana

COS0然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.

71

【详解】当cos。=°时，方程变为x+3=0,其倾斜角为2,

k=__!_

当COS6W0时，由直线方程可得斜率COS0,：。。56€[-1,1]且85。工0,

.兀兀）（兀3兀

ke（-oo,-l]o[l,+00^即tanaw卜[l,+oo）又打£[0,兀）…“仁4’2广（2,4

兀3兀

综上所述，倾斜角的范围是14'4一.

故选：C.

6.C

【分析】求得直线NC,8c的斜率，进而可求直线8c的方程，结合图形，依据直线BC与

圆的位置关系即可得出结论.

限=3T=]k3-1=]

【详解】因为直线/C的斜率为"1一（一1）,先一匚？一一，

且直线/经过点。0'3）且与线段43相交，所以直线/的斜率左的范围为（一叫一“口心+②），

由圆（XT0+）=2,可得圆心"（6,0）/=应,直线BC的方程为＞一3=-（1）即

x+y—4=0

,|6+0-4|/-

d=-----j=—=y/2=r

圆心E到直线3c的距离为

故直线/与圆相切或相离.

7.C

【分析】根据两圆相外切列方程，化简求得正确答案.

【详解】圆G的圆心为G（0'°）,半径为「，圆的圆心为。2（6,-2）,半径也为小

因为圆G与圆外切，所以1。。|=附+（-2）2=厂+二

即2r=V40=2V10,解得r=JT5

故选:C.

=1

【分析】每段弧所对的圆心角都为2,故圆心到直线4和4的距离都等于，结合

圆心到直线的距离求得时'回，从而求得正确答案.

【详解】/i：x_y+Q=o，：x_)+6=o,

依题意可知小b,且两条直线的斜率都为1,两直线平行.

由于4和4将单位圆分成长度相等的四段弧，

71

所以每段弧所对的圆心角都为5,

77A/2X=1

所以圆心到直线4和4的距离都等于2,

「

即M血=1’M应=i，同=同=也，

所以，+/=2+2=4.

故选：D.

【分析】计算直线斜率判断A；由平行求出参数值判断B；求出直线过的定点判断C；求出

直线的截距判断D.

【详解】对于A,当。=-1时，直线/的方程为x-V+l=°,其斜率为1,而直线x+V=°的

斜率为-1,

因此当。=-1时，直线/与直线x+N=°垂直，A正确；

对于B,若直线/与直线=°平行，贝仔?+。+1=1,解得。=。或。=T,B错误；

对于c,当》=°时，y=l,与。无关，则直线/过定点（°，1）,C正确；

对于D,当。=°时，直线/的方程为x-N+l二°,在两坐标轴上的截距分别是T,1,不相

等，D错误.

故选：AC

10.BD

【分析】变形后得至广（x+y）+x+2=°,得到直线机恒过点（-2,2）；B选项，根据平行得到

方程，求出答案；C选项，根据垂直关系得到方程，求出。=0；D选项，分。=。，。=1和

三种情况，得到答案.

【详解】A选项，加：（"+1卜+即+2=°变形为“（x+y）+x+2=°,

卜+2=0fx=-2

令［x+y=0,解得卜=2,故直线加恒过点（一2,2）,人错误；

2_J_

B选项,mlln,故（。+1）（1-。）--=0且-8+1）-2"0,解得。-BM；

C选项，g7,故。（。+1）+。（j）=0,解得a=0,c错误；

D选项，当。=°时，y=l,不经过第三象限，

当。=1时，x=l,不经过第三象限，

_a1

若0<。<1时，〃："+0—a）,—1=0变形为>（2-1X+,

-^-<0-^―>0

其中aT,,

故"："+0一">"一1=°经过第一，二，四象限，不经过第三象限，

综上，当°41时，直线〃不经过第三象限，D正确.

故选：BD

11.ABC

【分析】将圆的方程转化为标准方程，可得圆心，进而判断各选项.

【详解】由圆的方程为x2+'2-4x-l=0,即6-2）一+丁=5,

即圆心的坐标为（2°）,

A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2°）是圆心，A选项正确；

B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线>=°过圆心，B选项正确；

C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x+3v-2=°过圆心，c选项正确；

D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线'一了+2=°不过圆心，D选项不正确;

故选：ABC.

12.ACD

【分析】由直线方程确定其所过的定点坐标，判断该定点与圆的位置关系即可判断

A、B、C；根据直线与圆相交弦长最短，只需定点（1刀与圆心（2，°）的连线与已知直线垂直，

几何法求最短弦长判断D.

（2x-y-l=O[x=l

【详解】由题设加（2x-y-l）+x+V-2=。，令[x+y-2=01y=l,

所以直线和+Dx+-m-2=0（meR）恒过定点（1,D,A对；

又/+/-4x=°的标准式为（X-2）2+/=4,显然Q_2）2+F=2<4,

所以点（U）在圆/+V-4x=°内，故直线与圆必相交，B错，C对；

要使直线与圆相交弦长最短，只需定点（U）与圆心（2，°）的连线与已知直线垂直，

此时定点与直线距离为4>2）2+。-0）2=也,又圆的半径为2,则最短相交弦长为

23一（扬2=2四,D对.

故选：ACD

13.1

【分析】根据两直线平行可得"'一（"'+D]=（T）x2,求出加再验证即可.

【详解】因为直线蛆7一（加+5）=。与直线2尸（加+A+3=0平行，

所以加［一(加+1)］=(-1)/2,即/+加一2=0,解得机=1或机=一2.

当7〃=］时，直线mx_y-(m+5)=0即为x-y-6=0,

直线2x-(m+l)y+3=0即为2x-2y+3=0,两直线平行.

当机=-2时，直线加x-y-(加+5)=0即为一2x-y-3=0,即2x+y+3=0,

直线2x-(m+l)y+3=0即为2》+了+3=0,两直线重合，不符合题意.

故加=1.

故1.

14/++2x+4y-5—0

【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；

方法二：求出线段N2的垂直平分线方程，联立x-2y-3=°求出圆心坐标，进而计算出半径,

写出圆的标准方程，化为一般方程.

【详解】方法一：设所求圆的标准方程为&--6)2="，

(2-tz)2+(-3-fe)2=r2

<(-2-a)?+(-5-A7=r2

ci—2b—3=0

由题意得：〔，

a=-1,

vb=—2,

解得：1f

故所求圆的方程为(X+1)2+。+2)2=10,

即X2+y2+2x+4y—5=0

p-2-3-5)

方法二：线段的中点坐标为I2'2J,即(°，-4),

-5+3_1

直线48的斜率为HI-5,

所以线段的垂直平分线的斜率为-2,

所以线段的垂直平分线方程为y+4=-2X)即2x+y+4=0,

由几何性质可知：线段42的垂直平分线与x-2y-3=°