2024高考数学一轮复习讲义+练习：二次函数与一元二次方程、不等式二（解析版）

专题8二次函数与一元二次方程、不等式(2)

题型——元二次不等式在实数集上恒成立问题

1.己知不等式+的解集为R，且不等式f一血g+c)尤+(.+。一gzo的解集为a，则

ex?+(。+c)x+a上。的解集是()

A.0B.RC.{0}D.不能确定

【答案】B

【解析】又因为不等式V-夜(a+c)尤+(a+c)-；N。的解集为R,

贝ljA=2(Q+C)2-4(Q+C)+2=2[(Q+C)-1]2<O,

又2[(a+c)-l]2>o,/.a+c=l,

则不等式加+%+c20即为加+%+(l-。)之。，BP(<2X+1-6Z)(X+1)>0,

a>0

由于不等式(—)(x+l)、0的解集为R,贝U”1,解得a=\"=

---=~122

、a

不等式ex?+(〃+C)X+QN0即为:尤2+%+_1?0,即为(%+]『NO,解得xcR.

故选：B.

2.若不等式(〃-2)尤2+2(〃-2)%-4<0对恒成立，求实数〃的取值范围.

【答案】-2<a<2

【解析】当4=2时，T<0恒成立，

fa-2<0,<2

当a—2/0时，利用二次函数图象知人八，贝U“c、2，,…八八

[A<0[4(a-2)-4(«-2)(-4)<0

解得-2<a<2,

所以实数a的取值范围是-2<a<2

3.已知不等式(l—a)d—4x+6>0的解集为{引一3Vx<1}.

(1)解不等式2/+(2—a)x—a>0；

(2)6为何值时，办2+桁+320的解集为我?

3

【答案】(1)或%>/｝；(2)-6<b<6.

【解析】(1)由题意知1—〃<0且一3和1是方程(1-a)/-4x+6=0的两根,

1一〃<0

解得a=3.

・•・不等式2^+(2-Q)X-a>0,即为2%2一%一3>0,

3

解得九<-1或%>,.

•••所求不等式的解集为{XIX<-1或无>|};

(2)ax2+bx+3>0»即为3无？+6尤+3NO,

若此不等式的解集为R,则△=62-4X3X340,

解得-646W6.

4.对任意xeR,函数/⑺=加+⑺!-4)x+4-2相的值恒大于零，求机的取值范围.

【答案】不存在这样的实数机，使函数/(X)的值恒大于零.

【解析】①当〃z=0时，函数/(x)=Tx+4的值不恒大于零，不符合题意，舍去；

②当加大0时，要使得对任意xeR,函数/(x)的值恒大于零，

〃Z>01m>0

则满足［、2，即《2，

此不等式组无解，故加e。.

综上知，不存在这样的实数加，使函数/(x)的值恒大于零.

4x+m

5.(1)关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.

元2—2x+3

(2)若不等式x2+px>4x+p-3对一切0<p<4均成立，试求实数x的取值范围.

【答案】(1)m<-2；(2)m<—2和x>3

【解析】(1)首先将分式不等式变形，分离出参数m,将求m范围转化为二次函数求最值问题；(2)

将不等式变形为(x-1)p+x2—4x+3>0,结合一次函数性质得到关于p的不等式，求解p的取值范围

试题解析：(1)*-'x2—2x+3=(x—1)2+2>0,

4丫斗加

・••不等式―-------<2同解于4x+m<2x2—4x+6,

X2-2X+3

即2x2—8x+6—m>0.

要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2—8x+6—m>0对任意实数x恒成立.

AA<0,即64—8(6-m)<0,整理并解得m<—2.

(2)*.*x2+px>4x+p—3,(x—1)p+x2—4x+3>0.

令g(p)=(x—1)p+x2—4x+3,

则要使它对0WpW4均有g（p）>0,

g（0）>0

只要有{,n-x>3或x<—1.

g（4）>0

题型二一元二次不等式其他恒成立问题

1.若Vxw{H（）<xVl},不等式/一4尤之加恒成立，则有（）

A.m<-3B.m>-3

C.-3<m<0D.m>-4

【答案】A

【解析】作出函数y=d-4尤=（尤-2）2-4的图象，并截取在0<xWl内的部分如图所示（实线部分），由

图象知，当x=l时，>取得最小值-3,所以机W-3

2.若当0VxV2时，/一2分+。+220恒成立，则实数。的取值范围为.

