高考数学复习 立体几何的动态问题

专题4.3立体几何的动态问题

一.方法综述

立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性''与"动感性''元素往往成为学生思考与求解问题的思

维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形

的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、

面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套

路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是

因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的.

动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因

素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程

充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究

存在问题或动态范围(最值)问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问

题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.

二.解题策略

类型一立体几何中动态问题中的角度问题

例1.【四川高考题】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段

PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为则COS。的最大值为.

——11

【解析】建立坐标系如图所示.设羽=1,则JF=(150).风亍0⑼设M(O/1XO”W1),则

£A/=(-ijU),由于异面直线所成角的范围为所以

令8y+l=r」争W9,则

8y+l―钏一＞7-当f=l时取等号.所以

4y2+5o1-5

t+——2

11

---2--1—2y2（=

।,r^—1,当>=o时，取得最大值

5

限.斤二Bk石君

【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标

系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M

在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角

逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大.

【举一反三】

1、【四川高考题】如图，在正方体ABC。一A4G2中，点。为线段的中点.设点P在线段CG上，直

线0P与平面所成的角为1，则sina的取值范围是（）

A.g,l]B.佟,1]c.谭，鸣D.[乎,1]

33333

【答案】B

【解析】

试题分析:设正方体的棱长为1，则4G=R4c=5=OG=所以

33c311

—।-----2i2^/2—।------3[7

cosNA℃]=———=-,sinZA^OCi=—^―,cosZ^OC=—―=一丁,sinZA}OC=

22x2x~~~

2

又直线与平面所成的角小于等于90,而NAOC为钝角，所以sina的范围为[理■」],选B.

2、【广东省东莞市2019届高三第二次调研】在正方体ABCD-A：B：JD：中，E是侧面ADD：A：内的动点，且

〃平面BDC：，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（）

11

A.3B.WC.2D.9

*2

【答案】B

【解析】

设E(&0,c).0<a<l'0<c<1>

Bx(1,1-1).B(1J,0).

D(000)，J(Q1，1)，

BiE=(a—1,—l,c-DB=(1,1>0)>DCt=(0,1»1)»

设平面DBC,的法向量彳=(x.y，工)，

则仔至="y=0,取.I，

(n•DC,=》+N=0

得口=(L-U)，

:・B[E〃平面BDC1，

BXE-n=a—1+1+c—l=0»解得.+u=1，

:;a2+c2=(a+c)2-2ac=1-2ac，ac<(^)2=:，

设直线与E与直线AB所成角为8,

o)，♦.皿s=

nc二I>2-2ac>,—<-»

=1-耳坛=/_不之产_;=不

二直线BJ与直线AB所成角的正弦值的最小值是今.

故选：B.

3、如图，已知平面。_|_尸，a1'=i,A、8是直线/上的两点，C、£）是平面广内的两点，且％J_/，

CB±rAD=3,AB=6'CB=6-P是平面e上的一动点，且直线PZ>pc与平面a所成角相等，

则二面角P-BC-O的余弦值的最小值是（）

【答案】C

【解析】

试题分析：aD尸=/,a_0,ADu0,：.ADLa,同理：BCLa.二NDP4为直线

尸。与平面a所成的角，/。尸3为直线尸。与平面4所成的角，，/。尸/=/。尸8,又

P4D41

NZX4P=NC3P=90'，「.ADMPSACPB,二二=七=士.在平面a内，以28为x轴，以A3的

PBBC2

中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则,4（-10）,3（3,0）.设尸（x»）,（>1>0）/.

2&+3）2+/=近一3）2+丁,整理得（x+5y+y2=16.，尸点在平面a内的轨迹为以“（一5,0）为

圆心，以4为半径的上半圆....平面尸BCD平面尸=BC,E5_L3C,_1B_L3C,尸A4为二面角

P-BC-D的平面角..•.当阳与圆相切时/PBA最大，cosZPBA取得最小值.此时PM=4,3/3=8,

MP上PB,：.PB=4出.cosZPA4=—=-=—.故选：C.

