八年级数学勾股定理试卷含答案

八年级数学试卷（勾股定理）

一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题3分，共36分）

1.以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）

A.4,6,8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12

2.已知命题：等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是（）

A.该命题为假命题B.该命题为真命题

C.该命题的逆命题为真命题D.该命题没有逆命题

3.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm,高为32cm,则桶内所能容下的木棒最

长为（）

A.20cmB.50cmC.40cmD.45cm

4.等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）

A.4/3B.MC.273D.3

5.如图，将三边长分别为3,4,5的AABC沿最长边翻转180。成△ABCi,则CJ

的长等于（）

^2_5__524

A.B.五'C.3D•万

6.如图，正方形网格中的AABC,若小方格边长为1,则^ABC的形状为（)

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.以上答案都不对

7.如图，^ABC和4DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直

线上，连接BD,则BD的长为（）

A.遥B.2MC.3V3D.4A/3

8.长方形的一边长为4,对角线与长方形另外一条边相差2,则长方形的面积为

（）

A.8B.4C.6D.12

9.在直角三角形中，如果有一个角是30。，这个直角三角形的三边之比最有可

能的是（）

A.3：4：5B.1：1：V2C.5：12：13D.1：立：2

10.设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,

则ab的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

11.如图，已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上，过

点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

A.4/2dmB.2、匹dmC.2./^dmD.4、历dm

12.如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A

点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）

B

A.1种B.2种C.3种D.4种

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在题中横线上）

13.如果三角形的三边分别为娓,2,那么这个三角形的最大角的度数为一.

14.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC

上），折叠后端点D恰好落在边0C上的点F处.若点D的坐标为（10,8）,则

15.如图，以Rt^ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a,

则图中阴影部分的面积为—.

16.如图所示，在^ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点

A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每

秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为cm2.

Q

三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程)

17.在RtZ\ABC中,ZC=90°.

(1)已知c=25,b=15,求a；

(2)已知a=&，ZA=60°,求b、c.

18.如图，已知在^ABC中，CDLAB于D,BD=9,BC=15,AC=20.

(1)求CD的长；

(2)求AB的长；

(3)判断4ABC的形状.

19.如图，在Rt^ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，将4ABC折叠，使A点与BC

的中点D重合，折痕为MN,求线段BN的长.

,VB

20.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突

然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水

平距离为6尺，请问水深多少？

21.如图，△ABC,AAED是两个大小一样的三角形，已知NADE=90。，AE=5,

AD=4,连接EB,求DE和EB的长.

22.在^ABC中，AB=2立，AC=4,BC=2,以AB为边向^ABC夕卜作AABD,使4

ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.

23.在^ABC中，a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m、n都是正整数；且m

>n,试判断AABC是否为直角三角形？

24.长方形0ABe绕顶点C(0,5)逆时针方向旋转，当旋转到CO,AB位置时，

边0肾交边AB于D,且A'D=2,AD=4.

(1)求BC长；

(2)求阴影部分的面积.

八年级数学试卷（勾股定理）

参考答案与试题解析

一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题3分，共36分）

1.以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）

A.4,6,8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,

那么这个是直角三角形判定则可.

【解答】解：A、•••42+62W82,.•.该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直

角三角形，故错误；

B、•••42+82/102,.•.该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故

错误；

C、•••62+82=102,・•.该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；

D、•••82+102^122,・•.该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，

故错误；

故选C.

2.已知命题：等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是（）

A.该命题为假命题B.该命题为真命题

C.该命题的逆命题为真命题D.该命题没有逆命题

【考点】命题与定理.

【分析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选

项.

【解答】解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；

其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，

故选B.

3.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm,高为32cm,则桶内所能容下的木棒最

长为（）

A.20cmB.50cmC.40cmD.45cm

【考点】勾股定理的应用.

【分析】根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm,CB=32cm,那么

线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用

勾股定理即可求出AB,也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度.

