福建省宁德市霞浦县2022-2023学年高一年级下册期中质量检测数学试卷(含答案)

福建省宁德市霞浦县2022-2023学年高一下学期期中质量检测数学试

卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.已知复数z=l+i（i为虚数单位），则工在复平面内对应的点在（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图，某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为90。的扇形，则该几何体的表面积

是（）

口公

土桃阳

箫神阳

A.-B.—C.-D.—

2444

3.一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面

间的距离叫做球台的高.如图1,西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直

观图如图2,已知杯底的直径为2Am，杯口直径为46cm，杯的深度为&cm，则该卧足

杯侧面所在球面的半径为（）

图I图2

7513

A.5cmB.276cmC.—cmD.—cm

42

4.设i是虚数单位，若复数2=一匚，则Z的共辗复数为（）

1+1

A.-+-iB.14—iC.1—i

2222

5.已知△ABC中，ZB=~,AC=2,则NA=C的充要条件是（）

66

A.AABC是等腰三角形B.AB=2y/3

C.BC=4D.S.=V3,BC<BA

△AARDrC'

6.在边长为3的菱形ABCZ）中,/BAZ）=60。川等△•£）绕直线旋转到△ABD,使得

四面体ABCD外接球的表面积为18兀,则此时二面角A-BD-C的余弦值为（）

A.-lB.-1C.-D.在

3233

7.关于向量°,匕,下列命题中，正确的是（）

A.右卜卜W,则a=bB.右allb'bl/c，则allc

C.若“〉W，则a”D.若口=_5,则R/o

8.已知A,B,C三点在球。的球面上，且AC±BC，AC=242^BC=2若球。上的动点D

到点A,3,C所在平面的距离的最大值为布+行,则球。的表面积为（）

A.1671B.24K瓜itD.24c兀

二、多项选择题

9.已知向量a=（l,x—l），匕=«2）则（）

A-a^bB-若a〃。，贝Ux=2

C.若。,匕，则x=gD.\a-b\>y/2

10.已知单位向量°力的夹角为120。,则以下说法正确的是（）

A.|a+6|=1B.+2b'）±a

C-cos〈a-b,b）D.q+2"与2a+b可以作为平面内的一组基底

11.如图,四棱锥P—ABCD的底面是梯

形,改;〃4。,45=5。=8=12>1£）=2，八1=P。=/，平面外£），平面7158，。，石

分别为线段AD，Q4的中点，点Q是底面45。。内（包括边界）的一个动点,则下列结论正

确的是（）

A.ACLBP

B.三棱锥49后外接球的体积为回

4

C.异面直线PC与0E所成角的余弦值为3

4

D.若直线PQ与平面ABC。所成的角为60°，则点Q的轨迹长度为后

12.在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.

他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点3位于点A的

南偏西45。的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C,D,E,使点3,C,。共

线，点3位于点。的正西方向上，点C位于点。的正东方向上，测得

CD=CE=100m,ZBAD=75。，ZAEC=120°,AE=200m,并经过计算得到如下

A.AD=200mB.△ADC的面积为1000百m?

C.AB=100V6mD.点A在点C的北偏西30。方向上

三、填空题

13.复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为.

1-i

14.已知向量q山满足同=1,=2,卜一可=2，则卜+0=.

15.已知四面体ABCZ）满足45=00=#，47=人£）=6。=£0=2,则四面体48。£）的

外接球的表面积是.

16.已知圆柱的上、下底面的中心分别为2，过直线的平面截该圆柱所得的截

面是正方形.ZVIBC内接于下底面圆，且是一个面积为2的等腰直角三角形，则该圆柱的

2

体积为______________..

四、解答题

17.如图，在四边形ABCD中,NBCD=120。.若CD=2娓,AD=8,，求AB的

长.

从①班）=6,NADC=75°；

3

②cosNADB=ZCBD=45°；

5

③S八=12^/3,ZCBD=45°这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.

18.第十届中国花博会于2021年5月21日在崇明举办，其标志建筑一一世纪馆以“蝶

恋花”为设计理念,拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米,屋面板

只有250毫米，相当于一张2米长的桌子,其桌面板的厚度不到2毫米.图1为馆建成后的

世纪馆图：图2是建设中的世纪馆;图3是场馆的简化图.如（图3）是由两个半圆及中

间的阴影区域构成的一个轴对称图形,AA7/尸P7/OO7/B9炭中川=280米；圆心距

。0'=160米：半径R=75米：椭圆中心P与圆心。的距离20=40米,。、C为直线

pp与半圆的交点,/COB=60°-

图1图2

图3

(1)设&=NA/B,计算sina的值；

(2)计算/COP的大小(精确到1°).