MB82

类型二立体几何中动态问题中的距离问题

［例21【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟】如图，在正方体ABCO—心为QD,中，棱长

为1，点P为线段A：C上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（）

A.当就=3。时，111P评面5DC：

B.当p为.中点时，四棱锥2-必:2。的外接球表面为:斤

C.AP+P0］的最小值为、G

D.当41P=f时，41P，平面外融

【答案】C

【解析】

对于A，连结AB，，区。，AD.<

则匕­=»xsx1=*15i*ihA=；x〃xV2xsto6O*=*，44=V3,

设义到平面他D,的距离为*，则:xfX»=:,解得*=f,

••・当碇=3。时，P为41c与平面他兄的交点.

平面AB1。,〃平面BDCt，

•••。，2匚平面胆。,，

.•"〃平面3DJ故A正确.

又由以上分析可得，当4』=4时，AJ即为三棱锥心一D，和5的高，

••41P1平面。1AR所以D正确.

对于B,当「为4C中点时，四棱锥P-AAaA。为正四棱锥，

设平面441的中心为。，四棱锥P-AA14。的外接球为反，

所以（R-；）2+d）2=々，解得R=：,

故四棱锥P-AA；。,。的外接球表面积为2大所以B正确.

对于C,连结AC，D*C，则RHA1ACMRM&OJ，

由等面积法得AP的最小值为臼w=也，

8

：.AP+P。1的最小值为¥.所以c不正确.

【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距

离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小）,

求其值.

【举一反三】

1、【河南省焦作市2018-2019学年高三三模】在棱长为4的正方体ABCD-A|B|C|D|中，点E、F分别在棱

AAi和AB上，且CiELEF,则|AF|的最大值为（）

A.2B.1C.2D.2

【答案】B

【解析】

以AB,AD,AAi所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则Ci(4,4,4),设E(0,0,

z),ze[0,4],F(x,0,0),x£[0,4],贝U|AF|=x.EC,=(4,4,4-z),EF=(x,0,-z).因为C|E_LEF,

所以五•加=0，即：Z2+4X-4z=0,x=z-0’.

当z=2时，x取得最大值为1.|AF|的最大值为1.

2.如图，已知正方体A3co—AgCQ棱长为4,点”在棱A4，上，且在侧面BCC4内作边长

为1的正方形.EFGG，尸是侧面BCG片内一动点，且点P到平面CO0C距离等于线段P尸的长，则当

点P运动时，|”P|2的最小值是（）

A.21B.22C.23D.25

【答案】B

【解析】在6片上取点K,使得4K=1,则面BCC£.连结PK,则

HP2=HK2+PK2=16+PK2.在平面BCG与匕以CG所在直线为X轴，以G尸所在直线为y轴，由题

意可.知，尸点轨迹为抛物线，其方程为P=2y-1,K点坐标为（0,4）,设P（x,y）,则V=2y-1（其中

-17--1*7-

xe[-3,1],yG-,PK?=/+（y_4）-=2y_]+y2_8y+16=y2_6y+15当y=3w—时，

22

PK1nin=6，故HP|min=16+6=22.

3、如图，在棱长为2的正方体ABCD-AyB\C\D\中,E为BC的中点，点P在线段D\E上，点P到直线CG的距离

的最小值为.

【解析】如图所示，取Big的中点F,连接EF,ED1,

因为EFj/_CC］，CC」底面ABCD，所以四边形EFCiC是矩形•所以CQ〃EF，

又EFu平面DiEF,CC*平面DiEF,所以CQ"平面D：EF.

所以直线CiC上任一点到平面D.EF的距离是两条异面直线DiE与CQ的距离.

过点Ci作JM1D1F,

因为平面5EF1平面AiBiCiDi,所以QM1平面EEF.

