洛平许济2023-2024学年高三第四次质量检测 数学试卷

密封线内不要答题

口

洛平许济2023——2024学年高三第四次质量检测

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a,b均为单位向量，且夹角》,则|a+bl=

A.B.1C.√2D.√3

2.过抛物线y²=8x的焦点的直线交抛物线于A,B两点，若AB中点的横坐标为4,则IABl=

A.16B.12C.10D.8

3.已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，下列命题为真命题的是A.若mこα,nα,m//β,n//β,则α//βB.若m//α,nCα,则m//n

C.若n//m,mα,nCα,则m//αD.若α//β,mCα,nβ,则m/ln

4.为加强校企合作，促进大学毕业生就业，某企业欲从本市科技大学的农学院、外国语学院、管理学院这三个学院招录6名大学生，每个学院至少招录1名，则不同的名额分配方案有

A.10种B.20种C.216种D.729种

5.已知等比数列|a₄|的公比为g,若a₁+a₂=12,且a₁,a₂+6,a₃成等差数列，则q=

AB

C.3D.-3

6.在△ABC中，AB=3√工，(,AD⊥AC,且AD交BC于点D,AD=3,

则sinC=

C.

日

A

B.

7.若关于x的不等式

A

恒成立，则实数m的最大值为

C.1D.e²

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8.已知点F₁(-c,0),F₂(c,O)分别是椭圆的左、右焦点，过F;的相切，切点为S,直线l与椭圆交于点P,且点S

在P与F₂之间，若△PF₁F₂的面积为b²,则椭圆的离心率为

A.

C.

B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知复数,四为w的共轭复数，则

A.w·w=1B.u²+o²=w+o

C.1+w+w²=(D.w+w²+w³+…+w²02⁴=1

10.已知函数ʃ(x)=sin²x+cos³x,则

A.当f(α)<0时，B.函数)为偶函数

c.K)在区间上单调递增D.f(x)的最大值为I

11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C,D₁中，E是棱DD,上的动点(不含端点),过

A,B₁,E三点的平面将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是

A.正方体被平面AEB,所截得的截面形状为梯形

B.存在一点E,使得点A,和点C到平面AEB,的距离相等

C.正方体被平面AEB,所截得的截面的面积随着线段D,E的

长度的增大而增大

D.当正方体被平面AEB,所截得的上部分的几何体的体积为

时，E是DD,的中点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.定义集合运算：A×B=|zlz=xy(x+y),xεA,yeB|,若集合A=|0,2|,B=|-1.11,则集合AB中所有元素之和为

13.在△ABC中，lanA=3tanB,A-B的最大值为φ.若函数ʃ(x)=sin(wx+φ)(w>0)在

上单调递增，则w的最大值为

14.已知函数ʃ(x)的定义域为R,若ʃ(x-y)=f(x)f(y)+ʃ(1+x)f(1+y),且

(0)≠ʃ(2),则f(1

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D,中，底面

ABCD为平行四边形，侧棱DD,⊥平面ABCD,

AB=2AD=2A₁B₁=4,∠ADC=120°.

(1)证明：平面DBB₁D₁⊥平面ADD₁A;

(2)若四棱台ABCD-A₁B₁C₁D,的体积；

求直线B₁C与平面ADD₁A,所成角的正弦值.

16.(15分)

某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人，对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考

生数学成绩的平均数为z=110.据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差S;

(2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布

N(μ,σ²),其中参数μ和σ可以分别用(1)中的x和S来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y,若Y=5X-10,试估计这20000名优秀考生中总成绩Y∈[600,660]的人数

附：6≈2.4.

若X～N(μ,σ²),则P(μ-o≤X≤μ+o)=0.6827,P(μ-2o≤X≤μ+2o)=0.9545,

17.(15分)

(1)当a=2时，求曲线y=ʃ(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若ʃ(x)有两个极值点b,c,记过两点B(b,f(b)),C(c,f(c))的直线的斜率为k,是否存在实数a,使k+a=2成立?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

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18.(17分)

已知点A(-√3,0),B(√3,0),动点V满足直线VA与直线VB的斜率之积),动点V的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)直线PQ与曲线C交于P,Q两点，且BP⊥BQ,BM⊥PQ交PQ于点M,求定点N的坐标，使|MNI为定值；

(3)过(2)中的点N作直线交曲线C于G,H两点，且两点均在y轴的右侧，直

线AG,BH的斜率分别为k,kz,求的值.

19.(17分)

定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是儿.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式

a₄Q₂-…a₁Qgup(a₄,Q₀-1,…,a₁,Q₀∈N,O<a₄<k,O≤a₄-i,…,a₁,a₀<k).

k进制的数也可以表示成不