19.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=-,c=3后，AABC的面积为6.

4

⑴求。及sinA的值；

(2)求sin[2A-看]的值.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中,PD,平面

A3CD,尸。=DC=3C=1,AB=2，AB〃£)C,ZBCD=90。，〃为A3的中点.

(2)求证：PC±BC；

(3)求点A到平面P3C的距离.

21.如图所示1,已知四边形A3CD满足的)〃5。24=4£)=。。=工3。=1乃是3。的

2

中点.将ABAE沿着AE翻折成MAE，使平面BrAE1平面AECD,F为CD的中点，如图

所示2.

Bi

(1)求证：£FJ_平面A3]E；

(2)求AE到平面C耳。的距离.

22.在四棱锥P-ABCD中,NABC=NACZ)=90。，NBAC=NC4D=60。，上41.平面

ASCD,E为尸。的中点,刈=2AB=4.

(1)求证：CE〃平面B4B；

(2)若R为pc的中点，求R到平面AEC的距离.

参考答案

1.答案：D

解析：因为42=1-i1-i

(l+i)。-i)F

所以工在复平面内对应的点的坐标为在第四象限.

故选：D.

2.答案：C

解析：由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，直观图如图所示.

^^ffi^S=-x-xl2x3+-x47ixl2=—.

2284

故选：C.

3.答案：A

解析：如图所示，作出“球台”的轴截面，设球心为。，过。作交A5于点E,交CD

于点F,

依题意A3=2辰m，CD=4辰m，EF=瓜m，

2

设球的半径为Rem,则R2=DF+OF?且心=+^2,

R2=(2A/5)2+OF2

R=5

即4，解得

&=(6'opOF=45

即球面的半径为5cm；

故选：A.

4.答案：D

“，Li(l-i)i+111.

用牛"L(l+i)(l-i)222

5.答案：D

解析：当△ABC是等腰三角形时，ZA=-^ZA=—^ZA=--,当NA=工时,

61236

△ABC是等腰三角形，所以△回€：是等腰三角形是44=巴的必要不充分条件，所以

6

选项A不正确；当AB=2G时，—,即旭=二—，sinC=无，所以

sinCsin3sinCsin^

6

ZC=-^ZC=—,则NA=二或NA=C；当NA=工时，ZC=—,根据正弦定理可

332663

得AB=2«,以AB=26是NA=巴的必要不充分条件，所以选项B不正确；当

6

6c=4时，—,即」=二-,解得sinA=l,ZA=-,所以6C=4不是

.兀

sinAsin3sinAsin—2

6

44=巴的充分条件，所以选项C不正确；当NA=P时，SAABC=A/3；当以树=百

66

时，即L3C.R4.sinB=6，:.BCBA=46，根据余弦定理

2

BC2+BA2-2BCBACOSB=4,BC2+BA2=16,BC<BA,：.BC=2,

BA=20则NA=P,所以S小BC=百，3C<BA是NA=巴的充要条件，.•.选D.

66

6.答案：A

解析：由题意可知,和△BCD均为正三角形，

设E为BD中点，延长CE，作AH±CE交CE于点H,

可得NAEC是二面角A-6。-C的平面角，

作△BCD的中心F则F在CE上，且FC=2EF,

作FG//HA,AG//HC，AGGF=G，可知四面体ABCD外接球的球心。在GF上，又

4成2=18兀,;.7?=逑，

2

A

在RtZVlGO和RtACFO中，由CF=3义立义々=^，EF=—，

232

R2=。/2+。尸2=OG2+AG2，A£2=.2+族2，解得人//=#，=立，

2

V3

cosZAEH==4,二面角A-BD-C的余弦值为一、

3033

故选：A.

7.答案：D

解析：对选项A：取。=—满足小W，q=b不成立，错误；

对选项B：当。=0时，当/°不平行时,a//b^b//c也成立，错误；

对选项C：向量不能比较大小,错误；

对选项D：若£=_九则£〃B，正确.

故选：D.

8.答案：B

解析：因为AC，3C,AC=2V2，BC=2所以AB=，则△ABC外接圆的半径为6,

当点D到平面ABC的距离最大时与AB在球的大圆截面且ODLAB，

所以球。的半径R满足：R-=(73)2+(A/3+A/6-7?)2，

解得R=&，所以球O的表面积为47rH2=24K.

