湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试数学试题（含答案解析）

湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设2=(1,-2),刃=(-3,4),1=(3,2),则(0+23”等于()

A.(-15,12)B.0C.-3D.-11

2.已知集合/=卜卜=卜一1，卜+2|｝,B=.xy=J]：则/口3=()

A.(而,+s)B.[3,丽)c.[3,+o>)D.(-Vw,3]

3.下面四个数中，最大的是()

A.In3B.In(ln3)C.2D.(ln3)2

4.数列｛%｝的首项为1,前〃项和为S“，若S“+S,“=Si，(%〃eN*)则，a9=()

A.9B.IC.8D.45

a-2i___

5.复数z=U(aeR)在复平面上对应的点不可能位于()

l+2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.函数〃叼=/_/-111-的图象大致为()

7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为()

A.228B.210C.240D.238

8.抛物线「:*=2y上有四点A,B,C,D,直线NC,BD交于点、P,且正=2万，

S2

PD=APB(O<A<1).过48分别作「的切线交于点。，若甘理=a，则彳=()

试卷第1页，共4页

A.B

V3D.

2V3

二、多选题

9.平行六面体中,各个表面的直角个数之和可能为（）

A.0B.4C.8D.16

7171

10.已知函数/（%）=而后（如+0）+/（D>0,-—<q)<—,tGzj有最小正零点

22

/（0）=1,若/（X）在（4,曰上单调，则（）

5

A.刃=兀B.。=一兀C./(9)=]D.〃9)=-1

3

H.如图，三棱台/5C-4AG的底面为锐角三角形，点。，H,5分别为棱441，

BC,G4的中点，且NC=24G=2,AC+AB=4；侧面为垂直于底面的等腰

梯形，若该三棱台的体积最大值为述，则下列说法可能但不一定正确的是（）

6

B.DH=-

2

rw|叵]

C・—E-ADH=~^〃ABC-Ap£iD.EHe丁F

三、填空题

yy

12.写出函数/（x）=二-=-lnx的一条斜率为正的切线方程：_____.

2e

13.两个连续随机变量X,/满足X+2Y=3,且X〜N（3,〃），若P（X+1W0）=0.14,

则尸（Y+2>0）=.

22

14.双曲线C:]-六=1（°,6>0）的左右焦点分别为耳，区,以实轴为直径作圆。，过

圆。上一点E作圆。的切线交双曲线的渐近线于4,3两点（2在第一象限），若28=c,

4々与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.数列｛%｝中，6=1,g=9,且。“+2+。“=2。什1+8,

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵数列也｝的前〃项和为s,，且满足6；=%,帅…,求S,.

22

16.已知椭圆G：!T+V=I和。2：1r+/=(>6>0)的离心率相同，设£的右顶点为

4，。2的左顶点为4，8(0,1)，

⑴证明：BAH；

⑵设直线54与c2的另一个交点为p,直线驱与G的另一个交点为。连产。，求忸。|

的最大值.

参考公式：加3+=(加+〃)(加2一冽〃+〃2)

17.空间中有一个平面。和两条直线m,n,其中m,孔与a的交点分别为4,B,AB=\,

⑴如图1,若直线加，〃交于点C,求点C到平面。距离的最大值；

(2)如图2,若直线m,n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点。满足尸，

尸Q_L〃且尸0切,

(i)证明：直线加，〃与平面。的夹角之和为定值；

(ii)设P0=d(O<d<l),求点尸到平面e距离的最大值关于d的函数/(").

18.已知函数/(x)=a--x+ln(x+1),aeR,

⑴若对定义域内任意非零实数为，4,均有求°；

(2)记/“=1+[+…+L证明：?„-1<ln(«+l)<f„.

2n6

19.欧拉函数在密码学中有重要的应用.设〃为正整数，集合X.=｛1,2,…，”-1｝,欧拉

试卷第3页，共4页

函数9(")的值等于集合X,中与n互质的正整数的个数；记M(x,y)表示X除以y的余数

(x和y均为正整数)，

⑴求0(6)和夕(15)；

(2)现有三个素数p,q,e{p<q<e),n=pq,存在正整数d满足〃(徐,夕("))=1；已知

对素数。和xwX”，均有W(x"T,a)=l,证明：若xeX,,则x=M(W(X,")]",〃)；

(3)设“为两个未知素数的乘积，q,e?为另两个更大的已知素数，且2q=3ez+l；又

ee2

C1=M(x',n),c2=M(x,n),xeX,,试用q,c2和〃求出x的值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】先求出£+25的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可

【详解】因为2=(1,-2),1(-3,4),

所以£+23=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),

因为"二(3,2),

所以(a+2B).c=-5x3+6x2=-3,

故选：C

2.B

【分析】由绝对值三角不等式求得/=[3,+8),然后由解析式有意义求得8=卜厢,而),

再由交集运算可得.

