甘肃省庆阳市孟坝中学2024届高考仿真模拟数学试卷含解析

甘肃省庆阳市孟坝中学2024届高考仿真模拟数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1?7T.

1.若。是第二象限角且sinO=一,贝()tan(e+—)=

134

177177

A.B.——C.—D.—

717717

2.设复数Z满足=1+3贝!|z=()

Z

11.11.11.11

A.—+—ZB.------1—1C.-------1D.----------

22222222

3.已知AABC中，角4、3所对的边分别是。，b,则是“A>5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件

4.函数十=，4一。的定义域为A,集合5={Nk）g2（x+l）>l},则AB=（）

A.1x|l<x<2j|x|-2<x<3}D.{邓<x<3}

5.设/Xx）为定义在R上的奇函数，当尤之0时，/（x）=log2（x+l）+ax2_a+i（。为常数），则不等式/（3彳+4）>—5

的解集为（）

A.(―00,—1)B.(―1,+QO)C.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

6.函数g（x）=Asin3x+0）（A>O,O<0<27T）的部分图象如图所示，已知g@=g出,函数y=/(x)

的图象可由y=g（x）图象向右平移三个单位长度而得到，则函数/（九）的解析式为（）

A./(x)=2sin2xB./(x)=2sin2x+—

C./(x)=-2sinx2%-y

2x-l,x>0

7.已知fM=<

-x,x<0

2

A.2B.-D.3

3

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为()

曾员图

A.3行B.2亚C.2娓D.2A/7

9.已知集合M={(x,y)|x+y<4,x、yeN*},则集合M的非空子集个数是()

A.2B.3C.7D.8

10.若(x—a)(l+3x『的展开式中V的系数为-45,则实数。的值为()

211

A.-B.2C.-D.-

343

Inv

11.已知函数〃x)=——，g(x)=%]'.若存在%«0,+8),々eR使得/a)=g(W)=M%<。)成立，则

（、2

三i的最大值为()

I%1>

A./B.e

41

c--D--

ee

12.若。<匕<0,则下列不等式不能成立的是()

A.一>—B.------->—C.|a|>|"D.a2>b~

aba-ba

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点(4,1),则该双曲线的标准方程为.

14.已知数列｛4｝的前几项满足q+2a2+3%++啊,=2C；+2(〃eN*),则为=.

15.若正实数•，满足=“贝!I的最大值是.

—~~~+一--

16.在正方体ABC。-A4CQ1中，已知点P在直线A片上运动，则下列四个命题中：①三棱锥。的体积不

变;②。P，D,C；③当P为A片中点时,二面角P-AG-C的余弦值为乎；④若正方体的棱长为2,则\DP\+\BP\

的最小值为，8+40；其中说法正确的是(写出所有说法正确的编号)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(12分)已知函数/(x)=ln(2x+a)(冗>0,〃>0),曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线在y轴上的截距为1口3-1

(1)求

2无

(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和/z(x)=f(x)———(x>0)的单调性；

2x+l

25—2向1

(3)设q=三，a.+i=/(%),求证：———<---2<0(n>2).

52%

18.(12分)已知函数/(%)=5~+M%+21n%,me/?.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)已知/(%)在％=1处的切线与y轴垂直，若方程/(九)=，有三个实数解玉、%、w(石</<七)，求证：

再+2>%3.

22

19.(12分)已知椭圆E:=+与=1(。〉6〉0)的左，右焦点分别为月，工，1月61=2,拉是椭圆E上的一个动

ab

点，且的面积的最大值为JL

(1)求椭圆E的标准方程，

(2)若A(GO),3(0,。)，四边形A5C。内接于椭圆E,AB//CD,记直线A。，3c的斜率分别为匕，k2,求证:左也

为定值.

20.(12分)已知数列｛4｝中，m=1,其前"项和为S“，且满足2s〃=(〃+l)a”(〃eN+).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记么=3"-然3若数列也｝为递增数列，求2的取值范围.

21.(12分)如图在四边形ABC。中，BA=#1,BC=2,E为AC中点，BE=­.

