2023-2024学年江苏省徐州市高三年级下册新高考适应性测试数学试卷含详解

2024届高三年级适应性测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1已知集合A={x"nx>l},8=卜|"-1)卜-2)>0},则4B=()

A.0B.{x|x>e}

C.{x[2<x<e}D.{x|x<l或x>2}

2.若角。的终边经过两点(x,2),(―Ly),则()

A.2B.-2C.-1D.1

3.若抛物线y2=2px(p>0)上的动点到其焦点的距离的最小值为1,则夕=()

A.1B.73C.2D.4

4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1

种，则不同的选购方式有()

A.3,种B.43种C.3x2x1种D.4x3x2种

5.若平面向量a,b，C两两的夹角相等，且向=1|=1,同=3,则卜+b+c|=()

A.2B.5C.2或5D.血或5

6.已知数列{%}的前"项和为S“，且3S〃=2a.+l,„eN*.若122024,则正整数上的最小值为()

A.11B.12C.13D.14

7.在AABC中，已知=3BC=2AB,BDA.AC,。为垂足，CD=2屈,则()

A.376B.676C.2屈D.4A/10

8.若定义在R上的函数满足〃x+2)+/(x)=/(4),/(2x+l)是奇函数，/(}=3则()

1711171

A.=B.£f『)=0

k=l2/k=TZ

171]717117

C.£对*_力=_jD.X^(^--)=—

k=\//k=lZZ

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z在复平面内对应的点为1则()

A.|z|=lB.Z+Z=lc.z2+z+l=OD.z2°24=W

10.已知圆台的上、下底面直径分别为2,6,高为26，则()

A.该圆台体积为26后

112

B.该圆台外接球的表面积为——兀

3

C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16

D.挖去以该圆台上底面为底，高为石的圆柱后所得几何体的表面积为(16+24)兀

11.已知函数y(x)=e"(x—ae),aeR,则下列说法正确的是()

A当。=-1时，"X)有唯一零点

B.当•时，/(%)减函数

C.若〃％)只有一个极值点，则。40或。=〈

D.当。=1时，对任意实数人总存在实数冷马，使得尸(力="")一’")

xi—x2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数X的均值是.

13.己知点4(1,0),5(5,0),若PA-PBW4,则点P到直线3x—y+l=0距离的最小值为.

22

14.设双曲线C:二-}=1(°>0,6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,过工的直线与C的左支交于点P,坐标原

ab

9

点0到直线PF,的距离为。.F}PO的面积为一片,则c的离心率为.

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在正四棱柱ABC。—481Goi中，AB=2,9=4,E为4。的中点，经过BE的截面与棱。

A旦分别交于点RG,直线3G与EF不平行.

(1)证明：直线8G,EF,AA］共点；

(2)当=时,求二面角C-BF-A的余弦值.

16.已知函数/(x)=%2+ar-lnx,aeR.

(1)若函数y=/(九)—2*在(0,2］上单调递减，求°的取值范围：

⑵若直线丁="与/(x)的图象相切，求a的值.

17.某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动

预习和不太主动预习两类，设事件4学习兴趣高，事件8主动预习.据统计显示，P(A|B)=|,

MX⑻=；，P(B)=g

(1)计算P(A)和P(A|B)的值，并判断A与8是否为独立事件；

(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为相(根eN*)的样本，利用独

立性检验，计算得/=1.350.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的9eN*)倍，使得能有

99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定『的最小值.

附：Mad-bcf

其中n-a+b+c+d.

/(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

P(/")0.100.050.0100.0050.001

k27063.8416.6357.87910.828

18.将必+俨=2上各点的纵坐标变为原来的字(0〈儿＜2)倍(横坐标不变)，所得曲线为旦记P(—2,0),

e(l,0),过点P的直线与E交于不同的两点A,B,直线QA,与E分别交于点C,D.

(1)求E的方程：

JT

(2)设直线AB,CD的倾斜角分别为戊，夕.当0＜。＜5今时，

tana

(i)求的值:

tan)3

（ii）若力一e有最大值，求;l的取值范围.

