2022年新高考数学仿真演练综合能力测试(一)(原卷版+解析)

2022年新高考数学仿真演练综合能力测试（一）注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，复数是复数的共轭复数，则（

）A．1 B． C．2 D．2．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（

）A． B． C． D．3．经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A．2 B． C．1 D．4．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．5．若，则（

）A． B． C． D．6．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（

）种．A． B． C． D．7．以椭圆的右焦点F为圆心､c为半径作圆，O为坐标原点，若圆F与椭圆C交于A，B两点，点D是OF的中点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知，若，且，则与2的关系为A． B． C． D．大小不确定二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高B．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高C．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡D．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化10．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（

）A． B．（）C．的图象关于点（，0）对称 D．为偶函数12．已知函数，，则（

）A．函数在上无极值点B．函数在上存在唯一极值点C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为D．若，则的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在数列中，，则的值为__________.14．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.15．已知是边长为的等边三角形，若点在底面上的射影为点，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在内进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和列联表．男女合计优得分不低于90分8良得分低于90分12合计40(1)请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级直接定为一级无需参加面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：，18．在中，角的对边分别，.(1)求；(2)若的周长为4，面积为，求.19．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E为AD的中点．(1)若点M在线段PB上，且直线EM∥平面PCD，确定点M的位置；(2)若AP=AD，AB=AD，求平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．20．已知正项数列，其前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.21．直线交抛物线于，两点，过，作抛物线的两条切线，相交于点，点在直线上．(1)求证：直线恒过定点，并求出点坐标；(2)以为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．22．已知函数，，其中R.(1)讨论的单调性；(2)当时，是否存在，且，使得？证明你的结论.2022年新高考数学仿真演练综合能力测试（一）注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，复数是复数的共轭复数，则（

）A．1 B． C．2 D．答案:C解析：分析：根据复数的运算性质，得到，即可求解.【详解】根据复数的运算性质，可得.故选；C．2．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（

）A． B． C． D．答案:B解析：分析：求出集合，分析可知阴影部分所表示的集合为，利用交集的定义可求得结果.【详解】因为或，则，由题意可知，阴影部分所表示的集合为.故选：B.3．经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A．2 B． C．1 D．答案:A解析：分析：运用点到直线的距离，圆的半径，切线长三者之间的关系求得答案【详解】直线上任取一点作圆的切线，设切点为圆，即圆心，切线长为所以切线长的最小值为故选：A4．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系.【详解】依题意是定义域为R的偶函数，，，，，，，，由于在上单调递增，所以.故选：D5．若，则（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：根据，结合正切的倍角公式，即可求解.【详解】由，可得.故选：D.6．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（

）种．A． B． C． D．答案:B解析：分析：先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.【详解】由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有；第二种：三人一组和三人一组，共有；所以不同的方案一共有：.故选：B.7．以椭圆的右焦点F为圆心､c为半径作圆，O为坐标原点，若圆F与椭圆C交于A，B两点，点D是OF的中点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：由几何性质得出点坐标，代入椭圆方程求解【详解】不妨令点A在第一象限，由D是OF的中点，且，可知△OAF是正三角形，则，将点A坐标代入椭圆C方程可得，即，即，整理得，即，得或.因为，所以，则故选：C8．已知，若，且，则与2的关系为A． B． C． D．大小不确定答案:A解析：分析：先求导求出的极大值点为1，再比较和的大小得出，再根据当时，，单调递减可得．【详解】由题，,令则有，所以当时，当时，，所以,在时取得极大值和最大值.又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在使得,不失一般性令,则,，对于任意的,分别取两点、，现在比较和的大小.，令分子部分为,.求导有,当时,;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A．【点睛】该题考查极值点偏移问题，可以求导求单调性，先画出的图像，直观上观察出，再构造函数分析比较和的大小，进而证明得出不等式．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高B．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高C．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡D．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化答案:BC解析：分析：根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可【详解】对于A从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，故A错误，对于B从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为万元，其次是万元及万元，减免后占比最多的为万元，其次是万元及万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，B正确.对C，从图中看出，推行减免政策后，年收入的中位数是，而减免前年收入的中位数是，所以减免后年收入更加均衡，所以C错误对于D从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误.故选:BC10．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案:ABC解析：分析：根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可.【详解】A：当时，可以成立，本选项结论不正确；B：当时，若，此时成立，因此本选项结论不正确；C：当时，若，，此时成立，因此本选项结论不正确；D：因为，所以，，所以，而，，所以，而，所以，因此，所以本选项结论正确，故选：ABC11．已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（

