2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学（解析版）

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学试卷（一）

（考试时间：120分钟，满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.设全集U={0423,4,5},集合M={1,3,4},N={0,3,5},则M&N）=（）

A.{0,5}B.{1,2,3,4}

C.{1,2,3,4,5}D.U

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合并补运算即可求得.

【详解】U={012,3,4,5},N={0,3,5},所以gV={1,2,4},

所以M&N）={1,2,3,4},

故选：B.

2.已知复数z满足（4+3i）z=—i,贝”的虚部为（）

4.

D.—1

25

【答案】A

【解析】

【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.

-i-i(4-3i)34

【详解】因为(4+3i)z=-i,所以z=-----=-——~J=--------i,

一用牛/»八，尸心4+3i(4+3i)(4—3i)2525

4

所以Z的虚部为----.

25

故选：A.

3.将函数/(x)=Sin2x的图象向左平移9个单位后得到函数g(x)的图象，若函数y=/(%)+g(x)的最大

值为〃，则。的值不可能为()

A.1B.72-1

C.2D.&+1

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象的平移变换得到g(x)=sin(2x+20,然后根据和差公式和辅助角公式整理得到

V=/(x)+g(x)=，2+2cos2osin(2x+a),最后根据三角函数的性质求。的范围即可.

【详解】由题意得g(x)=sin(2x+20,

贝(Iy=〃x)+g(x)=sin2x+sin(2x+20)

=sin2x+cos2(psin2x+sin2(pcos2x

=(1+cos20sin2x+sin20cos2x

=J(l+cos29y+sin220sin(2x+a)

i-----------/、sin2(p

=,2+2cos20sin(2x+a),tanar=—---—,

因为cos2。e[—1,1],所以j2+2cos2ee[0,2｝所以ae[0,2].

故选：D.

4.在等比数列｛a.｝中，若为一确定的常数，记数列｛4｝的前几项积为北.则下列各数为常数的

是()

A.T7B.I8C.几D.Tu

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件判断出《为确定常数，再由此确定正确答案.

【详解】设等比数列｛。“｝的公比为心

依题意，一“5=4•囚4"，“闷”=（。刈5）3为确定常数，即6为确定常数•

I-aya1a6a7=4不符合题意；

£=a7a8=（。4。5『不符合题意；

几=%%a9ai0=（”5。6）5不符合题意；

看1=4%%0。11=a：］为确定常数，符合题意.

故选：D

4x—1

5.关于函数y=——,xeN，N为自然数集，下列说法正确的是（）

2%-5

A.函数只有最大值没有最小值

B.函数只有最小值没有最大值

C.函数没有最大值也没有最小值

D.函数有最小值也有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数

的最小值与最大值.

4x-l2（2x-5）+995

【详解】y=——Z,n------f人

2x—52x-52x-52

由反比例函数的性质得：

y在［■|，+00）上单调递减，此时y>2,

y在1—8,g］上单调递减，止匕时y<2,

又因为xeN,N为自然数集，

所以Vmin在S，!"）上取到，X=2时，Vmin=-7,

同理Jmax在[g，+°°]上取至IJ,%=3时，Vmax=11，

所以当xeN,N为自然数集时，函数有最小值也有最大值.

故选：D

6.已知函数/(x)=cos[x—Aj,g(x)=sinl4x+-^-I,则“曲线y=/(%)关于直线x=〃?对称”是“曲

线y=g（x）关于直线彳二相对称”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.

JTJT

【详解】令加一口=《兀（勺GZ）,得加二五+左1兀（尤£Z）,

所以曲线y=/（x）关于直线-4+匕兀化eZ）对称.

jrjr71

令4机+=,+42Mz2金Z),得m=-----1-

12

所以曲线y=g（x）关于直线x=5+42兀

~T（左2eZ）对称.

兀7C

m=

因[m\m=—+k1n(<kleZ)}{m\

所以“曲线y=f（x）关于直线x=m对称”是“曲线y=g（x）关于直线x=m对称”的充分不必要条件.

故选：A.

7.O为坐标原点，F为抛物线C:V=8x的焦点，〃为C上一点，若IMF|=6,则AMOF的面积为（）

A.4A/3B.2A/2C.472D.8

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据焦半径公式求点/的坐标，再代入面积公式，即可求解.

【详解】设点〃（％兀），-2,0）,所以|MF|=x0+2=6,得毛=4,为=±40,

所以AWO尸的面积S=510同义冈=万X2X4、历=4近.

