2024年中考数学探究性训练-四边形

备考2024年中考数学探究性训练专题20四边形

一、选择题

1.我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？'‘时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把

四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360。，这一过程体现的数学思想是

（）

A.转化思想B.方程思想

C.函数思想D.数形结合思想

2.对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程久（久+6）=72为例加以说明.数

学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为％+6,宽为式的长方形纸

片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是％+6+%,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积

之和，即4X72+62,据此易得％=当心=6.小明用此方法解关于左的方程久（3支―"）=24,其

中3x-几＞%构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4,则n的值为（）

3.在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据

A.四条边都相等的四边形是菱形

B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4.数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1）,即它恰好能被分割成10个大小

不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，平行四边形EFGH被分割成13个小正

三角形（如图2）,已知中间最小的两个正三角形AABC和△4DC边长均为4,平行四边形EFG4的

周长为（）

二'填空题

5.如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以。为横板AB的中点，AB绕点。上下转

动，横板的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他

先设AB^2m,OC=0.5m,通过计算得到此时的心，再将横板AB换成横板AB,0为

横板AB的中点，且AB=3m,此时B'点的最大高度为h2,由此得到电与h2的大小关系

是：dh2（填“〉、"=”或“<”）可进一步得出，八随横板的长度的变化而（填

"不变’或"改变”）.

6.在图1所示的3X3的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经探究发现，此八边

形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①.现将分割后的四个五边形重新拼接

（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形ABCD,发现该正方形中间的空白部分②也是一个正

方形，且正方形②的面积恰好是正方形①的面积的2倍，则AE的长为.

图13图2

7.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法.如图1,是矩形

力BCD的对角线，将ABC。分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察

两图，若a=5,b=3,则矩形4BCD的面积是.

8.何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方

形4BCD边长为1,G是边的中点，E是射线DC上的一个动点.

（1）如图①，若点E在线段OC上且点E与点C不重合，连结BE,将△BCE沿着BE翻折，使

点C落在DG上的点M处，连结CM延长交AD边于点F且CF1.DG,则EH-CF的值为

（2）若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段GE的长为半径作OC,当OC与线段DG只有

一个公共点时，CE的取值范围是

9.综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB=12,ZCAB

=30。，点E,F分别在AB,CD上，且AE=5,

E

图①

(1)把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A"恰好落在对角线AC上，点D的对应点

为D,如图①，则折痕EF长为；

(2)在EF,ATT上取点G,H,沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕

GH长为.

10.如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边

形纸片ABCD的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形EFGH.图中EF,FG,GH,

HE表示折痕，折后B,D的对应点分别是M,N.若AB=8cm,AD=10cm,ZB=60°,

则纸片折叠时AH的长应取_________.

三'实践探究题

11.综合与探究

如图，经过B(3,0),C(0,-3)两点的抛物线y=/-bx+c与久轴的另一个交点为A.

<Bx

(1)求抛物线的解析式;

(2)点。在抛物线的对称轴上，当AACD的周长最小时，求。的坐标；

(3)已知点M在抛物线上，求S“BM=8时的点M坐标；

(4)已知E(2,-3),请直接写出能以点A,B,E,P为顶点的四边形是平行四边形的点P坐标.

【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：

已知：如图1,A4BC的外角“BC和ZBCE的平分线相交于点F.

求证：点F在ND4E的平分线上.

某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：

如图2,过点F作FG14D于点G,作于点H,作FM1BC于点M,由角平分线的性质

定理可得：FG=FM,FH=FM.

：.FG=FH.

'：FG1AD,FH1AE,

/.F在ND4E的平分结上.

【探究】

(1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中BG、BC和三条线段存在一定的数量关系，

请你直接写出它们的数量关系：;

(2)小明也发现NBFC和ZGFH之间存在一定的数量关系.请你直接写出它们的数量关

系：;

(3)如图3,边长为3的正方形/BCD中，点E,F分别是边C。、BC上的点，且DE=1.连接

AE,AF,EF,若ZE4F=45。，求BF的长；

(4)如图4,△ABC中，AB=4C=5,BC=4.△DEF中，乙EDF=AB.将△CEF的顶点D放

在BC边的中点处，边DF交线段4B于点G,边DE交线段AC于点H,连接GH.现将△DEF绕着

点D旋转，在旋转过程中，△AGH的周长是否发生变化？若不变，求出△AGH的周长，若改变，请

说明理由.

