2023-2024学年高二数学单元速记-计数原理（知识归纳+题型突破）（解析版）

第六章计数原理(知识归纳+题型突破)

基础知识归纳

知识点1:分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有加种不同的方法,在第2类方案中有〃种不同的方法，

那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.

知识点2：分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么完成这件事共有

N=mxn种不同的方法.

知识点3：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广

(1)完成一件事有〃类不同方案,在第1类方案中有叫种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,

……,在第〃类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=%+加？+…+掰”种不同的方法.

(2)完成一件事需要〃个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法,……，做第〃步

有加"种不同的方法,那么完成这件事共有N=M]X加2、…x加”种不同的方法.

知识点4：排列与组合的概念

名称定义

按照一定的顺序排成一列，叫做从

排列〃个元素中取出加个元素的一个

从“个不同元素中取出加排列

(m＜)个元素作为一组，叫做从〃个元素中取出

组合m个元素的一个组合

知识点5：排列数与组合数

(1)排列数：

从〃个不同元素中取出取出加(加＜")个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个元素中取出加个元素

的一个排列数，用符号4：表示

(2)组合数：

从“个不同元素中取出加(加＜")个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个元素中取出加个元素的一

个组合数，用符号表示

知识点6：排列数、组合数的公式及性质

〃！

(1)4：=n(n-1)(72-2)•••(«-m+1)=---:——

(n-m)\

,八iAn〃(〃-1)(〃-2>-(〃-加+1)n\

(2)C=-----二--------------------------=----------

"蜀m!m\(n-m)l

(3)0!二l

(4)C：=C「C；+C；T=CM

知识点7：二项式定理

(1)二项式定理

一般地,对于每个左(左=0,1,2,…〃)，伍+6厂的展开式中储共有C：个，将它们合并同类项,

nl22nrr

就可以得到二项展开式：(a+by=cyb°+C\a-b'+cy-b+■■■+Cna-b+-■•+C,，％"(〃eN*).

这个公式叫做二项式定理.

(2)二项展开式

nnlln

公式中：(«+by=C°ab°+C\a-b+C：a-2b2+…+ebb"+•••+C；a°b,neN*等号右边的

多项式叫做(a+b)"的二项展开式.

(3)二项式系数与项的系数

二项展开式中各项的二项式系数为Cf(左=0」,2,…〃)，项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符

号等.

(4)二项展开式的通项

二项展开式中的CM"""(4=0』,2,…〃)叫做二项展开式的通项，用A』表示,即通项为展开式的第

女+1项：〃+I.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心，它

在求展开式的某些特定项(如含指定幕的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有

着广泛的应用.

知识点8：二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：C：=C；k

②增减性：当左(上一时，二项式系数递增，当左〉上一时，二项式系数递减；

22

③最大值：当〃为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当〃为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

知识点9：各二项式系数和

(1)(a+6)"展开式的各二项式系数和：

C；+C：+…+C/+…+C：=2"(〃eN*)；

(2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

C：+C+..Y+《+…=2"1〃eN*)

重要题型

题型一：乘法原理和加法原理

例题1.（2023上•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家

对冰雪运动的兴趣.若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项

进行体验，则不同的选法共有（）

A.12种B.24种C.64种D.81种

【答案】C

【详解】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法原理，不同的选法共有4x4x4=64种.

故选：C.

例题2.（2024上•上海•高二上海市校考期末）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加

3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目

的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种.

【答案】990

【详解】原准备的节目表中10个节目，可产生9个空位（不包含两端），赈灾节目不排在第一个也不排在

最后一个，并且已经拍好的10个节目顺序不变，第一个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，共有9种

方法；

当第一个赈灾节目插入后，11个节目会产生10个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何

一个位置，有10种方法；

当第二个赈灾节目插入后，12个节目会产生11个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何

一个位置，有11种方法；

根据分步乘法计数原理，不同的节目表可排出9x10x11=990种，

故答案为：990

例题3.（2022上•上海嘉定•高二校考期中）已知a,6G{0,1,2,9},若满足|。一551,则称。，歹心

有灵犀”.则。，6“心有灵犀”的情形共有.