【详解】由卜-1|+卜+2隹卜-1)-(工+2)卜3,

当且仅当(xT)(x+2)W0,即一24x41时，等号成立，得/=[3,+s)；

由10-->0得一痴<、<加，即8=卜厢,而).

故选：B

3.D

【分析】先根据对数函数单调性求得l<ln3<2,然后可判断最大项.

【详解】因为lne〈ln3<Ine?,BPl<ln3<2,

所以In(ln3)<ln2<l,人<1,故B,C错误；

X(ln3)2-ln3=(ln3-1)ln3>0,所以(ln3『>ln3.

故选：D

4.B

【分析】根据题意，令m=l,得至=等差数列｛S“｝是等差数列，求得S.=〃,

结合。9=邑-$8，即可求解.

答案第1页，共17页

【详解】由题意知，数列｛%｝的首项为1,且S“+鼠=5小，

令加=1,可得s,+E=s用，即S"+「S“=S|=1,

所以数列｛5｝是首项为1,公差为1的等差数列，所以S.=l+("-l)xl=〃，

则a9=S9-58=1.

故选：B.

5.A

【分析】先利用复数代数形式乘除运算法则求出复数z,由此能求出结果.

当。>4时，—>0,_&F<°，则复数对应的点［—，-驾口在第四象限；

当-2<4时，?<0,-筌2<(),则复数对应的点「筌2］在第三象限；

当“<-2时，一<0,一&「>0,则复数对应的点(一,-筌NJ在第二象限；

当。=-2或“=4时，一=0或-3F=0,则复数对应的点(—「筌3在坐标轴上,

不属于任何象限.

故复数z=^对应的点1一，一2不可能位于第一象限.

故选：A.

【点睛】本题考查复数在复平面上对应的点所在象限的判断，考查复数代数形式乘除运算法

则及复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题.

6.A

【分析】根据％<0时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

-ex-21n(-x),x<0

【详解】/(x)=ex-e^-lnx2=<

-QX-21nx,x>0

因为当x<0时，y==—/,»=—21n(—x)都为增函数

所以，y=e"-e"-21n(-x),x<0单调递增，故B,C错误;

又因为/(_%)=e-x-ex-Inx2-f(x)'

答案第2页，共17页

所以/（X）不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选：A

7.A

【分析】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，

若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3

的倍数的三位数个数即可.

【详解】然后根据题意将10个数字分成三组：

即被3除余1的有1,4,7；被3除余2的有2,5,8；被3整除的有3,6,9,0,

若要求所得的三位数被3整除，

则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，

所以3的倍数的三位数有：（A；+A；+A；-A；）+（C；C©A；-C；C；A；）=228个.

故选：A.

8.D

【分析】由题意可得25〃取弦N3,。的中点分别为设直线NB的方程为：

2

>=履+现代抛物线，由韦达定理可得与=左，yM=k+m,xN=k,从而得P在直线ACV上,

根据切线方程可得&=左，作出图象，可得为=-根，力=（1一㈤1一2力〃,再根据沁=目

2J

求解即可.

