现代信号处理复习题

1、=2cos(2万4力式中/o=lOOHZ,以采样频率fs=400Hz对乙⑺进行采样，得到采样信号支⑺

和时域离散信号式〃)，试完成下面各题：

(1)写出xa(t)的傅里叶变换表示式X〃(/Q)；

(2)写出x“⑺和x(")的表达式；

(3)分别求出/⑺的傅里叶变换和x(九)的傅里叶变换。

解：⑴X〃(/Q)=「x(t)e-J£ltdt=「2cos(。0块-猫‘山

"J—00J—00

=「(*“+e—网关-胡力

J—00

上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数5函数，它的傅里叶变换可以表示成：

X。(/。)=2万拉(O—。0)+3(。+。0)]

⑵

0000

xa(t)=Z%“。)5。一W)=Z2cos(。0江)5«-江)

H=—oon=—oo

x(n)=2cos(Q0nr),-oo<«<oo

2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50Hz，信号最高频率IKHz,是确定以下各参数

(1)最小记录时间Tpmin

(2)最大取样时间7；ax

(3)最少采样点数N5

(4)在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N值。

解：⑴F<50Hz

12)T==---=—^-―=Q.5ms

f.2f2xl03

JsminJmax

Tp0.02s

[3)

N*T-0_5X10-35

(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实频率分辩率提高1

倍变成原来的1/2)

3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHz采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT,所得离散谱线的间

距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHz采样

，对采到的2N个样点做2N点DFT。问：他的目的能到达吗？

答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率£,N固然大了，数字频率(单位圆)上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱

看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率2万总是对应模拟频率/。采样频率由，至U2,增

加一倍，N也增加一倍，但模拟频率的采样间隔&=九=100%一点也没有变。所以，增大采样

2NN

2兀2兀

频率，只能提高数字频率的分辨率(2-二)，不能提高模拟频率的分辨率。

N2N

4、在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？

解：在A/。变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率

一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在O/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶

梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

5、HQ)=-------廿------,0<。<1,分析其因果性和稳定性。

(1-az)(1-az)

解：H(z)的极点为z=a,z=a-i

[1）收敛域aT＜|z|〈oo,对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统

。单位脉冲响应〃（"）=（相—底"）以"），这是一个因果序列，但不收敛。

（2）收敛域0W|z|＜。，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应

h（n）=（a-n-anM-n-l），这是一个非因果且不收敛的序列。

（3）收敛域。＜目＜，1,对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统

o其单位脉冲响应/?（〃）=/"I,这是一个收敛的双边序列。

6、什么叫做数字滤波器？FIR和IIR的比拟和各自的设计方案？

答：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变信号所含频率成分的相比

照例或者滤除某些频率成分的器件。

FIR：有限脉冲响应滤波器

IIR：无限脉冲响应滤波器

★HR极点可存在与单位圆的任何地方,有较强的幅度选择性，但相位特性差。

FIR相位呈线性，但幅度特性需高阶才可调节的较好。

★FIR计算不产生振荡，误差影响小，可以采用FFT算法。

HR有稳定问题，有限字长可能产生振荡，同阶递归算法速度受到限制。

★HR可用模拟滤波器成果，得到有效的封闭式公式，设计工作量小，要求低。

FIR仅窗函数有公式，但无显式表达通、阻带，需要计算机辅助设计。

★IIR设计已规格化，频率特性为分段常数的滤波器。

FIR主要适应特殊应用，且高阶HR不易到达指标的滤波器。

IIR数字滤波器设计

★直接设计：

原型变换〔由一低通经过频率变形设计低通、高通、带通、带阻等）

频域设计〔零、极点配置；幅度平方函数），

时域设计〔帕德（Pade）逼近；波形形成）

★优化技术设计（依据一定的优化准那么进行设计）

FIR数字滤波器设计

★线性相位：零点的镜像存在。

偶对称：奇对称：

★窗函数〔时域加权平均）：矩形，三角，余弦，布莱克曼（Blackman）系列，凯塞（Kaiser）系列，高斯

★频率取样：在H（z）的单位圆上等分取样（是否带初相）

★优化技术设计：〔依据一定的优化准那么进行设计）

8：长度为N=10的两个有限长序列

作图表示再（〃）、/（"）和y（“）=七（九）③了2（“）（圆周卷积），循环卷积区间长度L=IO。

解：玉（“）、九2（〃）和y（〃）=%1（”）8X2（“）分别如题3解图㈠）、（C）所示

9：假设序列以死）是因果序列，其傅里叶变换的实部为HR（/3）=1+COS（。），求序列的以"）及其傅里

叶变换

1100

Ja,Ja,

解:H/eW）=l+cos（o）=l+-e+-e-=FT[he（n）]=2也⑺"胸

22n=-oo

10、什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？

答：假设一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与7有关，那么称这个随机过程是宽平

稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之那么不然。

15、如下图:

,FFT取模的平j

⑴J观测数据1/N

的频3么不,叶变换而改用功鸟2）

\x(n)