19.对于每项均是正整数的数列P：%,。2，4,定义变换（，刀将数列尸变换成数列4（尸卜

对于每项均是非负整数的数列Q：4,均,…，粼,定义

S（Q）=2（4+2仇++mbm）+bf+b；++比，定义变换心，心将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零

的项，得到数列4（。）.

（1）若数列4为2,4,3,7,求5优优））的值；

（2）对于每项均是正整数的有穷数列凡，令之=心①（片）），左eN.

（i）探究5（7；优））与S（6）的关系;

（ii）证明：S（%）VS记）.

2024届高三年级适应性测试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合&={刈121},B={X|(X-1)(X-2)>0},则AB=()

A.0B.{x|x>e}

C.{X|2<X<e}D.{x|x<l或x>2}

【答案】B

【分析】解不等式化简集合A,B,再利用交集的定义求解即得.

【详解】集合4={集lnx>l}={x>e},8={尤|(x-l)(x-2)>0}={x|x<1或1>2},

所以AB={x|x>e}.

故选：B

2.若角8的终边经过两点(羽2),(―Ly),则孙=()

A.2B.-2C.-1D.1

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.

r\

【详解】角。的终边经过两点(九,2),(-1,丁)，贝Utane=—=2，

所以孙=一2.

故选：B

3.若抛物线y2=2px(p>0)上的动点到其焦点的距离的最小值为1,则。=()

A.1B.73C.2D.4

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义及抛物线的方程的性质即可求解.

【详解】由y2=2»(p>0),得焦点

设抛物线上一点P(x,y),则

由抛物线的定义知，PF=x+^->^-,

22

所以1=光，解得，=2.

故选：C.

4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1

种，则不同的选购方式有()

A.34种B.4'种C.3x2x1种D.4x3x2种

【答案】A

【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.

【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有34种，经检验只有A选项符合.

故选：A

5.若平面向量〃，b，e两两的夹角相等，且向="=1,同=3,则卜+/?+《=()

A.2B.5C.2或5D.血或5

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得.

2兀

【详解】由向量a,b，c两两的夹角相等，得〈〃,石〉=〈及c〉=〈〃,<:〉=0或〈。,力=相,c〉=〈Q,c)=可,

当〈〃,力=S,c〉=〈〃,0〉=0时，|〃+b+21=5,

2兀.

当〈。,b)=〈6,c)=〈a,c)=时,।〃+b+3+人+3了

=Jl2+l2+32+2xlxlx(-1)+2xlx3x(-1)+2x3xlx(-1)=2.

故选：C

6.已知数列｛%｝的前w项和为S“，且3S〃=2%+1,neN*.若&N2024,则正整数上的最小值为()

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列求出S“，再求解不等式即得.

【详解】数列｛4｝中，3Sn=2an+l,当时，4=S“—S.T，则3S”=2与—2s+1,

整理得S〃=—2S〃T+1,即s“—g=_2(S“_]—g),而3si=2q+1=2廿+1,即d=l,

因此数列｛S“—g｝是以S1—3=[为首项，公比为—2的等比数列，5„-1=|-(-2)"-1,

则S“=1一(一2)”,由122024,知左为奇数，此时耳=匕二是递增的，

33

1+21120491+2门Q193

而Su------=683<2024,S.------=2731>2024,

33133

所以正整数上的最小值为13.

故选：C

7.在AA8C中，已知NABC=2/B4C,3BC=2AB,BD±AC,。为垂足，CD=2®,则3Q=()

A.376B.6A/6C.2MD.4710

【答案】B

【分析】设4L4c=e,利用3BC=2AB和正弦定理化简得到2(3sine-4sin3a)=3sine,得到

3sin«-8sin3a=0>求得sina='S，进而得到tanNACB=石,在直角二中，结合

45

BD=CDtanZACB,即可求解.

【详解】设N£L4C=a,可得NABC=2i,ZACB=n-3a,

A3BCAB_BC

由正弦定理得mP-

sin(7i-3cr)sin/sin3«sincr

因为35c=2AB,所以sin3o=3sina,

又因为sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina

=2sinacosacos6Z+(1-2sin2a)sina=3sinor-4sin3a,

所以2(3sina-4sin3a)=3sina,整理得3sina-8sin3a=0,

兀

因为0<。<一，所以0<sintz<l,所以3—8sin2a=0，

2

即sin2a='!，解得sina=，^,则sin3tz=,

84448

即sinZACB=

8

因为NACB为锐角，cosZACB=V1-sin2ZACB=眄

8

由i、isin/ACB3力［?

