2024年高考数学题型 第16讲 导数与函数的极值、最值 解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第16讲导数与函数的极值、最值(精讲)

题型目录一览

①求函数的极值与极值点

②极值、极值点中的参数问题

③求函数的最值

④最值中的参数问题

⑤函数极值'最值的综合应用

、知识点梳理

i.函数的极值

函数/(X)在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(x)</(x0),则称/(X。)是函数的一个极大值,

记作y极大值=/(/)•如果对/附近的所有点都有外幻>/(/)，则称/(x0)是函数的一个极小值，记作

y极小值=/(修)•极大值与极小值统称为极值，称/为极值点・

求可导函数f(x)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(X)的定义域；

(2)求导数((X)；

(3)求方程/'(x)=0的根；

(4)检验/'(X)在方程/'(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那

么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)在

这个根处取得极小值.

注①可导函数/(x)在点4处取得极值的充要条件是：X。是导函数的变号零点，即/(%)=0,且在与左侧

与右侧，f'(x)的符号导号.

②/'(为)=0是4为极值点的既不充分也不必要条件，如/(x)=x3,/'(0)=0,但%=0不是极值点.另外,

极值点也可以是不可导的，如函数/*)=可，在极小值点$=0是不可导的，于是有如下结论：与为可导

函数/(尤)的极值点n/'(%)=0；但/(端)=Ogv“为f(x)的极值点.

2.函数的最值

函数y=/(》)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(X)最小值为极小值与靠近极大值

的端点之间的最小者.

一般地，设y=/(x)是定义在[,〃，川上的函数，y=/(x)在。九，〃)内有导数，求函数y=/(x)在[〃?，川上

的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(x)在(相，〃)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y=/(x)的各极值与/(附和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是

对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【常用结论】

(1)若函数/(X)在区间D上存在最小值和最大值/(X)nm,贝IJ

不等式/(x)>a在区间D上恒成立o/(x)m,n>a；

不等式f(x)>a在区间D上恒成立。/(x)m,n>a；

不等式在区间D上恒成立o<b-,

不等式/(x)<b在区间D上恒成立。/(力皿、<b；

(2)若函数/(x)在区间D上存在最小值/(力皿,和最大值/⑴心，即/(x)则对不等式有解

问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间D上有解/(X)|)KIX；

不等式在区间D上有解oaW/(x)1im；

不等式a>在区间D上有解oa>/(x)m.n；

不等式a>/(x)在区间D上有解<=>a>/(x)1n,n；

(3)对于任意的王e[a,句，总存在々w[m,/?],使得/(xJWg(w)o/(x,)1raxWg(w)1ra,;

(4)对于任意的王目，总存在毛e[m,n\,使得/(百)海(£)0/(石)11血火(士),疝,；

⑸若存在玉b],对于任意的々Wm,n],使得/(%)Wg(%)0/(^).Wg(%)小；

⑹若存在0，对于任意的电1nln\,使得(电皿*(电)皿;

(7)对于任意的王e[a,可，x,e[m,。使得/(%)Wg(7)o/(%)111axWg&L;

(8)对于任意的％«a,目，A2Glm,小吏得/(%)之g(W)O〃X))1Tli°々(电)1raJ

⑼若存在西w[a,国，总存在马w[m,n],使得/(石)点(々)0/(石)“而Wg(%)111ax

(10)若存在石e[a,句，总存在/egn],使得了(%)之8(%2)0/(石)111axNg(/)1nhi•

二、题型分类精讲

题型一求函数的极值与极值点

【答案】见详解.

【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进而求得极值.

【详解】〃x)=J+x+l,定义域为R,尸(工)=1一==々.

eee

①当时，/")>0,“X)在R上为增函数，“X)无极值.

②当。＞0时，令/'(x)=0,得e'=〃，x=\na.

当x£(-oo,lna),/z(x)<0；当xe(lna,+oo),/,x)>0；

(x)在(F,hw)上单调递减，在(In区”)上单调递增，

““在x=ln〃取得极小值，极小值为/(ln〃)=ln〃+2,无极大值.

综上所述，当aWO时，“X)无极值；当”>0时，“X)有极小值〃lna)=lna+2,无极大值.