⑵j\说出i典功，法，并写出描述由

（3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系

式说明上述框图所示方法的优点。

（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改良方法的名称。

解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。

2.图中所示的是周期图法

wj<on

3.4（）=—£x*（"）%（"+m）％（*）=£rxx{m}e~

1VH=0m=-oo

周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算。

4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的观察数

据只有有限个，认为剩余的数据为0,造成系统偏差。改良的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的

周期图求平均法。

16、如下图的RC电路，假设输入电压的功率谱密度为X（。），求输出电压的功率谱密度

Y（。）。

R

X（。）C—Y(0)

解：RC电路系统的频率响应函数为

1

jcoC1

H〔。）

jcoRC+1

I21

H1Q)=

(oRC)2+1

由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得:

2X(。)

Y（0）=H[0)*X[0)=

(oRC)2+1

17、LTI系统的传输函数为h⑴，输入是实平稳随机过程X⑴，输出是Y⑴，求号⑺、Ry«）和八«）

三者间的关系？

解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以

其中⑤是卷积运算。

18、常用的自适应滤波理论与算法有哪些？

从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各

种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。

常用的自适应滤波理论与算法有：

⑴、基于维纳滤波理论的方法。

⑵、基于卡尔曼滤波理论的方法。

⑶、基于最小均方误差准那么的方法。

⑷、基于最小二乘准那么的方法。

19、简述自适应信号处理技术的应用

自适应滤波处理技术可以用来检测平稳的和非平稳的随机信号。常应用于：

[1)、自适应滤波与逆滤波。

〔2)、系统辨识。

[3)、自适应均衡。

[4)、自适应回波抵消。

15)、自适应噪声抵消与谱线增强。

[6)、自适应谱估计。

[7)、自适应波束形成。

[8)、自适应神经智能信息处理。

[9)、盲自适应信号处理。

20、设X«)为一随机电报信号，其样本函数如图1所示，取+1,-1概率相等，在时间间隔「内波形变号

次数服从参数为4的泊松分布，即：

求X。)的自相关函数。

解：Rx(t,t+E[x(t)x(t+r)]

在时间间隔7内X(/)可能变号偶次，X。)，XQ+?)将同时取+1或-1,假设变号奇次，XQ),

XQ+r)将异号。

当7>0时，

显然当7<0时，

21、设X(/)=Acos@「+。)，其中A和。是相互独立的随机变量，6在[0,2万)均匀分布，试讨论

X(t)的平稳性和各态历经性。

E[X(t)]=E[Acos(a>t+3)]

解：

,=E[Acosa)tcosO-Asina)tsim0]=0

所以，X«)是广义平稳过程。

因此，X⑺具有均值各态历经性。

因此，X。)不具有自相关函数各态历经性。

22、从最速下降法出发：

其中，是第j+1个抽样时刻的滤波器权矢量，〃控制收敛稳定性和速率，V是误差-性能曲面的

真实梯度，推导自适应噪声消除的Widrow-Hopf的LMS算法。

解答：

梯度矢量^,初级输入与刺激输入的互相关P以及初级输入的自相关R之间的关系为：

V=-2P+2RW

在LMS算法中，使用V的瞬时估计，那么有

V)=-2Pj+2RjW'=-2X+2XX/Wj(1)

=-2毛(为一*叫)=-26//

其中ej=y-X^i

用⑴式替换最速下降法的梯度，我们得到根本的Widrow-Hopf的LMS算法：

其中ei=yj-w^xj

23、自适应滤波器的特点及应用范围

答案：由于滤波器的参数可以按照某种准那么自动地调整到满足最正确滤波的要求；实现时不需要任何

关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足

最正确滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤

波器特性变化以自适应改变的情况时[2)当信号和噪声存在频谱重叠时13)噪声占据的频谱是时变或

未知。例如回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。

24、输入信号向量U(n)的相关矩阵R及期望响应信号d(〃)的互相关向量P分别为

(21、

，p=(54y

2,

且期望响应d(九)的平均功率为E｛[2(〃))=30

(1)计算维纳滤波的最优权向量;

⑵推导误差性能面的表达式；

(3)计算最小均方误差。

答案：m由R叫—P=O可得

，2丁㈤一，2、

2,4=

(2)假设在〃时刻，输入信号为“5),横向滤波器输出信号

⑶把叱)代入JO)得:

25、怎样判断随机过程｛X。)/eT｝是宽平稳随机过程？并证明随机过程

乂«)=八05@)+25抽(田/>0是宽平稳过程，其中，Y,Z是相互独立的随机变量，且

EV=£Z=0,DY=UL=6。

答：(1)如果X«)满足，如下条件：

[a[｛X«)/eT｝是二阶矩过程；

[b)对任意feT,加x«)=m⑺=常数；

卜〕对任意Rx(5,t)=E[X(s)X(t)]=Rx(s-t),那么判定｛X(。/eT｝是宽平稳随机过

程。

⑵

证明：

因为Y,Z是相互独立的随机过程，且Ey=£Z=0,Dy=DZ=b2,所以

E[X2(0]=o-2<+00

EXQ)=£[八05@)+25抽(份)]=£乃卜05@)+£[2K抽(3)=0=常数

Rx(s,t)=E[X(s)X⑺]=E[(Fcos@)+Zsin(例))x(Vcos@)+Zsin(汾))]

