广西柳州2024届高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

广西柳州2024届高一数学第一学期期末学业水平测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.已知A3,C是AABC的三个内角，设/(3)=4sinRcos2q—m)+cos23,若/(⑻―加＜2恒成立，则实数加

的取值范围是()

A.m<lB.m>-3

C.m<3D.m>l

2.数列｛(—1)"j；的前2021项的和S2021为()

A.-1009B.1010

C.-1011D.2020

3.若直线x+2y=0与直线mx-y+5=0垂直，贝！|m=()

A.1B.2

C.-1D.-2

4.若直线2x+my-3=0与+8y-6=0互相平行，贝！］()

A.4BT

C.±4D.±2

左wZ”是“sin6=L的()

5.66^=—+2k7i,

62

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.方程=5的解所在的区间是

A(0,1)

C.(2,3)D.(3,4)

7.直线，的倾斜角％=30。，直线L,则直线L的斜率为

A.一无B.走

33

C.-V3D.Q

8.已知。为ABC所在平面内一点，3DC=CB，则AZ>=（）

14

A.——AB+-ACB.-AB+-AC

3333

4.1-13-

C.-AB——ACD.-AB+-AC

3344

9.对于实数a,dc,“a>〃”是“的2>=2，，的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知且。为力0,则“。<匕”是“工〉!”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.已知函数/（x）=tan2x,则下列说法不正确的是

JTTT

A.y=〃x）的最小正周期是兀B.y=/（尤）在（-：,：）上单调递增

44

cy=是奇函数D.Y=/（尤）的对称中心是（”,0）（左eZ）

4

12.给定四个函数：①y=d+次；②（%>0）；③y=/+l；④丁=不里.其中是奇函数的有。

无X

A.1个B.2个

C.3个D.4个

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.已知命题“VxeR,f+Zx+aNO”是真命题，则实数。的取值范围为

14.命题“VxeR,e'<x2"的否定是.

15.在直三棱柱A3C—4与£中，若N痴C=90°,A3=AC=A41,则异面直线BA与AG所成的角等于.

16.经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点（2,0）的圆的标准方程是

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.已知aeR,函数/（X）=—

(1)当a=0时，证明是奇函数；

(2)当。>0时，求函数八％)的单调区间；

⑶当时，求函数"%)在-g,l上的最小值.

18.已知函数/(x)=loga(4—ox)(a>0,且awl).

(1)求函数f(x)的定义域；

-3一

(2)是否存在实数”，使函数f(x)在区间l，w上单调递减，并且最大值为1?若存在，求出“的值；若不存在，请

说明理由.

19.已知集合A={x|log2(x+1)N1},B=-2x-/n<0j

(1)当加=3时，求。B；

(2)若Ac3={XlVx<4},求B

4工1

20.证明：函数/(%)=不七―万是奇函数.

21.已知函数/(%)=罐t的图象经过点(2,；］其中a>O,a，1

(1)求。的值；

(2)若能一122,求工的取值范围.

22.已知函数/(x)=优—工(。>1).

X

7

(1)若/(九)在［L2］上的最大值为5,求a的值；

⑵若升为“X)的零点，求证：loga(2—Xo)+%一2/a%<0.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、D

1+

【解析】先化简/(3)=4sinRcos2(f—0)+cos23,dnD

42=4sm5-------------------+cosIB

2

=l+2sinB,因为/(B)—m<2恒成立，所以机>/(5)—2恒成立，即机>2sin6—1恒成立，所以相>1,故选

D.

考点：三角函数二倍角公式、降次公式；

2、C

【解析】根据分组求和可得结果.

【详解】

S2021=—1+2—3+4—5++2020-2021=-1+(2-3)+(4-5)++(2020-2021)=-1-1010=-1011,

故选：C

3、B

【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为-1.

【详解】由题意可知〃zx]—g]=—1,即m=2

故选：B.

4、B

【解析】根据直线平行，即可求解.

【详解】因为直线—3=0与如+8y—6=0互相平行，所以〃/二知，得加=±4

当m=4时，两直线重合，不符合题意；当相=T时，符合题意

故选：B.

5、A

【解析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.

rr(jr\TC\

【详解】。=—+22%,-EZ时,sin<9=sin+—=sin—=—,

6<6J62

八57r.j.Z-)(仁757r।.57r1

0=—+2左"，时t，sm9=sni2左乃+——=sm—=-,

6I6J62

JT1

所以“8=—+2左"，keZ”是“sin，=—”的充分而不必要条件，

62

故选：A.