【答案】28种

【详解】当"为。时，》只能取0,1两个数；

当"为9时，6只能取8,9两个数；

当。为其它数时，。都可以取三个数，例如。=1时，b可取0,1,2.

综上，一共有2+2+3x8=28种情形.

故答案为：28种

例题4.（2023上•高二课时练习）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地

有4条路，从丙地到丁地有2条路.那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过

一次，有多少种不同的走法?

【详解】从甲地到丁地的走法可以分成两类：

第一类：从甲地经由乙地到丁地.这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到乙地，有2种走法；再从乙地

到丁地，有3种走法.根据乘法原理，这一类走法的种数为2X3=6.

第二类：从甲地经由丙地到丁地.这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到丙地，有4种走法；再从丙地

到丁地，有2种走法.根据乘法原理，这一类走法的种数为4x2=8.

根据加法原理，从甲地到丁地共有6+8=14种不同的走法.

巩固训练

1.（2023上•上海•高二校考阶段练习）正整数240的正约数有_____个.

【答案】20

【详解】240=2"x3x5,其正约数的构成是2卯5«的形式的数，其中i=0,1,2,3,4;7=0,1；k=0,

1;

故其不同的正约数有5x2x2=20个.

故答案为：20.

2.（2023下•上海宝山•高二上海市吴淞中学校考期中）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字且为偶

数，这样两位数的个数有个

【答案】16

【详解】当个位数字是8时，十位数字取1,2,3,4,5,6,7,只有7个.

当个位数字是6时，十位数字可取1,2,3,4,5,共5个.

当个位数字是4时，十位数字可取1,2,3,共3个.

同理可知，当个位数字是2时，有1个，

当个位数字是0时，共0个.

由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1+3+5+7=16（个）.

故答案为：16

3.（2023上•高二课时练习）如图，要接通从N到3的电路，只有一条支路连接，则不同的接通方法有多

少种？

【答案】3.

【详解】解：如图所示:

只有一条通电线路时：匕、鱼《（注：左2左3表示同时闭合开关后2，/，下同）、左2自，共3种情况.

4.（2023上•高二课时练习）某服装厂为学校设计了4种样式的上衣、3种样式的裤子.若取其中的一件

上衣和一条裤子配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服？

【答案】12

【详解】第一步从4种样式的上衣中取一件，有4种办法；

第二步从3种样式的裤子中取一件，有3种办法；

所以共有4x3=12种不同的不同样式.

题型二：排列组合计算问题

例题1.（2024上•上海•高二上海市控江中学校考期末）若P；="P；,贝l」〃=.

【答案】7

【详解】由题意知，P：=〃P；,则〃5-1）=加6,

由〃eN*,解得"=7.

故答案为：7

例题2.（2023上•上海嘉定•高三上海市嘉定区第一中学校考期中）若24c：=邛，则根=.

【答案】4

24P"'

【详解】因为24C；=P；,即寸=P：,所以琮=24,

1m

因为4x3x2x1=24,所以加=4.

故答案为：4

P7_p5

例题3.（2023上•高二课时练习）已知〃是正整数，且。H=89.求〃的值.

【答案】15

【详解】因为与短=89,所以$1=89,即圣=90,

rnr〃r〃

即(〃—5)(〃—6)=90,

所以:卜。，

整理得"一11九-60=0,解得〃=15或〃=-4（舍）.

例题4.（2023上•高二课时练习）解关于正整数x的方程:

d）q；cr；

(2)CU+CU=；A".

【答案】⑴X=1或x=3

(2)x=6

【详解】(l)x为正整数，

由C：6r=可得12一%二51一5或%2-%+5%-5=16,

故*_6%+5=0或％2+4X-21=0,解得x=l或x=5或％=3或%=-7(舍去),

又Y_%,5%-5均为整数，S0<X2-X<16,0<5X-5<16,

所以、=1或x=3符合要求，％=5不符合要求,

故x=l或x=3

（2）由组合数的性质可得cH=c：,cU=c",4+cL=c"

所以由此,+cr,1=A5Z可得小,丁1,/，进而可得(票x+3)!l(x+3)!111/、

解得x=6或x=-5（舍去），

x+2>0

x+3>0,,

由于,所以x23,故只取x=6,1=一5舍A去,

x-3>0

x-2>0

巩固训练

1.（2023上•上海•高二校考阶段练习）方程C]=的解是.

