2023-2024学年湖南衡阳市高考适应性考试数学试卷含解析

2023-2024学年湖南衡阳市高考适应性考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数"x)=(e'—a)，x+g|,若/(力20(%€尺)恒成立，则满足条件的。的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.设/(X)是定义在R上的偶函数，且在(0,+00)单调递减，贝！J()

340A

A./(log30.3)>/(2-°-)>/(2-°-)B./(log30.3)>f(2-)>/(2@)

34403

C./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)D./(2-°-)>/(2-)>/(log30.3)

3.设函数/(x)=2cos2尤+2，§sin无cosx+加，当xe0,y时，f(x)e,则()

137

A.—B.—C.1D.一

222

4.(/—2x—3)(尤+2)5的展开式中，了5项的系数为()

A.-23B.17C.20D.63

5.已知偶函数/(九)在区间(—8,0］内单调递减，a=/(log也6)，=c=f，则a,

I)

C满足()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

6.设集合A={xR2—x_2>0},B={x|log2x<2},则集合(CRA)(B=

A.1x|-1<x<21B.0<x<2|C.1x|0<x<41D.|x|-l<%<4j

7.设复数z满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为M(a,b),则〃不可能为()

A.(2,6)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

8.已知机，”是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，给出四个命题:

①若。/3=m,"ua,n±m,则。工万；②若mL/3,则。〃分；

③若mlln,mua,all[3,则“〃，；④若加J_a,nA.（3,mLn,则。J■尸

其中正确的是（）

A.①②B.③④C.①④D.②④

9.地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是清洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来,

全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW,达到H4.6GW,

中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风

力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）

B.10年来全球新增装机容量连年攀升

C.10年来中国新增装机容量平均超过20GW

D.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过，

3

7T

10.已知函数/（x）=cos（2x+§）,则下列结论错误的是（）

A.函数“X）的最小正周期为兀

B.函数/（%）的图象关于点对称

C.函数/（尤）在上单调递增

D.函数/（x）的图象可由y=sin2x的图象向左平移1个单位长度得到

11.已知集合4={-1,0,1,2},3=N（x+l）（x—2）＜0},则集合A8的真子集的个数是（）

A.8B.7C.4D.3

12.如图，在三棱锥S-ABC中，平面ABC,ABLBC,现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个

表面互相垂直的概率为（）

AC

B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若

干个人合买一头猪，若每人出100,则会剩下100；若每人出90,则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设羽V分别

为人数、猪价，则y=_.

14.在A6c中，2AB=3AC,AD是454C的角平分线，设=则实数的取值范围是.

15.已知AABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2退力=4,AA5C外接圆的面积为4万，则AA5C的面积

为.

16.设S”为数列｛4｝的前几项和，若4>0,q=l,且2S,=风&+f),nwN*，则A。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/7Y

17.(12分)已知函数/(%)=—(a#0).

e

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当“=1时，如果方程/(x)=f有两个不等实根和马，求实数f的取值范围，并证明％+々>2.

18.(12分)已知离心率为g的椭圆M：0+g=l(a>b>0)经过点3

⑴求椭圆M的方程;

⑵荐椭圆"的右焦点为歹，过点尸的直线AC与椭圆〃分别交于A,B,若直线加、DC、的斜率成等差数

列，请问ADCR的面积SA»CF是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

19.(12分)如图，在四面体ZMBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若AD=2,AB=2BGZC4D=30°,求四面体ABC。的体积.

20.（12分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是「cos?。-4sin6=0,直

TT

线4和直线，2的极坐标方程分别是夕（peR）和6=1+万（peR）,其中&/左乃（左ez）.

（1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线4和直线4分别与曲线。交于除极点。的另外点A,B,求AQ钻的面积最小值.

21.（12分）如图，在正四棱柱A5CD—A耳中，已知AB=1,5耳=2.

（1）求异面直线AC与直线所成的角的大小;

（2）求点C到平面ABR的距离.

22.（10分）设函数/（x）=x2-4xsinxi4cosA：.

（1）讨论函数八x）在Hr,汨上的单调性；

（2）证明：函数/＞）在R上有且仅有两个零点.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当。=0,②当。＜0,③当。＞0,考查方程〃刈=-2的解的个数，综合①②③得

ae

解.