过点M作MP//EF交DXE于点P,则MP//QC.取JN=MP,连接PN,则四边形MPNJ是矩形.

可得NP1平面DjEF,在RtAD1aF中，gM・DiF=D[Ci・CiF,得gM号匹.

V22+l25

所以点P到直线CC1的距离的最小值为「

类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题

【例3】在棱长为6的正方体ABCD-ARCR中，M是BC中点，点P是面DCJD1所在的平面内的动点，且满足

NAPD=4MPC,则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）

A.36B.1273C.24D.1873

【答案】B

【解析】试题分析：因，⑺一平面。WCG，贝尸，同理BC一平面2DCG，则3C_CP,

4APD=NMPC,则\PAD-APJ/C,v.ID=2AIC,则PD=2PC,下面研究点P在面ABCD的轨迹

（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设。Q0）,C（6：0,206）：G（6：6）,设尸（x,j）,因为

PD=2PCf所以次+】二=2正-6），+j=,化简得：（x-8）:+j==16,该圆与C4的交点纵坐

标最大，交点为（6/扬，三棱锥P-BCD的底面3c。的面积为18,要使三棱锥P-BCD体积最大，只需高最

大，当尸在CG上切"=2招时，棱锥的高最大,，，=!」8.2、回=12".，本题应选从与原答案。有

3

出入.

【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥P-BCD,其底面的面积为不变的几何量，求点

P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.

【举一反三】

1、《九章算术》是我国古代数学名著，它在儿何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角

形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵

ABC—A与G中，ACLBC,若AA=AB=2,当阳马8—体积最大时，则堑堵ABC—A与G

8

A.-B.y/2C.2D.272

3

【答案】C

【解析】

222

试题分析:由阳马的定义知，VB.ACC=IxJ1JxJCx5C=|jCx5C<l(JC+5C)=l^=^,

，33333

当且仅当，4C=3C=Ji时等号成立，所以当阳马3-4XCG体积最大时，则堑堵45c-43cl的体积

为:xjlx&x2=2,故选C

2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形438中，AB=6,BC=4,

E,F分别是AB,CD上两动点，且AE=。把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE1平面ABCD,

若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为()

co28J7万”64瓶万

A.28〃B.---C.32万D.------

33

【答案】D

【解析】

画出折得的几何体（直三棱柱）如图所示，设DF=zFC=6-x,则℃=,£-（6-宣=J12X-36,

由题设底面面积质』（6-》）=/后3（6-工），因为高为4（定值），所以只要求出

g（x）=Jx_3（6_x）的最大值时,折得的几何体的体积最大。令Jx-3=rnx=4+3,6-x=3-/,

贝以（乃=/（。=（3-曰=4+3匕求导可得/，⑴=-3俨-l）=-3（r+l）（"l）,故当r=l=x=4

时，即=底7=2粗时,几何体的体积最大,此时底面外接圆的半径为尸=2：设外接球的球心为。,

则点。到底面的距离d=2,所以球的半径R=y/d2+r2=5石=2点,则外接球的体积

/=#（2/『=誓立，应选答案D。

3、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图,直角三角形由，皿=*At+M=2,将皿绕四边

旋转至448c•位置，若二面角C-AB-C*的大小为半,则四面体C-A5C的外接球的表面积的最小值为（）

A.6nB.3nC."D.2n

【答案】B

【解析】

如图，E.FG分别为AC，AB，AC'的中点，作HEJ•面ABC，作1面4BC，连EF，FG，易知点H即为

四面体CBC'A的外接球心，4FG二手乙EHG=三,三d”GF设CB=a，以=b，则HE=ga，

a+»=2,R2=f+,，$=4«胪=&+3a少.

【处理一】

消元化为二次函数.(/+3吟区=4»(fl2-a+l)^3«

【处理二】

a

柯西不等式.(1+机产+30HNB(Q+»)J4■.所以(b，,+3a，)uz3n.

