2024年中考数学重难点突破 阴影部分面积处理技巧

专题15阴影部分面积处理技巧

了<修炼出

求阴影部分面积的常用方法：

①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计

算；

②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；

③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、

割补等，为公式法或和差法创造条件.

④相似与同高不同底三角形结合法.

I,讪传占后一

1.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角08C的顶点A在了轴的正半轴上已知点8(-2,0)、

C(2,0)、2)(4,0),将“CD绕点A顺时针旋转90。得到则图中阴影部分图形的面

【分析】先判断出@=OC=2,根据勾股定理可得/C的长，根据A/CD绕点A顺时针旋

转90。得到A/BE,可得图中阴影部分面积=%形峰-无影胡c,再根据扇形面积公式即可求出

结果.

【详解】解：「川-2,0）,C（2,0）,

OB=OC=2,AB=AC=2垃,

•••£＞（4,0）,

OD=A.

AD=yjAO2+DO2=275,

V/CD绕点A顺时针旋转90。得到.ABE,

二图中阴影部分面积=与形DAE+S“BE—S扇形切c-S“CD

=S扇形Q/E-S扇形84c

360360

=3〃.

故答案为：3Tl.

【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，坐标与图形变化■旋转，熟记扇形

的面积公式是解答此题的关键.

2.如图，在正方形/BC。中，AB=12.以点5为圆心，R4长为半径在正方形内部作公，

点£为上一点，连接分别以点反£为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于

点M,N,作直线MN,交公于点£交BE于点、G,则图中阴影部分的周长为.

【答案】2TT+6+6A/3

【分析】连接EF,根据作法可得〃N为5月的垂直平分线，从而得到45所为等边三

角形，再求出弧即的长，再根据阴影部分的周长为濡+尸G+EG,即可求解.

【详解】解：如图，连接AP,EF,

根据题意得：BF=BE=AB=12,

根据作法得：儿W为8E的垂直平分线，

：.BF=EF,BG=EG=6,

:.BE=BF=EF,FG=JBF?-BG。=673，

二ABM为等边三角形，

』EBF=60。,

二弧跖的长为。上=2小

360

,阴影部分的周长为七+尸G+EG=2〃+6+6百.

故答案为：2〃+6+6百

【我思故我在】本题主要考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，尺规作图，熟练掌握弧

长公式，等边三角形的判定和性质，作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键.

3.如图，是半圆。的直径，且/8=10,点尸为半圆上一点.将此半圆沿4P所在的直

线折叠，若恰好弧/P过圆心。，则图中阴影部分的面积是.（结果保留田

AOB

25

【答案】

o

【分析】过点。作ODL8C于点。，交弧/产于点E,则可判断点。是弧/OP的中点，由

折叠的性质可得。。=Z）E=；R=g,在R/OAD中求出N040=30。，继而得出NNOC,求出

22

扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积.

【详解】解：过点。作8c于点仅交弧/产于点E,连接。尸，

则点E是弧/£尸的中点，由折叠的性质可得点。为弧/0P的中点，

弓彩AO=S弓彩PO,

,,15

在瓦△/QD中，O4=OB=R=5,OD^DE^-R=-,

22

:.^OAD=30°,

/5。尸=60。，

-a_cRCP_60"X5[”

-3阴k、扇形BOP-777一久万•

3600

25

故答案为：—

o

【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点。是

弧NOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积.

4.如图1,是一枚残缺的古代钱币.图2是其几何示意图，正方形/BCD的边长是1cm,

。。的直径为2cm,且正方形的中心和圆心。重合，E,厂分别是。4,CD的延长线与。O

的交点，则钱币残缺部分（即图2中阴影部分）的面积是cm2.

图2

【分析】根据圆的性质进行求解即可；

【详解】解如图，延长正方形/BCD的四边得到圆。的内接正方形EFGH,

■.ZEOF=90°

,••该圆直径为2,则半径为1

故答案为：~~~

42

【我思故我在】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质并正确求解是解题的关键.