13.小星和小红在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行探究.

如图(1)所示，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD边上的点，连接AE,BF,且AELBF,

求证：△ABE/4BCF；

(2)类比探究

如图(2)所示，在正方形ABCD中，E,F,G,H分别是BC,AD,AB,CD边上的点，连接EF,

GH,且EFLGH,求证：EF=GH；

(3)迁移应用

如图(3)所示，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,D是BC的中点，E是AC边上的点，连接

AD,BE,且BELAD,求AE：CE的值.

14.某校数学活动小组探究了如下数学问题:

(1)问题发现：如图1,△ABC中，ZBAC=9O。，AB=AC.点P是底边BC上一点，连接4P,

以4P为腰作等腰RM4PQ，且NP4?=90。，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是；

(2)变式探究：如图2,△ABC中，^BAC=90°,4B=AC.点P是腰4B上一点，连接CP,以CP

为底边作等腰RtACPQ,连接4Q,判断BP和4Q的数量关系，并说明理由；

(3)问题解决；如图3,正方形4BCD的边长为10,点P是边AB上一点，以DP为对角线作正

方形DEPQ,连接4Q.若设正方形CEPQ的面积为y,AQ=%.求y与x的函数关系式.

15.［探究与证明］折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.

4DAND

一

♦BMcB1C

图1图2

［动手操作］如图1,将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸

片，使点B落在EF.上，并使折痕经过点A,得到折痕AM.点B,E的对应点分别为B，，E',展平纸

片，连结ABIBB',BE.请完成：

(1)观察图1中Nl,N2和N3,试猜想这三个角的大小关系.

(2)证明(1)中的猜想.

(3)［类比操作］如图2,N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连结BN,在AB上取一点P,

折叠纸片，使B,P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B,P分别落在EF,BN上,

得到折痕1,点B,P的对应点分别为B，，P,展平纸片，连结BB，，PB.请完成：

证明BB，是/NBC的一条三等分线.

16.小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺

时针旋转a(0°<a<90°)得到矩形ABCD,连结BD..

（1）【探究1】如图1,当a=90。时，点C恰好在DB的延长线上.若AB=1,求BC的长.

（2）【探究2】如图2,连结AC,过点D作口皿1/4（？交8口于点乂.线段口可与DM相等吗？

请说明理由.

（3）【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD,AC于点P,N（如图3）,发现线段DN,

MN,PN之间存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

17.【探究与证明】

折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.

【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使4。与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠

纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A,得到折痕点B,E的对应点分别为B'，E,展平

（图1）

请完成：

（1）观察图1中Nl,N2和/3,试猜想这三个角的木小朱系；

（2）证明（1）中的猜想；

【类比操作】如图2,N为矩形纸片4BCD的边4。上的一点，连接BN,在上取一点P,折叠

纸片，使B,P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B,P分别落在EF,BN上,得

到折痕1,点B,P的对应点分别为B',P,展平纸片，连接，P,B.

（图2）

(3)证明BB'是乙NBC的一条三等分线.

18.【问题情境】:

数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1,已知矩形纸片2BCDQ4D>ZB),

其中宽AB=8.

图1图2备用图

(D【动手实践工

如图1,威威同学将矩形纸片4BCD折叠，点4落在BC边上的点M处，折痕为BN,连接MN,

然后将纸片展平，得到四边形4BMN,则折痕BN的长度为.

(2)【探究发现工

如图2,胜胜同学将图1中的四边形剪下，取ZN边中点E,将AZBE沿BE折叠得到BE，

延长B/'交MN于点上点Q为BM边的中点，点P是边MN上一动点，将AMQP沿PQ折叠，当点

M的对应点M'落在线段BF上时，求此时tanZPQM的值；

(3)【反思提升工

明明同学改变图2中Q点的位置，即点Q为边上一动点，点P仍是边MN上一动点，按照(2)

中方式折叠AMQP,使点M'落在线段B尸上，明明同学不断改变点Q的位置，发现在某一位置NQPM

与(2)中的ZPQM相等，请直接写出此时BQ的长度.