2

(1)求AC；

jr

(2)若。=§，求AACD面积的最大值.

22.(10分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁

金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽

取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：

分组频数(单位：名)

使用“余额宝”X

使用“财富通”y

使用“京东小金库,，30

使用其他理财产品50

合计1200

已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.

(1)求频数分布表中x,＞的值；

(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%,“财富通”的平均年化收益率为4.2%.若在1200名使用理财产

品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取

2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X,求X的分布列及数学

期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产

品，一年可以获得3元利息.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

2

由。是第二象限角且sin，=丁知:cos0=-Vl-sin0=---,tan6-----.

135

7Ftan<9+tan4507

所以tan(，+R=

1一tan。tan45017

2、D

【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.

【详解】

-z(l-z)-1-z11.

Z二-----------1

1+i(1+z)(l-0222

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

3、D

【解析】

由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】

AABC中，角A、3所对的边分别是。、b,由大边对大角定理知“。>0"n“A>5”,

66A>a>b".

因此，“a>6”是“A>5”的充分必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题.

4、A

【解析】

根据函数定义域得集合A,解对数不等式得到集合3,然后直接利用交集运算求解.

【详解】

解：由函数y=54—X2得4—fro,解得—2W九W2,即4={%卜2Vx<2}；

Xlog2(x+1)>1=log22,解得x>l,即3={x|x>l},

则Ac3={x[l<x<2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.

5、D

【解析】

2

由/(0)=0可得a=1,所以/(x)=log2(x+l)+%(x>0),由/(%)为定义在R上的奇函数结合增函数+增函数=增

函数，可知y=/(x)在尺上单调递增，注意到/(-2)=-7(2)=-5,再利用函数单调性即可解决.

【详解】

因为/(左)在R上是奇函数.所以/(0)=0,解得a=L所以当时，

2

/(x)=log2(x+l)+x,且xe[0,+8)时，/(元)单调递增，所以

y=/(x)在R上单调递增，因为/(2)=5,/(—2)=—5,

故有3*+4>-2,解得大〉一2.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.

6、A

【解析】

TSTI7171

由图根据三角函数图像的对称性可得式=L—2x：=u，利用周期公式可得。，再根据图像过

2662

可求出9,4,再利用三角函数的平移变换即可求解.

【详解】

由图像可知二-----2x———,即T=兀，

2662

2〃

所以T=——，解得①二2,

又=Asin12x?+9]=0,

JT

所以1+/=左兀(左eZ),由0＜夕＜2乃，

所以。=三或三，

又g⑼=6,

所以Asin°=J§\(A>0),

2兀

所以夕=-^-,A=2f

即g(x)=2sin12x+等

因为函数y=f(x)的图象由y=g(x)图象向右平移(个单位长度而得至U,

所以y=/(x)=2sin2(x—+g

=2sin2x.

故选：A

【点睛】

本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属

于基础题.

7、A

【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.

【详解】

1°§2耳＜。，/。暇§)=-1°§2§=1°§23＞。；

•••/[/(log21)]=/(log23)=3-1=2；

故选：A-

【点睛】

本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.

8、C

【解析】

根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S—ABC,并且平面SAC,平面ABC,AC±BC,过S作SDLAC,连

接30,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱长比较下结论.

【详解】

如图所示：

由三视图得：该几何体是一个三棱锥S—ABC,且平面SAC,平面ABC,AC±BC,

过S作连接3。，则皿=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以勿=yjDC2+BC2=A/20，SB=J"+BD?=276，SA=y/SD2+AD2=2血，

SC=y/SD2+AC2=2囱，

该几何体中的最长棱长为2#.

故选：C

【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

9、C

【解析】

先确定集合〃中元素，可得非空子集个数.

【详解】

由题意"={(1,1),(L2),(2,1)},共3个元素，其子集个数为23=8,非空子集有7个.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有九个元素的集合其子集个数为2"，非空子集有2"-1个.

10、D

【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得。的值.

