江苏省扬州市宝应县重点名校2024年中考冲刺卷数学试题含解析

江苏省扬州市宝应县重点名校2024年中考冲刺卷数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．计算3a2－a2的结果是()A．4a2B．3a2C．2a2D．32．下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．（）﹣1=2 C．x+y=xy D．x6÷x2=x33．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（）A．10 B．8 C．5 D．34．tan45°的值等于（）A． B． C． D．15．下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x2+3x﹣5=0 C．x3+x=3 D．ax2+bx+c=06．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（）A． B． C． D．7．若，代数式的值是A．0 B． C．2 D．8．如图，已知反比函数的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为，AD=2，则△ACO的面积为（）A． B．1 C．2 D．49．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．10．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y＝图象上的概率是（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．分解因式8x2y﹣2y＝_____．12．直线y＝﹣x+1分别交x轴，y轴于A、B两点，则△AOB的面积等于___．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA=________．14．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则a的取值范围是_____．15．化简：=_____.16．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是________．17．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：=10，=0.02；机床乙：=10，=0.06，由此可知：________（填甲或乙）机床性能好.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．19．（5分）如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.求点B的坐标；若△ABC的面积为4，求的解析式．20．（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)21．（10分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．根据以上情况，请你回答下列问题：假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．（1）求证：BD=CD；（2）求证：DC2=CE•AC；（3）当AC=5，BC=6时，求DF的长．23．（12分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：（1）甲乙两地相距千米，慢车速度为千米/小时．（2）求快车速度是多少？（3）求从两车相遇到快车到达甲地时y与x之间的函数关系式．（4）直接写出两车相距300千米时的x值．24．（14分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A，B都分成3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则甲获胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数，则乙获胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．请问这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明理由．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】【分析】根据合并同类项法则进行计算即可得.【详解】3a2－a2=（3-1）a2=2a2，故选C.【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项的法则是解题的关键.合并同类项就是把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变.2、B【解析】分析：根据完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同底数幂的除法的运算法则进行计算即可判断出结果.详解：A.（a﹣3）2=a2﹣6a+9,故该选项错误；B.（）﹣1=2，故该选项正确；C.x与y不是同类项，不能合并，故该选项错误；D.x6÷x2=x6-2=x4，故该选项错误.故选B.点睛：可不是主要考查了完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同度数幂的除法的运算，熟记它们的运算法则是解题的关键.3、B【解析】∵摸到红球的概率为，∴，解得n=8，故选B．4、D【解析】

根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：tan45°=1，故选D．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．5、B【解析】

根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【详解】A.未知数的最高次数不是2

，不是一元二次方程，故此选项错误；

B.

是一元二次方程，故此选项正确；

C.

未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；

D.

a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；

故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.6、C【解析】

由正方形的性质知DG=CG-CD=2、AD∥GF，据此证△ADM∽△FGM得,求出GM的长，再利用勾股定理求解可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，

∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，

则△ADM∽△FGM，∴，即,解得：GM=,∴FM===,故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．7、D【解析】

由可得，整体代入到原式即可得出答案．【详解】解：，

，

则原式．

故选：D．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求值是解题的关键．8、A【解析】

在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，过D作DE垂直于x轴，得到E为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积即可．【详解】在Rt△AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，∴OB=2AD=4，由周长为4+2，得到AB+AO=2，设AB=x，则AO=2-x，根据勾股定理得：AB2+OA2=OB2，即x2+（2-x）2=42，整理得：x2-2x+4=0，解得x1=+，x2=-，∴AB=+，OA=-，过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，∴OE=OA=(-)（假设OA=+，与OA=-，求出结果相同），在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE==(+)），∴k=-DE•OE=-(+)）×(-)）=1.∴S△AOC=DE•OE=，故选A．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．9、A【解析】

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10、B【解析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y＝图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y＝图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数y＝图象上的概率是：．故选B．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】

首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】8x2y-2y=2y（4x2-1）=2y（2x+1）（2x-1）．故答案为2y（2x+1）（2x-1）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．12、.【解析】

先求得直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求得△AOB的面积即可.【详解】∵直线y＝﹣x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，∴A、B点的坐标分别为（1，0）、（0，1），S△AOB＝OA•OB＝×1×1＝，故答案为．【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点坐标及三角形的面积公式，正确求得直线y＝﹣x+1与x轴、y轴的交点坐标是解决问题的关键.13、【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，∵sinA=，∴c=2a，∴b=，∴cosA=，故答案为.14、10＜a≤10．【解析】

