2023-2024学年高考数学随机变量及其分布专项练习题（含答案）

2023-2024学年高考数学随机变量及其分布小专题

一、单选题

1.在某项测量中，测得变量""（西即叫港4在包⑷内取值的概率为必，则自在

a2）内取值的概率为（）

A.0.2B.0.1C.0.8D.0.4

2.太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从

C、D、E、F,4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件/为“甲和乙至少一人选择。,

事件5为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率0（84）=（）

7736

A.16B.耳C.7D.7

3.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数。的值是（）

X3459

a1J_j_

P---FQ

2626

1111

A.6B.12C.9D.2

4.某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩X〜"（10002）（满分］50分）

3

.统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的则此次统考中

数学成绩不低于120分的学生人数约为（）

A.80B.100C.120D.200

5.已知随机变量自服从正态分布N（"）,且尸代<4）=0.8,则尸（0<4<2）等于（）

A.0・6B,0.4C.0-3D,0.2

6.下列说法中正确的是（）

A.尸（"忸）<尸（⑷B,忸）尸⑻是可能的

CP（"）=P（/）P（3）口.尸（川/）=。

7.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表

示4人中的团员人数，则尸（X=3）)

4965

A.21B.21C.21D.21

8.设这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确

BP(X2)"(XWbJ

C.对任意正数乙P{X<t)>P(Y<t)D.对任意正数f,P{X>t)>P(Y>t)

二、多选题

9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从

甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4,4和4表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球,

再从乙罐中随机取出一球，以3表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）

A.,⑻号B,即⑷4

c.事件B与事件4相互独立D.4,4,4两两互斥

10.设随机变量x表示从1到〃这〃个整数中随机抽取的一个整数，y表示从1到x这x个

整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（）

P（X=2,Y=\）=-

A.当”=3时，3

P（X+Y=4）=—

B.当〃=4时，24

,p（X=k,Y==\

C.当n=k（左22且左wN）时，k~

5

D.当〃=2时，y的均值为a

11.如果忑是一个离散型随机变量，则真命题是（）

A.，取每一个可能值的概率都是非负实数

B.。取所有可能值的概率之和为1

C.忑取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和

D.。在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

12.设随机变量X的分布列如下表，且双工）=16,则（）

X0123

P0.1ab0.1

A.a=0.3B.6=0.5

C.P（^l）=0.4D.P（X>l）=0.6

三、填空题

13.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，

绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A”取出的两个球颜色不同”，记事件8”取出

一个蓝球，一个绿球”，则尸（切/）=.

14.已知0〈尸⑷J且P（8M）=尸⑻若尸⑷=06呻口）=0・3,,则尸（.）=

2

15.设随机变量4〜以2,0）,”2J+1,若“（4）=8,则。©=,

E⑺+。（〃）=.

16.已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概

率均为5,该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高

校的个数为随机变量X,则E（X）=,D（x）=

答案:

1.D

【分析】利用正态分布的对称性可得答案.

【详解】因为变量"NQbX。）。），P（0<X<2）=0.8

所以P(l<X<2)=0.4

故选：D.

2.D

【分析】先求出事件N发生的概率和事件/和事件8共同发生的概率，利用条件概率公式即

可求出.

【详解】由题两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有4x4=16种,

其中事件/的情况有4x"3x3=7种,

事件/和事件B共同发生的情况有2,3=6种,

所以16168,

3

尸倒/)=返=手6

I)P(A)77

所以16

故选：D.

3.C

【分析】根据分布列的性质运算求解.

a111

—+-+。+—+-=1Q=一

【详解】由题意可得：2626,解得9

故选：C.

4.D

【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的

Ui-2=1

214J8,即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数.

【详解】由题意可知：成绩X~N（IOO，〃），则其正态曲线关于直线x=100对称,

3

又因为成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的,

由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的2I4J8,

1x1600=200

所以此次考试成绩不低于120分的学生约有：8人.

故选：D.

5.C

【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.

【详解】•=~N（2,b）=

P（0<g<2）=尸（2<自<4）=P/<4）一尸（4<2）=0.8-0.5=0.3

故选：C.

6.B

【分析】利用条件概率的公式可判断ABD,利用独立事件的定义可判断C.

P（A\B^=P（:B[>p（4B）

【详解】选项A：。伊），故A错误；

,、始忸）=阴=3=尸⑷

选项B：当P（'）=l时，尸⑻「⑻,可能成立，故B正确；

选项C：尸"BA尸（⑷尸（8）当且仅当A与8相互独立时成立，故C错误；

选项D：尸（H"）=L故D错误.

故选：B.