类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题

【例4】如图直三棱柱ABC-A'BC中，AABC为边长为2的等边三角形，AA'=4,点E、F、G、H、M分别是边AA'、

AB、BB'、A'B\BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP〃平面ACC'A，，则动点P的轨迹长

度为()

【答案】D

【解析】

因为H,F,M分别为A'B',AB,BC的中点，所以FM〃AC,HF//AA',所以FM〃平面ACC'A',HF〃平面ACC'A',又因为

FMnHF=F，所以平面HFM〃,：平面ACC'A',要使MP〃平面ACC'Al则MPu平面HFM,所以点P的轨迹为线段HF,

点P的轨迹长度为4.

故本题正确答案为D.

【指点迷津】由已知可知平面HFM〃平面ACC7V,要始终有MP〃平面ACC7V,点M为定点,所以点P的轨

迹为线段HF,求其长度即可.

【举一反三】

1、【安徽省安庆市2019届高三二模】如图，正三棱柱ABC-义B：C：的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁

从点A出发沿每个侧面爬到A：，路线为闻-$一3一人，则蚂蚁爬行的最短路程是()

【答案】A

【解析】

正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为36,宽为。，则其对角线44：的长为最短程.因此蚂

蚁爬行的最短路程为O+9炉.

故选:A.

2、在正方体ABCo—AgGA中，已知点P为平面中的一个动点，且点P满足：直线PG与平

面A4QQ所成的角的大小等于平面PBC与平面AA.D.D所成锐二面角的大小，则点P的轨迹为()

A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线

【答案】D

【解析】

试题分析：如图，以为工JZ轴建立空间直角坐标系，不妨设4QL1),其它各点相应坐标

略，设尸(xQz),过尸作E尸，，切分别交44卜&)1于瓦F,由转在平面PBC内，连接尸。可

证乙口尸C是直线PC与平面且314所成的角，NAEB是平面PBC与平面JJQQ所成锐二面角的平面

11，化简得/=2z—l,

角，由题意ZDjPC=NAEB,即tanZDXPC=tanZAEB,所以

W+(l-z)z

3、己知平面ABCDJL平面ADEF,AB1AD,CD1AD,且AB=1,AD=CD=2.ADEF是正方形，在正方形ADEF内部

有一点M,满足MB,MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为()

41648

A.—B.—C.—nD.—n

3393

【答案】C

【解析】根据题意，以D为原点，分别以DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,如图1所

示，则B(2,l,0),C(0,2,0),设M(x,O,z),易知直线MB,MC与平面ADEF所的角分别为NAMB/DMC,均为锐角，

且NAMB=4DMC,所以sin4AMB=sin4DMCn^^=^^-,即21MBi=|MC],因此

|MB||MC|

2222222

2j(2-x)+l+z=JX+2*Z,整理得“di+Z=-,由此可得，点M在正方形ADEF内的轨迹是以点0(：0,0)

“、393

4_二nn44

为圆心，半径为-的圆弧“网2上，如图2所示，易知圆心角/MQMz=、所以：-*二=-儿故选C.

2

313339

类型五立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题

【例5】如图，已知A4BC,。是A3的中点，沿直线8将A4C。折成A4'C。，所成二面角A-CD-B

的平面角为a,则（）

A.ZADB<aB.ZADB>aC.ZACB<aD.ZACB<a

【答案】B.

【解析】

试题分析：设NADC=e,设4?=2,则由题意4）=瓦>=1,在空间图形中，设43=/,

AA+M-AB?12+12-/2_2-t2

在AA'CB中，cosZA'DB=

2A'DxDB2x1x1-2

在空间图形中，过A'作ANLOC,过B作BM_LOC,垂足分别为N,M,

过N悍NP/RIB,连结AP,NP_LOC,

则NA'NP就是二面角A-CD-B的平面角，...ZANP=a,

在MAA'N。中，DN=ADeosZADC=cos6>.AN=^DsinZADC=sin6>,

同理，BM=PN=«n8,DW=cos6,故3P=A/V=2cos6,

显然3尸，面HNP,故8尸，HP,

在Rt^d'BP中,A'P2=A'B2-BP2=t2-(2cos0)2=t2-4cos?0,

:222

/,，、PA^+NPSsin^+sin^-(r-4cos^)