6、C

【解析】设/(x)=2i+x-5,则由指数函数与一次函数的性质可知，函数＞=2"1与y=x的R上都是递增函数,

所以f(x)在R上单调递增，故函数/(x)=2x—+x—5最多有一个零点，W/(2)=22-1+2-5=-l＜0,

/(3)=23T+3—5=2〉0,根据零点存在定理可知，/(X)=2*T+X—5有一个零点，且该零点处在区间(2,3)内，

故选答案C.

考点：函数与方程.

7、C

【解析】由题意可得心的倾斜角等于30°+90°=120°,从而得到心的斜率为tanl20。，运算求得结果

【详解】如图：直线心的倾斜角ai=30°,直线则心的倾斜角等于30°+90°=120°,

，乙2的斜率为tanl20°=-tan60°=一6，

故选C

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题

8、A

【解析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.

【详解】解：因为。为一ABC所在平面内一点，3DC=CB，

1114

所以AD=AC+CD=AC+—BC=AC+—(AC—AB)=——AB+-AC.

3333

故选:A

9、B

【解析】由于不等式的基本性质，，，＞1)”=，，(：-＞“；”必须有0；＞()这一条件.解：主要考查不等式的性质.当c=0

时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边.故选B

考点：不等式的性质

点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件

10、D

【解析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】〈匕”时，若。则工<工，不能得到“工〉!”.

abab

时，^1>0>-,则不能得到

abab

所以“a<b”是“!”的既不充分也不必要条件.

ab

故选：D

11、A

【解析】对/(x)=tan2x进行研究，求出其最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，从而得到答案.

【详解】/(x)=tan2x,最小正周期为T=j

单调增区间为左乃——<2x<左"+工，即[.工7<工<二^+:],故左=0时，/(九)在(一:，:]上单调递增

22[12424jv744J

/(%)定义域关于原点对称，/(-%)=tan(-2%)=-tan2x=-/(%),故/(九)为奇函数;

k冗

/(x)对称中心横坐标为2x=-y即x=7'所以对称中心为(左eZ)

【点睛】本题考查了正切型函数的最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，属于简单题.

12、B

【解析】首先求出函数的定义域，再由函数的奇偶性定义即可求解.

【详解】①函数的定义域为R,且%)=丁+融，

/(-x)=—优+近1-/(x),则函数“力是奇函数；

②函数的定义域关于原点不对称，则函数>(%>0)为非奇非偶函数；

X

③函数的定义域为R,f(0)=0+l=1^0,则函数y=V+i不是奇函数;

丫2[2_|_1

④函数的定义域为(f,O)u(O,y),/(—X)=土上=—土v士=-/(%),

—XX

2

则函数y=LY±+1A是奇函数.

-X

故选:B

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13、［1,+co)

【解析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为xeR,函数>=必+2%+。的图象抛物线开口向上，所以只

要判别式不大于0即可

【详解】解：因为命题“VxeH,d+2%+4之0”是真命题，

所以不等式f+2x+a20在xeR上恒成立

由函数y=—+2x+a的图象是一条开口向上的抛物线可知，

判别式A,,0即22-4a”0解得a11

所以实数。的取值范围是［1,+8)

故答案为：［1,+8)

【点睛】本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意x的范围，如果)展尺，一定要注意数形结合;

还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出。的范围.本题是一道基础题

x2x2

14、3xeR,e>x##3x0e/?,e°>x0

【解析】根据全称量词命题的否定即可得出结果.

【详解】由题意知，

命题“VxeRe'vd"的否定为：

3%GR,ex>x2•

故答案为：mXeRe*>x2-

15、60°

【解析】如图以点A为坐标原点，分别以AC,AB,A4为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】解：因为三棱柱ABC-4与G为直三棱柱，且N54C=90。，

所以以点A为坐标原点，分别以AC,AB,为苍％z轴建立空间直角坐标系，

设AB=AC=AT4J=1,贝！|

A(0,0,0),3(0,1,0),A(0,0,1),G(L0,1),

所以3=（o,—L1）,AG=（1,0,1）,

叫人。0x1—IxO+lxl

所以COS(网,AC]

V2XV22

因为异面直线所成的角在(0°,90°],

所以异面直线BA,与AG所成的角等于60°,

故答案为：60°

【点睛】此题考查异面直线所成角，利用了空间向量进行求解，属于基础题.