【答案】{a|-2<a<2}

【解析】若当0Wx42时，/一2“无+”+220恒成立，

则函数y=x2-2ax+a+2在0VxV2时的最小值恒大于等于0

二次函数,=尤2-2亦+。+2图像的对称轴为直线：x=a

①当时，函数、=/+2依+。+2在x=2时取得最小值，.,.ymin=6-3a

6—3a>0,解得：a<2.'.a=2

②当aVO时，函数丁=炉+2依+a+2在x=0时取得最小值ymin=2+a

2+aNO,解得：a>-2—2VaV0

③当0<a<2时，函数y=x2+2av+a+2在尤=。时取得最小值y血_=一/+a+2

:.-a2+a+2>0,解得：-l<a<2:.0<a<2

综上所述：实数。的取值范围为同-2<“<2}

故答案为{a|-2V°W2}

3.（1）当10烂2时，不等式X2+妙+4<0恒成立，求实数机的取值范围.

（2）对任意一於1,函数>=%2+3—4）%+4—2〃的值恒大于0,求〃的取值范围.

【答案】（1）{m|m<-5}；（2）[a\a<l].

【解析】(1)令》=12+必+4.•二yvO在1勺合2上恒成立.・•・>=()的根一个小于1,另一个大于2.

如图所示：

Im+5<0

可得。4八，・••加的取值范围是{相|加<—5}.

[4+2m+4<0

(2)W+g—4)冗+4—2〃>0恒成立，即N+G:—4X+4—2〃>0恒成立.

(x-2)-a>-x2+4x-4.V-1<X<1,2<0.-『+-4=_1.2)=2—).

•X—2%—2

令丁=2一%，则当一13把1时，y的最小值为1,故〃的取值范围为

4.若关于％的不等式依2_2x+2>0对于满足Iv尤<4的一切实数x恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】

2

2r-2

【解析】•••：!<尤<4,不等式62—2x+2>0可转化为

当工=3,即x=2时,函数取得最大值!，

4xx22

**•a》一

2

5.(1)当c=16,x=2时，求关于。的不等式尤2+ga(5-a)尤+c>0的解集；

(2)若。=4时，对任意用,1,-；尤2+；。(5-.)彳+。<0恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴{4-2<°<7}；(2)1c|c<-|j.

【解析】(1)Vc=16,尤=2时，关于。的不等式-gf+ga(5-。)x+c>0可化为/一5.-14<0,解

得-2<。<7,

所求不等式的解集为a-2<a<7}.

(2)当a=4时，—/无~+]<7(5—a)无+c<0对任意％,1恒成立，

**•c<-x2—2x对任意见,1怛成立，

又当x=l时，-2x取得最小值，为

22

即实数0的取值范围是

题型三一元二次不等式有解问题

1.若关于X的不等式2f-8x—4+aW0在内有解，则实数“的取值范围是（）

A.a<12B.>12C.«<10D.6!>10

【答案】A

【解析】原不等式2d_8%-4+々<0在1W3内有解等价于〃4一2/+8%+4在内有解,

设函数/（尤）=-2f+8%+4,1W3,

所以原问题等价于。</（同胸

又当尤=2时，1mx=12,

所以。412.

故选：A.

2.当x£{x|l«%<5}时，不等式炉+改一2>0有解，则实数。的取值范围是.

【答案】一~—|

【解析】解：由题知A=Q2+8〉O,且一2<0,所以方程/+公-2=0恒有一正一负两根，

^y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示：

由图象知，不等式炉+公—2>0在1<%<5上有解的充要条件是当尤=5时，y>0,即25+5a—2>0,

解得”遣23，

故答案为：~/}.

3.已知函数丁=4%2—2（2-2）%-222-0+1在-14%«1时至少存在一个实数。，使y>。成立，求实数p的

取值范围.