在&4'JVP中，cosa=cosAANP=--------------------=--------------------------------

2A'NxNP2sin6xsin8

2+2cos:0-i12-t2cos201,„cos26

=---------,------=-----+———=—5—cosZADB+———,

2sin*62sin*6sin*6sin*3sin*6

i->0,/.cosa(当6=2时取等号)，

sin*0sin*62

•：a,ZA'DBe[Q,7i],而y=cosx在[0,可上为递减函数，.•.aWNJ'OB,故选B.

【指点迷津】翻折问题，翻折前后在同一个面内的两个量之间的位置关系不变。由于AABC的形状不确定,

NAS与0的大小关系不确定，再根据二面角的定义可知NADB2C,当且仅当AC=BC时，等号成立。

【举一反三】

1、【四川省宜宾市2019届高三二诊】已知棱长都为2的正三棱柱ABC-A】B：Q的直观图如图，若正三棱

柱ABC-绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为（）

B.

D-iLJ

【答案】B

【解析】

由题意，四个选项高都是2,

若侧视图为A,中间应该有一条竖直的实线或虚线.

若为C,则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线.

若为D,则长应为H，而不是1.

故选：B.

2.【重庆市南开中学2019届高三三月测试】如图，在正方形中，E,尸分别为线段力dBC上的点，

UBE=20°，LCDF-30J.将AABE绕直线&CDF绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程

中，直线48与直线0F所成角的最大值为.

【答案】70。

【解析】

由题△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，形成两个圆锥体，AB和DF成为圆锥的母线，

所以无论怎么旋转，都有zABE=20・，4CDF=30'-利用几何体性质得：最大角是AB与BE的对称直线

BA'和DF关于直线CD的对称直线D1在同一平面内时所成角，为zABA'+zDCF'=20•+20*+30*=70*

故答案为70°

3.【2017课标1,理16］如图，圆形纸片的圆心为。，半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为

0.0、E、F为圆。上的点，XDBC,△ECA,△以8分别是以8C,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪

开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起△O8C,△ECA,△MB,使得。、E、尸重合，得到三棱锥.当AABC

的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cn?）的最大值为.

【答案】4/

【解析】

试题分析：如下图，设正三角形的边长为x,则。G=：x*x=，x

520

:.FG=SG=5-史x,

6

令?i(x)=5x“-半个，贝也,(*)=20/-乎*3

令？i'(x)=0,4X3--^=0,X=4^/3,

X48x^4=4715.

三.强化训练

一、选择题

1.已知正方体ABC£>—4BG出的棱长为1,E,尸分别是边CG上的中点，点M是38上的动点,

过点E,M,F的平面与棱交于点N,设平行四边形EMFN的面积为S,设了二屋，则y关于

x的函数y=Ax)的图象大致是()

【答案】A

【解析】

由对称性易知四边形MENF为菱形，:.S„,vr=~EF-MM

•:EF=OMV=2=2/(x-^+l

f(x)=2(x-i)2+l.为二次函数，开口向上，顶点为©.I)

故选：4

2、某圆柱的高为1,底面周长为8,其三视图如图所示•圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱

表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

()

A.EB.2V5C.VsD.V2

【答案】C

【解析】

根据几何体的三视图如图所示：

由于底面周长为8,得到27n■=8,

解得=,，

r.

所以点M到N在下底面上的射影的弧长为|=吧J=2，

180*n

把圆柱的侧面展开得到从M到N的路径中的最小值为IMNI=vFT!=、弓

故选：C.

