1.2.1同角三角函数的关系

同角三角函数的关系（2014•汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故选：B．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．（2013•乐山）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系；坐标与图形性质．【分析】过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中求出OP，继而可得sinα的值．【解答】解：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE中，tanα==，解得：m=4，则OP==5，故sinα=．故选A．【点评】本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．（2013•连云港）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．【解答】解：∵sin2A+cos2A=1，即（）2+cos2A=1，∴cos2A=，∴cosA=或﹣（舍去），∴cosA=．故选：D．【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α=1．（2011•日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1【考点】同角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA==，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=•=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．（2010•茂名）已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=（）A．4 B．3 C． D．5【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．【解答】解：由sinα==知，如果设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴cosA==，∴5cosA=4．故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．（2007•雅安）若α是直角三角形的一个锐角，sinα=cosα，则=（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】把sinα=cosα代入原式，转化为关于cosα的式子，约分即可．【解答】解：把sinα=cosα代入原式，则原式==．故选C．【点评】本题较简单，把已知关系代入原式化简即可．（2004•东城区）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明：同一个角的正弦和余弦的平方和等于1．【解答】解：因为在△ABC中，∠C=90°，所以根据同角三角函数的关系，得cosA==．故选：A．【点评】解答此题要用到同角三角函数关系式，同角三角函数关系常用的是：sin2x+cos2x=1；tanx•cotx=1．（2004•朝阳区）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么cotA等于（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明同角三角函数关系常用的是：sin2x+cos2x=1；tanx•cotx=1；=tanA；=cotA．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，cosA=，∴sinA==．∴cotA===．故选C．【点评】解答此题要用到同角三角函数关系式，进行熟练计算．（2004•呼和浩特）在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=，则tanA等于（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据cosA=求出第三边长的表达式，求出tanA即可．【解答】解：∵cosA==，AC=12，∴AB=13，BC==5，∴tanA==．故选D．【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．（2003•苏州）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则等于（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据sinA=设出两边长，再利用勾股定理求出第三边长，进而可求出．【解答】解：∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；∴tanA====，故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．（2002•包头）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，则sinB的值为（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据同角三角函数关系：sin2x+cos2x=1求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，cosB=，∴sinB==．故选B．【点评】解答此题要能够熟练运用同角三角函数关系式进行计算．（2001•广州）如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是（）A． B． C． D．2【考点】同角三角函数的关系．【专题】压轴题．【分析】因为cosα=所以利用sin2α+cos2α=1直接解答即可．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴sinα===．故选C．【点评】本题利用了同角的三角函数式sin2α+cos2α=1来求解．（2000•湖州）sin230°+cos230°的值为（）A．1 B． C．2 D．【考点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：因为sin30°=，cos30°=，所以sin230°+cos230°=+=1，所以sin230°+cos230°=1．故选A．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．（1999•天津）已知sinα+cosα=m，sinα•cosα=n，则m、n的关系是（）A．m=n B．m=2n+1 C．m2=2n+1 D．m2=1﹣2n【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据同角三角函数的关系及完全平方公式作答．【解答】解：∵（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinα•cosα，又∵sin2α+cos2α=1，sinα+cosα=m，sinα•cosα=n，∴m2=2n+1．故选C．【点评】本题主要考查了同角三角函数的关系及完全平方公式．（1997•台湾）∠A为锐角，且sinA=，则tanA之值为（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】首先利用同角的正弦值和余弦值的关系求出∠A的余弦值，然后根据tanA=sinA÷cosA来得到所求的结论．【解答】解：∵∠A为锐角，且sinA=，sin2A+cos2A=1，∴cosA=，∴tanA===．故选D．【点评】此题主要考查的是同角的三角函数关系，要熟记sin2A+cos2A=1，tanA=这两个关系式．（2003•陕西）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据tanA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵tanA==，∴设a=x，则b=2x，则c==x．∴sinA===．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．（2002•西城区）如果α是锐角，且sin2α十cos235°=1，那么α=35度．【考点】同角三角函数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据锐角三角函数的概念，可以证明：同一个角的正弦和余弦的平方和等于1．【解答】解：∵sin2α十cos235°=1，∴α=35°．【点评】解答此题要用到同角三角函数关系式，同角三角函数关系常用的是：sin2x+cos2x=1；tanx•cotx=1．（2001•呼和浩特）若tanα+cotα=3，α为锐角，则tan2α+cot2α=7．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据tanα•cotα=1并将tanα+cotα=3两边平方可得tan2α+cot2α的值．【解答】解：∵tanα•cotα=1，tanα+cotα=3，∴（tanα+cotα）2=9，即tan2α+cot2α+2tanα•cotα=9，∴tan2α+cot2α+2=9，∴tan2α+cot2α=7．【点评】本题考查了对同角的三角函数的关系：tanα•cotα=1应用．（1999•哈尔滨）若锐角A满足tanA﹣cotA=2，则tan2A+cot2A=6．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据同角三角函数的关系及完全平方公式作答．【解答】解：∵tanA﹣cotA=2，∴（tanA﹣cotA）2=4，∴tan2A+cot2A﹣2tanA•cotA=4．又∵tanA•cotA=1，∴tan2A+cot2A=4+2=6．【点评】本题主要考查了同角三角函数的关系．（1997•甘肃）sin2α+cos2α=1（α是锐角）．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据锐角三角函数的概念以及勾股定理即可求解．【解答】解：设直角△ABC中，∠C=90°，∠A=α，α的对边是a，邻边是b，斜边是c．则有a2+b2=c2，sinα=，cosα=，所以sin2α+cos2α===1．故答案为1．【点评】此题综合运用了锐角三角函数的概念和勾股定理．要熟记这一结论：sin2α+cos2α=1，由一个角的正弦或余弦可以求得这个角的余弦或正弦．（1997•陕西）在Rt△ABC中，∠C=90°，则M=sinA+cosA和N=﹣x2+1的大小关系是M＞N．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据锐角的正弦和余弦的定义表示出M，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出M＞1，根据非负数的性质求出N≤1，即可得解．【解答】解：如图，M=sinA+cosA=+=，根据三角形的三边关系，BC+AC＞AB，∴M＞1，∵﹣x2≤0，∴N=﹣x2+1≤1，∴M＞N．故答案为：＞．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，非负数的性质，根据三角形的任意两边之和大于第三边确定出M的值是解题的关键．（2010•黔东南州）已知α为锐角，且，求的值．【考点】同角三角函数的关系．【分析】锐角三角函数值是在直角三角形中定义的，将∠α设为直角三角形的一个锐角，根据定义确定∠α的邻边及斜边，运用勾股定理求∠α的对边，再求∠α的其它三角函数值，代入算式计算．【解答】解：如图，设∠α为直角三角形的一个锐角，∵cosα=，∴设α的邻边为1k，斜边为3k，由勾股定理，得α的对边为=2k，∴tanα=2，sinα=，故=2+=2+3﹣2=3．【点评】本题考查了同角三角函数关系．关键是将锐角三角函数值转化到直角三角形中，根据锐角三角函数的定义求解．（2008•庆阳）附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=，cosA=，tanA=．我们不难发现：sin260°+cos260°=1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．【考点】同角三角函数的关系．【专题】压轴题；探究型．【分析】利用锐角三角函数的概念：sinA=，cosA=，tanA=对（1）sin2A+cos2A=1；（2）用tanA=进行证明．【解答】解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=．证明：（1）∵sinA=，cosA=，a2+b2=c2，∴sin2A+cos2A==1．（2）∵sinA=，cosA=，∴tanA==，=．【点评】本题通过利用勾股定理和