大题预测1 （解析版）-冲刺2024年高考数学大题预测卷

大题预测01（A组+B组+C组）

【A组】

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知函数/（x）=x（lnx-a）+lnx+a.

（1）若a=l,当x＞l时，证明：/（x）＞0.

（2）若a＜2,证明：/（无）恰有一个零点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意，求导可得了々x）,。，即可得到“X）在（1,y）上单调递增，再由〃x）＞〃l）=0,

即可证明；（2）根据题意，构造函数g（x）=lnx-a+W+f,求导可得g'（x）＞0,即g（无）在（。,+巧上单

调递增，再结合g（l）=0,即可证明.

【解析】（1）证明：因为。=1,所以/（x）=xlnx-x+lnx+l,/'（x）=lnx+-...................................2分

当x＞l时，/'（%）＞0,则/（X）在上单调递增,

所以当x>l时，f(x)>/(l)=0.5分

Inxa

(2)/(x)=x(lnx-a)+lnx+a=.r\nx—a+---+—

xx

g(x)=lnx-a+^-+^,贝=11-lnxax+l-\nx-a

—+.7分

x%2

1Y-]

令M%）=%+l-lnx-a,则//（%）=1——=------.

当工£（0,1）时，〃（x）＜0,M]）在（0,1）上单调递减，

当%£（l,+oo）时，/zr（x）＞0,"（X）在（1,+00）上单调递增，..........................10分

所以/?（力2硝）=2-4＞0,所以区（。=尤+1一二、二4＞0,

则g⑺在（0,+“）上单调递增............................12分

因为g⑴=0,所以g（x）恰有一个零点，则恰有一个零点......................13分

16.（15分）

某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道

题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题

的概率都是1甲乙正确回答每道题的概率分别为:4，3且两人各道题是否回答正确均相互独立.

（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；

（2）求甲获胜的概率.

【答案】（1）3（2）翡2133

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合题意即可求解；（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙

得一分的概率分别为（3、p2设两人共抢答了X道题比赛结束且甲获胜，则X的可能取值为3,4,5,利用

独立事件的乘法公式计算即可求解.

【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件

由题意，M发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，..................2分

所以尸（叫下1/41+力12,三3，

3

故比赛开始，甲先得一分的概率为二..........................6分

（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为:3、j2,....................................8分

设两人共抢答了X道题比赛结束且甲获胜，

根据比赛规则，X的可能取值为3,4,51.....................................................10分

所以尸(X=3)=e=芸,P(X=4)=C；A1(j)3=普|,

512555625

648

.....................................................13分

3125

故中获胜的概率P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=^*......................................................15分

17.（15分）

如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,AD=BC=CD=1,AB=2,AD±PB.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）若DP=6,且尸D_LCD,求二面角A—PB—D的正弦值.

证明见解析；（2）亚

【答案】

5

【分析】过点。作求出2D,利用勾股定理即可证明;

根据（1）中的结论建立空间直角坐标系即可求解.

【解析】过点。作

2分

因为。E2AB,所以。£=且,

2

因为BE=—,所以BD=A/3,

所以4£>2+3£)2=帅2，所以...........................4分

因为AD13£>,AD±PB,BDPB=B,

8£),P2u平面pen,所以A£>_L平面PBD,

因为A£>u平面A3CD,所以平面PSD，平面ABC。；..........................6分

因为A£>_L平面PBD,所以AD_LPD,

因为PD_LCD,PD±AD,CZZAOu平面A5CD,

所以PD，平面ABC。,

所以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系,.....................................................8分

所以4(1,0,0),P(0,0,粗),B(0,V3,0),

所以AP=(-l,0,&),PB=(0,A/3,-A/3),。8=(0,6,0),......................................................9分

设平面APB的法向量根=（%，X，z。，

［—舟M+-13后Z1—=0。‘令日’所以矿松，

所以

同理可得平面P8D的法向量”=（1,0,0）,11分

18.（17分）

设抛物线C:y2=2px（p>0）,过焦点歹的直线与C交于点A,B.当直线AB垂直于x轴时，|他|=2.