所以tanZACB=------------=—一

cosZACB5

在直角cHDC中，tanNACB=岩，所以3。=C»tanNACB=2布x之绍=6

故选：B.

B

8.若定义在R上的函数满足八尤+2）+/（无）=〃4）,/（2x+l）是奇函数，/（g）=g则（）

1711171

A.1/（^--）=--B.1/（^--）=0

k=l乙乙k=lZ

*]]717117

C.£时也-5）=-不D.=—

k=lZZk=izz

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出函数一⑺的周期，及/（—%+1）+/（尤+1）=0和/（%+2）+/（尤）=0,再逐项计算判

断得解.

【详解】由/■（尤+2）+/■（元）=/（4）,得/（尤+4）+/（尤+2）=/（4）,则〃x+4）=/（x）,即函数/⑺的周期为4,

由/(2%+1)是R上的奇函数，得了(-2x+l)=-f(2x+l),即/(—x+l)+/(x+l)=O,

于是尺）+用）=。，/（|）+/（|）=/（|）+/（4）=o,即尺）+〃1）+吟+月）=。,

“6+*心[,

AB错误;

由/(九+4)+/(%+2)=〃4),取%=0,得/⑵=0,则/(4)=/(0)=—/(2)=0,

因此/(x+2)+/(x)=0,取x=|,得/•(g)+/(g)=0,

13571357

于是/弓)+2/(5)+3/弓)+4/弓)="弓)+/弓)]+3"弓)+,++/(-)=0,

1711357117

则£力(无一彳)=4"(彳)+2/($+3yt)+”(半]+17/(16+彳)=c错误，D正确.

k=[，，，，，，，

故选：D

【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知复数z在复平面内对应的点为亨，则（）

A.|z|=lB.Z+Z=lc.z2+z+l=0D.z2024=W

【答案】ACD

【分析】由复数与复平面内的点对应关系还原复数z,再结合复数的基本运算逐一验证即可.

【详解】由题可知，z=—』+或4,百

=1,故A正确;

22

z=---—i,z+z=-l，故B错误;

22

2__。_叵_」_叵所以z?+z+l=—1+1=0，c正确;

Z=Z•2=

674c0一.

后匚1、1-2024-2022220222（一1

所以Z=Z•Z—Z-Z—\zI-z=z=z,故D正确.

故选：ACD

10.已知圆台的上、下底面直径分别为2,6,高为26,则（

A.该圆台的体积为26b兀

B.该圆台外接球的表面积为——71

3

C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16

D.挖去以该圆台上底面为底，高为百的圆柱后所得几何体的表面积为（16+26）兀

【答案】BC

【分析】对于A：直接利用公式求解；对于B：先求出外接球半径，再利用体积公式求解；对于C：通过轴截面的

周长最大来求解；对于D：用面积公式求表面积.

【详解】由已知得圆台的上下底面半径分别为L3,

对于A：圆台的体积为:兀（F+32+ix3）x2若=^^兀，A错误；

对于B：如图是圆台的轴截面A3CD,外接球球心为。，设外接球半径为R,

28

当球心在梯形ABCD内时，JR?—俨+正吁=2#＞，解得&=§，

当球心在梯形A3C。外时，,尺2_]2_依2_32=26，方程无解，

所以外接球的表面积4兀氏2=——兀，B正确；

3

对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，

又母线长为+(3—1)2=4,则最大周长为4+4+2+6=16,C正确；

对于D：如图：挖去以该圆台上底面为底，高为君的圆柱后所得几何体的表面积为

兀(3+1)x4+2兀xlx6+兀*。？+E)=26兀+2退兀,D错误.

故选：BC.