故选：C

8.仇。为三个互异的正数，满足c—。=2111（>0,（质）"=30+1,则下列说法正确的是（）

A.c-a>2—bB.c—2VZ?—a

C.c+2<a+bD.c-\-2<a+b

【答案】A

【解析】

【分析】对于C-a=21n：>0可构造函数/（x）=x—2hu,利用导函数可求出其单调性，利用数形结合

可得0<a<2<c,对于（国『=30+1,可在同一坐标系下画出函数y=（&6厂及y=3'+l的图象,

可得0<〃<力<2,再由不等式性质可知A正确.

【详解】由。一。=21口£>。得c-21nc=a-21na且c>”，

a

2

构造函数〃x）=x-21nx,所以八£）=1一一,

易得〃龙）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，其函数图象如下图所示：

易知函数y=（V10）'及y=3*+1交于点（2,10），作出函数y=（Ji6广及y=3"+1的图象如下图所

所以0<a<Z?<2<c,即a<b,2<c,由此可得a+2<》+c,即c-a>2-6.

故选：A

【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性

比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两

个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分）

9.已知10个数据的第75百分位数是31,则下列说法正确的是（）

A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31

B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31

C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31

D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31

【答案】AB

【解析】

【分析】由百分位数的概念可判断.

【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31,由10x0.75=7.5,可知把这10个数据从小到大排列

后，第8个数为31,

可知，选项A,B正确，C,D错误.

故选：AB.

（、f2,xeQ

10.函数,则下列结论正确的是（）

A.D（^-）＞0（3.14）B.。（％）的值域为[2,3]

C.。（。（尤））是偶函数D.VaeR,D（x+a）=D（a-x）

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.

【详解】。（1）=3,0（3.14）=2,£）（%）＞0（3.14）,A正确；

12,%eQ/、（、

£＞（z%x）=则。（x）的值域为{2,3},B错误;

xeQ时，-xeQ,Z＞（D（x））=D（2）=2,£＞（£＞（-%））=£＞（2）=2,所以

D（D（x））=D（D（-x））,xcQ时，—xcQ,D（D（x））=D（3）=2,D（D（-x））=D（3）=2,

D（D（x））=D（D（-x））,所以。（。（司）为偶函数，C正确；

尤=0时，取0=1-0，此时o(x+a)=o⑴=2,£>(a—%)=£>(1-20)=3,则

D(x+a)^D(a-x),D错误.

故选：AC

11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。。2,轴截面A8C。为等腰梯形，且满

足CD=2A5=2A£>=26C=4cm.下列说法正确的是()

A.该圆台轴截面ABCD的面积为3，5cm之

B.该圆台的表面积为Ihrcm?

C,该圆台的体积为zJ^Ttcn?

D.该圆台有内切球，且半径为Yicm

2

【答案】AB

【解析】

【分析】求出圆台的高。1。2可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B,C；由内切圆的性质以及切

线长定理易知轴截面A8C。不存在内切圆可判断D.

【详解】对于A,由CD=2AB=2AZ)=25C=4cm,可得高q。？=—=若，

则圆台轴截面ABC。的面积为gx(2+4)xj^=3^cm2,故A正确;

对于B,圆台的侧面积为S侧=7r(l+2)x2=6兀(cn?),

又S上:Tixl2=兀(cm?),S下=兀・22=47i(cm2),

所以S表=6兀+兀+4兀=11兀(cn?),故B正确；

对于C,圆台的体积为丫=；兀.百*(1+4+2)=子兀(加3),故C错误；

对于D,若圆台存在内切球，则必有轴截面A8C。存在内切圆，

由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误,

故选：AB.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知〃x）=2a&—工在点（1,7（功处的切线为直线x—2y+/=0,则。=.

X

【答案】—工##-0.5

2

【解析】

【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.

【详解】因为〃x）=2a«—L所以/'（%）=一+二，

XX

因为/（元）在点处的切线为直线x—2y+/=。，

所以/'（l）=a+l=g,解得a=—g.

故答案为：—

2

13.己知力51禹黑，满足恻=眄|=国=2,且FI+F2+F3=0,则国—F?|=N.

【答案】73

【解析】

【分析】将K+F?+F3=0变形后平方得到相应结论，然后将国-Fz|平方即可计算对应的值.

【详解】由4+F?+F3=0,可得耳+F2=-F?,所以（-F3）2=（E+F2）2，化简可得

F；=F：+F；+2F",

因为国|=同=闯=1,所以24黑=-1,

所以「=7（^22F1E+F；=71-（-D+i=百•

|FF2|-F2）=JF；_

故答案为g

【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以

利用图示法去求解.

22

14.已知双曲线C：——齐=1（。〉0］〉0）的左右焦点分别为耳，工，过耳作无轴的垂线交C于点P

.月于点M（其中。为坐标原点），且有P月=3"招，则C的离心率为.