（1）求C的方程；

（2）已知点尸（1,0）,直线AP,分别与C交于点C,D.

①求证：直线CD过定点；

②求.与.PCD面积之和的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②三.

【分析】（1）根据通径的定义求出。得解；（2）①设直线方程与抛物线联立，韦达定理找到AB坐标

关系，同理可得AC和民。的坐标关系，设CD与x轴交于点G,同上面方法可求得为为定值；②利用面

积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.

【解析】（1）由题意通径长2。=2,2=1,「.C的方程为V=2x.........................................................3分

（2）①设直线A8方程为尤

2

d6；（半小。鼻%:........5分

1

、，、x=my+—八

联乂12=>y9-2my-l=0,

、y2=2x

•••%%=-1，%+>2=2相，且A=4机2+4>0，....................................................8分

-22

同理，可得%%=—2?」=一2,二•%=——，，2y4=-2n%=—，...................................11分

%%

4

设CD与x轴交于点G,同上方法可得必•”=-2〃%=-----=-2%n%=2,

・・・直线CO过定点（2,0）；.....................................................14分

〜c11|I1,22515/“2，、5

②S..+S.PCD=51帆1%|+/产,一虱=d%_yJ=/41+4>-,

当且仅当m=0时取“=”.............................17分

19.(17分)

若函数〃x)的定义域、值域都是有限集合&={42,…,%},〃eN*,则定义为集合A上的有限完整

函数.已知g(x)是定义在有限集合M={1,2,3,4,5,6,7}上的有限完整函数.

7

(1)求£这⑴的最大值；

1=1

(2)当i=l,2,3,4时，均有g⑺<g«+l),求满足条件的g(x)的个数；

(3)对于集合M上的有限完整函数g(x),定义“闭环函数”如下：&(x)=g(x),对左wN*,且左W6,

gz(x)=g(gAx))(注：g7k+i(x)=gt(x),AvN*,i=l,2,…,7).若HxeM,meN*,g』x)=gi+“(x),则称

g(x)为”阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数g(x)既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数(用列表法表

示g(x)的函数关系).

【答案】(1)140；(2)42；(3)证明见解析

【分析】(1)根据有限完整函数的定义，结合基本不等式，即可求的答案；

(2)由题可得出g(D<g(2)<g⑶<g(4)<g(5),由此结合排列组合的知识，即可求得答案;

(3)由题意可知，不妨取一个闭环函数g(x),然后结合阶闭环函数”的定义,

证明该函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数，即可证明原命题.

7

【解析】⑴由题意得£次⑺=g6+2g⑵+3g(3)+4g(4)+5g(5)+6g(6)+7g(7)

i=\

』+[g（i）\22+[g（2）L3?+[g⑶L42+[g（4）「52+[g（5）12+[g⑹丁产十上⑺了

2222222

77c

£/+中g«）]

7

i=Ti=l=£/2=140'......................................................3分

2i=l

当且仅当g⑴=l,g（2）=2,,g（7）=7时取等号,

7

即»g⑴的最大值为140；.....................................................5分

1=1

(2)由题意知g(l)<g(2)<g⑶<g(4)<g(5),

从集合M中任取5个数，记为乙也，仄也也，共有C：中取法，.....................7分

然后剩余的两个数全排列，故共有C；A；=42个g（x）满足条件；.....................9分

（3）证明：以下面表格作为g（x）的函数关系：

X1234567

g(x)2315674

&⑴=2,g2⑴=g⑵=3,g3⑴=g⑶=Lg4⑴=g⑴=SI（1），

故g（x）为3阶闭环函数；...........................13分

又&（4）=5,g2（4）=g（5）=6,g3（4）=g（6）=7,g4（4）=g（7）=4,g5（4）=g（4）=g1（4）,

故g（x）也为4阶闭环函数，

故原命题得证...........................17分

【B组】

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知函数〃x）=x3+ax-6（aeR）.