【答案]》=4

(x+3)!J_(x+3)!

【详解】由C\=P2可得:

《5!(x+3-5)!1F~

1_11

120（x-2）!-10-x（x-l）（x-2）!*贝”一12=°

所以x=4或x=-3（舍去）,

将检验，x=4是原方程的解.

故答案为：x=4.

2.（2023下•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习）若正整数”满足不等式A：412C：,则

n=

【答案】5

【详解】由A：W12C；,得〃（〃一1）（〃一2）（〃一3）（〃一4）412x也二近二9,且“25,

3x2x1

化简整理得“2-7”+10W0,解得2V〃V5,

又因为"25,所以“=5.

故答案为：5.

3.（2023上•高二课时练习）解关于正整数x的不等式与<6P]2.

【答案】x=8

【详解】由P；<6P]2,可得8x7xLx（8-x+l）<6x8x7xLx（8-x+3）,

所以（8-x+2）（8-x+l）<6,整理得x2-19x+84<0,

解得7<x<12,

又因为xW8,xeN*,所以x=8.

4.（2023上•高二课时练习）设〃为正整数，求值：

⑴-+C宵；

（2）C；L+C£+C窜+…+C?.

【答案】（1）4或7或11

（2）124

,—fn-1<2«-3,

【详解】⑴由题意知、.•.2<»<4,

\2n-3<714-1,

又•・•〃EN*,「.〃取2,3,4.

当〃=2时，值为4；当〃=3时，值为7；当〃=4时，值为11.

f13

3H<13+«2

17

（2）依题意，,17-〃42〃，BP<n>—,解得〃=6,

RT*3

I«GN

所以，原式=C：；+C：；+C：；+…+C：；=C]9+C；8+C[7+---+C]2=19+18+17+…+12=124.

题型三：排列组合综合问题（捆绑法）

例题1.（2023上•河南驻马店•高二校联考期末）A,B,C,D,£五人站成一排，如果A,3必须相邻,

那么排法种数共有（）

A.24B.120C.48D.60

【答案】C

【详解】将A,3看成一体，A,8的排列方法有A；种方法，然后将A和3当成一个整体与其他三个人一

共4个元素进行全排列，即不同的排列方式有A：,根据分步计数原理可知排法种数为A：A：=48,

故选：C.

例题2.（2024・全国•模拟预测）4仇。,。,£,尸这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻，且A排在C的

左边，3与。不相邻，则这6位同学站队的不同排法数为（）

A.72B.48C.36D.24

【答案】A

【详解】依题意：因A与C相邻，且A排在C的左边，把A与C看成一个元素与瓦尸先排有A；种排法，

因3与。不相邻，把B、。采用插空法有A；种排法，则共有A；.A；=72,

故选：A.

例题3.（2023上•江苏连云港•高三校考阶段练习）2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特

色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、

《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行

排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为（用数字作答）.

【答案】12

【详解】由于《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为A；A；=12

种.

故答案为：12

巩固训练

1.（2024上•河南南阳•高二校联考期末）某观光旅游团计划在春节期间，安排游人去某地的甲、乙、丙、

丁等六个小镇游览，每个小镇游览一天，连续游览六天.若小镇甲不排在首末两天，乙、丙、丁三个小镇排

在相邻的三天，则不同的游览顺序方案共有种.

【答案】72

【详解】分步：

第一步，把乙、丙、丁三个小镇捆绑，看成一个元素，三个小镇的游览顺序有A：=6种方案；

第二步，将该整体与其他三个小镇作为4个元素，依次对应4个游览位置进行安排，中间2个位置选一个

作为小镇甲的游览有C；=2种方案；

第三步，剩余三个元素进行全排有A；=6种方案.

根据分步乘法计数原理可知，不同的游览顺序方案共有6x2x6=72种.

故答案为：72.