【题型训练】

一、单选题

1.(2023•全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(尤)，其导函数尸(x)的大致图象如图所示，则下列

叙述正确的是()

A./(&)>/(a)>/(c)

B.函数.f(x)在x=c处取得最大值，在X=e处取得最小值

C.函数在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值

D.函数“X)的最小值为/”)

【答案】C

【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.

【详解】由题图可知，当x4c时，f'(x)30,所以函数/(x)在(-?,c］上单调递增，

又avbvc,所以故A不正确.

因为r(c)=0,/'(e)=0,且当x<c时，/qx)>0;当c<x<e时，/'(x)<0；

当x>e时，>0.所以函数/(x)在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e处取得极小值，

不一定是最小值，故B不正确，C正确.

由题图可知，当公时，r(x)<0,所以函数/(x)在［d,e］上单调递减，从而/⑷>/(e),所以D

不正确.

故选：C.

2.(2023・广西•统考模拟预测)函数/(x)=d+必在x=l处取得极小值，则极小值为()

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】C

【分析】求出函数〃x)的导数，利用极小值点求出a值，再借助导数求出极小值作答.

【详解】依题意，/'(力=3/+。，因为函数/5)在x=l处取得极小值，贝！=3+。=0,解得。=—3,

此时尸(X)=3X2-3=3(X+1)(X—1),当X<-1或X>1时，f'M>0,当—时八幻<0,

因此函数/(x)在上单调递增，在(-L1)上单调递减，

所以函数/(x)=V-3x在x=1处取得极小值/(1)=-2.

故选：C

3.(2023♦全国•高三专题练习)已知函数=alnx-《的极值点为1,且/«2)=1,则的极小值为()

A.-1B.一。C.bD.4

【答案】D

【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解〃，以再求函数的极小值.

【详解】r(x)=，9=F，，⑴=0,%2)=1,

a+b=0

所以<2a+Z?,解得：a=4,。=-4,

--------=1

I4

/(x)=41nx+-

所以尸(x)=^^,得x=l,x«0,l)时，r(x)<0,用x)>0,

所以x=l是函数的极小值点，/(1)=4,

故选：D

4.(2023春・河北•高三校联考阶段练习)已知函数〃X)=X3+*LL9X,则〃x)的极大值为()

A.-3B.1C.27D.-5

【答案】C

【分析】求导数，求出尸(2),得到解析式，利用导数求函数单调区间，得到极值.

【详解】因为"x)=/+婴》2_9乂，所以尸(X)=3》2+^£1%一9,

则/'(2)=12+3'(2)-9,解得/(2)=15,

故/(x)=x'1+3x2-9x,/z(x)=3x2+6x—9=3(x+3)(x—1),

当x<-3或x>l时，制x)>0,当-3<x<l时,/'(x)<0,

/(x)在(TO,-3)和(1,一)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，

则当x=-3时，“X)取得极大值27.

故选：C

5.(2023・四川•高三专题练习)函数y=(x-2)e'+gx2-x的极值点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】对函数求导，求出导函数的零点，并求出在零点两侧导函数值的正负，即可判断零点个数.

【详解】由题意得，y=(x-l)e'+x-l=(e^+l)(x-l),

令y，=o得x=i,令y>o得X>1,令y'<0得X<1,

故x=l为函数)，=(》-2心+白2-》的极小值点，

即函数y=(x-2)e，+gx2-x的极值点个数为1个.

故选：B

二、多选题

6.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=gx+sinx,其中》目0,2句，则下列说法正确的有()

A.“X)的极大值为]+日B.“X)的极小值为g-日

C..f(x)的单调减区间为停,2,D.仆)的值域为[0,可

【答案】ABD

【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.

【详解】r(x)二+COSX,xe[0,27t],令尸(x)=0,得户?或》=学，

当xe0与，附x)>0,函数“X)单调递增，当岁，r(x)<0,函数单调递减，当

xel(y4,7r27r,照x)>0,函数“力单调递增，

所以年是函数的极大值点，极大值/［引4+字9是函数的极小值点，极小值/传卜等，

故AB正确；C错误；

f(O)=O,/(2兀)=兀，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0,函数的最大值是兀，所以

函数的值域是［0,可，故D正确.

故选：ABD

7.(2023•山西运城,统考三模)已知函数/(x)=e2»-2e'-12x,则下列说法正确的是()

A.曲线y=f(x)在x=()处的切线与直线x+12y=0垂直

B.Ax)在(2,+oo)上单调递增

C./(x)的极小值为3—12ln3

D.f(x)在［-2,1］上的最小值为3—121n3

【答案】BC

【分析】求出函数的导函数，求出尸(0),即可判断A,求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.

