2024届海口高三摸底考试数学试题含答案

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海口市2024届高三摸底考试

数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.若集合/一2Vx<3},8=卜|2-遂1},则/八8=

A.{x|x>-2}B.{x|-2<x<0}

C.{x|0Wx<3}D.{H-2<XW0}

2.已知复数z满足z(l-i)=2i,则彳=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.已知向量a=(2,〃?)，6=(1>-2),若(a+2/>)_L6,则同=

A.2A/5B.2屈C.4石D.40

4.一个近似圆台形状的水缸，若它的上、下底面圆的半径分别为25cm和15cm,深度为

18cm,则该水缸灌满水时的蓄水量为

A.1225兀cn?

B.4900Kcm3

C.7350Kcm3

D.2205Oncm3

5.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发

展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专

家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家

的概率为

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6.已知函数〃尤)的定义域为R,/(x+f为偶函数，/(2-x)+/(x)=0,=,则

喈)=

A.2B.1C.0D.-4

232

7.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流i(单位：安培)与时

间，(单位：秒)满足函数关系式：i=/mCOS(0/+%)(其中/，“为供电的最大电流，单位:

安培；0为角速度，单位：弧度/秒；仰为初始相位)，该三相交流电的频率/(单位：

赫兹)与周期7(单位：秒)满足关系式/=*.某实验室使用10赫兹的三相交流电，

经仪器测得在t=0.025秒与t=0.5秒的瞬时电流之比为石，且在t=0.8秒时的瞬时电流

恰好为L5安培.若0则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为

A.1安培B.百安培C.2安培D.3安培

22

8.已知椭圆C:A+［=l(°>6>0)的左、右焦点分别为月，E，P为C上一点，满足

ab

PFJPF2,以C的短轴为直径作圆O,截直线尸片的弦长为其，则C的离心率为

A.或B.或C.|D.3

3233

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4

B.若数据不，%,比3，…，怎的标准差为s,则数据2%，2%,2退，…，2%的标准差为2s

C.随机变量X服从正态分布N(l,2),若P(X>0)=［，则尸(0<X<2)=g

D.随机变量X服从二项分布3(4,0),若方差%(X)=］，贝1J=2)=

10.已知首项为正数的等差数列｛4｝的前"项和为s,，若(凡-凡)(凡-席)<0,则

A.%+%>。B.S”<S]5V几

C.当〃=14时，S,取最大值D.当S“<0时，〃的最小值为27

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11.已知G)C：(x-4)2+/=4,/,2是0c上的两个动点，且M同=2百.设/(占，必)，

B(X2,%),线段48的中点为贝!]

A.ZACB=jB.点M的轨迹方程为(x-4f+/=i

C.占X2+弘力的最小值为6D.归-必+1|+昆-%+1|的最大值为10+夜

12.设函数/(x)=xlnx+(l—x)ln(l-x),则

A./(x)=/(I)

B.函数/(x)有最大值-ln2

C.若占+%=1,则

D.若玉+工2<1,且;<工2<1,则/(工2)<)(国)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分，第二问3分，共20分。

13.在(x+2y)(x-y)6的展开式中f/的系数为.

14.已知直线了=-该+。是曲线y=|lnx|的一条切线，则。=.

15.已知cos(a+2〃)=,,tan(a+£)tan£=-4,写出符合条件的一个角a的值为.

O

16.已知直线办-y+l=0过抛物线C:f=2加5>0)的焦点，且与C交于4,2两点.过

A,8两点分别作C的切线，设两条切线交于M点，线段的中点为N.若。=1,则

\MN\^；^ABM面积的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知函数了=国称为高斯函数，国表示不超过x的最大整数，如[0.8]=0,=1.若

数列｛。"｝满足q=2,5.an+an+l=2n+3,记”=[lga“].

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列也｝的前2024项和.

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18.（12分）

一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳

过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳

过该高度的概率为1,且每次跳高相互独立.