【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，

.,.AC=2X12=24cm,CB=32cm,

线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，

AB=VAC2+BC2=V242+322=40cm.

故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm.

故选C.

4.等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）

A.4«B.V3C.273D.3

【考点】等边三角形的性质.

【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD,在直

角三角形ABD中，已知AB、BD,根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角

形ABC的面积，即可解题.

【解答】解：•••等边三角形高线即中点，AB=2,

.\BD=CD=1,

在Rt^ABD中，AB=2,BD=1,

•*-AD=^AB2-BD2=722-12=V3，

・，.SAABC=-^BC«AD=^-X2X小加,

故选B.

5.如图，将三边长分别为3,4,5的AABC沿最长边翻转180。成△ABCi,则CJ

的长等于（）

A-¥B-C6。•誉

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理.

【分析】首先设AB与CCi相较于点D,由4ABC的三边分别为3、4、5,且32+42=52,

可得^ABC是直角三角形，即可求得CD的长，继而求得答案.

【解答】解：设AB与CJ相较于点D,

,.•△ABC的三边分别为3、4、5,且32+42=52,

/.△ABC是直角三角形,

由折叠的性质可得：AB±CD,且CD=GD,

・rnAOBC12

AB5

94

・・・CCi=2CD二号.

5

故选：D.

6.如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为L则4ABC的形状为（)

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.以上答案都不对

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【分析】根据勾股定理求得4ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定,

从而不难得到其形状.

【解答】解：•••正方形小方格边长为1,

BC=^42+62=2'/13»

AC=V22+32=V13-

2

AB=^/i+g2=765,

在4ABC中，

BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,

BC2+AC2=AB2,

.'.△ABC是直角三角形.

故选：A.

7.如图，^ABC和4DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直

线上，连接BD,则BD的长为（）

A.«B.2V3C.3V3D.473

【考点】勾股定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质.

【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以

发现NBDE=90。，再进一步根据勾股定理进行求解.

【解答】解：•..△ABC和ADCE都是边长为4的等边三角形,

，NDCE=NCDE=60°,BC=CD=4.

AZBDC=ZCBD=30".

NBDE=90°.

•，-BD=JBE2-DE2=4R.

故选：D.

8.长方形的一边长为4,对角线与长方形另外一条边相差2,则长方形的面积为

()

A.8B.4C.6D.12

【考点】矩形的性质.

【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计

算即可得解.

【解答】解：：如图，AB=4,AC=BC+2,

,根据勾股定理得到:AB2+BC2=(BC+2)2,gp16+BC2=(BC+2)2,

BC=3,

•••它的面积为4X3=12.

故选：D.

/ip-------------------\D

X

、

51----------------llJc

9.在直角三角形中，如果有一个角是30。，这个直角三角形的三边之比最有可

能的是()

A.3：4：5B.1：1：如C.5：12：13D.1：立：2

【考点】含30度角的直角三角形.

【分析】设30。角所对的直角边为a,根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求

出斜边的长度，再利用勾股定理求出另一条边的长度，然后即可求出比值.

【解答】解：如图，设30。角所对的直角边BC=a,

则AB=2BC=2a,

2=a

•*-AC=7AB2-BCV3，

...三边之比为a：炳a：2a=l：5/3：2.

故选D.

10.设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,

则ab的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

【考点】勾股定理.

【分析】由该三角形的周长为6,斜边长为2.5可知a+b+2.5=6,再根据勾股定理

和完全平方公式即可求出ab的值.

【解答】解：•••三角形的周长为6,斜边长为2.5,

「・a+b+2.5=6,

；.a+b=3.5,①

•.）、b是直角三角形的两条直角边，

.,.a2+b2=2.52,②

由②得a?+b2=（a+b）2-2ab=2.52

.\3.52-2ab=2.52

ab=3,

故选D.

11.如图，已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上，过

点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

A.4/2dmB.2/2dmC.2\而dmD.4、历dm

【考点】平面展开-最短路径问题.