【详解】

①当0=0时，f(x)=exl>0..0,满足题意,

②当avO时，ex-a>G3xG(—―,+A),ox+-<0,故/(兀)..。(兄£氏)不恒成立，

0aee

③当a>0时，设g(%)=/-〃，h(x)=ax+-,

e

令g(%)="—〃=。，得x=Ina,h(x)=ax+-=0得％=--—,

e9ae

下面考查方程lna=--的解的个数，

ae

设。(〃)=alna,贝()9,(a)=\+lna

由导数的应用可得：

<P(a)=a或在(0」)为减函数，在(L+B>为增函数,

ee

则。(«)

e

即/=---有一■解，

ae

又g(x)=e，'-a,/7(x)=ax+」均为增函数，

e

所以存在1个。使得/W..0(xeR)成立，

综合①②③得：满足条件的”的个数是2个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的

题型.

2、D

【解析】

利用/(九)是偶函数化简f(log30.3),结合/(%)在区间(0,+。)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

/(X)是偶函数，/(10g30.3)=/(-10g3y)=/(10g3y),

4

而lOg3y>l>2«3>2-°->0,因为/(X)在(0,+8)上递减，

034

.­./(log3y)</(2-)</(2-°-)I

即/(1嗅0.3)</(243)</(25).

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

3、A

【解析】

由降塞公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值.

【详解】

/（%）=2cos2X+2A/3sin%cosx+m=l+cos2x+V3sin2x+m=2sin（2x+工）+/n+l,

八兀n_Lr\nr兀e/c兀、r111

x€O?—时，+—G[—,——],sin(2x+—)G,1],:./(x)G[m,m+3],

_2J66662

1

由题意［肛m+3］=m——.

2

故选：A.

【点睛】

本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键.

4、B

【解析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得V的系数.

【详解】

55r

（X+2）的展开式的通项公式为Tr+l=C；x--2’.则

①（炉―2%—3）出（―3）,则（x+2）5出V，该项为：（-3）-C°-2°-X5=-3X5；

②（九2-2%-3）出（一2%）,则（x+2）5出该项为：（-2）-^-2,-X5=-20X5；

255

③（三一2%-3）出则（x+2）s出该项为：l-Cf-2-x=40x;

综上所述：合并后的项的系数为17.

故选：B

【点睛】

本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.

5、D

【解析】

2

71

首先由函数为偶函数，可得函数/（X）在［0,+8）内单调递增，再由loga6>sinK即可判定大小

>7

【详解】

因为偶函数“X)在(7,0]减，所以/(%)在[0,y)上增,

2

71

在百，3

log>1sinGG,••c<b<a.

144°4

故选：D

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于中档题.

6、B

【解析】

先求出集合A和它的补集，然后求得集合3的解集，最后取它们的交集得出结果.

【详解】

对于集合A,(x—2)(%+1)>0,解得x<—1或无>2,故CM=[—1,2卜对于集合$1。82工〈2=10824,解得0<%44.

故(。屋加6=(0,2].故选氏

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元

二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0,然后通过因式分解，求得对应的一元二

次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.

7、D

【解析】

依题意，设2=。+初，由|z—3|=2,得(a—3y+/=4,再一一验证.

【详解】

T^.z=a+bi,

因为|z—3|=2,

所以(a—3y+〃=4,

经验证M(4,l)不满足，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

8、D

【解析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根

据面面垂直的判定定理可判断④.

【详解】

对于①，若。p=m,nua,n±m,a,£两平面相交，但不一定垂直，故①错误；

对于②，若加，a,mVp,则。〃/7,故②正确；

对于③，若就小，fnua,al113,当〃u〃，则〃与夕不平行，故③错误；

对于④，若m_La,nVp,mLn,则。故④正确；

故选：D

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.

9、D

【解析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.

【详解】

年份2009201020112012201320142015201620172018

累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1

新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4

中国累计装机装机容量逐年递增，4错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，5错误；经计算，10年来

中国新增装机容量平均每年为19.77GW,选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW,全球累计装机

容量594.1—158.1=436GW,占比为45.34%,选项O正确.

故选：D

【点睛】

本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.

10、D

【解析】

27r7Tjrjr

由7=一可判断选项A；当x==时，2犬+；=彳可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；

a1232

y=sin21x+^|J=cos^2x--1-jw/(%)可判断选项D.