19.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

G

图④图⑤

(1)［观察与猜想］

如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是4B、4。上的两点，连接。E、CF,DE1CF,则年

Cr

的值为=;

(2)如图②，在矩形ABCD中，2。=7,CD=4,点E是4。上的一点，连接CE,BD,且CE1BD,

则嘉的值为.

DU

(3)［性质探究］

如图③，在四边形4BCD中，AA=AB=90°.点E为ZB上一点，连接。E,过点C作DE的垂

线交ED的延长线于点G,交4。的延长线于点F.求证：DE-AB^CF-AD；

(4)［拓展延伸］已知四边形是矩形，AD=6,AB=8

如图④，点P是BC上的点，过点P作PE1CF,垂足为O,点O恰好落在对角线BD上.求法

的值；

(5)如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE1CF,垂足为O,点O恰好落在对角线上,

延长EP、4B交于点G.当BG=2时，DE=.

20.问题提出

如图(1),E是菱形ABCD边BC上一点，AAEF是等腰三角形，AE=EF,ZAEF=ZABC=a(o^90°),

AF交CD于点G,探究NGCF与a的数量关系.

（1）问题探究

先将问题特殊化，如图（2）,当a=90。，直接写出NGCF的大小;

（2）再探究一般情形,如图（1）,求NGCF与a的数量关系.

问题拓展

将图（1）特殊化，如图（3）,当a=120。，若黑=摄求器的值.

21.综合与探究

问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形

48c。中，4B=2,点E是射线CO上一点（不与点C重合），连接3E,将8E绕点E顺时针旋转90。

得到厂E,连接。尸.

（1）特例分析：如图1，当点E与点D重合时，求乙4DF的度数；

（2）深入谈及：当点E不与点。重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3

中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；

（3）问题解决：如图4,当点E在线段上，且。尸=2X4时，请直接写出线段3尸的长.

22.小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，

如图1,我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

BD

c

图1图2

(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是

(2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC,BD之间的数

量关系：■

(3)问题解决：如图2,分别以RtZ\ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正

方形ABDE,连接CG,BE,GE,已知AC=4,AB=5.

①求证：四边形BCGE为垂美四边形；

②求出四边形BCGE的面积.

23.综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结

论.已知在DABCD中，AB<BC,NABC的平分线交AD边于点E,交CD边的延长线于点F,以DE,

DF为邻边作DDEGF.

(1)特例探究：如图1,“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形

DEGF是正方形，请你证明这一结论；

(2)“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG,AC,得到图2,发现图2中线段BG与AC之间存

在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；

(3)拓展延伸：“善问”小组的同学计划对DABCD展开类似研究.如图3,在DABCD中，ZABC=60.

请从下面4B两题中任选一题作答.我选择___人题.

力：当AB=4,BC=6时，请补全图形，并直接写出A,G两点之间的距离.

B,当BC=6时，请补全图形，并直接写出以A,C,G为顶点的三角形面积的最小值.

24.通过以前的学习，我们知道：“如图1,在正方形2BC。中，CE1DF,则CE=DF”.某数学兴

趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究:

H/)

1

JG

H

图4

（1）【问题探究】如图2,在正方形2BCD中，点E,F,G,〃分别在线段ZB,BC,CD,DA±,

且EG1FH,试猜想黑=

（2）【知识迁移】如图3,在矩形2BCD中，AB^m,BC=n,点E,F,G,H分别在线段4B,

BC，CD，DA±.,且EGCH,试猜想错的值，并证明你的猜想;

（3）【拓展应用】如图4,在四边形4BCD中，^DAB=90°,乙4BC=60。，AB=BC,点、E,F

分别在线段ZB,AD±.,且CE1BF,求需的值.

25.在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的

度数、线段长度有关的问题.对直角三角形纸片4BC（ZB4C=9O。）进行如下操作:

M

图2

（1）【初步探究】

如图1,折叠三角形纸片4BC,使点C与点工重合,得到折痕DE,然后展开铺平，则2B与。E

位置关系为,AB与CE的数量关系为

（2）【再次探究】

如图2,将ACDE绕点C顺时针旋转得到ACMN,连接BM,AN,若BC=5,AB=3,求第的

值;

（3）【拓展提升】

在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当CNII2B时，求AM的长.

26.综合与探究:

如图，直线h：y=与直线%：y+6交于点4《4,m%直线％与黑轴交于点861,0）,

点C从点。出发沿OB向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点。从点B出发以同样的速度沿

B0向终点。运动，作CM1%轴，交折线。4-AB于点M,作DN1%轴，交折线BA-A0于点N,

设运动时间为t.