根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程z2-az+=0中，最后由根的判别式求得a的取值范围．【详解】∵M是AB的中点，MC=MA=5，∴△ABC为直角三角形，AB=10；∴a=AC+BC＞AB=10；令AC=x、BC=y．∴，∴xy=，∴x、y是一元二次方程z2-az+=0的两个实根，∴△=a2-4×≥0，即a≤10．综上所述，a的取值范围是10＜a≤10．故答案为10＜a≤10．【点睛】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．此题的综合性比较强，解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点．15、【解析】

先算除法，再算减法，注意把分式的分子分母分解因式【详解】原式===【点睛】此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键16、2【解析】试题解析：连接EG，

∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，

∴∠1=∠2，

∴AG⊥DE，OD=DE=1．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠2=∠1，

∴∠1=∠1，

∴AD=DG．

∵AG⊥DE，

∴OA=AG．

在Rt△AOD中，OA==4，

∴AG=2AO=2．

故答案为2.17、甲．【解析】试题分析：根据方差的意义可知，方差越小，稳定性越好，由此即可求出答案．试题解析：因为甲的方差小于乙的方差，甲的稳定性好，所以甲机床的性能好．故答案为甲．考点：1.方差；2.算术平均数．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析.【解析】试题分析：（1）在Rt△ABE中，根据的正切值即可求得楼高；（2）当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H.可求得AF=AB=17.3米，又因CF=CH=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.即小猫仍可晒到太阳.试题解析：解：（1）当当时，在Rt△ABE中，∵,∴BA=10tan60°=米.即楼房的高度约为17.3米.当时，小猫仍可晒到太阳.理由如下：假设没有台阶，当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H.∵∠BFA=45°，∴,此时的影长AF=BA=17.3米，所以CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1.∴CH=CF=0.1米，∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.∴小猫仍可晒到太阳.考点：解直角三角形.19、（1）（0，3）；（2）．【解析】

（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B的坐标；（2）由=BC•OA，得到BC=4，进而得到C（0，-1）．设的解析式为，把A（2，0），C（0，-1）代入即可得到的解析式．【详解】（1）在Rt△AOB中，∵，∴，∴OB=3，∴点B的坐标是（0，3）．（2）∵=BC•OA，∴BC×2=4，∴BC=4，∴C（0，-1）．设的解析式为，把A（2，0），C（0，-1）代入得：，∴，∴的解析式为是．考点：一次函数的性质．20、路灯的高CD的长约为6.1m.【解析】设路灯的高CD为xm，∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴CD∥BN，∴△ABN∽△ACD，∴，同理，△EAM∽△ECD，又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm，∴，解得x＝6.125≈6.1．∴路灯的高CD约为6.1m．21、（1）；（2）【解析】

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，而取到红枣粽子的结果有2种则P（恰好取到红枣粽子）=.（2）由题意可得，出现的所有可能性是：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），∴由上表可知，取到的两个粽子共有16种等可能的结果，而一个是红枣粽子，一个是豆沙粽子的结果有3种，则P（取到一个红枣粽子，一个豆沙粽子）=.考点：列表法与树状图法；概率公式．22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DF=．【解析】

（1）先判断出AD⊥BC，即可得出结论；（2）先判断出OD∥AC，进而判断出∠CED=∠ODE，判断出△CDE∽△CAD，即可得出结论；（3）先求出OD，再求出CD=3，进而求出CE，AE，DE，再判断出，即可得出结论．【详解】（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD；（2）连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，由（1）知，BD=CD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∴∠CED=∠ODE=90°=∠ADC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2=CE•AC；（3）∵AB=AC=5，由（1）知，∠ADB=90°，OA=OB，∴OD=AB=，由（1）知，CD=BC=3，由（2）知，CD2=CE•AC，∵AC=5，∴CE=，∴AE=AC-CE=5-=，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE=,由（2）知，OD∥AC，∴，∴，∴DF=．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判断和性质，勾股定理，判断出△CDE∽△CAD是解本题的关键．23、（1）10，1；（2）快车速度是2千米/小时；（3）从两车相遇到快车到达甲地时y与x之间的函数关系式为y=150x﹣10；（4）当x=2小时或x=4小时时，两车相距300千米．【解析】

（1）由当x=0时y=10可得出甲乙两地间距，再利用速度=两地间距÷慢车行驶的时间，即可求出慢车的速度；（2）设快车的速度为a千米/小时，根据两地间距=两车速度之和×相遇时间，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）分别求出快车到达甲地的时间及快车到达甲地时两车之间的间距，根据函数图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出该函数关系式；（4）利用待定系数法求出当0≤x≤4时y与x之间的函数关系式，将y=300分别代入0≤x≤4时及4≤x≤时的