【详解】

由题知"x)=cos(2x+j,最小正周期7=§=兀，所以A正确；当x=£时,

\J乙.LL

-7171一A,1兀2兀、，八71(5兀

2%+y=-,所以B正确；当％£[1,可-)时，2%+§£1兀,弓-所以C正确；由丁=$1112%

."兀、."71兀、

的图象向左平移2个单位，得丁=$也2%+匚=sm2x+—=sm2x+----=

I6jl23；

cos^2x-jp/(x),所以D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.

11、D

【解析】

转化条件得AB={O,1},利用元素个数为n的集合真子集个数为2'-1个即可得解.

【详解】

由题意得3={x|(x+l)(x-2)<o}={川一1<x<2},

Ai5={0』，.•.集合A8的真子集的个数为22—1=3个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.

12、A

【解析】

根据线面垂直得面面垂直，已知平面ABC,由可得平面SAB,这样可确定垂直平面的对数,

再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率.

【详解】

由已知S4_L平面ABC,ABLBC,可得从该三棱锥的4个面中任选2个面共有=6种不同的选法,

而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为1.

2

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10900

【解析】

由题意列出方程组，求解即可.

【详解】

100x-y=100

由题意可得“八，解得工=1°，y=9oo.

90x-y=0

故答案为10900

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.

14、解

【解析】

6

设AB=3f,AC=2t,ZBAD^ZCAD=a,由+5根皿=5段公，用面积公式表示面积可得到一cos。,

5

利用即得解.

【详解】

设AB=3t,AC=2t,ZBAD=ZCAD=a,

由+^ACAD=得：

—•3t-2mt-sincr+—•2^•2mt•sin。.3%.2%•sin2a,

222

化简得根=(cosa,

由于(Ze]。,?],

故加

故答案为：|^0,1j

【点睛】

本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.

15、273

【解析】

由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角A3,从而有C,于是可得三角形边长，可得

面积.

【详解】

设外接圆半径为人则S=兀/=4兀/=2,

熹二21,得sinA考sin5=l,.'丑予吟

由正弦定理——

sinA

c=2,a-2y/3>S=—ac=2>j3.

2

故答案为：26.

【点睛】

本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键.

16、55

【解析】

由题可得2S]=4(%+/)=2at,解得/=1,所以2S.=a”(%+1),2Sn+1=an+i(a„+1+1),

上述两式相减可得2s计]-2Sn=2an+l=an+l(an+l+l)-a„(a„+1),即(an+l+an)(——1)=0,

因为。“〉0,所以q+i1T=。，即。

所以数列｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

所以Si。=10xl+^^xl=55.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)当a>0时，的单调递增区间是(-8,1),单调递减区间是(1,也)；当a<0时，/(x)的单调递增区间是

(l,y),单调递减区间是(-8,1)；(2)I0,-|,证明见解析.

Ie；

【解析】

(1)求出了‘(X),对。分类讨论，分别求出/'(%)〉0,/'(幻<0的解，即可得出结论；

(2)由(1)得出/(X)=t有两解时，的范围，以及%,X,%关系，将玉+%2>2,等价转化为证明("一%乂一巧+1)>2,

…-1"

不妨设王〉々，令根=石一九2，则">0,即证(/n-2)e"'+加+2>0,构造函数

g(x)=(x-2)ex+x+2(x〉0),只要证明对于任意x>0,g(x)>0恒成立即可.

【详解】

(1)/(X)的定义域为R,且/■'(%)=吗2.

e

1—Y1—Y

由一>0,得尤<1；由r<0,得X>1.

ee

故当a>0时，函数/Xx)的单调递增区间是(-8,1),

单调递减区间是(1,+8);

当。<0时，函数/Xx)的单调递增区间是(1,口)，

单调递减区间是

Y1

(2)由⑴知当。=1时，/(%)=-,且Ax)=")=一.

e11me

当％<0时,/(%)<0；当了>0时，f(x)>Q.

.•・当0<。<!时，直线丁=?与丁=f(x)的图像有两个交点,

e

实数f的取值范围是I。,，］.

Iej

方程f(X)=t有两个不等实根XpX2,

x,X2

2=t,?=t,;.%=te,x2=te,

x,-%—e*),即/一号.

要证%+%2>2,只需证+6起)>2,

即证(…一々)(d+浮)〉2,不妨设石〉马.

e3—e次

令"Z=七一/，则机>0,叶>1，

m(e'"+11

则要证」_____2>2，即证(加―2)6m+加+2〉0.

e'n-l

令g(x)=(x—2)ex+x+2(x>0),则g'(x)=(x-l)ex+1.