【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短"

得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.

【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为

2AC的长度.

:圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,

.•.AB=2dm,BC=BC'=2dm,

.\AC2=22+22=4+4=8,

AC=2«dm,

I.这圈金属丝的周长最小为2AC=4«dm.

故选：A.

12.如图，在6个边长为工的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A

点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）

B

A.1种B.2种C.3种D.4种

【考点】勾股定理的应用.

【分析】如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可.

【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示,

最短路程长为I2，22+1=2加+1,

则从A点到B点的最短距离的走法共有3种,

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在题中横线上）

13.如果三角形的三边分别为血，灰,2,那么这个三角形的最大角的度数为

90°.

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,

那么这个三角形就是直角三角形可得答案.

【解答】解：：（正）2+22=（捉）2,

・••此三角形是直角三角形，

•••这个三角形的最大角的度数为90。，

故答案为：90°.

14.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC

上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为（10,8）,则

点E的坐标为（10,3）.

【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质.

【分析】根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角^ACDF中，利用勾股定理来求

0F=6,然后设EC=x,则EF=DE=8-x,CF=10-6=4,根据勾股定理列方程求出EC

可得点E的坐标.

【解答】解：•四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10,8）,

.\AD=BC=10,DC=AB=8,

：矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，

/.AD=AF=10,DE=EF,

在RtAAOF中，0F=〃F2-A02=6,

/.FC=10-6=4,

设EC=x,则DE=EF=8-x,

在Rt^CEF中，EF2=EC2+FC2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,

即EC的长为3.

•••点E的坐标为(10,3),

故答案为：(10,3).

15.如图，以Rt^ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=a,

【考点】勾股定理.

【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2,然后判断出阴影部分的面积=2SAABE,

再利用等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得解.

【解答】解：.「△ABC是直角三角形，

.\AC2+BC2=AB2,

•••三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形，

.,・阴影部分的面积=2S4ABE=2X2・a・(5)=等2*

故答案为：1a2.

16.如图所示，在^ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点

A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每

秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为18cm2.

【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】首先设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,利用方程求出三角形的

三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形.再求出3秒后的，BP,

BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解.

【解答】解：设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,

•・•周长为36cm,

AB+BC+AC=36cm,

/.3x+4x+5x=36,

解得x=3,

AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,

VAB2+BC2=AC2,

「•△ABC是直角三角形，

过3秒时,BP=9-3X1=6(cm),BQ=2X3=6(cm),

2

.*.SAPBQ=-^BP»BQ=yX(9-3)X6=18(cm).

故答案为：18.

三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程)

17.在RtaABC中,ZC=90°.

(1)已知c=25,b=15,求a；

(2)已知a=&,NA=60°,求b、c.

【考点】解直角三角形.

【分析】(1)根据勾股定理即可直接求出a的值；

(2)根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值.

【解答】解：(1)根据勾股定理可得：

a=7252-152=2°；

(2)•.,△ABC为《△,ZA=60°,

/.ZB=30°,

c=2b,

根据勾股定理可得：a2+b2=c2,即6+勾=(2b)2,

解得b=«,则C=2A/2.

18.如图，已知在^ABC中，CDLAB于D,BD=9,BC=15,AC=20.

(1)求CD的长；

(2)求AB的长；

(3)判断4ABC的形状.

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析】(1)在RtABCD中，根据勾股定理求出CD的长；

(2)在RtAACD中根据勾股定理求出AD的长，故可得出AB的长;

(3)由勾股定理的逆定理即可得出结论.

【解答】(1)在4BCD中，因为CDLAB,

所以BD2+CD2=BC2.

所以CD2=BC2-BD2=152-92=144.

所以CD=12.

(2)在Z\ACD中,因为CDJ_AB,

所以CD2+AD2=AC2.

所以AD2=AC2-CD2=202-122=256.

所以AD=16.