5.如图，在“8C中，ZACB=90°,ZA=45°,/C=JL点。为48的中点，以点。为圆

心作圆心角为90。的扇形D斯，点C恰在弧E尸上，则图中阴影部分的面积为.

4

【分析】连接CD.根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积=扇形DE厂的面积-四边形

DGC”的面积.又易证ADGC织ADHWASA）,即得出四边形DGCH的面积等于△BCD的

面积，最后由扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.

【详解】解：连接C。，如图，

...乙4c8=90。，点。为的中点，乙1=45。，AC=42,

AB=y]AC2+BC2=2,CDLAB,

CD=BD=-AB=1,CA=CB,

2

Z.GDC+ZCDH=ZCDH+ZHDB=90°,

乙GDC=4HDB.

丈：DB=DC,ZDCG=NDBH=45°,

FDGC9zDHBgK）,

四边形。GCH的面积等于△BCD的面积，

2

.ccccc90/7-Xl1x177-1

-）阴影—J扇形一J四边形QGCH—J扇形DE尸—JABCD-一茄。丁一%"一,

故答案为：-y--.

【我思故我在】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性

质.解答本题的关键是明确题意，正确连接辅助线，并利用数形结合的思想解答.

6.如图，在aAOB中，ZAOB=90°,ZA=30°,OB=4,以点。为圆心，OB为半径画

弧，分别交OA、AB于点C、D,则图中阴影部分的面积是（结果保留n）

【答案】4月-9

【分析】根据题意，首先证明根据漏=京小。-5扇形。°计算即可・

【详解】解：•♦2/。3=90。，N/=30。，08=4,

ZS=60o,AB=20B,AO==4式

：OB=OD

.•.△03。是等边三角形

/LBOD=60°,ZCO£>=30°,OB=BD,

'：AB=2OB,OB=BD,

BD=AD,

4、4人把萨=4回什

S阴=AADO-S扇形。co=­SMB()-S扇糅co=-

【我思故我在】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加辅

助线和数据公式是解题关键.

7.如图，在平行48CD四边形中，对角线NC、5。相交于。点，AC=AB,E是边的

中点，G、尸为BC上的点，连接0G和EF,若48=26,BC=20,GF=10,则图中阴

影部分的面积为.

【答案】120

【分析】连接石。,EG,。尸,先证明四边形EOFG是平行四边形，得到

S^EOP+S△尸GP二四边形E0尸G=S&EOG，根据EO//BG,得到凡EOG"SAEOB,从而得到

S阴影部分=SqAOE+S&EOP+S4FGP~S&AOE+S&EOB=ABO,由此求解即可.

【详解】解：如图所示，连接EO,EG,OF,

1.平行四边形/BCD中，对角线/C、8。相交于。点,

。是ZC边的中点，

又；E是NB边的中点，

是以BC的中位线，

：.EOIIBG,EO=-BC=10.

2

又,:GF=10,

EO=GF,

二四边形EOFG是平行四边形.

,,S.EOP+S/GP=5s四边形EOFG=S“EOG>

又；EOIIBG,

•V=Q

••o^EOG—3EOB，

•VV=Q

一o^EOP丁一=2&FGP_U.EOB•

•V_V_LCV-VV-V

…阴影部分一^^AOETQ&EOPTU&FGP-0”(?£"丁口.EOB-°^ABO•

•/AC=AB=26,BC=20,

，等腰“BC中BC边上的高为7262-102=24,

：SABC=1x20x24=240.

1•。是NC边的中点，

S,RO=-SARC=1x240=120.

△ABU2^AD<-2

・•・阴影部分的面积为120.

故答案为：120.

【我思故我在】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形的中线有关面积计算、不规则

图形面积的计算，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形

是解题的关键.

8.如图，在矩形/BCD中，AD=2也,DC=4右,将线段DC绕点。按逆时针方向旋转,

当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是.