16、(x-l)2+(y+l)2=2

A

【解析】设圆心坐标(。/)，则。2+步=/，(a—2)2+〃=/，=1,根据这三个方程组可以计算得:

a-2

a=l,b=-T,r=e，所以所求方程为：(x-l)2+(j+l)2=2

点睛：设出圆心与半径，根据题意列出方程组，解出圆心和半径即可

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(1)见解析(2)增区间为(—8,。)，减区间为(0,£)(3)当2<a<:时，/(x)niin

当a2g时，/(x)min=l-«

【解析】(1)。=0时，f(x)=\x\x,定义域为R,关于原点对称，而/(—x)=—/(%),故73是奇函数.(2)a>0

x(x-a),x>0

时，/(%)=",、c，不同范围上的函数解析式都是二次形式且有相同的对称轴x=Ea，因0<a史<a,故函

<022

数了⑺的增区间为(—8,0),(!，+«)),减区间为(0,£).(3)根据(2)的单调性可知

/at,比较/(-；),了⑴的大小即可得到〃尤)而「

解析：(1)若a=0,则/(%)=卜氏，其定义域是一切实数.且有/(一X)=卜刀|(一%)=—国1=—/(%),所以了⑴是奇

函数.

(2)函数/(x)=7、-八，因为a>0,则函数/(x)在区间(0,q)递减，在区间(幺，+8)递增，函数/'⑺

-x(x-6Z),x<022

在区间(一8,0)递增..•.综上可知，函数"X)的增区间为(一8,0),(1,+<»),减区间为(0,?.

(3)由得又函数/⑴在［一；,0］递增，在(0,1］递减，且/•(—；)=—(—g/⑴=~.

若/•(—1)27•⑴，即。2m时，/(x)min=")=l—。；

若A-即2Wa<g时，=

二综上,当2<a<g时'/(x)*=-7一耳；当•时,f(x)min=1-a.

点睛：带有绝对值符号的函数，往往可以通过讨论代数式的正负去掉绝对值符号，从而把原函数转化为分段函数，每

一段上的函数都是熟悉的函数，讨论它们的单调性就可以得到原函数的单调性.

18、(1)1一

(2)［=2

【解析】(1)根据对数型函数定义的求法简单计算即可.

(2)利用复合函数的单调性的判断可知a>1,然后依据题意可得/(X)1mx=/。)=1进行计算即可.

【小问1详解】

由题意可得4一双>0,即ar<4,

4

因为〃>0,所以解得九<一.

a

故””的定义域为g,£|.

【小问2详解】

「3~

假设存在实数。，使函数/(%)在区间L；上单调递减，并且最大值为1.

设函数g(x)=4—ax,由a>0,得—a<0,

「3-

所以g(x)在区间1,-上减函数且g(x)>0恒成立，

「3-

因为/(%)在区间L,上单调递减，

38

所以。>1且4——。>0,即1<。<一.

23

-3-

又因为“可在区间1,5上的最大值为1,

所以⑴=log〃(4—。)=1，

整理得a=4—a,解得q=2.

因为1<2<|,所以a=2

「3-

所以存在实数a=2,使函数/(%)在区间L,上单调递减，并且最大值为1

19、(1)bRB=1x|x><-1}

(2)AD5={X[X>-2}

【解析】(1)化简求得集合3,根据补集的概念运算可得结果；

(2)由6W0,根据Ac3={x|l<尤<4},求出力=8,再求出3,计算可求出结果.

【小问1详解】

由题意得：当机=3时，

B=1x|x2—2x—3<o|=1x|-1<x<3}

所以金B=1x|x>3§Jtr<-11

【小问2详解】

由题意知：A={x|尤21}

又Ac3={x|l〈x<4}

所以方程x2-2x-m^0的一个根为4,

解得加=8,所以3={x|尤2_2%_8<0}={%|_2<%<4},符合题设条件，

故AuB={Xx>-2}

20、证明见解析

【解析】由奇偶性的定义证明即可得出结果.

【详解】/（x）=——中，4工一1。0，即xwO,

4r-l2

/（元）的定义域为（-”,O）U（O,+<6）,关于原点对称,

/(X)+/(-X)=-------1-------------------=------------\~

4X-124-124X-11-41

/（—》）=—于（X）,函数/（X）是奇函数.

21、(1)a=—