所以AB=AD+BD=16+9=25.

(3)因为BC2+AC2=152+202=625,AB2=252=625,

所以AB2=BC2+AC2.

所以AABC是直角三角形.

19.如图，在Rt^ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，将4ABC折叠，使A点与BC

的中点D重合，折痕为MN,求线段BN的长.

,VB

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【分析】如图，首先求出BD的长，根据勾股定理列出关于线段AN的方程，问

题即可解决.

【解答】解：如图，

,点D为BC的中点，

BD=CD=yBC=3；

由题意知：AN=DN（设为x）,

则BN=9-x；

由勾股定理得：

x2=（9-x）2+32,

解得：x=5,

/.BN=9-5=4,

即BN的长为4.

ANB

20.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突

然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水

平距离为6尺，请问水深多少？

【考点】勾股定理的应用.

【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲

的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可

【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长.

RtAABC中，AB=h,AC=h+3,BC=6,

由勾股定理得：AC2=AB2+BC2,即(h+3)242+62,

h2+6h+9=h2+36>

6h=27,

解得：h=4.5.

答：水深4.5尺.

■

21.如图，△ABC,AAED是两个大小一样的三角形，已知NADE=90。，AE=5,

AD=4,连接EB,求DE和EB的长.

【考点】勾股定理.

【分析】直接利用勾股定理得出DE的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定

理得出BE的长.

【解答】解：VZADE=90°,AE=5,AD=4,

-'-DE=7AE2-AD2=3»

:•△ABC,AAED是两个大小一样的三角形，

，AB=AE=5,

/.BD=1,

BE=VDE2+BD2=732+12=V10.

22.在^ABC中，AB=2立，AC=4,BC=2,以AB为边向^ABC夕卜作AABD,使4

ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.

【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质.

【分析】根据题意中的4ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：Z

ABD=90。，NBAD=90。，ZADB=90°.然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直

角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解.

【解答】解：：AC=4,BC=2,AB=2掂，

.\AC2+BC2=AB2,

...AACB为直角三角形，ZACB=90°.

分三种情况：

如图(1),过点D作DELCB,垂足为点E.

VDE±CB(已知)

/.ZBED=ZACB=90°（垂直的定义），

••.NCAB+NCBA=90°（直角三角形两锐角互余），

:△ABD为等腰直角三角形（已知），

.•.AB=BD,ZABD=90°（等腰直角三角形的定义），

/.ZCBA+ZDBE=90°（平角的定义），

/.ZCAB=ZEBD（同角的余角相等），

在4ACB与ABED中，

VZACB=ZBED,ZCAB=ZEBD,AB=BD（已证），

.,.△ACB^ABED（AAS）,

/.BE=AC=4,DE=CB=2（全等三角形对应边相等），

ACE=6（等量代换）

根据勾股定理得：CD=2V10；

如图（2）,过点D作DE±CA,垂足为点E.

VBCXCA（已知）

/.ZAED=ZACB=90°（垂直的定义）

...NEAD+NEDA=90。（直角三角形两锐角互余）

•••△ABD为等腰直角三角形（已知）

••.AB=AD,NBAD=90°（等腰直角三角形的定义）

/.ZCAB+ZDAE=90°（平角的定义）

/.ZBAC=ZADE（同角的余角相等）

14AACB与4DEA中，

VZACB=ZDEA（已证）ZCAB=ZEDA（已证）AB=DA（已证）

/.△ACB^ADEA（AAS）

.•.DE=AC=4,AE=BC=2（全等三角形对应边相等）

/.CE=6（等量代换）

根据勾股定理得：CD=2限；

如图（3）,过点D作DELCB,垂足为点E,过点A作AFLDE,垂足为点F.

VZC=90°,

AZCAB+ZCBA=90",

VZDAB+ZDBA=90°,

/.ZEBD+ZDAF=90°,

VZEBD+ZBDE=90°,ZDAF+ZADF=