(1)记甲在这次比赛中跳的次数为X,求X的概率分布和数学期望;

(2)已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.

19.(12分)

已知四棱锥尸-4BCD的底面为矩形，AD=2AB=2,过CD

作平面a,分别交侧棱上4,PB于M,N两点,且上4.

(1)求证：CD1PD；

(2)若△尸4D是等边三角形，求直线尸C与平面a所成角

的正弦值的取值范围.

20.(12分)

记△48C的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知/=斐，。是边8C上的一点,

O

sin/5/。।sin/C4Z）=3

bc2a

(1)求证：AD=^a；

(2)若CD=2BD,求cosZADC.

21.(12分)

在平面直角坐标系xQy中，已知双曲线C:♦-4=1(a>0,6>0)的左顶点为/,

离心率为血，焦点到渐近线的距离为2.直线/过点尸。，0)(0<Z<2),且垂直于无轴,

过P的直线/'交C的两支于G,"两点，直线/G,/“分别交/于两点.

(1)求C的方程；

(2)设直线NN,(W的斜率分别为勺，k2,若左•⑥=；,求点P的坐标.

22.(12分)

已知函数f(x)=e1-x+xlnx+机.

(1)若/(%)的最小值为1,求加；

(2)设a,6为两个不相等的正数，且4--L=21na-%n6,证明：a2+b2>2.

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数学试题第4页共4页

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数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

题号12345678

答案CDBCBADA

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

题号9101112

答案BCDABDBCACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2414.215.竽，一半（答案不唯一）16.4,4

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

【解】（1）因为氏+4川=2〃+3,

所以%+1+。“+2=2〃+5,

所以4+2-a”=2，.......2分

所以数列｛为｝的奇数项，偶数项分别构成公差为2的等差数列.

当〃为奇数时，设〃=2左-1,则%=%*T=2+2优-1）=24=〃+1,

当〃为偶数时，设〃=2%,则%=a2k=2+2（4-1）=2%+1=〃+1,

所以““=w+l........5分

(2)设也｝的前“项和为7；,

当时，bn=[lg(«+l)]=0,

当9W〃W98时，bn=[lg(n+l)]=l,

当99W〃W998时，bn=[lg(«+1)]=2,

当999W〃W2024时，bn=[lg(,i+l)]=3,.......8分

数学试题参考答案第1页共7页

=aa

所以石024[1gi]+[1ga2]+[1g3]++[1ga2024]=90x1+900x2+1026x3=4968.

……10分

18.（12分）

【解】记"第i跳过该高度”分别为事件A,,，=1,2,3.

（1）X的可能取值为1,2,3,且

P（X=l）=P（A）=j；

噂=2）=2（*）=（1_讣|得；

P（X=3）=P（AA）=（1-|）=1.……4分

所以X的概率分布为

X123

P221

399

所以，E（X）=lx^+2x^+3xl=n.……6分

'3999

（2）“甲同学挑战成功”为事件8,则

尸（8）=1一尸（豆4）=1一（1用=招，……8分

P（43）=P（*）=P⑷尸⑷=（1-卦］得，……10分

所以尸（&⑻=霏福.

答：甲挑战成功，且第二次跳过该高度的概率看.……12分

19.（12分）

【解】（1）证明：因为四边形ABC。是矩形，所以AB//CZ）.

又ABu平面PAB,CD（Z平面PAB,

所以CD〃平面PAB.

因为CDua,平面PABa=MN,

所以CD//跖V.2分

数学试题参考答案第2页共7页

因为MN_LPA,所以CD_LPA.

因为四边形ABC。为矩形，所以CDLAZ),

又尸4,ADu平面R4£),且AD=A,

所以C£)_L平面PAD.

因为尸Du平面PAD,

所以CCPD.……5分

(2)设AD,BC中点分别为。，E,

因为△尸4。是等边三角形，所以尸OLAZ).

因为四边形ABC。是矩形，点。，E分别为AD,8c的中点，

所以OE_LO。，且OE//CQ.