）A． B．（）C．的图象关于点（，0）对称 D．为偶函数答案:BCD解析：分析：根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】因为是的一个极值点，则，所以A错误；因为，则，可得，令，解得，所以B正确.因为，则，所以C正确；因为，则当为奇数时，为偶函数；当为偶数时，为偶函数，所以D正确.故选：BCD.12．已知函数，，则（

）A．函数在上无极值点B．函数在上存在唯一极值点C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为D．若，则的最大值为答案:AD解析：分析：A选项，二次求导，得到的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到在上单调递增，从而判断出无极值点；C选项，根据A选项得到的的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.故选：AD.【点睛】构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在数列中，，则的值为__________.答案:解析：分析：判断出数列的周期性，由此求得.【详解】依题意，，所以，，，所以数列是周期为的数列，所以.故答案为：14．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.答案:解析：分析：分双曲线焦点在轴或上，分别设出双曲线方程，联立方程组求解即可.【详解】由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上,则可设，则且，联立解得,则双曲线的标准方程为；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设，则，且，此时无解，综上，双曲线的方程为.故答案为：15．已知是边长为的等边三角形，若点在底面上的射影为点，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.答案:解析：分析：分析可知平面，计算出的外接圆直径，可求得三棱锥的外接球的直径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，设球的半径为，则，本题中，由题意可知，是边长为的等边三角形，平面，可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，点为圆上一点，且为圆柱的一条母线，的外接圆直径为，所以，三棱锥的外接球直径为，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．答案:解析：分析：设出边长，通过做辅助线，将转化为，然后利用解三角形的知识，把和表示出来，建立函数关系求解最值即可.【详解】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．设，，，在中，由勾股定理得，则，BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等边中，F为MN中点，则，，，在中，由余弦定理得，当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，当且仅当时等号成立．∵关于b的函数在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立．∴，当且仅当，时等号成立.故答案为：．【点睛】在处理平面向量的应用问题的时候，需要注意的是，动点在线段上，那么该点的横纵坐标是有范围限制的.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分笔试得分都在内进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和列联表．男女合计优得分不低于90分8良得分低于90分12合计40(1)请完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在内的岗位等级直接定为一级无需参加面试环节；笔试得分在内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：，答案:(1)表格见解析，没有；(2)①；②.解析：分析：（1）根据频率直方图求出得分不低于90分的人数，结合所给的公式和数据进行求解判断即可；（2）①根据古典概型的计算公式，结合和事件的概率公式进行求解即可；②分类运算即可得解.(1)得分不低于90分的人数为：，所以填表如下：男女合计优得分不低于90分8412良得分低于90分161228合计241640所以，因此没有的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)不低于85分的员工的人数为：，直接定为一级的概率为，岗位等级初定为二级的概率为：，岗位等级初定为三级的概率为：.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：.18．在中，角的对边分别，.(1)求；(2)若的周长为4，面积为，求.答案:(1)(2)解析：分析：（1）利用、和诱导公式、两角和差的余弦公式进行化简，再结合角的范围进行求解；（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长公式得到关于的方程组进行求解.(1)解：因为，所以，即，所以，因为，所以,所以又，故，所以，即；(2)解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面积为，即，所以，.19．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E为AD的中点．(1)若点M在线段PB上，且直线EM∥平面PCD，确定点M的位置；(2)若AP=AD，AB=AD，求平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．答案:(1)为的中点(2)解析：分析：（1）先假设存在，再证明.设平面交直线于，连接.由平面，证明出四边形为平行四边形，进而证明出且，即可判断出点为的中点.（2）以A为原点，以垂直所在直线为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求解.(1)为的中点时，直线EM∥平面PCD.证明如下：设平面交直线于，连接.因为平面，则.因为，则平面，从而，所以四边形为平行四边形，从而.因为为的中点，则，所以又，所以点为的中点.(2)因为平面，则，，以A为原点，以垂直所在直线为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.因为，则.所以点，，，，，,设平面的一个法向量为，则,得不妨令，得，，所以因为平面，所以为平面的一个法向量.设平面与平面所成锐二面角为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为20．已知正项数列，其前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.答案:(1)证明见解析，；(2)不存在，理由见解析.解析：分析：（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.(1)依题意，正项数列中，，即，当时，，即，整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，因为是正项数列，即，所以.(2)不存在，当时，，又，即，都有，则，假设存在满足要求的连续三项，使得构