2.（2024上•辽宁•高二盘锦市高级中学校联考期末）现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语

言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有种.

【答案】144

【详解】采用捆绑法，将同一类的书放在一起后排列可得A；A；A；A；=2x2x6x6=144.

故答案为：144.

3.（2023上•陕西汉中•高二校联考阶段练习）从48,C等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数

字作答）

（1）若A必须在内，有多少种排法？

（2）若42,C都在内，且45必须相邻，C与48都不相邻，有多少种排法？

【答案】（1）1800

（2）144

【详解】（1）解：根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，

共有C：A；=1800种排法.

（2）解：根据题意，先在其他4人中选出2人，有C：=6种选法，

将48看成一个整体，与选出2人全排列，有A；A；=12种选法，

排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C,有2种情况，

所以，共有6x12x2=144种不同的排法.

题型四：排列组合综合问题（插空法）

例题1.（2024上•上海•高二上海南汇中学校考期末）8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都

不相邻的排法种数是（）

8

A.P/P：B.P】P；C.D.P8-P：

【答案】A

【详解】由题意，先排剩下的5个人，共有P：种排法，

再将甲乙丙三个人插入剩余的6个空位，共有P；种排法，

故总共有P】P；种排法.

故选：A

例题2.（2023•上海徐汇•统考一模）要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺

术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数

是.

【答案】24

【详解】先排第一节有C；种排法，

再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有A；种不同排列，

并形成3个空排艺术、体育两门科目，有A；种排法，

故不同的排课方法有C；・A；.A；=24种方法.

故答案为：24.

例题3.（2023上•上海松江•高二上海市松江二中校考阶段练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、

射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”

与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是.

【答案】144

【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有A；

种，

然后与“礼”、“数”进行排序,共有A；种,

最后将“乐，，与“书，，插入4个空即可，共有A；种，

由于是分步进行，所以共有人；.&仄；=144种.

故答案为：144.

巩固训练

1.（2024上•上海•高二校考期末）四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种

数是.（结果用数字作答）

【答案】480

【详解】先排男生，再将女生排到5个空位里，有人办；=24、20=480种情况.

故答案为：480

2.（2023上•上海•高二上海市第二中学校考阶段练习）6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共

有种不同的排法.

【答案】480

【详解】插空法，^4=480.

故答案为：480.

3.（2023上•上海浦东新•高三校考期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、

血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和

胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有种.

【答案】12

【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有A；=2种情况，

再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有A；=6种情况

最后将抽血放在第一位，有1种情况，

所以共有2x6x1=12种情况，

故答案为：12

题型五：排列组合综合问题（特殊元素法）

例题1.（2024上•上海•高二上海南汇中学校考期末）学校安排甲乙丙丁4名运动员参加4x100米接力赛，

其中甲不跑第一棒，则共有种不同的接力方式.

【答案】18

【详解】甲先在第二、三、四棒中选一棒，有A；种选法，

乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有A；种选法，

所以一共有A；A：=18种接力方式，

故答案为：18.

例题2.（2023下•上海静安•高二统考期末）7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有^种

排法.

【答案】240

【详解】先排甲和乙，有A：=2种排法，

再排其他5人，有排=120种排法,

根据分步乘法计数原理，共有2x120=240种排法.

故答案为：240

例题3.（2023下•上海浦东新•高二华师大二附中校考期中）用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数

abode，其中满足">，>c<"<e的五位数有n个,则在l+（l+x）'+（l+x）2+（l+x）3+…+（l+x）”的展开式中，

尤2的系数是（用数字作答）

【答案】35

【详解】abate中a>b>c<d<e,贝|jc=l,ab与"e分别为定序排列，

从2、3、4、5中任选2个数为则剩余的2个数为d,e,

故这样的五位数有C；=6个，所以〃=6,

则i+（i+x），（i+xy+（1+丫丫+…+（i+x『的展开式中，

一的系数为C；+C；+C"-+C：=c+C；+C+..•+《=C；=35.

故答案为：35.