由(1)可知，C£>_L平面PAD,

又尸Ou平面PAD,所以CO_L尸。，所以OE_LPO.

以。为原点，OE,OD,。尸的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立

空间直角坐标系，则尸(0,0,2(1,-1,0),A

C(l,1,0),0(0,1,0).

设PM=/LPB(O<2W1),

则尸⑨)，

所以M(九-A，V3—.

设平面tz的一个法向量为"=(x,y,z),

又CD=(-1,0,0),CM=(2-1,-A-1，A/3-V3A),PC=(1,1,-73),

由［CZ)・〃=0,得-x=0，

CM-n=0,(2_1)尤_(2+1)、+(6_62)=0,

x=0,

数学试题参考答案第3页共7页

不妨取z=4+1,可得平面a的一个法向量为n=(0,百-百九4+119分

设直线尸C与平面。所成的角为。，

贝！Jsin0=Icos/PG,----2同

1'71\PC\-\n\2A/5-VA2-2+1

4

设fW=

VA2-2+1

]

11\23

-----+—

4214

因为0<4Wl,所以,21,所以0</(X)Wl,

X

所以0<sin6W芈，

所以直线PC与平面1所成角的正弦值的取值范围为0,12分

20.(12分)

【解】(1)在△A8O中，由正弦定理，得sin(誉=嘤,

BDAD

所以sinNBAO=sinB•用，

AD

同理5皿/。4。=5也<?・3.....2分

AD

加入sinABAD,sinZCAD_3汨sinBBD,sinCCD_3

式人一b—十—c—二诟'侍丁.诟卡丁W=五'

在△ABC中，由正弦定理，得邛=®1C=匹1,

bca

所以sin.BDsinACD=3即sinA-(BD+Cn)=3……4分

aADaAD2aAD2,

因为A=萼，。是边8C上的一点，

o

所以焉^=弓，即=6分

21JLXNJ

(2)因为CD=2B。，所以CD=2a,8D=4,

33

数学试题参考答案第4页共7页

在△A8O中，由余弦定理，得COS/ADB=2

5272

-。

9--P

同理，cosZADC=48分

42

一9

2a2_25a2_b2

因为cosZADB=-cosZADC,所以----=-----

化简，得/=+2c2.10分

在△ABC中，由余弦定理，得cos/R4C=/

2bc2

所以C=43b,a-yflb,

5a2-b2|X7Z?2-Z?2

所以cos/ADC=91312分

4a24X7b214

99

21.（12分）

【解】(1)不妨设双曲线C的焦点坐标为(c,0),渐近线方程为y

C=0,

a

bc

由题意可得：,=2,2分

J/+b2

c2=a2+b2,

确军得a=b=2,

所以双曲线C的方程为：-^=1.

4分

44

(2)由题意直线GH的斜率不为0.

设直线GH方程为x=my+t,

■V2

由v44，消去工得：(加之一1))2+2m？+/2-4=。，

x=my+1

数学试题参考答案第5页共7页

m2—1^0

由,产A,得：(m2-l)(？-4)<0.

J^<0

加-1

设G(X1,yJ,H(%,%)，则%+为=产0,必％=93

1—m1—m

由题意可知A(-2,0),则直线AG:y=^^(x+2).

令x=t，得y=f(r+2),所以M坐标为卜亚?),

X[十L\X]I-1)

同理，N坐标为k,必'+了),

\X2+2)

=%(，+2)

所以左=

入2+2%(玉+2)

因为小得,所以亦.居用卷,

整理得：£±1=(一+2)(%+2).

8分

t2%%

又(％+2)(/+2)=(m%+Z+2)(my2+1+2)

22

=my1y2+制，+2)(%+y2)+(z+2)

煤+3言+(.”富

(—2)22

所以r+2_(芯+2)(9+2)_1-〃广_("2)

t.2%%2(4-r)2(4-r2)

1—m2

因为0<