3、如.图，等边三角形ABC的中线AF与中位线OE相交于G,已知AA'EQ是△AOE绕。E旋转过程中

A.动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B.恒有平面AGFL平面3COE

C.三棱锥A'-EFO的体积有最大值D.异面直线AE与8。不可能垂直

【答案】D

【解析】依题意可知四边形,必隹为菱形，对角线AF与DE互相垂直平分，故X正确，在旋转过程中DE

始终垂直GF和G4，故。E，平面XGF,所以恒有平面1平面BCDE，故3正确.当

KG，平面且8c时，三棱锥/-窃D的体积取得最大值，故C正确.因为EF//3。，故异面直线/E

与皮）所成的角为NFE4,旋转过程中有可能为直角，故刀错误.

4.【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥P-ABC中，PAJ■平面

ABC,血C=120*,"=涯/1=2,M是线段BC上一动点，线段PX长度最小值为口，则三棱锥

P-ABC的外接球的表面积是（）

A.=B.9、⑵xC.18nD-40n

【答案】C

【解析】

解：如图所示:

M是线段BC上•动点，线段PM长度最小值为J3,

则：当4M1BC时，线段p“达到最小值，

由于：PA,平面ABC，

所以：P42+AM2.=.pM2,

解得：4M=1>

所以：BM=

则：LBAM=.60c«

由于：LBAC^120B'

所以：LMAC=60e

则：为等腰三角形.

所以：BC=2{3，

在AABC中，设外接圆的直径为"=上-=4,

nma'

则：r=2>

所以：外接球的半径R=

则：S=4-ff1*=18fl<

故选：C.

5.【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体必加一人为弓为中，AO=DZ%=1，M=

£尸4分别是棱485乙。。：的中点，P是底面4BC0内一动点，若直线D：P与平面EFG没有公共点，则三角形

PBB，面积的最小值为（）

QV51

A.2B.1C.4D.2

【答案】C

【解析】

补全截面EFG为截面EFGHQR如图，

其中H、Q、R分别为A。：、AR、AJ的中点，易证平面ACA〃平面EFG”。/?,

•宜线01P与平面EFG不存在公共点，

；.D|P〃面AC。，；.DiPu面AC。”

.•.PWAC,.•.过P作AC的垂线，垂足为K,则BKWk?=金此时8P最短，

2X

△PBS的面积最小，

三角形PB兄面积的最小值为x4=?，

故选：C.

6.【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】如图，已知三棱锥P-4BC,P力，平面4BC,0是棱BC上

的动点，记「口与平面4BC所成的角为a,与直线BC所成的角为凡贝ija与。的大小关系为（）

D

A.a>BB.a=B

C.a<BD.不能确定

【答案】C

【解析】

如图所示：：川，平面4比...如与平面48c所成的角。=/物,

过点力作/以3G垂足为£,连接阳

•必J_平面｛/；:.PA1BC,，13（；_1平面处区.,.BC±PE,

ADEDED

a=——/?=——/.EDA=——

在Rt△在〃Rt△必"RtZ\/®9中：cosPD,cosPD,cosAD,

：.CoS/.EDAxcosa=cos伙cos%又%6均为锐角，/.故选C.

7.如图，在等腰RLM'BC中，A'B=BC=2>M为4c的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距

离为vG，则二面角C-BM-4的大小为()

A

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【解析】

,等腰直角中，A'B=BC=2,M为A'C中点，

折之前A'C=V5T4=2々，BMIA'C,

二折之后AM=CM=V2，AM1BM,CM1BM,

?.ZAMC是二面角C-BM-A的平面角，

•.•折后A,C间的距离为历，

1

由余弦定理得cos/AMC=2,ZAMCe(0,K)

.•.二面角C-BM-A的大小为二，即为120。

故选：D.

二、填空题

8.【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】如图所示，正方体ABCD-人员65的棱长为2,E,F为如

AB的中点，M点是正方形ABB：4内的动点，若C.M/7平面CDS，则M点的轨迹长度为

【答案】。

【解析】

如图所示，取A*区的中点H，81s的中点G，连接G",C.W，JGEG,HF.

