2024届广东省中山市中考数学四模试卷含解析

2024届广东省中山市名校中考数学四模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，若△ABC内接于半径为R的。O,且NA=60。，连接03、OC,则边5c的长为（）

A.亚RB.旦RC.正R

D.6R

22

2.已知xa=2,Xb=3,则x3a-2b等于()

8

A.-B.-1C.17D.72

9

3.如图,将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1,则点C的坐标为（)

A.(73，-1)B.(2,-1)C.(1,-73)D.(-1,73)

4.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,是AB边上的中线，AC=8,BC=6,则NAC。的正切值是（）

53

C.一D.-

34

5.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘

()

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

6.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A.圆锥B.四棱锥C.圆柱D.四棱柱

7.设点Ag,%）和B（%2，%）是反比例函数y=七图象上的两个点，当再〈心〈时，则一次函数

x

y=-2x+k的图象不经过的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

x-a<Q

8.已知关于x的不等式组°,至少有两个整数解，且存在以3,”，7为边的三角形，则”的整数解有（）

2x-l>7

A.4个B.5个C.6个D.7个

9.-23的相反数是（）

A.-8B.8C.-6D.6

10.一元二次方程必―2%=。的根是（）

A.%=-2B.X]=1,Xrf—2

C•%—-1,%2=-2D.%—-0,x~f—2

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿过点3的直线折叠这个三角形，使点。落在A5边

上的点E处，折痕为BD,则AADE的周长为•

12.一个扇形的面积是mitem,半径是3cm,则此扇形的弧长是.

13.如图，将直尺与含30。角的三角尺摆放在一起，若Nl=20。，则/2的度数是一.

y

14.某个“清淙小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料.A、B、。三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶.工

作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮科的数量（单位：瓶）是5饮料数量的2倍，5饮料的

数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍.某个周六，4、5、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了

50%、60%、50%,且全部售出.但是由于软件版g,发生了一起错单（即消费者按某种饮料一瓶的价格投币，但是

取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了503元.则这个“清凉小屋”自动售货

机一个工作日的销售收入是元.

15.如图，在口ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,贝！JDF=

16.据媒体报道，我国研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，将204000这个数用

科学记数法表示为.

17.如图，长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F,则

△AFC的面积等于一.

B

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）观察下列多面体，并把下表补充完整.

名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

图形50施H

顶点数。61012

棱数b912

面数c58

观察上表中的结果，你能发现。、b.c之间有什么关系吗？请写出关系式.

19.（5分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题

A。AD

在锐角AASC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,过A作AD_LbC于D（如图⑴），则sinB=——,sinC=——,

cb

beccidb

即AD=csinB,AD=bsmC,于是csin5=5sinC,即-----=-----,同理有：-----=-----,-----=-----,所以

sinBsinCsinCsinAsinAsinB

a_b_c

sinAsinBsinC

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述

结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.

根据上述材料，完成下列各题.

图（1）图（2）图（3）

（1）如图（2）,ZkABC中，N3=45。，NC=75。，BC=60,则NA=；AC=；

⑵自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻.某

次巡逻中，如图（3）,我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30。的方向上，随后以40海里/时的速度按北

偏东30。的方向航行，半小时后到达5处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75。的方向上，求此时渔政204船距钓鱼

岛A的距离A5.（结果精确到0.01,76-2.449）

20.（8分）如图，在四边形ABC。中，E为A5的中点，上，至于点E,ZA=66°»ABC=90，BC=AD,

求NC的度数.

21.（10分）计算：（-2）3+（-3）x[（-4）2+2]-（-3）2v（-2）

22.（10分）如图，已知矩形ABCD中，连接AC,请利用尺规作图法在对角线AC上求作一点E使得△ABC^ACDE.（保

留作图痕迹不写作法）

B,C,。表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图.

作品数量条形图

请根据以上信息，回答下列问题:

（/）杨老师采用的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”）;

（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数.

（3）请估计全校共征集作品的件数.

（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作

者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率.

24.（14分）在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直

角边在AD右侧作等腰三角形ADE,使NDAE=90。，连接CE.

探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.

应用：在探究的条件下，若AB=&,CD=1,则ADCE的周长为

拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD,CE之间的数量关系为

（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

延长BO交圆于D,连接CD,贝！］NBCD=90。，ND=NA=60。；又BD=2R,根据锐角三角函数的定义得BC=gR.

【详解】

解：延长BO交。O于D,连接CD,

则NBCD=90。，ZD=ZA=60°,

；.NCBD=30。，

VBD=2R,

.\DC=R,

.,.BC=GR,

故选D.

【点睛】

此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30。角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.

2、A

【解析】

•••xa=2,xb=3,

8

X3a-2b=(Xa)3-r(Xb)2=8-r9=

故选A.