【答案】"|-3<p<*

【解析】二次函数y=4/一2（〃一2）%一2〃2-p+1在一10x41时至少存在一个实数。，使V〉。的否定是:

对于—1WXW1中任意一个X都有y40,

J4xl2_2(p-2)x1-2P②一p+L,0,

所以《

[4x(-1)72-2(p-2)(-1)-2p92-p+l„0,

整土心理得(益2p?+二3p-9.。.0,

解得pV3或〃，，-3.

故二次函数在-1WXW1内至少存在一个实数C,使y>0成立的实数P的取值范围是]pl-3<p<g:.

4.已知关于X的不等式2x2-9x+4<0的解集非空，对于其解集内的每一个X的值，至少能使不等式

/一4工+3<0或彳2-6%+8<0中的一个成立，求实数。的取值范围.

【答案】7<a<^-

O

【解析】由尤2-4》+3<0得1<%<3,设集合4=(1,3),

由d-6x+8<0得2<X<4,设集合3=(2,4),所以Au3=(l,4),

设/⑺=2Y_9x+a,贝厅(x)<0的解集非空，设解集为C=(%,%),其中占，龙2是方程〃尤)=。的两

实根，且占<马，

要使关于X的不等式2/一9X+a<0的解集内的每一个X的值，至少能使不等式f_4x+3<0或

/-6x+8<0中的一个成立，

则需Cu(AuB),即(与当)屋(1,4),即1<玉<工244,

81

Aa<—

-I2-4x2xa>081-8(2>0

u0\8

所以7)=2xl2-9xl+^z>0,即<a-l>Q,解得a>7,

/9n

/=2x42-9X4+<2>0a-4>0a>4

所以7<a<—~.

o

故得解.

题型四一元二次不等式的应用

1.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量X(件)与单价P(元)之间的关系为尸=160-2彳，生产X件

所需成本为C(元),其中C=500+30x元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是

A.20<^<30B.20<^<45C.15<x<30D.15<x<45

【答案】B

【解析】设该厂每天获得的利润为y元，

贝Ijy=(160-2%)-x—(500+30x)=-2%2+130x-500,(0<x<80),

根据题意知，一2尤2+130》一50021300,解得：20<x<45,

所以当20<x<45时，每天获得的利润不少于1300元，故选B.

2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边

长工（单位：m）的取值范围是（）

A.15<x<30B.12<x<25C.10<x<30D.20<x<30

【答案】C

【解析】设矩形的另一边长为Vm,则由三角形相似知，士="好，

4040

所以y=40-x,因为孙2300,所以尤（40—x）N300,

即尤2_40了+300工0,解得10WxW30.

故选:C

2.在一个限速40km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.

事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距

离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01尤2,S乙=0.05x+0.005无2则下列判断错误的是（

A.甲车超速B.乙车超速

C.两车均不超速D.两车均超速

【答案】ACD

【解析】设甲的速度为七

由题得O.lxi+O.Olx；>12,

解之得王<-40或%>30；

设乙的速度为％,

2

由题得0.05x2+0.005x2>10.

解之得%2<-50或X2>40.

由于x>0,从而得xi>30h〃//i,X2>40km/h.

经比较知乙车超过限速.

故选：ACD

3.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调

查组到某农村去考察和指导工作.该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收

入为2万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动

员x（x>0）户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%,而

QX

从事水果加工的农民平均每户收入将为2（4-二）,（a>0）万元.

（1）若动员了户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植

的农民的总年收入，求X的取值范围；

(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的

农民的总收入，求。的最大值.

【答案】(1)0<x<50(2)最大值为9

【解析】(1)由题意(100-x)x2x(l+2x%)22xl00

x-^x2>0^0<x<50,

由元〉0可得0<x450.

答：1的取值范围为0<x〈50.

QX

(2)由题意得2(。一前)・尤V(100-尤)x2x(l+2x%),

所以石XH-----在0<尤W50上恒成乂，

4innFA

又一x+——+1>2,—xl00+l=9,(当且仅当尤=25时取“=”)，

25xV25

所以a49.

答：。的最大值为9.

4.为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业

生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节

能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售

单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函