（1）若函数的图象在尤=2处的切线与x轴平行，求函数的图象在彳=-3处的切线方程;

（2）讨论函数“X）的单调性.

【答案】（1）15x-y+48=0;（2）答案见解析

【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；

（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.

【解析】（1）/'（"=3/+。...........................1分

由题意（（2）=12+。=。，解得。=一12,......................................................3分

所以/（x）="12x-6,/（-3）=3,/（-3）=15

/（x）在》=—3处的切线方程为15x-y+48=0.....................................................5分

（2）/,（x）=3x2+a.

①当时，f'（x）＞0,/（x）在R上单调递增...........................7分

②当。＜0时，由/@）=0得*=±腐,.....................................................8分

/（%）在R上的变化情况如下表：

X1一间41fl

（）

/'X+0-0+

“X)极大值极小值T

由上表可得/（X）在上单调递增,

上单调递减，在（后上单调递增.

在12分

综上，当时，增区间为+°°）,无减区间、;

当4<0时，增区间为q和,+8,减区间为13分

7

16.（15分）

现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类

产品的合格率依次是0.8,0.9,0.7.现从这10个球中任取1个球，设事件8为“取得的球是合格品”，事件

A，4分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”.

（1）求尸（4）,i=l,2,3；

（2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率.

13140

【答案】（1）P（A）=-,P（4）=—（2）—

211）5o1

【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.

（2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得尸（8）,进而求得结果.

513?1

p

【解析】（1）（A）=^=?^（A）=-=o.3,p（A）=-=-.....................................................3分

-L乙I\JLJ

（2）P（B|4）=0.8,|4）=0.9,P（B|A,）=0.7,....................................................6分

・•.P（B）=P（A）P（3|A）+P（4）P（B|4）+P（A）P（3|A）

=0.5x0.8+0.3x0.9+0.2x0.7=0.81......................................................9分

⑻=中=尸竺.

、7P（B）P（B）0.8181

40

该球是甲工厂生产的概率为玄...........................13分

17.（15分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面尸平面A3CD,四边形A3CD为等腰梯形，且AB=；C£>=1,PCD

为等边三角形，平面上4Bc平面PCD=直线/.

P

（1）证明：///平面A3CD；

7T

（2）若/与平面尸AD的夹角为二，求四棱锥P-ABCD的体积.

6

【答案】（1）证明见解析；（2）逑

16

【分析】（1）首先证明AB〃平面PCD,从而得到///AB,即可证明"/平面A3CD；

（2）设等腰梯形ABCD的高为，（a>0）,用向量法求出平面PAD的法向量，利用空间向量的数量积表示直

线/与平面可£）所成角的正弦值，从而解得。的值，再用棱锥的体积公式即可得到答案.

【解析】（1）证明：由题可知AB〃CD,ABU平面PCD,CDu平面PCD,

.1AB//平面尸CD.........................................................2分

又ABu平面上45,平面PABc平面尸CD=/,：.l//AB........................................................4分

又平面ABCD,ABu平面ABC。，.J//平面ABC£>..........................................................6分

（2）以。为原点，平面ABCD内垂直于DC的直线为x轴，0c所在直线为，轴,

设等腰梯形ABCD的高为>0）,

则0（0,0,0）,83.|，。］，C（0,2,0）,P（0,1,A/3）,

则DA=（〃,：,0）,DP=（0,1,73）,AB=（0,1,0）......................................................8分

设。=（x,y,z）为平面PAD的法向量，

C（1

n-DA=0ax+—y=0

则，即2,

加方=。[y+小=0

令y=T得〃=[],一1,手]为平面刈的一个法向量............................If）分

又/〃AB,则可得直线/的一个平行向量加=（0,1,0）,

设。为I与平面PAD的夹角,

由sin6=|cos〈〃,m）卜木=：,解得。=彳.............................13分

V=-x73x—x—x（l+2）=..........................................................15分

Pp-AABCDD32816

18.（17分）

22

已知双曲线E：三-乙=1（。＞0）的左焦点为歹，A,8分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的

a23

渐近线的距离为且.