(1)求A,B点的坐标；

(2)在点C,点。运动过程中，

①当点M,N分别在。44B上时，求证四边形CMND是矩形；

②在点C,点。的整个运动过程中，当四边形CMND是正方形时，请你直接写出t的值；

(3)点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P,0,A,C为顶点的四边形是

菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

27.一张矩形纸片ABCD(如图1),AB=6,AD=3.点E是BC边上的一个动点，将4ABE沿直线AE

折叠得到^AEF,延长AE交直线CD于点G,直线AF与直线CD交于点Q.

H

£

图1

【初步探究】

(1)求证：4AQG是等腰三角形;

(2)记FQ=m,当BE=2CE时，计算m的值;

(3)【深入探究】

将矩形纸片放入平面直角坐标系中(如图2所示)，点B与点O重合，边OC、0A分别与x轴、y轴

正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.

①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；

②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿

AH对折，交y轴于点M,请求出AM的长度.

28.【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE平分NBAC,交BC于点E.作DFLAE

于点H,分别交AB,AC于点F,G.

(1)判断4AFG的形状并说明理由

(2)求证:BF=2OG.

(3)【迁移应用】

记aDGO的面积为Si,ADBF的面积为S2,当§=/寸，求器的值.

(4)【拓展延伸】

若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变，连结EF,当4BEF的面积为矩形ABCD

面积的告时，请直接写出tanNBAE的值.

29.某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并

尝试运用由“特殊到一般，的思想进行了探究：

(1)【问题背景】如图1,正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF_LDE

交BC边于点F,将4ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当/BEF=25。，则NFEA'

A\-----------KD

(2)【特例探究】如图2,连接DF,当点A,恰好落在DF上时，求证：AE=2/F.

\D

图2

（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD,且AD=mAB,其他条件不变，他们发现

AE与4F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与4F之间的数量关系式.

（4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD,且NB=60。，ZDEF=120°,其他条件不

变，他们发现AE与4F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与AT之间的数量关系式.

30.如图1,小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形4BCD和矩形EFGH,点E、F在

边上（EFVAB）,且点C、D、G、H在直线的同侧；第二步，设置奈=小，嚣=〃矩形

EFGH能在边上左右滑动；第三步，画出边EF的中点0,射线0H与射线4。相交于点P（点P、

。不重合），射线。G与射线BC相交于点Q（点Q、C不重合），观测CP、CQ的长度.

A(E)OFB

(图2)

（1）如图2,小丽取4B=4,EF=3,m=1,n=3,滑动矩形EFGH,当点E、4重合时，

CQ=；

（2）小丽滑动矩形EFGH,使得。恰为边AB的中点.她发现对于任意的TH。n,DP=CQ总成

立.请说明理由;

(3)经过数次操作，小丽猜想，设定小、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH,DP=CQ总成

立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】=:不变

6.【答案】V2—g

7.【答案】30

8.【答案】(1)1

C2)j<CE<l

9.【答案】(1)8

(2)2V3

10.【答案】3+旧

11.【答案】(1)解：将B(3,0),C(0,—3)代入y=x2—b%+(^^

9—3b+c=0，解得，｛匕,

c=-3

二抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)解：如图所示，连结BC与对称轴直线%=1的交点为点D,此时△AC。的周长最小,

设直线BC的解析式为y=zn%+n,将B(3,0),C(0,一3)代入得:

(3m+n=0解得｛m=1

In=—3n=-3

・・・直线BC为y=%—3,

当％=1时，y=—2,

.•・点。的坐标为(1,-2).

(3)解：在y=/一2%一3中，令y=0得它-2%-3=0,解得％=3或%=—1,

X(-l,0),8(3,0),

・•・AB—4,

vS»ABM=8,

•••x4-\yM\=8,解得=4或y”=—4,

当VM=4时，x2—2x—3—4,解得，%=1+2A/2,

•••M(1+2V2,4)或M(1-2vL4),

2

当VM=14时，x-2x-3=-4,解得，Xi-x2-1,

•••M(l,-4),

综上所述，M的坐标为：(1+2V2,4)或(1—2鱼，4)或(1,-4)

(4)解：P坐标为(―2,—3)或(6,—3)或(0,3)

12.【答案】(1)BC=BG+CH

(2)AGFH=2乙BCF

(3)-

2

(4)不改变停

13.【答案】(1)证明：如图①所示，

•.•四边形ABCD为正方形，

/.ZABC=ZC=90o,

AB=BC.