巩固训练

1.（2023下•上海普陀•高二曹杨二中校考阶段练习）5位同学和2位老师一起拍照，要求排成一排，2位

老师相邻但不排在两端，则不同的排法共有种.（结果用数字表示）

【答案】960

【详解】首先排2位同学到两端，有A；种排法，

再排其余3位同学与2位老师，其中老师需相邻，故有A：A；种排法，

按照分步乘法计数原理可得一共有A；・A；♦A：=960种排法；

故答案为：960

2.（2023下•上海浦东新•高二华师大二附中校考期中）A.B、C、E五名同学站成一排合影，若N不

站在两端，5和C相邻，则不同的站队方式共有种（用数字作答）

【答案】24

【详解】因为5,C相邻，将5,C排在一起并看成一个整体，有P；种方法，

N不站两端，有2种方法，

D,E与5C,进行3个元素的全排列，有P；=6种方法，

故不同的站队方式共有P；x2xP；=24种.

故答案为：24.

3.（2023下•上海浦东新•高二上海市川沙中学校考开学考试）有7人站一排，甲既不站在排头、也不站在

排尾，有________种不同站法.

【答案】3600

【详解】有7人站一排，甲既不站在排头、也不站在排尾，有A；xA：=3600.

故答案为：3600

题型六：排列组合综合问题（间接法）

例题1.（2023上•上海长宁•高三上海市延安中学校考期中）从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目

的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.

【答案】54

【详解】若甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有A；=60种不同参赛方案，

若没有甲、乙入选的不同参赛方案共有A；=6种，

所以甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有60-6=54种.

故答案为：54.

例题2.（2023下•上海黄浦•高二上海市大同中学校考阶段练习）某教师一天上3个班级的课，每班上1

节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），

那么这位教师一天的课表的所有不同排法有种.

【答案】474

【详解】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节课，有A；=504种排法，

其中上午连排3节课的有3xA；=18种，下午连排3节课的有2xA；=12种，

则这位教师一天的课表的所有不同排法有504-18-12=474种.

故答案为：474.

例题3.（2023上•高二课时练习）平面上有10个点，其中有4个点在同一条直线上，除此以外，不再有

三点共线.问：由这些点可以确定多少条直线？

【答案】40

【详解】方法一（直接法）共线的4点记为4B,C,D.

第一类：A,B,C,。确定1条直线

第二类：A,B,C,O以外的6个点可确定C；条直线；

第三类：从4B,C,O中任取1点，其余6点中任取1点可确定C；C：条直线.

根据分类计数原理，共有不同直线1+C；+C；煤=1+15+24=40（条）.

方法二（间接法）10个点取2个点共有C；。种，

4个共线点取2个共有C；种，以上均表示同一条直线，再加上4个共线点所在的直线，

则可确定不同的直线有-C；+1=40（条）.

巩固训练

1.（2022上•上海徐汇・高三上海市南洋模范中学校考开学考试）将编号为1,2,3,4的四个小球放到三

个不同的盒子里，每个盒子至少放一个小球且编号为1,2的两个小球不能放到同一个盒子里，则不同放法

的种数有.（用数字作答）•

【答案】30

【详解】由题意得4个小球有2个放在一个盒了里的种数是C：,

把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有P；种结果，

而编号为1,2号小球放在同一个盒子里有P；=6种结果，

所以编号为1,2的小球不放到同一个盒子里的种数是C；P；-6=30.

故答案为：30.

2.（2021上•上海奉贤•高二上海市奉贤中学校考阶段练习）从5个男生、4个女生中任取2人参加校庆活动,

至少有1名女生的选择种数为.

【答案】26

【详解】解：依题意，至少有1名女生的选择种数为C；-仁=26种.

故答案为：26

3.（2023上•高二课时练习）某小组共有10名学生，其中女生3名.现任选2名代表，则至少有1名女生

当选的选法有多少种？

【答案】24

【详解】根据题意，从10名学生中选2名代表，有C；。=45种选法，

其中没有女生，即全部为男生的选法，有C；=21种，

则至少有一名女生的选法有45-21=24种.