【详解】因为/(x)=e2^-2el-12x,所以f\x)=2e2^-2ef-12=2(er-3)(e^+2),

所以/'(0)=-12,故A错误；

令用x)>0,解得x>ln3,所以/(x)的单调递增区间为(ln3,y),

而(2,依o)u(ln3,g),所以/(x)在(2,”)上单调递增，故B正确；

当x<ln3时/。)<0,所以〃x)的单调递减区间为(9,ln3),

所以〃x)的极小值为“In3)=3-121n3,故C正确；

/(x)在［-2,1］上单调递减，所以最小值为〃l)=e?-2e-12,故D错误；

故选：BC

三、填空题

8.(2023・全国•高三专题练习)函数〃x)=ln［x+S+x2的极大值点为.

【答案】x=-l

【分析】利用导数可求得“X)的单调性，根据单调性可得极大值点.

【详解】由题意知：“X)定义域为1*

、1c2x2+3x4-1(2x+l)(x+l)

f(x)=------+2x=----------——=-----------------

'''333

XH-XH—X+-

当(-义收)时，制勾>0；当xe(-L-g)时，〃x)<0；

\了⑴在,之-1),信收)上单调递增，在上单调递减，

.♦.x=T是“X)的极大值点.

故答案为：x=—\,

9.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=ei-Inx在x=l处取得极值，则函数g(x)=ax-2sinx的一个

极大值点为.

【答案】X=g(答案不唯一)

【分析】先利用条件求出。，从而得到g(x)=x-2sinx,再利用导数与函数单调性间的关系，求出g(x)的

单调区间，进而利用极值点的定义求出结果.

【详解】因为/(x)=ei-lnx,所以r(x)=e”"-；,贝！]r(l)=e〜-1=0,解得a=l,贝1|g(x)=x—2sinx,

所以g'(x)=l—28SX,

由^r(x)=l-2cosx=0,得到工=三+2E或工=当+2也,keZ,

jrS冗

由g'(x)N0,得到2E+—Wx42E+>,ZwZ,

33

由g[x)W(),得至IJ2E-14X42E+5，keZ,所以g(x)的极大值点为x=2E+牛，keZ,

当k=0时，x音，故g(x)的一个极大值点为工书(答案不唯一，满足X=2E+^,AeZ即可).

故答案为：x=y.

10.(2023・全国•高三专题练习)已知/(x)=丁-6/+9x-abc,且/(〃)=/(〃)=/1卜)=。，现给

出如下结论：

①f(x)Ml：②f(x)23；③〃())〃1)<()；

@/(0)/(3)>0；⑤出<4.

其中正确结论的序号是_.

【答案】③©⑤

【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.

【详解】求导函数可得f'(x)=31-12x+9=3(x-l)(x-3),

・•・当l<x<3时，/'(x)<0；当x<l,或x>3时，f'(x)>0,

所以f(x)的单调递增区间为(-8,1)和(3,+00),单调递减区间为(1,3),

所以/(x)的极大值为/⑴=l-6+9-Hc=4-M,

/(x)的极小值为〃3)=27-54+27-欣=-眼，函数没有最值，

要使/(x)=0有三个解“、b、c,那么结合函数f(x)草图可知：a<\<b<3<c,

所以/。)=4-血>0,K./(3)=-abc<0,所以0<abc<4,

/(0)=-abc,/(0)<0/(0)/(1)<0,/(0)/(3)>0,故①②错误；③@@正确.

故答案为：③④⑤.

四、解答题

11.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(X)=(/_-+l)e*.

(1)若。=3,求函数f(x)在区间［-2,2］上的值域;

⑵求函数/(x)的极值.

【答案】

e

(2)答案见解析

【分析】(1)求导，判断函数单调性求得极值，然后比较极值与端点函数值大小可得;

(2)求导，分a=0,a>0,讨论函数单调性，然后可得极值.

【详解】(D当。=3时,/«=(?-3x+l)e\

则/'(X)=(W-x-2)e*=(x+l)(x-2)e*.

当—2Vx<—l时，/'(x)>0,函数/(x)单调递增；当-l<x<2时，/'(x)<0,函数f(x)单调递减.