VAEXBF,ZABC=90°,

/.Zl+ZABC=Z2+ZABF=90°.

...Z1=Z2.：.AABE^ABCF.

(2)证明：如图②所示，分别过点G,E作GMLCD,EN_LAD垂足分别为M,N,

图②

,/四边形ABCD为正方形.

・・・AB=BC=CD,AB〃CD,NA=NB=ND=90。.

VGM±CD,.•・NGMD=ND=NA=90。.

・•・四边形ADMG为矩形.

AGM//AD,GM=AD.

同理EN〃AB,EN=AB.

AGM±EN,GM=EN.

・.・N1+N3=N2+N3=9O。，AZ1=Z2.

NENF=NGMH=90。，

・•.AENF^AGMH.Z.EF=GH.

(3)解：如图③所示，分别过点A,C作AG〃:BC,CG〃AB,交于点G,延长BE交CG于点H,

VAG//BC,CG//AB,

・・・四边形ABCG为平行四边形.

・・•ZABC=90°,

・・・平行四边形ABCG为矩形.

VAB=BC,・••矩形ABCG为正方形.

VBEXAD,

由(1)得4ABD2△BCH.

・・・BD=CH.

・・・D是BC的中点，

・・・BC=2BD=2CH=AB.

•・・CG〃AB,

・・・NBAC=N1,N2=N3.

AABAE^AHCE.

,ZE—

''CE~CH,

即AE:CE=2：1.

14.【答案】(1)BP=CQ

(2)解：BP=yplAQ,理由如下：

,••△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，^BAC=90°,AB^AC,

史生区乙ACB=LQCP=45°.

PCBC2”

v乙BCP+^ACP=^ACQ+^ACP=45°,

:.乙BCP=Z.ACQ,

・•・△CBPs〉CAQ,

.QC_AC_AQ_42

‘,定=阮=而="T'

BP=y/2AQ;

(3)解：连接BD,

•••四边形/BCD是正方形，四边形DEPQ是正方形,

・•.△BAD和^PQD都是等腰直角三角形，

丝亚也="QQ=45。，

PDBD2”

•••乙BDP+^PDA=APDA+Z.ADQ=45°,

:.Z-BDP=Z.ADQ,

・•.△BPDs〉AQD,

QD_AD_AQ_/2

二而=而=前=T

AQ—x,AD=10,

BP-V2x,AP=10—V2x,

在RtAPAD中，AP2+AD2=DP2,

即(10-鱼%)2+102=DP2,

・・•DP是正方形DEPQ的对角线，正方形DEPQ的面积为y,

1

・•.y=qDP?9,

y=1x[(10-V2x)2+100]=*(100-20V2x+2x2+100)=x2-10V2x+100,

­.•AQ>0,DP>0,

0<%<5V2.

15.【答案】(1)N1=N2=N3

(2)证明：设AM、EF相交于点O,

由题意得；EF是AB的垂直平分线，AM是BB，的垂直平分线，AB=AB\

.,.AB=BB',OA=OB=OB',

.,.AB=BB=AB,O为外心，

/.ZABB=60°,贝叱l=N2=30°,

•..四边形ABCD是矩形，

.".ZABC=90°,

.•.N3=90°-60°=30°,

.,.Z1=Z2=Z3；

(3)证明：如图，

同理(2)可得：OB=OB'=OP=OP',BP'=PB'=BB',

.,.ZPBO=ZBBO,NBBONOBB',

VEF/7BC,

.,.ZBBO=ZCBB\

.,.BB，是NNBC的一条三等分线.