【详解】

V(x-«)(l+3x)6=x(l+3x)6-«(l+3x)6

所以展开式中/的系数为C啰-a*=135—540。=-45,

二解得a=-.

3

故选：D.

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.

11、C

【解析】

由题意可知，g(x)=["),由/(玉)=8(毛)=左(左<o)可得出0<%<1,4<0,利用导数可得出函数丁=/(力

在区间(0,1)上单调递增，函数y=g(x)在区间(-乱0)上单调递增，进而可得出%=e也，由此可得出

卫=§=g(%)=3可得出三才=42/,构造函数/?(%)=心3利用导数求出函数丁=〃(女)在建(7X),0)

/e-

上的最大值即可得解.

【详解】

«)=竽g(x)V=牛寸⑷,

由于/(石)=三*=左<0,贝!JlnX]<0=>0<%<1,同理可知，x2<0,

函数y=/（x）的定义域为（。，+8），/（力=匕学＞0对Vxe（O,l）恒成立，所以，函数丁=〃力在区间（0,1）上

X

单调递增，同理可知，函数y=g（x）在区间（7,0）上单调递增,

XX(Y

，〃石)=8(尤2)=/(*)，则为=*，，二=V=g(%2)=左，则上ek=k2ek,

XleVxiJ

构造函数/1(%)=421，其中k<0,贝!I"(左)=(左2+2左)*=左(0+2)*.

当左＜一2时，"（左）＞0,此时函数y=〃（左）单调递增；当—2〈左＜0时，〃（左）＜0,此时函数y=〃（女）单调递减.

4

所以，“（左）3=丸（一2）=7.

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.

12、B

【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A：由于。＜匕＜0,即b-a＞0,所以工―工="@〉0,所以工＞工，所以成立；

ababab

IIb11

选项B：由于avb＜0,即〃—人＜0,所以一-一一=-~-＜0,所以一所以不成立;

a-baa（a-b）a-ba

选项c：由于a＜3＜0,所以一。＞一。＞0,所以|。|＞/I，所以成立；

选项D：由于。＜匕＜0,所以一。＞—6＞0,所以|。|＞屹|,所以片〉/,所以成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

设双曲线方程为x2-4y2=4,代入点（4,1）,计算得到答案.

【详解】

双曲线渐近线为x±2y=0,则设双曲线方程为：%2-4/=2,代入点(4,1),则4=12.

2

故双曲线方程为：工2一匕=1.

123

故答案为：^-£=1，

【点睛】

本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为4/=兄是解题的关键.

14、n+1

【解析】

由已知写出用“-1代替〃的等式，两式相减后可得结论，同时要注意%的求解方法.

【详解】

*.*q+2a,+3%++na==2C^+2①，

”22时，％+2a2+3a3++(n—V)an_x=2C;^+1②，

①一②得nan=2(。，一C；+J=2c3=n(n+1),

/.a”=〃+1,

又4=2C；=2,

a„-n+l(neN*).

故答案为：n+l.

【点睛】

本题考查求数列通项公式，由已知条件.类比已知S“求4的解题方法求解.

15、；

3

【解析】

分析：将题中的式子进行整理，将-一•当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的

最值的问题的求解方法，即可求得结果.

=二|+/;二-(，+J=口+:二-二-

,当且仅当

“宾+软二+」+2二>="：+会+芋)<2⑺-7

—;等号成立，故答案是一.

*U-U/・

点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后

注意此类问题的求解方法……相乘，即可得结果.

16、①②④

【解析】

①AB//二A四〃平面D8C],得出AB1上任意一点到平面D8C1的距离相等，所以判断命题①；

②由已知得出点P在面。CG2上的射影在。G上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；

③当P为A片中点时，以点O为坐标原点，建立空间直角系。-孙z,如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法

可求得二面角P-4G-C的余弦值，可判断命题③；

④过A片作平面A耳”交4。于点“，做点。关于面AgM对称的点G,使得点G在平面A3与4内，根据对称

性和两点之间线段最短，可求得当点P在点4时，在一条直线上，|。月+忸升取得最小值|G@.可判断命题

④.