故选：B.

9.答案：ACD

解析：显然QWB，A对，〃//〃得：lx2=(x-l)x=>x=2或1二一1,B错，a_Lb9

9

x+2(x-l)=0=>%=耳，C对，

|^-Z?|2=|(l-x,x-3)|2=(l-x)2+(x-3)2=2(x-2)2+2>2?>42,D对.故选：

ACD

10.答案：ABD

解析：据题意J=/=],].》=ixlxcosl20°=一；

因为(a+6)2=。2+/+2。0=l+l+2x1—£]=1

所以Ia+Z?|=1,所以A对

因为(a+2Z?)•〃=/+2a,Z?=l+2xf——j=0，所以(Q+2b)_La，所以B对.

_3

所以cos〈a-。力〉=(a-b)-b一2百，所以C错

\a-b\-\b\2

因为o+2b与2a+b不共线，所以可以作为平面内的一组基底，所以D正确

故选：ABD.

11.答案：AC

解析：易证四边形ABCO为菱形，所以H9J_AC，

连接尸0,因为PA=PD=a，所以POJ_AD,

因为平面上40,平面ABC。,平面PAD,平面ABCD=AD,POu平面PA。,

所以P0,平面ABCD,

因为^^匚平面4^⑺厮以/5。，?!。，

又PO。^二仪所以^?工平面":^又碇匚平面/^瓦所以人^^^故人正确；

易证△AO£为等腰直角三角形,△495为等边三角形，且平面HLD,平面ABCD,

所以三棱锥6—47后外接球的球心为等边三角形AOB的中心，所以三棱锥5—AOE外接

球的半径为立，

3

所以三棱锥5-AOE外接球的体积为V=士兀x（3了=述兀，故B错误；

3327

因为。。〃。公所以/6:尸要为异面直线尸。与OE所成的角（或其补角），

因为PO=JPD2—orP=］所以PC=JPC）2+OC2=血,

7_i_7_13

在△PCD中，由余弦定理，得cosZCPD=——广一尸=—，故C正确；

2xj2xj24

因为PO，平面ABCD,所以。。为PQ在平面ABCD内的射影，

若直线PQ与平面ABCD所成的角为60。，则NPQO=60°,

因为PO=1,所以0°=亭,故点。的轨迹为以O为圆心，半为半径的半圆，

所以点Q的轨迹长度为四，故D错误.

3

故选：AC.

12.答案：AC

解析：对于A,因为N£LW=75。，点3位于点A的南偏西45。的方向上，所以

NB=45。，ZADB=6Q°,ZADC=120°.XZAEC=ZADC=120°,

C£>=CE=100m,AC=AC,AE=200m,在△ADC中，

AC2=AE2+CE1-2AE-CEcos120°,AC2=CD2+AD2-2AD-C£>cos120°,所以

AD=AE=200m,故A正确；对于B,△ADC的面积为

|AD-CDxsinZADC=1x200xl00x^=5000V3（m2）,故B错误；对于C,在

△AB。中，由正弦定理，得AB=也,解得

sinZADBsinB

皿=整片=学=⑼厢m),故C正确;

对于D,如图，过点A作

2

AGJ_BC于点G,易知4MG=30。，所以NC4G>30。故D错误，故选AC.

2

2+i_(2+i)(l+i)1+3i13.

解析：因为z=-

(l-i)(l+i)2~2+2

所以复数z的虚部为3.

2

故答案为：

2

14.答案：瓜

解析：由已知得(a—。)=a2-2a-b+b2=5-2a-b=4,

a--br=一1,

2

/\2.2.2

:.\a+b\=a+2a-b+b=5+2a-b=6,

|tz+/?|=V6.

故答案为：R

15.答案：7兀

解析：在四面体ABCZ)中,AB=CD=痛,AC=AD=5CBD=2,

将四面体ABC。补成长方体AEB尸—GCH。，设AE=x，Ab=y，AG=z，

AB2=x2+y2

则<AC2=x2+z2,

AD2=y2+z2

设四面体ABC。的外接球半径为氏则2R=7x2+/+z2=产+A；+A方=布,

因此,四面体ABC。的外接球表面积为4兀氏2=7兀.

故答案为：7兀.

16.答案：27也兀

解析：如图所示,设圆柱的底面半径为r,高为九则/i=2r.