【详解】解：由京=2方，P5=AP§（0<A<1）,可知45〃。。，

设弦的中点分别为",N,

设直线45的方程为：y=kx+m,

代入x1=2y,得x1-2kx-2m=0，

贝|猫+%5=2左，xAxB=-2m,

2

所以“=左，yM=kxM+m=k+m,

同理可得仆=k,

由抛物线的几何意义可知点?在直线MN上，

所以埠=上，

答案第3页，共17页

因为f=2y,所以y=y'=x,

所以物线在A处的切线为4:了-”=x«(x-%),即夕-5_=芍(》-工4),

12

y=xAx--xA,^xAx=yA+y

同理可得物线在8处的切线为4'y=xBx-^xl＞即4x=%+y,

xxXX

y=A-^x=A+B=K

由7,解得，

y—xBx—^j^By==-m

X=

综上,MxN=xp=XQ=k,=—tn,

所以M,N,尸,2四点共线，且所在直线平行于了轴,

^JC=XPA，得(Xc-xQc-yP)=^(xA-xP,yA-%)),

则xc=AXA+(1-A)XP,yc=AyA+(l-A)yr,

又Xc—2”^，

所以有［力与+(1-㈤与］2=22为+2(1-㈤力,

又舅=2几，

化简得2AXPXA—2AyA+(1—-2yp—0,

同理有2Axpx£—24yB+(1-—2yp—0,

由两式知直线/B的方程为：

2AxpX_22y+(1-—2yp=0,

因为埠=k,

答案第4页，共17页

2

IU2Afcc-2Ay+(1-A)k-2ypmiO,

又直线AB过点M(k,lc+m),

代入得力=加,

二+吁(1T)S一

s®_PM_yM-yp「+"；2=2,

2

S&ABQQMyM-yQk+m-(-m)3

整理得-k2-2m+32k2+62m=0,

即(3几一1)(42+2%)=0,

由题可得为=一加＜0,

所以机＞0,

所以1-34=0,

解得力=:

故选：D.

【点睛】关键点睛：涉及直线与圆锥曲线的问题，作出图象，结合韦达定理求解.

9.ACD

【分析】根据平行六面体的性质考察矩形个数的可能情况即可.

【详解】平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，

所以六个平行四边形中的矩形个数可能为0,2,4,6,

所以各个表面的直角个数之和可能为0,8,16,24.

故选：ACD

10.BC

【分析】确定小(1-0,&],teZ,故t=0或f=l,当t=0时，不满足单调性，排除；当/=1

时，计算夕=0,兀，代入计算得到答案.

sn

[详解]f(0)=V2sin(p+t=\J?e(1—V2,1+V2)»f(-)=V2i(-a)+(p)+t=0,故

?e[-V2,V2],

故fe(l-板,&],ZeZ,故f=0或"1,

答案第5页，共17页

当/=0时，sin°=,一三<(P<三,

故0=%/(x)=V2sin(«x+J,。>0,/(x)有最小正零点之,

444

3兀77、T*47兀7、T*T、9/1

一。+一=4兀,左,a)=—kTi--，左EN,—>——4=—,

4433222

故T=—21,co2兀，故Q=兀，f(x)=-\/2sin(TVCH—),

co4

当X£(459)，兀17兀,1子9兀)，函数不单调，排除；

2444

TT7T

当f=1时，sin=0,--<(p<-,故°=0,

.,3、后3_,5兀_771

sin(—co)=----，—co=2KTIH---或一g=2KTIH------,

424444

8.5兀75877兀7.TT9.1

co=—kit---，左£?^或⑦=—EH------eN,—>——4=一,

3333222

27r

故T=—21,0V2万，

co

故0=W，f(v)=s/2sin(-^-x)+1,验证满足条件，此时f(9)=V2sin(157i)+1=1.

综上，AD错误，BC正确.

故选：BC.

11.BD

【分析】根据题意可得点A的轨迹为椭圆，由椭圆的几何性质从而可确定A的坐标范围，设

三棱台的高为〃，由三棱台的体积最大值确定〃的范围，从而可判断A；建立空间直角坐标

系，根据两点之间的距离公式求解。的取值范围，从而可判断B,D；将三棱台补成

三棱锥，根据棱锥与棱台的体积关系即可判断C.

【详解】由/C+/3=4,BC=2,可得点A的轨迹为椭圆，如图

22_

则椭圆方程为"+：=1,由于6=6>c=l则0°<NA4c<90。，

又因为&ABC为锐角三角形,则0°<NABC<90°S.0°<ZACB<90°,

所以|<区区6,0小/<1,

答案第6页，共17页

所以（S.皿）2=92义百=百，由于8C=24G=2,所以。『c，=*wcV。，

设s=SANB'C'，则以ABC=45,设三棱台的高为力，

则%BCJBC=:〃（5+45+后）=（〃5,

因为该三棱台的体积最大值为拽，Sma、=3,所以Aax=2,

64

由于S,"无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故A不正确；

对于三棱台ABC-A^Q有侧面BCCA为垂直于底面的等腰梯形，

则如图，以H为原点，在平面45C上作笈U面5。。百，在面BCC百作面/BC,

则见0,0,0）,8（1,0,0）«（-1,0,0）中（；,0,46（-；,0,“，

设/（x,y,O）,则《彳弓］］，（?，*），

’3mV181"