16.【答案】(1)解：如图1,设BC=x,

图1

则AD，=AD=BC=x,D'C'=AB'=AB=1,

.\D'B=AD,-AB=x-l,

,ZZBAD=ZD'=90°,ZD'BC'=ZDBA,

.,.△D'CB^AADB,

•D'C_D'B

••初=冲

解得x=与l

(2)解：D'M=DM，理由如下：

・•・NADM=NDAC,

,.・AD=AD,NADC=NDAB=90。，DC=AB,

AAACD^ADBA(SAS),

・・・NDAC=NADB,

・•・NADB=NADM,

VAD^AD,

・•・NADD』/ADD,

・•・NMDD'=NMD'D,

・・・D'M=DM；

(3)解：MN2=PN-DN.理由如下:

如图3,连接AM,

图3

VD'M=DM,AD=AD,AM=AM,

.♦.△AD'M四△ADM(SSS),

/.ZMAD'=ZMAD,

ZAMN=ZMAD+ZNDA,ZNAM=ZMAD'+ZNAP,

ZAMN=ZNAM,

?.MN=AN(等角对等边)，

在Z\NAP和ZXNDA中，ZANP=ZDNA,ZNAP=ZNDA,

Z.ANPA^ANAD,

.PN_AN

"WW

.•.AN^PN-DN,

.\MN2=PN-DN.

17.【答案】(1)解：Z1=Z2=Z3

理由：设AM与EF交于点O,

(图1)

将矩形纸片对折，使4。与BC重合，折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A,

得到折痕4M,点B,E的对应点分别为B',E,

，AM垂直平分BB\EF垂直平分AB,

.,.AB=AB,,OB=OB'=OA,

.,.AB=AB'=BB',

•••△ABB，是等边三角形，

・・・NABB，=60。，

/.Zl=Z2=30°,

・・・/3=90。-30。-30。=30。，

・・・N1=N2=N3.

(2)证明：由折叠的性质可得：AB=BB,AB=AB\AE=AE,AE=BE,

：.AB=BB'=AB,AE=BE,

••.△ABB'是等边三角形，

9：AE'=BE,/.ABB=60°,

^£.ABE=^BBE="ABB，=30。，

・・,四边形/BCD是矩形，

=90°,

・"3=30°,

AZ1=Z2=43；

(3)证明：设折痕1与线段EF的交点为M,连接并延长，交PP'于点H,连接MP,MP,如图

所示：

由折叠的性质可知：EF、折痕1分别垂直平分BP,BB\

：.BM=MP=BM=MP\EF||BC,

=乙MB'B=乙CBB',

:MP'=MB',点M在8"上，

：.BH垂直平分BRI(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)

：.BP=BB',

C.Z-PBH=乙BBH=乙CBB',

:・BB'是乙NBC的一条三等分线.

18.【答案】(1)8V2

(2)解：连接EF,如图,

图2

在（1）中已得矩形ABMN是正方形，

JAN=MN=BM=AB=8,zX=Z/V=90°=zM,

・・・E为AN中点，Q为BM中点，

・・・AE=EN=4=BQ=QM,

・•・根据翻折的性质有=MQ=M'Q,/LA=^BAE=90°,^AEB=^AEB,乙MQP=^M,QP,

：.AE=AE=EN=4,MQ=MQ=BQ=4,^EAF=^BAE=90°

:•乙BM,Q=乙M,BQ,

LBM'Q+^M'BQ=Z.MQM=匕MQP=^M'QP,

:•乙M,BQ=匕PQM.

V^EAF=AE=90°fA'E=EN,FE=EF,

：.^EAF=^ENF,

：./,AEF=乙NEF,

又•••△ZEB=^AEB,乙AEB+Z.AEB+Z.AEF+乙NEF=180°,

：.^AEB+^NEF=90°,

\aZ-AEB+^ABE=90°,

:•乙NEF=4ABE,

J结合4/=NN=90°有4ABENEF,

.AB_NE

••亚一所’

•・・AB=8,AE=EN=4,

=需即NF=2,

・・・MF=MN-NF=8-2=6,

・・・在RtABFM中,tanzFfiM=^=1=

•・2M‘BQ=乙PQM,

3

tanzPQM=tanzFFM=彳；

(3)解：BQ啰

19.【答案】(1)1

⑵|

(3)证明：过F作FKLBC于K,如图:

•••N4=NB=90°,FK1BC,

••・四边形4BKF是矩形，

AB=FK,AF||BC,

：.乙FCK=乙GFD,

zG=ZX=90°,AADE=乙GDF,

:.Z.AED=Z.GFD,

・・・乙FCK=^AED,

•・•乙FKC=90°=LA,

•••△FKC〜XDAE,

FK_CF

AD=DE9

・•.FK-DE=AD-CF,

・•.DE-AB=CF-AD；

(4)解：过O作。M14D于点M,ON_LCD于点N,如图:

・・・乙OMD="ND=90°,

•・•四边形ZBCD是矩形,

BC=AD=6,AB=CD=8,乙MDN==乙BCD=90°,

四边形OMDN是矩形，

乙MON=90°,

PE1CT于点O,

乙C0E=90°,

乙CON=乙EOM=90°-乙EON,

NON。=COME=90°,

△ONC八OME,

PC_ON

~OE=~OM'

乙OND=(BCD,

ON||BC,

△DONs、DBC,

ONOD

：'~BC=~BD"

同理”r_OD

'=BDf

ONOM

：'~BC=而

ONBC

：'OM=丽，

.O£_BC__6_3

^~0E=AB=8=4;

⑸I

20.【答案】(1)解：ZGCF=45°；

(2)解：结论：zGCF=|a-90°;

理由：在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE.

(1)

,?ZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,NABC=NAEF,

.,.ZEAN=ZFEC.

VAE=EF,

AAANE^AECF(SAS).

AZANE=ZECF.

・・•四边形ABCD是菱形，

・・・AB=BC,AB〃CD,

・・・AB-AN=BC-EC,

即BN=BE,

・•・NENB=NNEB

VZEBN=a,

11

"ENB=乙NEB=2(180。-a)=90。一

LANE=180°—ZENB=180°-(90°-1cr)=90°

XVAB^CD,

.,.ZBCG=180°-ZEBN=180°-a,

12

AzGCF=乙ECF一(BCD=UNE-乙BCD=(90。+*a)-(180°-a)=|a-90°;

问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P,设菱形的边长为3b.

Va=120°,

AzGCF=—90。=]x120°-90°=90°,

・・,四边形ABCD是菱形，

・・・NB=NADC=a=120。，

・•・ZPAD=ZADC-90o=120°-90o=30°,

・・,AD=2PD,

:.PD=^b,

则AP—y/AD2—PD2-J(3b)2_d"》=

:否=2'DC=3b,

・・・DG=b,CG=2b,

则PG=PD+DG=弱+b=如

VZAGP=ZFGC,ZAGP=ZCGF,

/.AAPG^AFCG.

在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE,过点B作BHLNE,

则NH=EH,

•:乙ENB=（NEB=90°-^a=90°-^x120°=30°,

・・・BE=2BH,

设BH=x,贝!JBE=2x,EH=VfiE12-BH2=7（2x）2-%2=Wx，

则NE=2HE=2V3x,

故病急等

故BE=*NE=*CF，

,DZ7遮rr门76^/3,6,

..BE=_CF=_x_b=_b,

69

***CE=BC—BE=3b—9b=可血，

.幽_*_2

,,CE-97-3-

5D

21.【答案】（1）解：•.•四边形ABCD是正方形,

：.AB=AD,ZX=90°

•Arxr^4r\180°-Z-A.-

..A.ADB=乙ABD=-----------=45°o

由旋转可知=90。,

?.^ADF=Z.BDF-AADB=45°.

(2)解：仍然成立

若选图2,证明如下：

如图，过点F作FG，CD交CD的延长线于点G,则ZFG。=90。

•.,四边形ABCD是正方形，

."C="DC=90。，BC=CD

:.乙FGD=乙C,乙CBE+乙BEC=90°.

由旋转的性质可知EF=BE,乙BEF=90°.

:.乙BEC+乙FEG=90°.

."FEG=乙CBE

：.△FGE=AECBQMS)

：.FG=EC,EG=BC=CD.

：.EG-DE=CD-DE,BPCE=DG.

：.FG=DG

又：乙FGD=90°,."FOG=45。.

'J^ADC=90°,Z.FDA=180°-乙FDG-乙ADC=45°

若选图3,证明如下：

如图，过点F作FG_LCD交CD的延长线于点G,则ZFGD=90。

・・•四边形ABCD是正方形，

ZC=A.ADC=90°,BC=CD

：.^FGD=4乙CBE+乙BEC=90°.

由旋转的性质可知EF=BE,Z.BEF=90°.

.,.ZBEC+ZFEG=9O°.

J.Z-FEG=乙CBE

：.△FGE=△ECB^AAS}

：.FG=EC,EG=BC=CD.