【答案】24-6百一4兀

【分析】由旋转的性质可得。E=DC=4由，由锐角三角函数可求N4DE=60。，由勾股定

理可求NE的长，分别求出扇形EDC和四边形。C8E的面积，即可求解.

【详解】解：,将线段DC绕点。按逆时针方向旋转，

:.DE=DC=4日

AD2A/31

:cosAADE=--=-1=

DE4732

AADE=60°,

.\^EDC=30°,

30X7TX48

:.S^EDC==4n,

360

■：AE=YJDE2-AD2=A/48-12=6,

:.BE=AB-AE=46一6,

:.S四边彤DCBE=…+荷卜2024一6百,

2

二阴影部分的面积=24-6百-4匹

故答案为：24-6百一47r.

【我思故我在】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知

识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

9.如图，在Rt^4BC中，/A4c=90。，。是3c中点，分别以48,NC为边向外作正方

形N8E尸和正方形NCG",连接ED,HD.若BC=6,则阴影部分的面积是.

【分析】分别取/从/C的中点MM,连接。N、DM,则可得DN=g/C,DM=^AB,

又S阴影+S△/皿分别表示出和的面积，即可求得答案.

【详解】解：如图，分别取48、/C的中点N、M,连接。N、DM,

.-.DNI/AC,且ZW=g/C,DM//AB,S.DM=^AB,

■：ZBAC=90°,

s.DNLAB,DMLAC,

在正方形48EF和正方形ZCGH中，AF=AB,AH=AC,

：.S.=-AF-DM=-AB--AB=-AB2,

AAAFDn2224

S.=-AH-DN=-AC--AC=-AC2,

4A曲ffn2224

又,在RtZUBC中，AB2+AC2=BC2

22

S阴影=SKAFD+S4AHD=+—AC=-BC=9.

故答案为9

【我思故我在】本题考查阴影部分面积的求法，准确作出辅助线，列出面积计算公式进行转

化是解题的关键.

10.如图，在AO3C中，COB=90°,ZS=60°,CO=4也,以为半径的半圆O交

斜边8c于点D,则阴影部分面积为（结果保留n）.

【答案】1+4百

【分析】连接首先证得ABOD是等边三角形，然后解直角三角形求得03,再利用扇

形面积求法以及等边三角形面积求法得出答案.

【详解】解：连接OD,

・：OB=OD,25=60°,

.•.△20D是等边三角形，

Z5OD=60°,

.".zcon=90°-60°=30°,

在AOBC中，NCOB=90。，25=60°,CO=4^3,

：.OB=2oC=®x4也=4,

33

一S阴影=S扇/DOE+SXB°D,

30/T-x421*拒*

=------+—x4x——x4

36022

4〃八r

=~3~+4”，

故答案为：5+4行.

【我思故我在】此题主要考查了解直角三角形、扇形面积求法以及等边三角形的性质，熟记

扇形的面积公式是解答此题的关键.

11.如图，在“8C中，ZACB=90。,ABAC=30°,BC=2,将"SC绕点C顺时针旋转

60。，点3的对应点夕落在边上，交NC于点P,则图中阴影部分的面积为.

I分析】根据旋转的性质，可得HC=/C,ZAC4=60。,NBCB'=60。,再由勾股定理可得

HC=ZC=2内，再证得△38'C为等边三角形，可得乙4'BC=N4B'P=60°,

ZACB'=ZA=30°,进而得到48FZC,AP=CP=：AC=6,再根据阴影部分的面积等

于S扇形4C"—S"CP>即可求解.