由于同e[O,l),/ze(0,2],所以HDe故可能正确;

丁，8B

j；(I)2+“

同理切=

（3亚旧］

又丁'丁=故D可能正确;

\7[2

如图，将三棱台补成三棱锥尸-4BC,

答案第7页，共17页

R

Ci

B

b/H、

A

设点。到平面的距离为d，

7777

则匕4BC-A1BC=G，P一ABC=W^P-ACH=~^'^D-ACH_7VD-ACH=7VQ_ADH=^dS.ADH9

又^E-ADH~TVc「ADH~"7^C-ADH，所以/r_/0H=^ABC-A^p,，故C—'TH正确.

2423

故选：BD.

【点睛】思路点睛：本题考查空间几何与平面解析几何综合运用，解决本题中的问题涉及的

思路有:

（1）根据椭圆的定义确定动点A的轨迹，利用解析几何的性质缩小点A坐标范围;

（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式确定线段长的取值范围;

（3）体积关系的建立，需将三棱台补成三棱锥，由三棱锥的体积转换特点分析体积比例.

x-22

12.7=^+1——M2（答案不唯一）

e-e

【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与切

点坐标即可得切线方程.

【详解】f（x）=^-^-lnx,x>0,贝"卜）=；_宁一，

取切点为（2J（2））,则斜率为左=/，（2）=

222

X/（2）=--^-ln2=l---ln2,

则切线方程为：y-l+-+ln2=-^（x-2）,即y=B+1-之一山2.

eeee

故答案为：>=一x-2+1-24_in2（答案不唯一）

ee

43

13.0.86/—

50

【分析】利用期望和方差的性质可得然后由对称性即可求解.

【详解】因为X+2Y=3,所以X+1=4-2T,

答案第8页，共17页

因为尸（X+lV0）=0.14,所以尸（4-2YV0）=0.14,gpP（K>2）=0.14

131311

又丫=一5、+5,所以£")=一5£(用+5=0,D[Y}=-D[X)=-^,

所以

所以尸(y+2>0)=尸(y>-2)=1-尸(y<-2)=1-尸(¥>2)=1-0.14=0.86.

故答案为：0.86

14.2

【分析】先根据几何关系证明点£必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解

即可.

【详解】记/片与渐近线。8的交点为"，根据题意，作图如下:

22_2

则在△灰本中，设Q同=x,又忸闾=c,由余弦定理可得cosNBOE=±上土二J=巴，解

2cxc

得X=2Q,即|O刈二2〃；

在中，cosZ.BOE=——7=—=—,又/5。££（0,兀），Z.BOE=—；

OB\2a23

（、brbei

又左焦点（-GO）到直线v=-x的距离d=/4瓦=b，

即闺叫=6,又|O£|=C,故叫=7?二F=q,则“在圆。上，即/月与圆O相切；

7T

显然A/〃O=A/EO,贝|JZ/lOa=/EO/,XAAOH+AEOA+ZBOE=71,XZBOE=-,

7117TJT

故可得//OH=彳，根据对称性，ZBOy=-ZAOH=~,i^ZBOF1=-,

3263

故O,E,g三点共线，E点是唯一的，根据题意，£必为双曲线右顶点;

此时显然有2=tanH=VL故双曲线离心率为9=

占2.

a3aa

答案第9页，共17页

故答案为：2.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够/月与渐近线垂直，以及忸月|=c,确定点E的

位置，进而求解离心率.

15.（l）a„=4/z2-4«+l

（2）答案见解析

【分析】（1）依题意可得知+2-。,用=。用-。“+8,即可得到｛%+「%｝为等差数列，即可得到

«„+1-«„=8",再利用累加法计算可得；

（2）由（1）可得2=±（2"-1）,由6/用<0,得到“与酊2同号，再对4分类讨论，利用

并项求和法计算可得.