【详解】

①•••A即/DCX,：.AB}//平面DBG,所以A片上任意一点到平面DBC,的距离相等，所以三棱锥D-C.BP的体积

不变，所以①正确；

②P在直线A片上运动时，点P在面oca。上的射影在。G上，所以OP在面。CG2上的射影在。。上，又

DC,±CD,,所以。P_L£>C，所以②正确；

③当P为A片中点时，以点O为坐标原点，建立空间直角系。-盯z,如下图所示，设正方体的棱长为2.

贝(]：A(2,0,0),耳(2,2,2),P(2,1,1),4(2,0,2)，G(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=(―2,2,0),P4i=(0,-l,l),CQ=(0,0,2),

AC,=0—2%+2y=0

设面AGP的法向量为加=(匹%z),贝!I°1,即八,令x=l,则y=Lz=l,/.m=(l,l,l),

加尸A=0[-y+z=0

丹•AG=0—2x+2y=0

设面4G。的法向量为〃=(%，yz),••・二二八，即。八"二(1」,0),

nCC]=0[22=0

m-n2_

/.cos<m,n>=,由图示可知，二面角P—AG—。是锐二面角，所以二面角。―AC—。

|m|­|H|百xa3

的余弦值为逅，所以③不正确;

3

④过A用作平面交4。于点做点。关于面A4M对称的点G,使得点G在平面45用4内,

则DP=GP,ZM=GA,DG，A3],所以|£阳+忸月=|GP|+忸,当点P在点片时，。遇,5在一条直线上,

|。8+忸尸|取得最小值

因为正方体的棱长为2,所以设点G的坐标为G(2,〃z,“)，DG=(2,m,n),做=(0,2,2),所以

DGAB1=2m+2n=0,

所以根=―〃9又D4=GA=2,所以加=—n=，

所以G(2,一行,、口)，3(220),侬=J(2一2)2+(―0—2『+(0—0『=,8+40，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的

思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)67=1(2)g(x)=/(x)-2x(x>0)为减函数，h(x)=f(x)-----:—(x>0)为增函数.(3)证明见

1+2%

解析

【解析】

(1)求出导函数/(X),求出切线方程，令％=0得切线的纵截距，可得。(必须利用函数的单调性求解)；

(2)求函数的导数，由导数的正负确定单调性；

(3)不等式—2变形为由g(x)递减，得g(x)>g(0)=0(x>0),即/(%)<2x,即

…依次放缩,…“会一.."％、

12无

不等式一一2<0,h(x)=/(%)———递增得//(%)>〃(0)(%>0),

a„2x+l

热＞°亮＜》七一2T14先吟一2=志一2＜0,然后同样放缩得出结论.

【详解】

2

解：(1)对/(%)=如(2%+〃)求导,#/(%)=-——

2x+a

2

因此f(l)=——.又因为/(1)=ln(2+。)，

2+a

所以曲线y=/(x)在点(1,/⑴处的切线方程为

2

y-ln(2+〃)=------(x-1),

2+a

22

即y=------x+ln(2+〃)--------.

2+Q2+Q

22

由题意，ln(2+〃)--------=ln3—.

2+a3

显然a=l,适合上式.

2

令0(。)=ln(2+。)------(a>0),

2+a

12

求导得。'(。)=-----1------7>0,

2+a(2+a)

因此9(a)为增函数：故a=1是唯一解.

2x

(2)由(1)可知，g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)--------(x>0),

2x+l

24JC

因为g'(x)=^---2=--―-<0,

2x+l2x+l

所以gM=f(x)-2x(x>0)为减函数.

224%

因为h\x)=--------------------=---------->0,

2x+l(2x+l)2(2x+l)2

2尤

所以h(x)=于(x)———(x>0)为增函数.

1+2%

2

(3)证明：由q=1，%+|=/(%)=ln(2a“+l),易得a.〉0.

5-2n+112”

---------<------2oa,,<——

2"45

由(2)可知，g(x)=/(x)-2x=ln(2x+l)-2x在(0,+oo)上为减函数.