可得：四边形EGJD,是平行四边形，：•.C

同理可得：C^Hf/CF-

:C,HCC1G=Cj.

二平面JGH〃平面CDjE，

,­■”点是正方形AB8H内的动点，若C*M〃平面CD1b

二点M在线段GHh.

点的轨迹长度=，GH.=VP+I2=V2故答案为

9.已知正方体4邑的棱长为a，点P为线段上一点，Q是平面"BCD上一点，则0：+PQ的

最小值是;

（1+综

【答案】【2）

【解析】

解：当以P+PQ取得最小时，

点Q必定是点尸在平面43CD上的射影，即在BC上.

与PQ在二面角5-Bg-C的两个面内，

为此将AB"［绕BCj旋转go。，使得平面ABCC］与平面4BCR1在同一平面a内，

由PQ1BC,故当以、P、Q共线且与BC垂直时，D-+PQ取得最小.

皿GP=NBQP=90°

在平面a内，因为I"1P%="PB

所以，ADRP~ABQP

又4PBQ=45°,

所以A%GP与ABQP都是等腰直角三角形，

M（1+豆）anp,pn（1+

所以得到DQ=2,，故D/+PQ的最小值为'27.

10、【2017课标3,理161a,6为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A8C的直角边AC所在直

线与a,6都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60。角时，A2与匕成30。角；

②当直线AB与a成60。角时;AB与6成60。角；

③直线AB与a所成角的最小值为45。；

④直线A8与a所成角的最小值.为60°.

其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】

试题分析：由题意，A3是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由AC，a,ACL人，又AC,圆锥底

面，在底面内可以过点B,作5。||a,交底面圆。于点。，如图所示，连结DE,则DELB£>,b,

连结AO,等腰△A8O中，AB=AD=0，当直线A8与a成60。角时;ZABD=60,故=又

在用Z\BDE中，BE=2,：,DE=日

过点8作8/〃OE,交圆C于点F,连结AF,由圆的对称性可知8/=。£=J5,

.•.△ABF为等边三角形，.•.NAB尸=60,即A8与匕成60。角，②正确，①错误.

由最小角定理可知③正确；

很明显，可以满足平面A8CJ•直线。，直线43与a所成的最大角为90。，④错误.

正确的说法为②③

A

11.12019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥P-4BC的高P°=8,底面边长为4,.“，X

分别在和PO上，且PN=2CM,当三棱锥N-/MC体积最大时，三棱锥N-/MC的内切球的半径为

【答案】口3-3

【解析】

设CM—x,

-ATO=|xCMsin60*（PO-Plf）=；x；x4xxB（8-2x）二子（4”力，

当％=2时，4—取得最大值W，此时“为BC中点,4M经过点0,RN0=4,4。=手,所以可求刈11=蜉,

NA=NC-=¥，因此易求541r4“=4V3，=耳^，&n=$sz=2心,又

++=^if-jute,Ar=VIJ-3-

12.【河南省六市2019届高三第一次联考】如图，aABC是等腰直角三角形，斜边4B=2,D为直角边BC

上一点（不含端点），将△AC。沿直线AD折叠至△"CM的位置，使得G在平面ABD外，若G在平面ABD上的

射影H恰好在线段AB上，则All的取值范围是.

AB

D

【答案】（1艰）

【解析】

解：・・・在等腰中，斜边48=2,D为直角边BC上的一点,

:.AC=BC=*,&CB=90°,

将△力CD沿直AD折叠至△407的位置，使得点6在平面ABD外，

且点的在平面ABD上的射影H在线段AB上，设力”=匕

.•.AC1=AC=y/2CD=Ci£>€（04），Zu4C1D=90"

C"J■平面ABC,

:.AH<AC[=必当CD=&时，B与D重合，AH=lt

当CD<娘时，2