11.已知函数〃x)=ex(x—ae)aeR,则下列说法正确的是()

A.当。=-1时，”另有唯一零点

B.当a〉g时，/是减函数

C.若"％)只有一个极值点，则。40或。=9

D.当。=1时，对任意实数，，总存在实数%,马，使得广⑺=区)

【答案】ABD

【分析】对于A：求导，确定单调性，然后利用零点存在定理判断；对于B：求导，利用导数研究函数单调性；对

于C：直接验证。=!■时的极值情况；对于D：求导，作出了(%)的图象，观察图象可得.

【详解】对于A：当a=—l时，/(x)=ex(x+ev),令/(x)=0,得x+e、=O，

令g(x)=x+e"得g'(x)=l+e*>0,即g(x)在R上单调递增，

又g(—1)=—1+「<。，g(l)=l+e>0,由零点存在定理可得g(x)=x+e*在R上有唯一零点，即〃龙)有

唯一零点，A正确；

对于B：fr(x)=e"(x—aex)+e*(1—ae")=e"(尤+1—2aex),

x+1

令x+1—2ae"<0，得2a>

x+17“、ex-(x+l)eA-x

设/2(X)=—,则/?(x)=——T5—=标，

e*(eje

当x<0时，//(x)>0,/i(x)单调递增，当尤>0时，h'(x)<0,人(力单调递减，

所以M%Lx=M°)=L又当a〉g时，2a>l,所以2a〉?恒成立，即当a〉g时，/⑺是减函数，B正

确；

对于C：当时，由B知二?<1,即x+lVe，，所以/'(x)=e，(x+1—e)<0,即R上单调递

乙C

减，无极值，C错误；

对于D：当〃=1时，/(x)=e，(x—e"),=e，(x+l—2e，)，

令k(x)=e"(x+1—2ex),得左'(x)=e，(x+1—2ex)+eA(l-2ex)=e'(%+2-4e*),

令q(x)=i+2-4e",贝ij/(%)=l-4e"

当/(x)>0,即x<ln；时，/光)单调递增，

当q'(x)<0,即x〉In；时，q(x)单调递减，

所以q(x)max=4山=ln(；)+2—4eI)=ln［：］+l<0,

即左'(x)=eX(x+2-4e*)<0恒成立，

所以/'(x)=e［x+l—2e")单调递减，又

所以r(%)<0,

所以/(九)在R上单调递减,

且当Xf—00时，/(x)—0,当Xf+co时，.

可得“X)的大致图象如下：

由图可知对任意实数，，总存在实数外,马，使得可⑺D正确；

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数X的均值是.

7

【答案】3.5##-

2

【分析】确定X的所有可能值，求得其概率，由均值公式计算出均值.

【详解】由题意X的可能值依次为L2,3,4,5,6,且尸(X=，)=,，1=1,2,3,4,5,6,

6

所以E(X)=，x(l+2+3+4+5+6)=3.5.

6

故答案为：3.5.

13.已知点4(1,0),5(5,0),若PA-PBW4,则点P到直线3x—y+l=0距离的最小值为.

【答案】JI5—2后

【分析】设出点P的坐标，由已知探求点P的轨迹，再借助几何意义求出最小值.

【详解】设点尸(x,y),则PA=(l-x,-y),尸2=(5-尤,-y),由申.尸344，得(x-l)(x-5)+W4,

即(x—3)2+/w8,则点P的轨迹是以点C(3,0)为圆心，2夜为半径的圆及内部，

距离d」心3-0+1]=可〉2血

点C(3,0)到直线3x—y+l=0禺j32+(-l)2'

所以点尸到直线3x—y+l=0距离的最小值为d—2拒=加—20.

故答案为：^/10—2\/2

22

14.设双曲线C：f一当=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为《，F2,过居的直线与C的左支交于点尸，坐标原

ab

9

点。到直线PF,的距离为。,RPO的面积为—/,则c的离心率为.