而/(一2)=?,/(-1)=|,/(2)=-e2,显然/(2)</(-2),故在区间［-2,2］上，/⑴讪="2)=-e?,

e-e

■/'(X)max=/(-!)=-.

e

_.5'

故函数/(x)在区间［-2,2J上的值域为-e2.

e

(2)f(x)=(x2-ax+l)e,xeR,

则/'(x)=［x2+(2-a)x+(1-a)］ev=(x+1-a)(x+l)er.

①当a=0时，/,(x)=(x+l)2et>0,所以〃x)在定义域上单调递增，不存在极值.

②当a>()时，令/'(x)=0,解得x=a-1或x=-l,又a—1>-1,所以当或x<-l时尸(x)>0,当

-1时f'{x)<0,

所以〃x)在(f,T)上单调递增，在(-1M-1)上单调递减，在3-1,—)上单调递增，

故/(x)在x=-1处取得极大值，/(X)极大值=f(T)=学，

在x=aT处取得极小值，/(x)极,岫=/(a—1)=(2—a)e'i.

③当a<0时，令/'(x)=0,解得x=a-l或x=-l,又

所以当x<a-l或x>—l时，/'(x)>0,当1时，f'M<0,

所以f(x)在(Yo,a-1)上单调递增，在(a-1,-1)上单调递减，在(-1,包)上单调递增，

故Ax)在x=处取得极大值，/(x)极大值=/(a-l)=(2-a)e<,-1；

/(x)在卡T处取得极小值，f(x)极小值=〃-1)=卓£.

综上，当a=0时，/(x)无极值；当a>0时，f(x)极大值=等，/㈤极小值=(2-a)ej

当。<0时，f(x)极大值=(2-幻尸1/⑶极小值=卓£.

12.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/。)=62+(a-2)尤—xlnx.

⑴设a=0.

①求曲线y=/(x)在点(1,/(功处的切线方程.

②试问/(“有极大值还是极小值？并说明理由.

(2)若〃x)在(O,e)上恰有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)①y=-3x+l；②有极大值，,f(x)没有极小值，理由见解析

【分析】(D①由导数的几何意义计算即可；②利用导函数判定函数的极值即可；

(2)法一、分离参数得色W=a,构造函数〃(幻=史卓判定其单调性及极(最)值，即可得出结果;

x+lX+1

法二、半分离参数，将问题转化为a(x+l)=lnx+2,两函数在(0,e)上有两个交点，利用导数的几何意义,

结合图象分析即可.

【详解】(1)因为a=0,所以〃x)=-2x—xlnx,尸(x)=-3—Inx.

①由/(1)=-3及川)=-2,

得曲线y=〃x)在点处的切线方程为：y—(-2)=-3(x-1),

即y=-3x4-1.

②令/<x)>0,得0<x<e-3;令/'(x)<0,得x>e-3.

所以/(x)在(0,底)上单调递增，在(e",+8)上单调递减，

所以/(》)在》=67处取得极大值，没有极小值.

(2)法一、

由/(x)=0,得or-lnx+a-2=。，

则a一=〃.设函数人(0=生手">0),则/x)_：Tnx-l.

令函数0(x)=：Tnx-l,易知*(x)在(O,e)上单调递减，且仪1)=0,

所以当0<x<l时，。(x)>0,当l<x<e时，«9(x)<0.所以〃(x)在(0,1)上单调递增，在(l,e)上单调递减，

则〃(鼠=项)=1・由〃©=告<1，得

故a的取值范围是(5」).

法二、

由/(x)=0,得依—lnx+a—2=0,

则a(x+l)=lnx+2.设函数/z(x)=lnx+2,则〃(x)=L

设直线y=a(x+l)与曲线y=〃(x)切于点55』n七+2),则＜/

tz(x0+1)=Inx()+2

整理得a+ln〃=L令姒x)=x+lnx,易知其为增函数，且姒1)=1,所以a=L

直线y=a(x+1)过定点A(TO),当该直线经过点C(e,3)时，。=西.

3

数形结合可知，当且仅当时，直线y=a(x+1)与函数/zW=lnx+2(0vxve)的图象恰有两个

交点，即“X)在(o,e)上恰有两个零点，

故a的取值范围是(言,1).