令h(x)=(%-l)ex+1,贝!)h'(x)=xex>0,

:.h(x)=(x-l)e*+1在(0,+s)上单调递增，/z(x)>A(0)=0.

.•.g'(x)〉0,••.g(x)在(0,+8)上单调递增，

g(x)>g(0)=0,即(x—2)ex+尤+2>0成立,

即(m—2)e"'+m+2>0成立.二%+%〉2.

【点睛】

本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在

考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

V2V29

18、(1)----1--—=1；⑵是，—

434

【解析】

⑴根据e=£=』及°?=廿+°?可得4尸=3/，再将点当代入椭圆的方程与4尸=3a2联立解出/万，即可

a2I2；

求出椭圆的方程；

(2)可设AC所在直线的方程为>=笈。-1),A(苞,%),B(x2,y2),左将直线AC的方程与椭圆的方

程联立，用根与系数的关系求出百+%2，再%2，然后将直线D4、DB、DC的斜率勺、女2、%分别用%，%2/表示，

利用匕+左2=2左3可求出f=4,从而可确定点。恒在一条直线％=4上，结合图形即可求出的面积鼠》〃.

【详解】

1c11

⑴因为椭圆的离心率为不，所以e=—=；；，即。=一。，

2a22

又〃=廿+。2,所以4〃=3a2,①

因为点在椭圆上，所以，+系=1，②

a=4v2v2

由①②解得2，所以椭圆。的方程为上+匕=L

[b2=343

(1)可知c=l,F(1,O),可设AC所在直线的方程为y=/：(x—l),

y=左(x—l)

由Ify2,得(3+4左2口2—8左21+4a2_3)=0,

—+—=1

143

设4(和%),C(t,k(t-1)),则刃+尤2=咨＞，g=4(K-：)

3+4左21-3+4左2

设直线ZM、DB、。。的斜率分别为左1、月、&，

因为AB,歹三点共线，所以kAF=kBF=k,即二左，

JV]_1X?_1

=2k--——再+1_2_=2k—I,

2xx-(%1+x)+l

须一]%2—1%一1%—]21一]122

因为直线ZM、DC、05的斜率成等差数列，所以占+%2=2%，

即(2左—1)。—1)=2左4—1)—3,化简得，=4,即点C恒在一条直线冗=4上，

3

又因为直线小方程为x=l,且|。尸|二彳，

2

139

所以S,DCF是定值SSCF=5义5义3=z.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题.

4

19、(1)证明见解析；(2)y.

【解析】

(1)取AC中点产，连接ED,EB,根据等腰三角形的性质得到LAC,利用全等三角形证得DP由此

证得。尸，平面ABC,进而证得平面ABC，平面AC。.

(2)由(1)知小，平面ABC,即止是四面体ABC。的面ABC上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD

的体积.

【详解】

(1)证明:如图，取AC中点产，连接ED,两,

由ZM=DC,则DBLAC,

ABLBC,则以=用=产。，

故_DFA"_DFB&DFC

7T

故NDFB=NDFA=—,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC.

又u平面AC。，

故平面ABC±平面ACD

(2)由(1)知D尸，平面ABC,

即。尸是四面体ABC。的面ABC上的高，

且DF=ADsin300=1,AF=ADcos300=季.

在HjABC中，AC=2AF=25AB=2BC，

由勾股定理易知BC=3叵,A3=勺叵

55

故四面体ABC。的体积

3/AvBdC32555

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20、(1)x2=4y；(2)16.

【解析】

(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可;

（2）利用极径的几何意义，联立曲线C,直线/1,直线，2的极坐标方程，得出利用三角形面积公式,

结合正弦函数的性质，得出AQ钻的面积最小值.

【详解】

(1)曲线C：pcos26,-4sin6*=0,即夕2cos一42sin，=0

化为直角坐标方程为：x2=4y；

pcos26,-4sin6>=04sintz.„..।।4sintz

(2)<…=8=='n即n1°川=㈤:

cos2a

4sin。+一

I24cosa

同理|。5|=,|=

sin2a

4sina4cosa816

・V=-\OA\\OB\=->16

22cos2asin2asinacosa|sin2a\

jr

当且仅当sin2tz=1,即a=■—（左ez）时取等号

4

即NOAB的面积最小值为16

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.

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