因此,当x>0时，g(x)<g(O)=O,BPf(x)<2x.

令X=4T(〃22),得/(%)<2%_1，BPan<2an_x.

r\n

2n-1

因此，当“22时，an<2an_x<2an_2<■■■<20i=y

5-2"1

所以=L<一一2成立.

2"%

下面证明：--2<0.

an

2尤2尤

由(2)可知，h(x)=/(%)———=ln(2x+l)——'在(0,+8)上为增函数.

2x+l2x+l

因此，当天>0时，〃(x)>〃(0)=0,

2九

即/(X)>^一->0.

2%+1

111

因此<+1,

/W2%

Ic1门△

即------2<-——2.

于(X)2晨)

11"--2^

令x=a〃T("N2),#—~~r-2<--

21an-1)

11/1)

即——2<-------2.

an21%)

当〃=2时，

--2=--2=—-2=^n-2

=———2.

lnl.8

因为In1.8>In百>lnVe,

2

所以^—一2<0,所以，一2<。.

In1.8%

所以，当时,

1c1(1c)

——2<--------z<——-------2<…<——-----2<0.

2Ian-2J21a2y

2、an-l，

所以，当“22时，工-2<0成立.

5-21

综上所述，当〃22时，———2<0成立.

2"%

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.本题中不等式的证明，考查了转

化与化归的能力，把不等式变形后利用第(2)小题函数的单调性得出数列的不等关系：an<2an_x,

1-1/1c、

--2<-(——2)522).这是最关键的一步.然后一步一步放缩即可证明.本题属于困难题.

an2a,-

18、⑴①当相》一2后时，/(%)在(0,+。)单调递增,②当机<-2后时，/(%)单调递增区间为

-m-yjm-8m+Jm*2-8］、，(-m-Jm2-8-m+Jm2-8

一1--------,+8，单调递减区间为1--------,-------:--------

，2

(2)证明见解析

【解析】

(1)先求解导函数，然后对参数机分类讨论，分析出每种情况下函数/(尤)的单调性即可；

(2)根据条件先求解出机的值，然后构造函数0(x)=/(x)-/(2-x)(0<x<2)分析出％之间的关系，再构造

函数。2(X)=/(X)-/(4-x)(l<X<4)分析出%,x3之间的关系，由此证明出石+2>%.

【详解】

(1)f(x)=—+/m+21nx,/'(x)=x++工=%+nu+2=0后)+m+2直

2xxx

①当相2-2拒时，/'(x)20恒成立，则在(0,+。)单调递增

②当机<—20时，令/'(%)=0得/+3+2=0,

解得寸三m-m+，加2一8

%=-2—

|%+%=.m>0

:.0<%!<X

［玉々-2>02

,八—m—y/m2-8|、(、

.•.当xe0,-----------------时，/(%)>0,/(九)单调递增；

\)

当1€「加一『^一加+『i］时,r(x)<o,小)单调递减；

当xem+d；§,+8时，((%)>0,/(%)单调递增.

\7

(2)依题意得，/'(1)=3+加=0,则m=—3

由⑴得，/(九)在(0,1)单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增

，若方程/(尤)=/有三个实数解七广2，演(菁<*2<七)，

则0<玉<1<犬2<2<犬3

法一：双偏移法

224fr-D2

设0(x)=/(x)—/(2—x)(0<x<2),则05)=—+^^——4==

x2-xx(2-X)

...0(%)在(。,2)上单调递增，,以€(0,1),9i(x)<9«)=0

%)一/(2—番)<0(0</<1),BPA(x1)</z(2-%1)

；/(%)=/(%2)=/，・,•/(/)</(2-石)，其中w«l,2),2—%e(1,2)

•••/(九)在(1,2)上单调递减，二马>2—石，即石+%〉2

设9，(X)=/(X)—/(4—X)(1<X<4),^；(X)=-+-^-—2=2^2\>0

x4-xx(4-x)

.•.%(力在(1,4)上单调递增，，以«1,2),外(力</(2)=0

；•0(%)=/(%)—/(4一%)<。(1<%<2),即/(%)</(4—9)

；/(%)=/(七)=匕,/(毛)</(4一%2)，其中毛e(2,”)，4-x2e(2,3)

；/(x)在(2,~hx>)上单调递增，x3<4-x2,即々+与<4<%+%+2

/.Xj+2>x3.