【点睛】本题考察导数与函数的综合，属于压轴题.第二问含参函数在定区间的零点问题的处理方式常有：

分离参数法，将问题转化为参数与一个函数在定区间的交点问题；半分离参数，将问题转化为一个简单的

含参函数与另一个简单的函数的交点问题.

题型二极值、极值点中的参数问题

2

【典例I］已知函数/(x)=or-(2a+l)lnx--，aeR.

x

(1)若函数f(x)在X=1处取得极值，求〃的值.

(2)讨论函数f(x)的单调区间.

【答案】⑴。=1

⑵答案见解析

【分析】(D求定义域，求导，根据/'(1)=0求出4=1,验证后得到答案；

(2)求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分“WO,0<a<l,与分类讨论，得到函数的

单调区间.

9,、

【详解】（1）/（》）=依-（2。+1）1门-：定义域为（0,+纥），

因为/（x）在x=l处取得极值，

所以广⑴=。-2〃-1+2=0,解得:。=1,

经验证，此时x=l为极大值点，满足要求，故。=1；

（2）人）=〃一汕+/=加-（2;+1）》+2=3-1）,-2）,

xx~XX

当QKO时，ax-1<0恒成立，令尸（》）=（以一1）产-2）>0得:0<x<2,

X

令/（X）=（"-吁-2）<°得:x>2f

x

故f（x）的单调递增区间为（0,2）,单调递减区间为（2,+a））；

当0<。<］时，->2,故令八x）=（⑪-Dp"）〉。得:o<x<2或x>,，

2ax。

人村（ax-l］（x-2｝八3_1

令r（x）=l----Is----^<0得：2<x<~,

xa

故〃x）的单调递增区间为（0,2）,（：+8）,单调递减区间为（2,：）；

当。=:时，/，⑴=仁互*0恒成立，故〃x）的单调递增区间为（。，+司；

22x

当时，0<-<2,令尸（©=（一一得:o<x<1或x>2,

2axa

A（ax-l］（x-2）八㈤1.

令八为=^----0——^<0得：-<x<2,

故〃X）的单调递增区间为（0,J,（2,+8）,单调递减区间为、,2）；

综上:当“40时，f（x）的单调递增区间为（0,2）,单调递减区间为（2,+8）；

当0<a<g时，〃x）的单调递增区间为（0,2）,（5+8）,单调递减区间为Q,J；

当时，〃X）的单调递增区间为（0,y）；

当时，/（X）的单调递增区间为“J,（2,+8）,单调递减区间为2）；

【题型训练】

一、单选题

1.（2023.陕西宝鸡.校考模拟预测）当x=l时，函数〃x）=mnx+§取得最大值-2,则/（4）=（）

A.-1D.1

【答案】C

【分析】根据条件列方程组求出a和b.

【详解】因为函数/（x）定义域为（0,+8）,所以依题可知，/（1）=-2,/（1）=0，

mr（x）=--4，

XX

所以8=-2,〃-8=0,即a=-22=-2,所以八引=_：+1=芈三），

因此当xe（O,l）时，/<x）>0,故函数在（0,1）递增；xe（l,w）时，/'（x）<0,

故函数在（1,内）上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有*4）=2*：-4）=_|；

故选：C.

2.（2023・贵州贵阳•校联考模拟预测）若〃x）=alnx+bx2+x在x=l和x=2处有极值，则函数的单调

递增区间是（）

C.(1,2)D.(；，1

A.（-oo,l）B.（2,+oo）

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，依题意-。）=0且/'（2）=0,即可得到方程组，从而求出〃、分的值，再利用

导数求出函数的单调递增区间.

【详解】因为/(x)=alnx+瓜,X,所以「(x)=2+2法+1,

2

a+2b+\=0

3

由已知得a...!解得，

一+4人+1=n0,，

12

6

所以f(x)=—aInx-Jf+x,所以尸==

363x33x

由r（x）>0,解得1<X<2,所以函数“X）的单调递增区间是（1,2）.

故选：C.

3.（2023・陕西商洛・统考三模）若函数/。）=*3+以2+（4+6）、无极值，则”的取值范围为（）

A.[-3,6]B.(—3,6)

C.(T»,-3]36,+°O)D.(F,-3)I1(6,+«))

【答案】A

【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.

【详解】因为，(0=1+0^+(4+6»,所以/")=3/+2奴+〃+6,因为/(%)无极值，所以

(24-4x3x0+6)40,解得一34a46,所以a的取值范围为-3,6].