7.D

【分析】万=3表示出抽取的4人中有3个团员，分别求出从这10人中任选4人参加某种活

动方法总数，以及抽取的4人中有3个团员的方法总数，由古典概率的公式即可得出答案

【详解】丫=3表示出抽取的4人中有3个团员，

「301

尸"3)=?=50_5

210-21

所以

故选：D.

8.C

【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得从°<百<4可判断AB,由密度曲线

与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD.

【详解】A选项：“~"（从后）、,~~（〃2，E）的密度曲线分别关于“=从、x=4对称,

因此结合所给图像可得从<外，所以尸匠>运）<p（yA）,故A错误；

B选项：又X~N3，b；）的密度曲线较y~N（〃2，b；）的密度曲线，，瘦高，"

所以0<%<4,所以P（XW0>P（X巧），故B错误；

CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：

对任意正数f,P{X<t}>P（Y<t）P（X2/）WP（yN/）,故c正确，D错误.

故选：C.

9.BD

【分析】根据已知得出尸（"）P（4），「（4），尸J14）,尸⑶4），尸（04）,然后即可根据概

率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.

p（4）=—=-尸（4）=2=』P（A）=—P（B\AJ=—

【详解】由已知可得，102,105,V3710,'1711,

44

P（引4）=石尸（刃4）=行

对于A项，由全概率公式可得,尸0）=尸（砌+尸（3）+尸（3）

1514349

=尸⑷尸@4）+P（4）尸修㈤+尸⑷尸（8|4）=5><打+^1T+仿/石=五故A项错误

p（s|4）=—

对于B项，根据已知，即可计算'〃"，故B项正确；

尸（48）=尸（4）尸（例4）=,义工=上

对于C项，由己知可得，I'I"J"21122

199

P（A1）P（B）=_x——=——wP（A\B）

I"-22244'一，故C项错误；

对于D项，由已知可知，4,4,4两两互斥，故D项正确.

故选：BD.

10.BCD

【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两

个随机变量x,y的取值范围.

p（X=2）=，尸（y=i|x=2）」

【详解】对于选项A：当〃=3时，3,2,

p(x=2,y=i)=p(x=2).p(y=i|x=2)='L=L

则I7V7V7326,故A错误；

对于选项B,当"=4时，由X+y=4,可得X=3,y=l或X=2,7=2,

P(X+Y=4)=P(X=3,Y=l)+P(X=2,Y=2)=-x-+-x-=—

所以'"''''434224,故B正确；

*尸(X=左)=工P(Y=l\X=A：)=—

对于选项C,当〃=左(左22且左eN)时，k,k,则

P(X-k,Y_l)_-故选项c正确；

对于选项D,当〃=2时，y的可能取值为1,2,

111Q

则p(y=i)=尸(x=i,y=i)+p(x=2,y=i)=5xi+]*]=a

p(y=2)=p(x=2,y=2)=；xg=：

13cl5

1x-F2x-=一

所以y的均值为444,故D正确.

故选：BCD

11.ABC

【分析】根据分布列的性质，以及概率的求法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，随机变量。取每一个可能值的概率都是非负实数，所以A正确；

对于B中，根据分布列的性质，则随机变量。取所有可能值的概率之和为1,所以B正确；

对于C中，根据分布列的性质，可得随机变量忑取某几个值的概率等于分别取其中每个值的

概率之和，所以C正确；

对于D中，根据分布列的性质，随机变量。在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各

个值的概率之和，所以D不正确.

故选：ABC.

12.ABCD

【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望，列出方程组

0.1+〃+6+0.1=1

0x0.1+lxq+2x6+3x0.1=1.6解出°,6的值即可得到答案.

0.1+。+b+0.1=1\ci—0.3

0x0.1+lxtz+2x/j+3x0.1=1.6解得[b=0.5

【详解】根据题意,故A、B正确;

又P(X<1)=P(X=0)+P{X=1)=0.1+0.3=0.4,

P(X>1)=P(X=2)+尸(X=3)=0.5+0.1=0.6,故c、D正确

故选：ABCD.

3

13.13

【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】事件A“取出的两个球颜色不同”，包括一个黄球一个蓝球，

一个黄球一个绿球以及一个蓝球一个绿球，三种情况，

贝旷⑷=C；C；+C：C；+C；C；=26,

事件8“取出一个蓝球，一个绿球”，

则C；C；=6,

所以"⑷2613.

3

故13

3

14.0.12/25

【分析】由P（8M）=P（B）,可得42相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘

法公式，即可求解.

【详解】由玖'M）=P⑻可得42相互独立，

又「向）=0.6p（4）=l-尸G）=S4

又因为呻所以尸⑻叫

所以尸（A8）=P（N）P（8）=04x0.3=0.12

故0.12.

4371

15.9T/9

【分析】根据已知条件，结