【详解】解：根据题意得：A'C=AC,ZACA'=6Q°,ZBCB'=60°,

在zUSC中，ZACS=90°,ABAC=30°,BC=2,

：.AB=2BC=4,ZA'B'C=ZB=60°,

A'C=AC=-JAB2-BC2=273-NBB'C=60°,

：.△仍'C为等边三角形，

NN+ZACB'=60°,ZA'B'C=ZAB'P=60°,

NACB'=N4=30°,

AB'=CB',

A'B'1AC,AP=CP=-AC=V3

■■■A'P=YJA'C2-PC2=3,

二阴影部分的面积等于5

3月

故答案为：2兀-----

2

【我思故我在】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识,

根据题意得到阴影部分的面积等于$扇/°，_S&ACP是解题的关键.

12.如图，在RtZUBC中，N/2C=90。，点£是8C的中点.以48为直径的OO交/C于

点。，连接DE.若DE是O。的切线，乙4=60。，48=4cm,则阴影部分的面积是cm2

【答案】46t

【分析】连接。£,由图形可知：S南方S四边形OBED-S扇形OBD,通过圆的性质可以分别求出

四边形。2助和扇形的面积，即可求解.

【详解】解：如图，连接。£,

。■二,

BE~

••,0是48的中点,

OB=—AB=2,

在Rt/\ABC中，BC=AB*tanA=4\/3,

••力是8c的中点,

.".BE=yBC=2-\/3,S^OBE=yxOB*BE=2^/3,

•••Q£是。。的切线,

.."ODE=/OBE=9U。,

:OB=OD,OE=OE,

.一△OBE/RtAODE(HL),

SAODE=SAOBE=2V3,

「•S四边形。BED=4百,

•/Z^=60°,

500=120。,

•,S阴/'S四边形OBED-S扇形。BD=46~•

【我思故我在】本题主要考查了圆的综合性质，切线的性质，扇形的面积等知识，熟练掌握

圆的综合性质，将不规则的阴影面积用规则面积表达出来是解决本题的关键.

13.如图，在扇形045中，/4。5=105。，半径04=6,将扇形045沿过点5的直线折叠,

点。恰好落在弧43上的点。处，折痕交。4于点C,则阴影部分的面积为.

【答案】y-9

【分析】连接8,交BC于E,根据对折得出5C，OD,QE=OE=3,/DBE=/0BE,0B=BD=6,

求出△005是等边三角形，根据等边三角形的性质得出/。。5=/。5。=60。，求出

ZCOD=AAOB-Z£>05=45°,求出CE=OE=3,再分别求出扇形4。。和△COD的面积即可.

【详解】解：连接交BC于E,

•.•沿5c对折。和。重合，OD=6,

:.BCLOD,DE=OE=3,々DBE=/OBE,OB=BD=6,

/.^BEO=90°,△QO5是等边三角形,

ADOB=^DBO=QO°,

•/Z^O5=105°,

/COD=/AOB-/DOB=45。,

•・•/OEC=90。，

:.CE=OE=3,

..・阴影部分的面积

=S扇形AOD-S^COD

=*9,

故答案为：—?r-9.

【我思故我在】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算

等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键.

14.如图，点。是半圆圆心，BE是半圆的直径，点4。在半圆上，S.AD//BO,AABO

=60°,48=4,过点。作于点C,则阴影部分的面积是.

【分析】求出半圆半径、OC、CD,根据得到根据

S阴影一S扇形NOE-S»OCD即可求解.

【详解】如图，连接oa

•/ZABO=60°,OA=OB,

・•.△OAB是等边三角形，

：.OA=AB=4,AAOB=60°

・「AD//BO,

^DAO=^AOB=60°,

：OA=OD,

-0•AOAD是等边三角形，

/.^AOD=60°,OA=OD=4,

/.ZDO£=60°,

在放△OCZ）中，CD=ODsin60°=243,OC=O0cos6O。=2,

「AD//BO,

一•❶V2ABD-=Q，

120〃4*26=*2，

..S阴影=S扇形40E-SXOCD

360

故答案为：4^-2百.

【我思故我在】本题考查了不规则图形面积的求法、解直角三角形、平行线的性质、等边三

角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据根据40〃80,得到从而将

阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差.