2

（1）求E的标准方程；

（2）过点3的直线与双曲线左支交于点P（异于点A）,直线BP与直线/：%=-1交于点M,NPE4的角

平分线交直线/于点N,证明：N是的中点.

2

【答案】（1）9一匕=1；（2）证明见解析

3

【分析】（1）分析条件，求解方程即可.

（2）找到斜率不存在的情况，容易证明，再求证斜率存在的情况即可.

22_

【解析】（1）因为二一二=1,所以b=......................................................1分

a23

双曲线的一条渐近线为氐-ay=。，

因为双曲线的右顶点为（a,0）,设右顶点到浙近线的距离为d,

产

4属一+ra=1

由题意得一二一5'解得。；...........................3分

4Z2+3=C2,

2

则E的标准方程为/-匕=1.....................................................4分

3

（2）①当NPE4=90。，即WA尸时，设点网一2,%），

代入双曲线方程得，（-2『-寺=1,解得先=±3,

取第二象限的点，则P（-2,3）,

因为30,0），所以直线3尸的斜率为%>=*=-1，

所以直线的的方程为产尤+1,

令》=-1,解得y=2,即M（T,2）,.....................................................6分

因为直线引V是NPE4的角平分线，且.NPE4=90。，所以直线PN的斜率为七.=1，

直线FN的方程为、=尤+2,令4-1,解得，=1,即

此:时|A2V|=；|4W|,即N是的中点；...........................8分

②当NPE4W90。时，设直线3尸的斜率为左，则直线3尸的方程为y=Mx-l）,

y=%（尤-1）,

,肖去》得（—左）工左（左）

联立方程2丫？322+22*-2+3=0,

/上=1,

I3

由韦达定理得，xx=—...，

BpE-3

x7m,1，匚I、I公+3./\6k上k+36k

又因为"1,所以马=正三，力=左（%-11）=正导，点尸［正与，记与

6k

又因为尸（—2,0）,所以原F=苦停一=5^=含，..........................11分

——-+2

V-3

由题意可知，直线桥的斜率存在，设为玄，则直线行：y=k'（x+2）,

因为-V是NPE4的角平分线，

所以NPFB=2ZNFB,所以tanNPEB=tan2N2VFB,

2k2tan/NFB2K

又因为tanNPFB=ktan2NNFB=

PFk2-l1一tan?NNFB-1-浮

22

所以4^=2^,spk'k+(k'-i)k-k'=o,

K.—11—K

即优+左'）（辰'-1）=0,得人=_《或左=」,

K

由题意知左和左'异号，所以左=一左',

所以直线WV的方程为＞=—MX+2),...........................14分

令x=T,可得y=一左，即N(-1,_后),所以

直线尸3的方程为〉=左(％-1),令x=-1,可得y=-2%,

即M(T—2%),所以|4W|=k2札

所以借=便小即N是客的中点.

综上，N是M4的中点............................17分

19.(17分)

已知集合5={乂区=(%,%...%),可©{0,1},，=1,2,…〃}(n>2),对于A=

B=甄电,GS.；定义A与B的差为A—3=(向一4，"-4I，…，1%,-2|);A与8之间的距离为"(AB)

=k-b^+\a2-b2\+...+\an-bn\.

(1)若A-B=(O,l)写出所有可能的A,B；

(2)VA,B,CeS„,证明：d(A-C,B-C)=d(A,B).

(3)XM,反CeS"，证明：d(A,B),d(A,C),d(8,C)三个数中至少有一个是偶数.

【答案】(1)A=(0,0),8=(0,1)；A=(0,l),8=(0,0)；A=(l,0),B=(l,l)；A=(l,l),8=(l,0).

(2)详见解析；(3)详见解析.