再设/XABC的腰长为则=-«2=-,

解得a=3,即AB=AC=3,

因为NBAC=90，

所以2r=BC=3"

所以一半,九=3万

所以该圆柱的体积为丫="2力=兀、2*3&=2

22

故答案为：丑叵兀.

2

17.答案：选①AB=2厉;选②=选③AB=2旧或2历・

解析：若选①，在△3CD中,

CD=2娓，BD=6，NBCD=120。,

BDCD，解得sin"D考

由正弦定理可知

sin/BCDsinZCBD

又•NCBDe0,^,ZCBD=45°，即ZCDB=180°—120°—45°=15°，

ZADB=ZADC-ZCDB=60%

在△ABD中,ZADB=60。，AD=8，3。=6・

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosNADB，解得AB=2而•

若选②，在△BCD中,CD=2#，BCD=120%ZCBD=45°，

由正弦定理得BD-=。口，解得BD=6,

sin/BCDsinZCBD

3

在△ABD中,cosZADB=-,AD=8，BD=6，

由余弦定理得Afi2=AD2+BD2-2AD-BDcos^ADBAB=17265.

若选③，在&ABD中,/BCD=120%ZCBD=45°，CD=2而，

由正弦定理得BD-=°。，解得BD=6,

sin"CDsinZCBD

在△ABD中，

由s=LAD.3。sinZADB=12V3，解得sinZADB=—，

4rxDLJ22

则ZADB=60。或120。，

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosNADB，

当ZADB=60°时，解得AB=2713，当ZADB=120°时，解得AB=2737，

综上所述：AB=2岳或2屈•

18.答案：（1）-；

5

⑵24■

解析：（1）由0。为等腰梯形中位线,

280—160

二根据对称性有cos好24,

755

.3

smcr=—•

5

(2)由A47/OO'，由(1)知NO'OB=ZA'AB=G则NPCO=NCOO'=60°—6

0P

二在中,由正弦定理嬴7=

sin(60。_a)'

即sinP-℃sin(600-a)_75(sin60°cosa-cos60°sina)

Sin―OP—40

国.1273-9

火JsinPn=----------，

16

二.结合(1)可得：/八132.56°，a=36.87°

:.ZCOP-240-

19.答案：(1)4,正；

5

(2)4百+3

10

解析：(1)由已知SAAB「=LacsinB,:.6=La-30-sin/,.\a=4,

△ABC224

^a2+c2-2accosB^:.b~=16+18—2x4x3&x—=10，；)=A，

2

在ZvWC中,^=上

sinAsinB

••・3*5考.

2一

(2)a<c,：.0<A<—,

2

又sinA=咨SA邛,

2d5J5413

sin2A=2sinA•cosA=2x-----x——=—，cos2A=2cos9A-l=2x—-l=-—,

55555

.J,兀、...兀….兀4月/3、14A/3+3

sin2A=sinzAcoscos2Asm—=—x-----------x—=----------

I6）66525j210

20.答案：（1）见解析；

（2）见解析；

⑶万

解析：（1）£>。=1，45=2,718〃£）。,“为A3的中点，

:.MBHDC艮MB=DC

四边形BCD航为平行四边形

BC//DM,BC.平面PMD,DMc平面PMD,

：,〃平面PMD;

（2）因为pp_L平面A3CD,BCU平面A3C。,所以PDLBC-

由NBCD=90。，得.

因为P£>OC=£>,/>£）u平面PC。，£>Cu平面PC。，

所以BC_L平面PCD.

因为PCu平面PCD,所以PC,50.

（3）如图，连接AC.设点A到平面P3C的距离〃.因为745〃0。,/38=90。，所以

ZABC=90°-

从而由AB=2,3C=1，得△ABC的面积为1.

由平面A3CD及尸£）=1，得三棱锥p—ABC的体积V=，SA"><PD=L

3A/lov3

因为PD，平面ABCD,DCu平面ABC。,所以P£），.

又P£>=£>C=1,所以PC=V2-

由PC，5C，6C=1,得△P6C的面积为*.由

因此点A到平面PBC的距离为：血.

21.答案：（1）证明见详解；

（2）逅

4

解析：证明：（1）如图，连接£）后,取AE的中点G,连接BQ,

在四边形A3CD中，由AD〃6C,84=A。=DC=工3c=1,E是BC的中点，

2

易得四边形ABED、四边形AECD均为平行四边形，可得AE=DE=CE=1,

△ABE,Z\ADE,Z\DCE均为等边三角形，

在等边ZXDCE中尸为CD的中点，可得EF±CD，且AE//CDMEF±