题型七：数字排列问题

例题1.（2023上•高二课时练习）在300和800之间，有多少个没有重复数字的奇数？

【答案】176

【详解】一个三位奇数的个位上的数字必是奇数，且因为不允许有重复数字出现，当一个奇数字（1、3、5、

7、9）作为个位数时，它就不能作为百位数.所以符合条件的数可以按百位上的数字是奇数或偶数分成两

类：

第一类：百位上的数字是偶数.这样的三位数可以由以下三个步骤确定：

第一步，百位上的数字从4和6中任选一个，有2种选法；

第二步，个位上的数字从1、3、5、7、9中任选一个，有5种选法；

第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法.

根据乘法原理，这一类奇数的个数为2x5x8=80.

第二类：百位上的数字是奇数.这样的三位数可以由以下三个步骤确定：

第一步，百位上的数字从3、5、7中任选一个，有3种选法；

第二步，个位上的数字从余下的4个奇数中任选一个，有4种选法；

第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法.

根据乘法原理，这一类奇数的个数为3x4x8=96.

根据加法原理，在300和800之间共有80+96=176个没有重复数字的奇数.

例题2.（2022下•上海松江•高二上海市松江二中校考期末）（1）用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无

重复数字的五位数？

（2）用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成

一个数列{«„},则240135是第几项.

【答案】（1）600；（2）193.

【详解】（1）由于是五位数，首位数字不能为0,

首位数字有A；=5种排法；

其它位置有A；=120种排法；

所以，用0,1,2,3,4,5可以组成5x12=600个无重复数字的五位数.

（2）由于是六位数，首位数字不能为0,

首位数字为1有A；个数，

首位数字为2,万位上为0,1,3中的一个有3A：个数，

从小到大排列，240135是第A；+3A：+1=193个，

即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{«„},240135是数列的第193项

巩固训练

1.（2023上•高二课时练习）从2、3、4、5六个数字中任取四个数字，可以组成多少个没有重复数字、

且为奇数的四位数？

【答案】144

【详解】依题意，因为这个四位数没有重复数字、且为奇数，

先考虑个位数，必然是从L3,5这三个数中选一个，故有3种选法；

再考虑千位数，由于个数位占用了一个数字，0又不能放在首位（即千位），故有4种选法；

接下去考虑百位数，易知有4种选法；

最后考虑十位数，易知有3种选法；

所以一共可以组成3x4x4x3=144个满足条件的四位数.

2.（2022下•上海嘉定•高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四

位数？

（2）用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可

组成625个四位数

（2）156个

【详解】解：（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：C：A：=5x4x3x2=120（个）

②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有：5a=625（个）

综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重

复，可组成625个四位数.

（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是0或2或4,

①个位是0的，即需要从1,2,3,4,5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，

有C；CC=5x4x3=60个；

②个位是2的，千位需要从1,3,4,5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2个分

别放在百位、十位，有C〉C；=4x3=12个，所以个位是2的偶数有4x12=48个；

③个位是4的，也有48个；

综上所述，用0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位偶数有60+48+48=156个.

题型八：涂色问题

例题1.（2023下•上海嘉定•高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在

为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域

只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）

A.120B.420C.300D.以上都不对

【答案】B

【详解】分4步进行分析：

①对于区域4有5种颜色可选，

②对于区域5,与N区域相邻，有4种颜色可选；

③对于区域C,与4、B区域相邻，有3种颜色可选；

④，对于区域E,若。与笈颜色相同，E区域有3种颜色可选，若。与5颜色不相同，D区域有2种颜

色可选，E区域有2种颜色可选，则区域。、E有3+2x2=7种选择，

则不同的涂色方案有5x4x3x7=420种；

故选：B

例题2.（2023下•河南许昌・高二统考期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模

型，图中正方形/BCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给“BE、

△BCF、KDG、AZM8这4个三角形和“赵爽弦图涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）

不同色，已知有5种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数是（）

A.360B.120C.420D.216

【答案】C

【详解】先对正方形N8CD涂色，共有5种颜色可供选择，

然后涂A/BE区域，有4种颜色可供选择，

接下来涂△3CF区域，有3种颜色可供选择，

若ACOG区域与“ABE区域同色，则”DH区域有3种颜色可供选择；

若ACDG区域与区域不同色，贝!UCDG区域有2种颜色可供选择，区域有2种颜色可供选择.