：.EG+DE=CD+DE,BPCE=DG.

：.FG=DG

又,：乙FGD=9。。,：.Z-FDG=45°.

VZXDC=90°,C.Z,FDA=180°一乙FDG-^ADC=45°.

(3)BF=2V3

22.【答案】(1)菱形、正方形

(2)^AC-BD

(3)解：①证明：连接CG、BE,AB与CE交于点M,BC与CE交于点N,如图:

,/四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，

/.ZF=ZCAG=ZBAE=90°,FG=AG=AC=CF,AB=AE,

,ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,

即NGAB=NCAE,

在4GAB和4CAE中，

-AG^AC

乙GAB=Z-CAEf

、AB=AE

AAGAB^ACAE(SAS),

・・・BG=CE,NABG=NAEC,

又,.・NAEC+NAME=90。，ZAME-ZBMN,

ZABG+ZBMN=90°,

?.ZBNM=90°,

•••四边形BCGE为垂美四边形；

②解：：FG=CF=AC=4,ZACB=90°,AB=5,

/.BC=7AB2-4c2=V52-42=3，

；.BF=BC+CF=7,

在RtABFG中，BG=y/BF2+FG2=772+42=假，

CE=BG=V65>

四边形BCGE为垂美四边形，

•，"四边形BCGE的面积=xBG-CE=/XV65xV65=竽.

23.【答案】(1)解：证明：•.•四边形ABCD为矩形，

6,_____/

/.ZC=90°,AD〃BC,AB//CD

.\ZFED=ZEBC,ZEFD=ZABE,ZFDE=ZC=90°

,/四边形DEGF平行四边形，

二平行四边形DEGF为矩形

VBE平分NABC,

ZABE=ZEBC=|ZABC./.ZFED=ZEFD..\DE=DF

矩形DEGF为正方形.

(2)解：BG=AC.理由：连接DG交BF于点O,连接BD.

BC

•；由(1)得四边形DEGF为正方形,

，DG_LEF,GO=OD

，BF垂直平分DG.

.,.BG=BD

,四边形ABCD为矩形，

/.AC=BD,

，BG=AC.

(3)A：补全图形如下：

此时，A,G两点之间的距离为2位.

B：补全图形如下：

以A,C,G为顶点的三角形面积的最小值为军.

4

24.【答案】(1)1

(2)解：过点A作AM||HF交BC于点M,作AN||EG交CD的延长线于点N,

：.AM=HF,AN=EG,

在长方形/BCD中，BC=AD,/.ABM=ABAD=^ADN=90°,

\'EGLFH,

：.^NAM=90°,

：.Z.BAM=乙DAN,

：.AABM〜bADN,

.AM_AB

••丽二而‘

AB=m,BC=AD=n,

・ZM_m

99AN=n9

.EG_AN_n

**FH—AM—m9

(3)解：如图所示：过。点作于点M,设CE交3产于点。,

,?CMLAB,

：.£.CME=90°,

・31+42=90。，

VCE1BF,

AZ5OE=90°,

•••42+43=90。，

AZ1=Z3,

:ACME〜XBAF,

.CE_CM

•,丽=7F

9：AB=BC,^.ABC=60°,

-CE_CM_.._V3

^BF='BC=sm60no=r

25.【答案】(1)DE〃AB；DE=^AB

(2)解：在中，由勾股定理得ZC='BC?一引/2=4,

VDE/7AB,CE=AE,

.CD_CE_1

9UJC=AC=2'

.\CD=^BC=2.5,

由旋转的性质可得CM=CD=2.5,CN=CE=^AC=2,NM=DE=*，^ACB=乙NCM,

：.Z.ACN=ABCM,

..AC_CN

*BC-5-CM'

:・MACNFBCM,

.AN_AC_4

^BM=BC=5；

(3)解：如图3-1所示，当CN〃AB时，延长MN交AB于T,

:•乙ACN=180°一4BAC=90°,

=乙CNT=乙CNM=90°,

・•・四边形ACNT是矩形，

：.NT=AC=4,乙4TM=90°,AT=CN=2,

：・TM=NT+MN=3,

在RtAATM中，由勾股定理得：AM=y/AT2+TM2=；

如图3-2所示，当CN〃AB时，过点M作MHLAC于H,

图3-2

,?CN