【分析】(1)由题意结合新定义A-3可直接得解；

(2)先证明G=。、J=1时，均有|q-q卜也一01|=M一M，由新定义运算即可得证；

(3)设d(AB)=%,d(A,C)=/,d(B,C)=h,由(2)可得d(AB)=d(0,3-A)=左,d(A,C)=d(0,C—A)=/,

d(B,C)=d(B-A,C-A)=h,设r是使归一力=卜-⑷=1成立的i的个数，即可得/z=/+左—2/,由此可证得

结果..

【解析】(1)由题意可得，所有满足要求的A,B为:

A=(O,O),8=(0,1)；A=(O,l),8=(0,0)；

A=(1,0),3=(1/)；A=(1,1),3=(1,0)............................4分

(2)证明:令，=(《,生，，%)，B=(瓦尼,也),C=(c19c2,,cj,

对i=l,2,,n,

当q=。时，有忖一0卜也一。|二%一"；..........................6分

当q=1时，有。卜也―dH(l—q)—(1—2)H《—4...........................8分

所以。(A—C,3—C)—。|一向一酬+||%—sHd—生||+…+||%—c〃H，一

二,一乙|+|生一打|+一+|为一修=d(A,3)...........................10分

(3)设、=(%,出，…，4)，5=(4也，…也)，C=(q,c2,---,cn)GS„,

d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h,记0=(0,0,…0)£S〃，

由(2)可知:d(A,B)=d(A—A,B—A)=d(0,B—A)=k,

d(A,C)=d(A—A,C—A)=d(0,C—A)=/,d(B,C)=d(B—A,C—A)=h,

所以|2—4《=1,2,…,〃)中1的个数为上,

卜―R(i=l,2,…中1的个数为/...........................14分

设r是使性-葡=|q-⑷=1成立的i的个数,^]h=l+k-2t.

由此可知，k,I,九三个数不可能都是奇数，

即或AB),d(A,C),〃(氏C)三个数中至少有一个是偶数...........................17分

【C组】

(建议用时：60分钟满分：77分)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知函数/(x)=x(ae*+l),awR.

(1)若a=l,求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(2)若/(x)»/在(0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)y=2x.(2)[eE+e)

【分析】(1)由给定条件求出f(x)的导数，进而求得切线斜率即可得解；

(2)分离参数得。2二，设g(x)=二，利用导数得8(x)2=g(2)=b,可得。的取值范围.

ee

【解析】(1)当a=l时，/(x)=x(eA+l),/'(x)=e，(x+l)+l,..........................1分

则/'(0)=2,而/(O)=O,

所以曲线y=“X)在点(0,”0))处的切线方程为y=2x；.....................................................3分

(2)Vxe(0,+oo),由/(X)NX2,得

e

设g(x)=W，则g，(x)=W，

ee

令8'(劝=2一—x=0,得x=2,....................................................7分

e

贝U无c(O,2)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，

xe(2,y)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，..........................10分

故g(x)max=g(2)=e\故0

即实数。的取值范围为［e之+8)...........................13分

16.(15分)

某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A,8两名同学中产生，测试方案如下：A,8两名学生各自从给定

的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，8能正确作答每

3

个问题的概率都是A,B两名同学作答问题相互独立.

(1)求A,8两名同学恰好共答对2个问题的概率；

(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由.

3

【答案】(1)-77；(2)应该选择学生A,理由见解析

256

【分析】(1)根据离散型随机变量以及古典概型的概率公式，结合概率乘法公式，可得答案；

(2)根据数学期望以及方差的意义，可得答案.

【解析】(1)设A同学答对的题数为X,则随机变量X的所有可能取值为2,3.

则尸(X=2)=胃=：,P(X=3)="=：；..........................2分

设B同学答对的题数为y,则随机变量y的所有可能取值为0,I,2,3.