故选：A.

4.(2023.四川凉山.三模)已知函数〃x)的导函数g(x)=(x-1乂/一3%+〃)，若1不是函数〃x)的极值点，

则实数。的值为().

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】根据极值点的定义即可求解.

【详解】由题意可知/'(x)=g(x)=(x-l乂x2—3x+a),若1不是函数的极值点，贝!]

//(x)=x2-3x+a,〃(l)=0,即l-3+a=0=a=2,

当a=2时，r(x)=(x-l)(x2-3x+2)=(x-l)2(x-2),故当x>2,/(x)>0,当x<2,/'(x)40,因此x=2

是f(x)的极值点，1不是极值点，故a=2满足题意，

故选：D

5.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(x,ugar'+gbf+cx+d的极值点为1和2,且f(x)在(1,2)上单调递

增，则u芋的最小值为()

a+b

A.4B.VlOC.5D.275

【答案】D

【分析】对函数求导，由极值点建立方程组找出c,间的关系，利用基本不等式求最值即可.

【详解】因为/(x)=^+^bx2+cx+d,

所以//(%)=+bx+c

由题函数八力的极值点为1和2,且在(1,2)上单调递增,

所以/,x)>0?cix2+bxc>0,

〃+b+c=Ofb=-3a

所以■4〃+2b+c=0,解得c=2〃，

a<0a<0

C2+54/+5ci

所以------=---------=-2a+:i£?2道,

a+b-2a

当且仅当-2”一小即…4时，等号成立.

故选：D.

6.（2023・贵州毕节•统考模拟预测）已知函数小）=2如"+"（0>0）,是的一个极值点，则”的

最小值为（）

7

A.工B.1C.2D.-

22

【答案】A

【分析】根据极值点的定义结合正弦函数图像的性质，x=方是/（x）的一条对称轴，可求得。表达式，即可

求出答案.

【详解】由々是/（x）的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知，x=T是f（x）的一条对称轴，

即四©+二=也+二，k^Z,求得。=34+,，

3322

,69>0,

当％=0时，。的最小值为

故选：A.

二、多选题

7.（2023,辽宁模拟预测）已知函数“力=/+加+5+加0<0）在广-1处有极值，且

极值为8,贝IJ（）

A./（x）有三个零点

B.b-c

C.曲线y=“X）在点（2,/（2））处的切线方程为3x+y+4=0

D.函数y=〃x）-2为奇函数

【答案】AC

【分析】由条件根据极值与导数的关系求6,c,判断B,利用导数分析函数y=/(x)的单调性，结合零点存

在性定理判断A,根据导数的几何意义求切线，判断C,根据奇函数的定义判断D.

(6=3

【详解】由题意得/qx)=3f+次+c,又/(—i)=3—2b+c=0,又/(—1)=—1+6—c+〃=8,解得'=3

(舍去)或故B项错误；

[c=-7

〃工)=丁-2f-7X+4,=-4x-7=(x+l)(3x-7),

当时，/^)>0>/(x)单调递增，

当时，/'(x)<0,f(x)单调递减，

当xe1,+co)时，制x)>0,〃x)单调递增，

X/(-3)<0,/(-1)>0,/(1)<0,/(4)>0,

所以〃x)有三个零点，故A项正确；

又/(2)=-3,/(2)=-10,

则曲线y=在点(2,/(2))处的切线方程为丫+10=-3(>2),即3x+y+4=0,故C项正确；

f(x)-2=xs-2x2-lx+2

x)-2=4-2x?+7x+2T(x)+2,故D项错误.

故选：AC.

8.(2023・辽宁•校联考三模)已知函数〃x)=(x-2)e'-加+W-2a,若有两个不同的极值点

玉,马(玉<々)，且当0cx时恒有/(x)<—2a,则。的可能取值有()

A.a=e2B.a=~-

4

e2e

C.〃=£D.a=—

23

【答案】BD

【分析】先求导函数，再根据存在极值点个数，参数分离构造新函数根据函数单调性及最值列式求解可得

范围.

【详解】由题可知，f'(x)=(x-l)e，-2a(x-l)=(xf(e-2a),因为/(x)有两个不同的极值点

%,々(百<%)，所以a>0且a#!',

若0<a<士，贝(]石=ln2a=1.当Ovx<l时，/(x)<-2«,即(e*-ar)(x-2)<0,即ex-ax>0,即a<J,

设g(x)=.(O<x<l),贝=所以g(x)在(0,1)上单调递减，贝()g(x)>g(l)=e,贝！]awe,

所以()<〃<].