3,A

【解析】

作AZ>_Ly轴于O,作CE_Ly轴于E,贝！］NAZ>O=NOEC=90。，得出Nl+Nl=90。，由正方形的性质得出OC=AO,

Nl+N3=90。，证出N3=NL由AAS证明△OCE名△400,得至!!OE=AZ)=1,CE=OD=^3,即可得出结果.

【详解】

解：作AOLy轴于。，作CELy轴于E,如图所示:

贝!|NAZ>O=NOEC=90。，AZl+Zl=90°.

VAO=1,AD=1,：.OD=yl22-I2=6.•.点A的坐标为(1,若)，：.AD=1,OZ>=班.

•四边形0A3C是正方形，AZAOC=9Q°,OC=AO,二Nl+N3=90。，.\Z3=Z1.

ZOEC=ZADO

在△OCE和△AOZ>中，N3=N2,：.^OCE^/\AOD(AAS),：.OE=AD^1,CE=OD=6,.,.点C的

OC=AO

坐标为（6,-1）.

故选A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得

出对应边相等是解决问题的关键.

4、D

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD,再根据等边对等角的性质可得NA=NACD,然后根据

正切函数的定义列式求出NA的正切值，即为tanZACD的值.

【详解】

；CD是AB边上的中线，

；.CD=AD,

.,.ZA=ZACD,

VZACB=90°,BC=6,AC=8,

3

/.tanZACD的值一.

4

故选D.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出NA=

ZACD是解本题的关键.

5、C

【解析】

根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个

数的平均数叫中位数.

【详解】

捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30,

中间两个数分别为30和30,则中位数是30,

故选C.

【点睛】

本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握.

6、B

【解析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状

【详解】

解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是长方形可判断出这个几何体应该是四棱柱.

故选B.

【点睛】

本题考查了由三视图找到几何体图形，属于简单题，熟悉三视图概念是解题关键.

7、A

【解析】

•点和B（%2，%）是反比例函数y=勺图象上的两个点，当占<%2<1时，%<%，即y随x增大而增大,

X

...根据反比例函数v=&图象与系数的关系：当左>0时函数图象的每一支上，y随X的增大而减小；当左<0时，函

数图象的每一支上，y随x的增大而增大.故k<L

.••根据一次函数图象与系数的关系：一次函数丫=卜科+13的图象有四种情况：

①当k]〉0,b>0时，函数y=£x+b的图象经过第一、二、三象限;

②当k]〉0,b<0时，函数y=&x+b的图象经过第一、三、四象限;

③当k]<0,b>0时，函数y=&x+b的图象经过第一、二、四象限;

④当k]<0,b<0时，函数y=&x+b的图象经过第二、三、四象限.

因此，一次函数y=—2x+上的k]=—2<0,b=k<0,故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选

A.

8、A

【解析】

依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a>5,再根据存在以3,a,7为边的三角形，可得4<a<10,进而得出a

的取值范围是5VaV10,即可得到a的整数解有4个.

【详解】

解：解不等式①，可得xVa,

解不等式②，可得04,

；不等式组至少有两个整数解，

•.a5,

又•.•存在以3,a,7为边的三角形，

/.4<«<10,

：.a的取值范围是5<a<10,

Aa的整数解有4个，

故选：A.

【点睛】

此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大,

同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

9、B

【解析】

V-23=-8,-8的相反数是8,—23的相反数是8,

故选B.

10、D

【解析】

试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：一一A二。,

因此=0或-2=0,所以x：=Qx：=2.故选D.

考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、7cm

【解析】

由折叠的性质，可知：BE=BC,DE=DC,通过等量代换，即可得到答案.

【详解】

•.•沿过点3的直线折叠这个三角形，使点。落在边上的点E处，折痕为BD,

/.BE=BC,DE=DC,

:.AADE的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=AB+BC+AC-BC-BE=8+6+5-6-6=7cm,

故答案是：1cm

【点睛】

本题主要考查折叠的性质，根据三角形的周长定义，进行等量代换是解题的关键.

8

12、一71

5

【解析】

根据扇形面积公式S扇形=求解即可

【详解】

根据扇形面积公式S扇形=1-Z-r.

〜121…

可得：一》=-x3x/,

52

78

/--71,

5

Q

故答案：

【点睛】

本题主要考查了扇形的面积和弧长之间的关系，利用扇形弧长和半径代入公式S扇形=；•/"即可求解，正确理解公式

是解题的关键.注意在求扇形面积时，要根据条件选择扇形面积公式.

13、50°

【解析】

先根据三角形外角的性质求出/BEF的度数，再根据平行线的性质得到N2的度数.

【详解】

如图所示:

；NBEF是△AEF的外角，Zl=20°,ZF=30°,

:.ZBEF=Z1+ZF=5O°,

VAB/7CD,

.*.Z2=ZBEF=50°,

故答案是：50°.

【点睛】

考查了平行线的性质，解题的关键是掌握、运用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和）.

14、950

【解析】

设工作日期间C饮料数量为x瓶，则5饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，得到工作日期间一天的销售收入为:

8x+6x+5x=19x元，和周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x=29.Lr元，再结合题意得到10.lv-(5-3)=503,计算

即可得到答案.