4

【答案】丽或巫

2

【分析】先根据面积关系求出I尸耳尸片I，设OMLPK，垂足为"，在Ma叫中求出COS/M耳。，再在

b

APFB中利用余弦定理求出一，进而可得离心率.

a

又闺闾=2闺O|=2c,

92

a

所以S尸/2-2S与尸0,SPOF^—SPF^—S^po=SF^po—~，

又。到直线尸工的距离为“，

所以5-。g=3义4*e闾=(4,得上阊=：*

由双曲线定义|桃|—忸£|=2。得|P£|=ga,

设OMLP巴，垂足为M,如图：

则|OM|=a,|0&|=c,

\MF,\b

则在R,0M中，阿闾=J|%2To闿2八cosZMF,O=\~^=-,

|叫c

在△尸耳耳中，由余弦定理可得|尸片「=忸且「+闺闾2_2忸囚闺闾cosZMF2O,

即（ga）=（：4）+（2c）2-2x-^ax2cx—,Xc2=a2+b2,

（b、bbb3

整理得2g-9«-+9=0,解得±二3或一=—,

Jaaa2

则离心率6=,1+[2]=可或半.

故答案为：碗或巫.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在正四棱柱ABC。—44Goi中，AB=2,A4=4,E为其。的中点，经过3E的截面与棱。

A耳分别交于点尸，G,直线BG与EE不平行.

(1)证明：直线BG,EF,AA］共点；

(2)当=时,求二面角C-BP-A的余弦值.

【答案】(1)证明见详解

【分析】(1)先设BG与EF有一公共点,再证明该公共点在直线AA】上即可；

(2)以为x轴，54为＞轴，8月为z轴建立空间直角坐标系，结合面面角的余弦公式即可求解.

【小问1详解】

BXEG四点共面，BG不平行于EF,设BGEF=P,

又,5Gu平面AB与A，所u平面AD24，BG,昉均不平行于AAr

.­•尸为平面ABB.A,与ADD.A,的公共点，

又.平面ABBJA平面ADD^=A4,

.1根据基本事实3可得

二直线8G,EF,A4共点；

【小问2详解】

以为x轴，B4为V轴，8瓦为z轴建立3-孙z空间直角坐标系，

因为正四棱柱ABC。—中，AB=2,9=4,DF=；DR,

所以5（0,0,0）,C（2,0,0）/（2,2,1）,4（224）,配=（2,0,0）,5卢=（2,2,1）,3A=（2,2,4）,

/、n-BC=2x=0

设平面5CF的法向量为〃=(%y,z),贝，

n-BF=2x+2y+z-0

令y=l,贝Uz=—2,ri=(0,1,-2),

设平面的法向量为根二(%,%,zj,则<11］】，令玉=1,4=0,贝

\m-BF-2x1+2M+4=0

—1_yio

m=(l,-l,0),则二面角C-2尸-〃的余弦值的绝对值为=

72-75—10

由图可知，二面角的平面角大小为钝角，

所以二面角C-BP-R的余弦值一巫.

10

16.已知函数=+&v-lnx,aeR.

(1)若函数y=/(%)—2*在(0,2］上单调递减，求。的取值范围：

⑵若直线丁="与/(%)的图象相切，求a的值.

【答案】(1)卜夕20］

(2)e-1

【分析】(1)利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解;

(2)利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解.

【小问1详解】

记y=/(x)-2x?=ax-lnx-x2=g(x),g(x)在(0,2］上单调递减，

g'(x)=a—工一2x<0对X/xe(0,亘成立，

2x+-,而2%+工22/2广工=20,

VXJminXX

当且仅当2x=!即x=Y2时，等号成立，

X2

所以当x=乎时，2x+1取得最小值为2夜.

/.a<2A/2

所以a的取值范围为卜8,2、历］.

【小问2详解】

设直线丁=既与〃％)的图象相切于P(九。，君+aXoTn5)，

/'(%)=2x+〃—,k—2%0+ci---,

"XXQ

2%o+a---=e,①1

由题意可知〈尤on〃=e+----2x0,

1

XQ+axQ-lnx0=ex0,(2)

(i)

代入②nx；+e+----2x0x0-lnx0=ex0,

Ixo)

1-XQ-lnx0=0,左边式子关于办单调递减且％o=1时，左边二。,，%()=1

a=e+l—2=e—1.