若贝!J%=1,工2=E2a.当x£(0,ln2a)时，f(x)<-2a,即(e"-ar)(x-2)<0,

若In2a>2,则当x=2时，(炉-㈤(工-2)=0,不满足题意，所以ln2aK2,此时e'-ar,。，即〃<三.

/?(%)=—(0<x<ln2a),则〃(力=^^—

易得〃(x)在(0,1)上单调递减，在(1,In2G上单调递增，所以，<〃([)=e解得…，所以会….

综上，°的取值范围是(呜)《，e)，

故选:BD.

三、填空题

Q

9.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=21nx+(-机的极小值为2,贝11加=

【答案】4ln2

Q

【分析】求函数“x)=21nx+2-机的极小值的表达式，列方程求〃?.

Q

【详解】函数/(x)=21nx+：-〃?的定义域为(0,+巧，

求导得「(力=与也，令r(x)=0可得x=4,

当0<x<4时，r(x)<。，函数〃x)在(0,4)单调递减；

当x>4时，/^%)>0,函数/(x)在(4,y)单调递增，

故f(x)的极小值为/(4)=41n2+2-加，

由已知可得41n2+2-/%=2,

所以m二41n2.

故答案为：41n2.

10.（2023•全国•高三专题练习）若/（力=笠苧在（1,—）上存在极值，则数机的取值范围为

【答案】6，0）

【分析】先求导，再转化为了'（》）=0在（1,欣）上有解求解.

、2/nx3+3nvc2+1

【详解】解：由题得/（力=-7~市一，

（x+1）

要使f（X）在（1，+8）上存在极值，则/'（X）=0在（1,+＜»）上有解.

因为当xe(l,+oo)时，(x+1)2>0,

则「第拉

令2/m?+3i?tx24-1=0,

_i、6x2+6x_

设屋月=*±?'则以"=（2『+3打，g（x）在（1，+8）上单调递增，

g（x）＞g（i）=q，

又g（x）＜0恒成立，故m的取值范围为（-",0

故答案为：,],0）

11.（2023・江西九江・统考三模）己知函数/0）=6,-#（“€咫有两个极值点演，巧，且％=29，则”=.

【答案】布

【分析】根据函数有两个极值点得到再也是方程e-2or=0的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造函

数g（x）=《，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.

X

【详解】rw=e，-lax,Xi，/是广（X）的两个零点,

即是方程e,-2ar=0的两个不相等的实数根，

与4三是方程2a=上的两个不相等的实数根.

X

令g（x）=W，则g[x）=（=?e、.

当xvO或Ovxvl时，g'(x)〈O；

当x>l时，g'(x)>0,

g(x)在(f,0)和(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，

且当x<0时，g(x)<0；当x>0时，g(x)>0.

2a>g(l)=e,S.x,,x2>0.

pX]p2.0x

由占=2七，得J='=J2,

x]2X2X2

e"21

e“2=2,-^2=In2,由2a=—=---,即。=---.

x7In2In2

故答案为：7■二.

In2

12.(2023•河南安阳•统考三模)已知函数/(x)=(加+法力eR),若x=l是的极小值点，贝匹

的取值范围是.

【答案】

【分析】首先根据题意得到〃=上券，从而得到f'(x)=ge'(2奴+l+3a)(x-1),再分类讨论其单调性即可

得到答案.

【详解】/'(X)=(2ox+〃)e"+(渡+力])匕"=e'[加+^+2ci)x+b-1],

因为x=l是人力的极小值点，所以/'⑴=。，解得力二宁：

所以r(x)=e"ax2+p+2ci^x+^=^e-v[2m:2+(l+a)x-(l+3〃)]

=ge、(2or+l+3〃)(x-l).

当。=0时，r(x)=#(x-l),

xe(e,l),广(力<0,f(x)为减函数；户")>0,〃x)为增函数,

所以x=l是〃x)的极小值点，符合条件.

当awO时，令:(x)=ge%2or+l+3a)(x-l)=0,解得x=l或x=

当a>0时，xe(r°，-号^[，/V)>0,/(x)为增函数；

xe[詈』)，f'(x)<0,“X)为减函数；

XG(1,+00),/(X)为增函数，

所以X=1是/(X)的极小值点，符合条件.