法二：直接证明法

,/%；+2>2,x3>2,/(%)在(2,+0。)上单调递增,

，要证Xi+2>x3,即证/(jq+2)>y(x3)=r=/(x1)

设Q(X)=/(X+2)-/(X)(X>0),则(p{x)=--—2+2=2。-6+l)(x+6+l)

%+2xx(x+2)

九)在(o,百-1)上单调递减，在(百-1,+00)上单调递增

V石C(0,1),0(%)20(百一1)=/(6+1)-/(G—1)=2[ln(2+6)+百一3]>0

"(%)=/(%+2)-/(为)>。,即〃石+2)>/(%)=/(七)

(注意：若111(2+8)+班—3〉0没有证明，扣3分)

关于ln(2+0)+若―3〉0的证明：

(1)Vx>0且XH』时，lnx<ex-2(需要证明)，其中e<2.72<6+1

e

.,.ln(2-73)<e(2-A/3)-2<(^+l)(2-^)-2=^-3

ln(2+73)=In—==-ln(2-扬〉3-石

2-V3

.,.1II(2+A/3)+A/3-3>0

(2)•.,君+l〉2.73〉e，Aln(4+2^)=2ln(l+^)>2Ine=2

Ain2+ln(2+73)>2,BPln(2+A/3)>2-In2

V210=1024,e1>2,77>1046»A210<e7.贝!I101n2<7nln2<0.7

.,.ln(2+V3)>2-ln2>2-0.7=1.3>3-A/3

【点睛】

本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.(1)对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分

类讨论函数单调性；(2)利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到

证明不等式的目的.

22

19、(1)2-+上=1(2)证明见解析

43

【解析】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△孙心的面积取得最大值班，

求出”,仇c,即可得答案

(2)根据题意可知A(2,0),B(0,V3),因为AB//CD,所以可设直线的方程为

y=一，%)，。(乙，为)，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到%，%的关系，再代入斜

率公式可证得人上为定值•

【详解】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,

当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，耳耳的面积取得最大值拒.

C=1

1

所以《—x2cxb=^3,所以。=2,b=出,

2

a1-b2+c2

22

故椭圆E的标准方程为L+匕=1.

43

(2)根据题意可知4(2,0),3(0,退)，因为AB//CD,

所以可设直线CD的方程为y=-

22

工+匕=1

43

由＜厂,消去y可得6元2—46mx+4加2—12=0,

弋3

y—x+m

2

匚匚、

112y/3mBrl2y/3m

所以芯+X2=；'即——%

直线AD的斜率勺=2।

%—2Xj—2

,..［、,,人“/o—1Y+加-

直线5c的斜率心__2

K2————

%2%2

所以

6,

-------xx+m

k&=--~--

玉一2（Xi-2）X2

3G2y/3m3(2也m),不

—帆,-......F5------X?+YY\(YYl-v3)

(国-2)%2

3_3

_4'^2~2'"2=-,故%也为定值.

(玉―2)々4

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运

算求解能力，求解时注意坐标法的运用.

20、(1)an=n｛neN+)(2)(-<»,2)

【解析】

(1)项和转换可得啊,+i=5+l)。“，继而得到%="==%=1,可得解；

nn-11

,令

(2)代入可得bn=3"-An-,由数列｛b,,｝为递增数列可得，2<2|彳c,=,可证明｛g｝为递增数列,

即4<q,即得解

【详解】

(1)•••2S"=(〃+1)%,

2s“+]=(〃+2)an+1,

•，-2%+1=5+2)a“+i-5+1)a“，

即“%+i=("+1)a,：.,

nn+1n

aa

•・•-n-_----n-l—__—-^-1_-1J.,

nn-11

/.an=n(neN+).

(2)d=3〃—/11.