17.某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动

预习和不太主动预习两类，设事件人学习兴趣高，事件既主动预习.据统计显示，P(A|B)=|,

P(“⑻彳，P(B)=g

(1)计算P(A)和P(A|B)的值，并判断A与8是否为独立事件；

(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为根(meN*)的样本，利用独

立性检验，计算得/2=1.350.为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的f(feN*)倍，使得能有

99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定/的最小值.

n(ad—bc)-

附：z2其中〃=a+b+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)(b+d)

P(/")0.100.050.0100.0050.001

6635

k2.7063.8417.87910,828

133

【答案】(1)P(A)=—,P(A|B)=-,不相互独立

(2)6

【分析】(1)利用条件概率公式以及全概率公式计算即可；

(2)作出新的列联表，然后求出新的72值，列不等式求解即可.

【小问1详解】

由已知P（A|3）=1-P（，|3）=l-：=

4/_、4i

又因为P(B)=g,所以P⑻=1—P(B)=1"=1,

431113

所以P（A）=P（B>P（A|B）+P（R）.P（A|X）=—X——F—X——=——,

545420

343

又P（A5）=P⑷5）"）丁『，

所以P（AB）wP（A）P（B）,

所以A与8不为独立事件;

【小问2详解】

假设原列联表为

兴趣高兴趣不高总计

主动预习aba+b

不太主动预习Cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

根据原数据有7——Mad,bc）——

=1.35

若将样本容量调整为原来的旧eN*）倍,

则新的列联表为:

兴趣高兴趣不高总计

主动预习tatbt[a+b)

不太主动预

tctd♦(c+d)

习

总计f(b+d)t^a+b+c+d)

则之t^a+b+c+d^(t~ad-t~bc^t(a+b+c+d^ad-bcf

At(a+b).《c+d)”(a+c).《b+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=1.35r>7.879,解得此5.84,

又/eN*，所以/的最小值为6.

18.将f+/=2上各点的纵坐标变为原来的字（0<4<2）倍（横坐标不变），所得曲线为E.记P（—2,0）,

2（1,0）,过点p的直线与£交于不同的两点A,B,直线QA,QB与E分别交于点C,D.

（1）求E的方程:

jr

（2）设直线AB,8的倾斜角分别为戊，夕.当0<。<,今时,

tana

(i)求一的值:

tan/3

（ii）若乃一1有最大值，求X的取值范围.

22

【答案】(1)^-+^-=1(0<2<2)

(2)(i)-；(ii)(-,2)

77

【分析】（1）设所求轨迹E上的任意点为（x，y）,且对应的点为（西,％）,列出关系式，代入即可求解;

⑵⑴设直线AC为尸人（尸I）,联立方程组,结合韦达定理求得C（于'力）和

3%—4%

•）,再结合P,A,B三点共线，求得/乂一%％=2（为一%）,利用斜率公式，即可求解；（ii）

2x2—32%2—3

1k-k

设直线"为y=松+2）,得到直线8的斜率为7%,求得°）=布记’利用基本不等式,得到

,1

左2=］取得最大值，再联立方程组，结合A>0,得到九>2/，进而求得X的取值范围.

【小问1详解】

解：设所求轨迹E上的任意点为（x，y）,与尤2+/=2对应的点为（X］，x）,

x=xxxx=X

根据题意，可得而,即，2

y=—^yx%=用'

22

代入方程/+/=2,可得f+整理得1+,=1(0<4<2),

22

所以曲线E的轨迹方程为］+、=1（0</1<2）.

【小问2详解】

解：(i)设直线AC的方程为丁=左(％—1),A(Xj,yj,B(X2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

y=k(x-1)

联立方程组Id2,整理得(2+2父)/-4/x+2/-2/l=0,

—+—=1

I2A

4422k2—2九

则A=(-4k2)2-4(2+2左2)(2左2_24)>0,且%+退=

2+242'〜马一彳+242

3,、22+4k23x-4

可得I所以退=不\

32(、%1+X33)-彳+24：2=2,2西-3

=上.产「4=，

可得为

玉一12玉一32%1-3

所以C(25AW),同理可得D(含二|，产々)，

2%—32%—32X2-32X2—3

y_%

又因为P,A,8三点共线，可得,即=2(%-乂)，

%1+2%+2

%M

=2%-32%-3=2(元2%-/％)+3(%-X)=7(%-%)

CD

3々-4_3再-4