当—嚓=1,即时，r(x)<o,

则/(x)在R上为减函数，无极值点，舍去.

当时，即-上'网<1,

52a

/(x)<0,/(x)为减函数;

xe卜要,1),制x)>0,为增函数；

xe(l,+oo),/z(x)<0,/(x)为减函数，

所以x=l是/(x)的极大值点，舍去.

当」<.<0时，即-匕网>1,

52a

,

xe(ro,l),/(x)<0>/(x)为减函数；

xe(l，-詈>f^>0,〃x)为增函数；

xe^,+8],/'(x)<0,f(x)为减函数，

所以x=l是/(x)的极小值点，符合条件.

综上，a的取值范围为

故答案为：

四、解答题

13.(2023•江西抚州・金溪一中统考模拟预测)已知函数〃x)=lnx+J+a(x-D(aeR)

⑴若。=1,求函数/(x)的图象在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若。40,函数在(0,2)上存在小于1的极小值，求实数。的取值范围.

【答案】(i)x-y=o

⑵(-：,())

4

【分析】⑴当。=1时，求得小)=卜城+1,得到〃1)="⑴=1,结合导数的几何意义，即可求得“X)

在点(1J(D)处的切线方程

(2)求得广(切=贮舁，①当a=0时，取得/(犬)=与，求得/(x)在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，

X人

不符合题意；②当。<0时，令/?(X)=G：2+X-1,根据A40和A>0两种情况讨论，分别求得函数“X)的单

调区间，求得函数的极值，进而求得“的取值范围.

【详解】(D解：当。=1时，f(x)=lnx+J+*-l,可得ra)=：-5+l,

则/(1)=1J‘⑴=1，即切线的斜率为左=1,切点坐标为(1」)

所以函数“X)在点("(D)处的切线方程为y-l=x-l,即x-y=0.

(2)解：由函数〃x)=lnx+,+a(x—l),其中xe(0,2),可得尸(力=丝二二1,

XX

1_1

①当a=0时，/(x)=lnx+\此时r(力=r学，令/(x)=0,解得x=l,

当xe(O,l)时，r(x)<0；当xe(l,2)时，用x)>0,

所以/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，

所以/(力在x=l处取得极小值，且极小值为/(1)=1,不符合题意；

②当a<0时，令〃(力=加+》-1,则/=l+4a,

(i)若A=l+4a40,即“W-；时，则对Vxe(O,2),A(x)<0,

即r(x)40恒成立，此时/(X)在(0,2)上无极值，不符合题意；

(ii)若△=l+4a>0,BP——<iz<0,贝！j〃(x)图象的对称轴为x=—^—>2,

所以a(x)在(0,2)上单调递增，

因为/7(1)=。<(),/7(2)=4〃+1>(),由函数单调性和零点存在性定理得，在(1,2)上存在唯一的实数玉，使得

力(%)=。，此时/(xj=。，

当x«0，x)时,〃(x)<0,即/'(x)<0；

当xe(即,2)时，〃(力>0,即制x)>0,

所以〃x)在((),4)上单调递减，在(42)上单调递增，

所以/(x)仅在x=%处取得极小值，极小值为,

因为“X)在(o,xj上单调递减，且1<%<2,所以=符合题意.

综上，实数〃的取值范围为(-!，0).

4

14.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/。)=(2万-1封'-：0?_1在区间((),+00)上有两个极值点引，巧.

⑴求实数。的取值范围；

112

⑵证明：声+声〉>

【答案】(l)a>2e

⑵证明见解析

【分析】(1)函数f(x)在区间(0,+8)上有两个极值点，即方程4x(瞪-ar)=0在区间(0,内)上有两个不等

实根，即e2、-ax=0在区间(。，口)上有两个不等实根.设加x)=e2*-ax(x>0),对〃(x)求导，讨论力⑺的

单调性和最值，即可得出答案；

(2)要证±+2>2,即证三一五-In三>°,设「=三。>1),即证当r>1时，成立，令

2X2

e?再eax2X)%t

对*a)求导，得到。⑺的单调性，即可证明.

【详解】(D由题意得r(x)=4x(e2一火)，

函数/(x)在区间(0,小)上有两个极值点,即方程4x©'-㈤=0在区间(0,”)上有两个不等实根.