【详解】（1）因为%+2+。“=%”+1+8,所以％+2-4用=。”+1-。”+8,

所以数列｛。川-%｝是公差为8的等差数列,其首项为%-4=8,

于是。=8〃，

则a,-%=8（〃-1）,an_x-an_2=8（??-2）,L,

%一出=8x2,a2-ax=8,

所以％一%=8（l+2d--1■"—］）=8x0+/~——=An2-An,

所以%=4*-4〃+1；

2

（2）由（1）问知，an=（2«-1）,则2=±（2〃-1）,

又6也+i<0，则4+2+2<0,两式相乘得4%4+2>0,即她+2>°，

因此“与2+2同号,

为奇数

因为她2<0,所以当4=1时,b=-3,此时b=

2n1-2〃,及为偶数

〃一I

当〃为奇数时，s”=（4+2）+电+“）+…+©g+a」-a=a-女方=〃,

当〃为偶数时，S”=（仇+62）+（63+64）+…）=-〃；

答案第10页，共17页

1-2〃,及为奇数

当4=-1时,4=3,止匕时b=

n2及-1,〃为偶数

M—1

当“为奇数时，E,=（4+仇）+他+"）+…+心皿+方…=2+大方=-〃，

yt

当”为偶数时，S”=伍+白）+屹+幻+…+（耙I+"）=2弓=r-

综上，当。=1时，5“=（-1厂；；当乙=一1时，S,=（-!）”•〃.

16.（1）证明见解析;

⑵”

2

【分析】（1）根据离心率相等可得/〃=i,然后求出直线B4和驱的斜率，利用斜率即可

得证;

（2）联立直线和椭圆方程求出P,。的坐标，从而可得尸。的中点坐标，根据（1）中结论可

得|尸。|=2忸C|,利用导数即可求解.

【详解】（1）当。>1时，。的离心率

当0<a<l时，£的离心率,=加一°2；

当6>1时，Q的离心率4=

当0<6<1时，C?的离心率e2=Jl-/；

因为/b,所以&3/=杵1或工^=后口，得a2b2=1,

又a>b>0,所以“6=1,且。>1>6>0；

由题意知4（凡0）,4（也。），即4（一.0），

则：y=QX+1，l,.y=-----F1,

ABa

它们的斜率之积为因此34,54.

答案第11页，共17页

,将〉消去得:r+4X2--=0,

aa

2a

解得再=0,X?

a4+l

2a-1

又8(0,1)在曲线C2上，贝1」马=-互+1=

aa4+1

y=ax+\

22

联立/学与£的方程＜X22，将了消去得:a+3x+2ax=0,

IK=1a

2/

施牟得再=0,马

a4+1

2a31-a4

又8(0,1)在曲线。上，则为=-，均=aXQ+1=

a4+1l+tz4

Q—dP

因此尸。的中点C,0,连3C,因为即3尸，3。，

a4+1

所以|尸0|=2忸3=2

a3-a

记〃。)=(a＞1),当/⑷最大时，|尸。|也最大;

a4+l

（3/-1）（/+1）—4/

可知,(。)=

2

a4+1

36Z4+3«2-（6Z6+l—+1）t/+4/—1

42\2

a+射+1

令（（。）>0得_〃4+4〃2_1>0,解得2—6</<2+6,

又a〉1,则1,

2

令/'（。）＜0得7+V3,-HX））,

因此/(。)在a=亚二万处取得最大值，

答案第12页，共17页

17.(1

(2)(i)证明见解析，(ii)/⑷=,3丁(0＜八1)

【分析】(1)设点C到平面4的距离为/?,结合余弦定理、三角形，面积公式，基本不等式

即可求得大值；

(2)利用空间直线之间的位置关系、线面垂直的性质定理与判定定理确定线面夹角即可证

明结论；再根据点到平面的距离，结合(1)中结论即可得答案.