4⑷64

.......................................................6分

所以A,3两名同学恰好共答对2个问题的概率为

=2)p(r=o)8分

\7v7464256

/\319

2\由(z1ME(X)

7\±\/-4-4-4-

E(y)=oJ+1X2+2X2+3X2」10分

646464644

22

而0(X)=2-:33.29|13

441416

222

D(y)=(o一:19<927<9\X27_9

x---F2——x——+3——I64"14分

64464464416

因为E(x)=E(y),D(x)<D(y).所以应该选择学生A.15分

17.(15分)

如图，在ABC中，ZACB=90,3C=3,AC=6,Q,E分别为边4?,48上一点，且。。=2,。石//5。，将丫血石

沿DE折起到△PDE的位置，使得尸尸为尸3上一点，且P君F=(?

(1)求证:「。//平面CEF；

(2)若H为线段9上一点(异于端点),且二面角CF-E的正弦值为手,求需的值.

pjj1pH5

【答案】⑴证明见解析；⑵元=5或而r

【分析】(1)连接皮>交CE于点G,利用线面平行的判定推理即得.

(2)由已知证得直线CRCD圆两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法列式计算即得.

【解析】(1)连接5。交CE于点G,连接FG,

DGDE

由DE//BC,得

GBBC

在9C中，由的/5C,得黑嗖"

3分

DGDE2.'DG2PF，一

于是一,贝U=—=，PD//FG，

GBBC3DB5PB

而又FGu平面W平面CEF,所以P。//平面CEF.6分

（2）由小，。,£>后，尸，8门尸£>=28,尸。<=平面/>8,得DEI平面PCD,

又PCu平面PCD,则WPC,

又DEUBC,因此PC_L3C,直线CRCRCB两两垂直，..........................8分

以C为坐标原点，直线C2CB,CP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

则0(2,0,0),2(0,3,0),E(2,2,0),尸(0,0,2月)，尸(0,g,券)，

CE=(2,2,0),CF=(0,&,罕)，尸0=(2,0,-24),..........................10分

设PH=tPD(0<t<l),贝ljCH=CP+P”=(2/,0,2A/3-2A/3Z),

设平面CEF的法向量机二(x,y,z),

6,6』n

rn-Cr=—y+---z=0，一ll

则5-5,令z=l,得m=(6,-6,1),

m-CE=2x+2y=0

设平面CFH的法向量〃=(。,仇c),

a6.6若「

,n-Cr=—b+---c=0一

贝！J<55,s*c=t,=(A/3(/—1),—A/3^,t)»..................12%

n-CH-2ta+2\/3(l-^)c=0

设二面角H—CF—£的大小为e,

则|85例=|玄$〈相,〃〉|=1"川=L31==',解得/=《或/=以，............14分

lmllnl币小t1-6t+37214

所以空△或也二

...........................15分

PD2PD14

18.（17分）

22

已知椭圆C:5+与=1（。>6>0）的离心率为：，依次连接四个顶点得到的图形的面积为46.

ab乙

（1）求椭圆。的方程;

（2）过直线x=4上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,求证：直线MN过定点.

22

【答案】（1）工+匕=1；（2）证明见解析

43

【分析】（1）根据离心率和四边形面积得到方程组，求出。=2,b=6,得到椭圆方程；

（2）设P（4j）,,N®,%）,设过点％）且与椭圆相切的直线方程，联立椭圆方程，得到两根

之和，两根之积，根据A=0结合三+g=1求出4=,，求出以M为切点的椭圆C的切线方程为

434%

芋+W=1,同理得到以N为切点的椭圆C的切线方程，得到直线MN的方程为3x+?-3=0,直线MN

43

过定点片（1,0）.

【解析】（1）由题可得£=[,即£=」，匕£=工，得2=/.①

a2a24a24a2

又;x2cr2b=4上,即ab=2相，②...........................3分

由①②可得。=2,b=拒,

22

所以椭圆C的方程为：—+^=1.........................................................5分

43

（2）设P（4j）,。（石,％）,MX，%），

由题知，直线％=4上一点P作椭圆。的两条切线斜率存在，......................6分

设过点”（石,％）且与椭圆相切的直线方程为：y-必=小-西），

y-M=Q_玉），

二•联立方程＜X2y2得（3+4左+8左（必一句）％+4（,—fcrj_12=0,