15.如图，在扇形OA4中，乙408=120。，=2,点C,。分别是线段和的中点,

连接CD交AB于点、E,则图中阴影部分的面积为.

【分析】连接BD,先证明AOBD为等边三角形，由三线合一可知OC=5C=1,由锐

角三角函数的知识求出CD、CE的长，然后根据与影=S扇形050一OCD_BCE求解即可.

【详解】解：连接OD,BD,如解图所示.

・；Z^OB=120。，点。为M的中点，

ZBOD=60°.

OB=OD=OA=2,

二为等边三角形.

又「C为线段。2的中点，

OC=BC=\,ZOCD=ZBCD=90°.

所以在RtZ\OCD中，CZ)=tan60°-OC=6,

：0℃D=；OC.CD7.

•/OA=OB,ZAOB=nO°,

ZOBA=30°,即NCHE=30。，

n

.•.在Rtz^CE中，EC=tan30°-5C=—,

3

.s_1M1i百

-S^BCE=2SCEC=^21~3=~6f

60224

•扇形由=丽“=y.

.弋_&&&J-nV3V3_2/r2x/3

一》阴影一»扇形O3D―^OCD~\BCE~~yT丁

故答案为：号一年

【我思故我在】本题考查了等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的知识，弧、弦、圆心

角的关系，以及扇形的面积公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.

16.如图，在RfA48C中.ZC=60°,N48C=90。，BC=2,以点3为圆心，BC为半径

画弧，交4c于点E,交48于点G,点。为CE的中点，以。为圆心，DE为半径画弧交

3c于点E则图中阴影部分的面积为

【分析】根据可以观察图形可知加=S扇形BGE+-S&CDF-DEE,分别计算出两个扇形

面积和两个三角形面积即可得到阴影部分的面积.

【详解】连接BE,,:BC=BE,且NC=60。，

.1△BCE为等边三角形，同理可得△DCE也为等边三角形,

^c=1-2-(2sin600)=V3,

S△»=：.1心诂60。)=",

24

:ABCE、△DCE为等边三角形，

:.NCBE=/CDF=60。,

贝!]ZGBE=90°-60°=30°,Z£DF=180°-60°=120°,

q_30°.77-.22_n

J扇形8GE=――――=—，

3603

【我思故我在】本题考查了不规则图形面积的计算，其中涉及到扇形面积求解、三角形面积

求解,要在熟练掌握各种图形面积计算公式的前提下,灵活运用割补法求不规则图形的面积.

17.如图，4B为半径的直径，且48=6,半圆绕点2顺时针旋转45。，点/旋转到0的位

置，则图中阴影部分的面积为.

9

【答案】

【分析】根据旋转的性质得S#倒//A4'=45°,由于'S附影部加S半BIAB=S半圆A，B+S

„ABA',则S"彩衣=S房非/B4,然后根据扇形面积公式求解即可.

【详解】•.•半圆绕点B顺时针旋转45。，点A旋转到〃的位置，

..S举圆AB=S^g/AB,NAB4'=45°,

iS阴影部分+S半圆AB=S^/gA'B+S扇形4BA'，

45xnx629

…S"彩赧=S扇形ABA=---------=-TI,

3602

故答案为：|9/r.

【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，解题的关键关键是熟练掌握扇

形面积公式.

18.如图，。为半圆内一点，。为圆心，直径N3长为2cm,ZBOC=60°,ZBCO=90°,将

EOC绕圆心。逆时针旋转至△B'OC,点C'在CM上，则边8C扫过区域（图中阴影部分）

的面积为cm2.（结果保留

【分析】根据已知条件和旋转的性质得出扇形夕02和扇形C'OC的圆心角的度数，再根据

扇形的面积公式进行计算即可得出答案.

【详解】解：,.•/2OC=60。，△B'OC'是△BOC绕圆心。逆时针