【详解】

解：设工作日期间C饮料数量为x瓶，则5饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，

工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x=19x元，

周六C饮料数量为1.5x瓶，则5饮料数量为3.2x瓶，A饮料数量为6x瓶，

周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x=29.1x元，

周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x-19x=10.1x元，

由于发生一起错单，收入的差为503元，因此，503加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，

所以这起错单发生在5、C饮料上(3、C一瓶的差价为2元)，且是消费者付5饮料的钱，取走的是C饮料；

于是有：lO.lx-(5-3)=503

解得：x=50

工作日期间一天的销售收入为：19x50=950元，

故答案为：950.

【点睛】

本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是由题意得到等量关系.

14

15、—.

3

【解析】

解：令AE=4x,BE=3x,

；.AB=7x.

•.•四边形ABCD为平行四边形，

；.CD=AB=7x,CD/7AB,

.,.△BEF^ADCF.

.BFBE_3x

•・—CD―7x-7'

14

ADF=—

3

【点睛】

本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键.

16、2.04x1

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.确定”的值时，要看把原数变成“时，小数点移

动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值“时，”是非负数；当原数的绝对值VI时，”是负

数.

【详解】

解：204000用科学记数法表示2.04x1.

故答案为2.04x1.

点睛：本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"10"的形式，其中长同＜10,"为整数，表示

时关键要正确确定a的值以及n的值.

26

17、一

3

【解析】

由矩形的性质可得AB=CD=4,BC=AD=6,AD//BC,由平行线的性质和折叠的性质可得NDAC=NACE,可得AF=CF,

由勾股定理可求AF的长，即可求△AFC的面积.

【详解】

解：四边形ABCD是矩形

,-.AB=CD=4,BC=AD=6,AD//BC

.•.4AC=/ACB,

折叠

.•./ACB=/ACE,

.•.4AC=/ACE

.-.AF=CF

在Rt_CDF中，CF2=CD2+DF\

AF2=16+(6-AF)2,

A「13

AF=——

3

c1…113)26

SA”=—xAFxCD——x—x4——.

•AFC2233

故答案为：.

【点睛】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求AF的长是本题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、8,15,18,6,7；a+c—b=2

【解析】

分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定

有(n+1)个面，In个顶点和3n条棱，进而得出答案，

利用前面的规律得出a,b,c之间的关系.

详解：填表如下：

名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

0

图形O

顶点数a681011

棱数b9111518

面数c5678

根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n,则它有n个侧面，共有n+1个面，共有In个顶点，共

有3n条棱；

故a,b,c之间的关系：a+c-b=l.

点睛：此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系(即欧拉

公式)，掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有(n+1)个面，In个顶点和3n条棱是解题关键.

19、(1)60,2076;(2)渔政船距海岛A的距离约为24.49海里.

【解析】

(1)利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；

(2)在AABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可.

【详解】

(1)由正玄定理得：NA=60。，AC=20#；

故答案为60。，2076;

(2)如图：

依题意，得BC=40x0.5=20(海里).

VCD#BE,

:.ZDCB+ZCBE=180°.

VZDCB=30°,AZCBE=150°.

VZABE=75°,AZABC=75°,

・・・NA=45。.

ABBC

在^ABC中9-----------=------，

sinZACBsinA

口口ABBC

即n-=1，

sinZ60°sin45°

解得AB=10"x24.49（海里）.

答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里.

【点睛】

本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根

据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点.

20、78°

【解析】

连接3。，根据线段垂直平分线的性质得到A4=2）5,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.

【详解】

连接BD,

为AB的中点，DELAB于点,E,

：.AD=BD,

:.ZDBA=ZA,

,:ZA=66°，

:.NDBA=66°，

••NABC=90，

/.ZDBC=ZABC-ZDBA=24°,

,:AD=BC,

：.BD=BC,

:.NC=/BDC,

180°—ZD3C

=78°.

2

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线

段的两个端点的距离相等是解题的关键.

21、-17.1

【解析】

按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的.

【详解】

解：原式=-8+(-3)xl8-94-(-2),

--8-14-9-r(-2),

=-62+4.1,

=-17.1.

【点睛】

此题要注意正确掌握运算顺序以及符号的处理.

22、详见解析

【解析】

利用尺规过。作OELAC,,交AC于E,即可使得△ABCs^CDE.

【详解】

解：过。作如图所示，ACOE即为所求：

【点睛】

本题主要考查了尺规作图，相似三角形的判定，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法.

2

23、(1)抽样调查(2)150°(3)180件(4)1-

【解析】

分析：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查.

90

（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6+——=24（件），C班作品的件数为：2446-4=10（件）；继而

360

可补全条形统计图；

（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得;

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即

可求得答案.

详解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查.

故答案为抽样调查.

（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6+0=24件,

360

C班有24-（4+6+4）=10件，

补全条形图如图所示