由计数原理可知，不同的涂色方法种数为5x4x3x（lx3+2x2）=420.

故选：C.

巩固训练

1.（2023下•吉林四平•高一四平市实验中学校考期中）在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄

稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄稼，共有（）种植方式.

2

135

4

A.240种B.300种C.360种D.420种

【答案】A

【详解】根据题意，五块土地上种植四种庄稼，先选出4种庄稼，共有C；=5种选择,

则1,5地种植相同庄稼或2,4地种植相同庄稼，共有2x（4x3x2x1）=48种选择，

根据分步乘法计数原理可知，有5x48=240种.

故选：A

2.（2023上•上海闵行•高三上海市校考期末）用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂

色，每个面只涂一种颜色。如果一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种

方案认为是相同的。（例如：”.前面涂黑色，另外五个面涂白色;人上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一

种方案）则涂色方案一共有种。

【答案】8

【详解】两种颜色1+5类型的，有2x1=2种；

2+4类型的，有2x2=4种（两个面相邻、相对）

3+3类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点）

因此共有8种.

故答案为：8.

题型九：排列组合综合问题（平均分组问题）

例题1.（2023下•湖北恩施•高二校考阶段练习）在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实

验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排

方案共有（）

A.450种B.180种C.720种D.360种

【答案】A

【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有卑G.A：=90

（种）不同的方案;

方案二：分别安排3人，2人，1人，共有C：亡C；A；=360（种）不同的方案.

所以共有90+360=450（种）不同的安排方案.

故选：A.

例题2.（2023上•上海闵行•高三上海市校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前

进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者

队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队

伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定（与具体每场比赛的胜者是谁无关）.则赛

程表有种.

【答案】315

r2r2r2r2

【详解】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为8*42,即105种安排方法,

C2c2

第二轮比赛的安排方法数为七，即3种安排方法,

第三轮比赛的安排方法数为1,

由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；

故答案为：315.

例题3.（2023上•高二课时练习）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法:

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本.

【答案】⑴90

⑵15

【详解】（1）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，可以分为三步完成：

第一步，先从6本书中选2本给甲，有或种选法；

第二步，从其余的4本中选2本给乙，有C；种选法；

第三步，最后剩余的2本给丙，有砥种选法.

根据分步乘法计数原理，共有线=15x6x1=90种不同的分法.

（2）分给甲、乙、丙三人，每人2本，这件事情可以分两步完成：

第一步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法；

第二步，将这三份分给甲、乙、丙三人有A；种方法.

根据（1）的结论和分步计数原理得到或C；C；=xA；,

因此分为三份，每份2本一共有15种方法.

巩固训练

1.（2023下•上海嘉定•高二上海市育才中学校考阶段练习）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不

同的分法？

（1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）平均分成三组，每组2本.

【答案】（1）90；

⑵15.

【详解】（1）从6本不同的书中任取2本给甲，再从余下4本书中任取2本书给乙，最后2本给丙，

所以平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本的不同分法数为C；C；C；=15x6x1=90（种）.

（2）6本不同的书平均分成三组，每组2本的不同分法数为或第=竺等=15（种）.

A；6

2.（2023上•甘肃白银•高二甘肃校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.

（1）平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？

（2）分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？

【答案】⑴945

（2）84

【详解】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有玛6等945种方案.

A；

（2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板，

则分成7组，故分配方案共有C；=84种.

3.（2023下•陕西渭南•高二校考期中）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人.

（1）如果每人得两本，则有多少种不同的分法？

（2）如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则有多少种不同的分法？

（3）如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？

【答案】（1）90

（2）360

（3）15

【详解】（1）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，

Cc泄

如果每人得两本，即每人依次拿两本，则共有A；=90种方案

（2）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人,

如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，则共有©《端）.图=360种方案

（3）有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人,

C2c2c290

如果把这6本书分成三堆，每堆两本，则共有七产=—=15种方案

A；6

题型十：排列组合综合问题（不平均分组问题）

例题1.（2023•广西南宁•南宁三中校考模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北

海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、