V6+V2

Hn2sin—1

即-—6=J-

sinCsinC

BD2

在RtZXABD中，AD=------=-------,

sinAsinA

2121•4.「

------1-----————I------——sinA+sinC

ADCD21，

sinAsinC

ZABC=—,:.A+C=~,

33

21..".（兀一）•一•兀万-.万.（万兀

------1=smA+sinC=smC+smC=sin—cosC-cos—smC+smC=smC+—

ADCD{3J33I3

16.已知数列｛%｝的前几项和为S“，4>0,且42+24=4S〃—1.

(1)求｛为｝的通项公式;

s

(2)设包=-」的前〃项和为7；,求

aa

n„+l

【答案】(1)4=2〃-1

2

(2)4=卫士

4〃+2

【解析】

【分析】(1)先用(〃+1)替换原式中的〃，然后两式作差，结合a”与S”的关系，即可得到｛%,｝为等差

数列，从而得到其通项.

s

(2)由(1)的结论，求得S,及4用，代入年=——化简，得到7；的式子，裂项相消即可.

anan+l

【小问1详解】

Qan+2a“=4S„-1,

a

n+i+2。"+1=4SI1+1-1,

两式作差得：(4+[+an)(an+1-an-2)=0,

Qa,>0：.an+1-an=2,

，｛4｝成等差数列，

又当〃=1时，(0―1)2=0,

所以Q]=1

即%=1+(〃—1)x2=2〃—1

【小问2详解】

由(1)知%=2n-l,

则s/(…)/(1+2"1)=后

"22

即6=2=_Y_』+______1_______

"44+1(2n-l)(2«+l)41(2/I-1)(2H+1)

^4-----T

48(2几-12n+lJ

n1f11111)

故<=—+—1——+———+L+-—------

"4、3352n-l2n+l)

=­I-1---------=—I-----------=--------.

48V2n+lJ48〃+44n+2

17.己知椭圆C：W+：=l（a〉6〉0）过[1,：和3,半j两点.耳，鸟分别为椭圆的左、右焦点，P为

椭圆上的点（P不在x轴上），过椭圆右焦点居的直线/与椭圆交于两点.

（D求椭圆的标准方程；

（2）求的范围.

22

【答案】（1）L+2L=i

43

（2）[3,4]

【解析】

【分析】（I）将点（1,6,（夜，手）代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程；

（2）分类讨论直线斜率是否为0,从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到

关于〃2的关系式，再分析即可得解;

【小问1详解】

由题意可知，将点代入椭圆方程,

9

1,1-1

L店一1

得《，解得/=44=3,

6

2,4,

所以椭圆的标准方程为—+^=1.

43

【小问2详解】

由（1）知耳（—1,0）,耳（1,0）,

当直线/的斜率为0时，|A@=2a=4,

当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为1=%+1,6（%，%），

（22

土+匕=1

联立《43，消去x,得（3加2+4）/+672—9=0,

x=my+l

易得A=（6m）2+36（3m2+4）>0,则%+%=,%%=、:，

3m+43m+4

所以|=，（％-%『+（%-X）2=Vl+m2+4%%

-6mV_9）_12—+12_4_4

3m2+4J13m~+4J3m~+43m2+4

4,,

因为m220,所以37川+424,所以0<一；一<1,所以3WA5<4,

3斤+411

综上，3<|AB|<4,即|钻|的范围是[3,4].

18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电

池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先

进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成

工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与

新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件

产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零

部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如

（1）从质量指标值在［55,75）的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽

取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.

（2）经估计知这组样本的平均数为8=61，方差为S?=241.检验标准中为=5xj=一卜

2=5x-^―,“eN*，其中国表示不大于X的最大整数，｛尤｝表示不小于X的最小整数，S值四

舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在［a，4］内，则可以判断

技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在［%，8］内，则可以判断技术改

造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术

改造成功？

【答案】（1）y;

(2)详见解析；

【解析】

【分析】(1)根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；

(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.

【小问1详解】

聚5.65)0.33

由题意可知1-----=-

打65,75)U.Z2

C2+C242

所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：P=32==；

C；105

【小问2详解】

因为$2=241,知s-16,

,uf61-161,U「61+16］ru

贝［|a］=5xj--—>=45,伪=5x---=75,

该抽样数据落在［45,75］内的频率约为0.16+0.3+0.2=66%>65%，

uf61—2x16］”,u「61+2x16］”

又%—5x<------->=30,Z?2=5x-------=90,

该抽样数据落在［30,90］内的频率约为1—0.03—0.04=0.93=93%<95%,，

所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.

19.如图，AD/ABC,且AD=23C,ADLCD,EG//AD且EG=AD,CDI/FG