【详解】(1)设点C到平面々的距离为人作CHL42于点H,可知

设C4=b,CB=a,在“BC中，由余弦定理可知：a2+b2-2abcosZACB=AB~=\,

TTTT

由于直线冽与〃之间的夹角为；，且它们交于点C,则=

33

从而/+/一仍=1,又a1+b?—ab之ab,则(a=b时取等)；

因为s△.=[MsinZ4cB=卜89〃,所以CH=2abW也,

2222

所以点C到平面a的距离且，其最大值为亚；

22

(2)(i)证：如图，过点尸作直线///",由题知直线/与平面a必相交于一点，设其为点

D,

连接ZX4,DB,则P,Q,D,5共面，又PQ"a宜DBua,于是尸。//DB,

又///〃，则四边形尸。即为平行四边形，则。8=PQ=d,

因为尸。_L”且PQ_L",,所以3D_L”且3D_L〃7,所以3Z)_U,

又/D机=P,所以504平面尸

作PHL4D于H,则尸〃_LAD,又AD^BD=D,则尸〃_La,

没PH=h,则P到平面a的距离也为人且直线机,〃与平面a的夹角分别为NPAH和ZPDH；

由于直线m与n之间的夹角为三，则直线m与/之间的夹角也为g,

jr2冗

则4尸。=一，于是NPAH+NPDH=71—NAPD=—,

33

答案第13页，共17页

即直线〃?，〃与平面e的夹角之和为定值可；

（ii）因为工平面P4D,所以BD_L4D,

/\ABD中，AD2=AB2-BD2=\-d2,则AD=Jl-9,

又NAPD=J由（1）问同法算得PH上1乐万\一空,

322

即点P到平面a距离h的最大值为/（d）='3]3,（o＜d＜]）.

18.（l）a=1

（2）证明见解析

【分析】（1）求导可得/'（0）=0,再分a«0与。＞0两种情况分析原函数的单调性，当。＞0

时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定。的值；

l

（2）由（1）问的结论可知，---7＜lnf-+lK-,再累加结合放缩方法证明即可.

【详解】（1）〃x）的定义域为（T+8）,且/（0）=0；

/7x）=2ax-\-\——--=2ax-=x\2a------|,因止匕/'（0）=0；

x+1x+1Ix+1）

i.aWO时，2a———＜0,则此时令/%:）＞0有工£（―1,0）,令人x）＜0有x£（0,+co）,

x+1

则/（%）在（-1,0）上单调递增，（0,+8）上单调递减,又"0）=0,

于是/（无）W0,此时令玉龙2＜0,有＜0,不符合题意；

x{x2

ii.〃〉0时，/'（X）有零点0和%=—1，

2a

若与＜0,即此时令广（x）＜0有％£（/,0）,/（%）在（与。上单调递减，

又/⑼=0,则令玉＞0,x2=x0,有"?*）＜0,不符合题意；

答案第14页，共17页

若%>0,即0<a<；,此时令/'(x)<0有xe(O,x0),/(x)在(0,%)上单调递减，

又"0)=0,则/(%)<0,令-1<占<0通=%,有=")<(),不符合题意；

若x0=0,即。=g,此时/，(力=三\>0,在(T+s)上单调递增，又/⑼=0,

贝！|x>0时/>(x)>0,x<0时/'(x)<0；则xwO时,3>0,也即对*0,"“'"〜)>o,

X/工2

综上，。二；

(2)证：由(1)问的结论可知，4=0时，/(x)=-x+ln(x+l)<0；

且Q时x>0,/(x)=-x+ln(x+1)>0；

则x>0时，x--x2<ln(x+l)<x,令x=L有!一」<ln1+“<，，

2nnIn\nJn

BP———二<ln(〃+1)-ln〃<—,

n2n2v7n

于是占--去

l--<ln2<l

2

将上述〃个式子相加，4一;[1+&+…In仇+1)〈乙；

212n)

欲证‘〃一ln("+l)〈乙，只需证乙一£<图一[1+4+，一+=]，只需证1+=+…

662^2nJ2n3

…144(11]

因为~~2=---T<---2-----2------------------,

n24/?24n2—1\2n—12n+1)

叱…111Jl111111525

所以1+F+…+丁<1+2-------F------F…+-------------------=------------<一,得证：

22才(35572〃T2〃&J32〃413

于是得证：,-，<皿〃+1)<小

【点睛】方法点睛：

(1)此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区

间是解此题的关键；

(2)对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累

加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.

19.⑴°⑹=2,e(15)=8；

答案第15页，共17页

(2)证明见解析；

(3)x=M(aocf,n).

【分析】(1)利用欧拉函数。(〃)的定义直接求出夕(6)和。(15).

(2)分析求出工与〃不互质的数的个数，求得夕(〃)=(2-l)(q-1),设M(x,p)=s,

M(x,q)=t,结合二项式展开式证明/["("),〃)=1,再按WNO与"=0分类求