=E[Y2cos妫)cos@)+yZsin(6«+s))+Z2sin@)sin(3)],Rx(s/)只与时间间隔

=<y~cos口(sT)]

有关，与时间起点无关。

所以，｛X(/)/eT｝是宽平稳随机过程。

26、假设｛X«)/eT｝为均方连续的实平稳随机过程，那么其自相关函数7?x«)具有那些常用性质？

Rx«)在计算其功率谱Sx(。)时有什么作用？

答：1)A*«)具有如下常用性质：

[a)7?x(0)>0;

[b)Rx⑺=Rx(-力-x«)是实偶函数;

⑹|号《)区段(°);

⑷假设X。)是周期为T的周期函数,即X«)=X«+T),那么&⑺=&«+T)；

[e)假设X⑺是不含周期分量的非周期过程，当|c|f+8时，X«)与X(/+7)相互独立，那么

limR(T)=mm

|r|—>+<»Xx

12)假设J|Rx(r)ld7<+°°，根据辛钦—维纳定理

自相关函数A*«)和功率谱Sx(。)是一对傅里叶变换对。

27、从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？

答案：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。

28、简述基于卡尔曼滤波理论的方法。

答：为使自适应滤波器能工作在工作在平稳或非平稳的环境，可以借助于卡尔曼滤波器来推导自适应

滤波算法。卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，估计性能是最优的，且递推计算形式又能适应实

时处理的需要对于一个线性动态系统的卡尔曼滤波问题，可以用状态方程和测量方程来描述，前者以状

态矢量刻画系统的动态，后者描述系统中的测量误差。

假设研究离散线性动态系统的N维参数的状态矢量为尤(力，M维观察数据的测量矢量为y(〃)，通常矢

量式“)和y(n)都是随机变量，由他们表示系统模型的状态方程和测量分别为

x(“+l)=①5+l,")x(")+V]⑺(1j

Y(n)=C(H)X(H)+v2(n)(2)

其中①5+1,“)为系统在〃+1和"时刻的NxN状态转移矩阵，C(M)为的NxM测量矩阵

系统动态噪声匕(〃)和观察噪声均(〃)的统计特性为

E[Vi(〃)]=O,cov(V1(n),E[vx(«)vf(^)]^Qx{ri)5nk(3)

4

E[V2(H)]=0,cov(v2(n),%(左))=a％(”)或(左)1=。2(”2波(〕

cov(Vj(n),%(〃))=E[v2(n)v^(4)]=0⑸

“H”表示共辗转置；当n=k,5nk=i,当nWk,6m=0；噪声矢量匕(〃)和%(〃)统计独立的。根据观察数

据的测量矢量y(l),y(2),…y(〃)，可求出系统状态x(i)的线性无偏最小方差估计。当i=九时，这种最

正确估计问题成为卡尔曼滤波；当时，那么称为最优预测；两者之间存在密切的关系。

29、设有两个线性时不变系统如下图，它们的频率响应函数分别为和"2(0)。假设两个系统输

入同一个均值为零的平稳过程X"),它们的输出分别为匕(。)、X3)。问如何设计⑼和也(⑼才

能使乂(。)、、(。)互不相关。

解答：

其中7=内-弓，上式说明耳⑺与石⑺的互相关函数只是时间函数*的函数。由

故当设计两个系统的频率响应函数的振幅频率特性没有重叠时，那么5^(0)=0,从而有

&4(7-)=0=BYA⑺，即X⑺与X⑺互不相关。

30、什么叫白噪声？

答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率具有相同能量的随机噪声

称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大

31、设连续时间随机信号”⑺以等时间间隔T。取样后得到离散时间随机序列式“)。为使x(a)是白色

随机序列，讨论应满足什么条件？

解：设%(。的自相关函数和功率谱分别为黑⑺和九(声)，式〃)的自相关序列和功率谱分别为

周»和黑―)。

根据定义，有

R*(m)=a%*(n)x(n+m)]①

QO

s.(/)=Z鼠(间”加②

m=-<x>

按照定义，自相关序列Rxx(m)为

因此&,(m)就是以周期T对R襄⑺的等间隔取样。

根据上式和S&(JQ)的定义，有

RJm)=黑(心)=41rS晨jQ)e'Tg③

另一方面，根据Sw(♦")的定义,有

(*7T..

R^=—S；(e“)e“"d°④

2兀J-乃

将式③表示成无限个积分之和，其中每个积分都在长为2万/T的区间上进行，即&式以)=

—£「""s2(/Q)e『Q

2万£J(2I)S

27r

变量置换：。=。+——k,即得

T

院(⑼=《之，。麋0+旁k)产

乙兀后=—001

交换求和与积分的次序，考虑到对于所有整数人和加有e”号=1,因此凡工(加)=

4r;S2(/Q+)，左加鹏加

乙兀左=-001

再将。二色代入式中，得

T

"、(")=打：&tS其斗+序k)le•d①⑤

乙兀1左=-0011

比照式⑤与式④，得

100八

S晨0号+j$k)⑥

-*--001-*-

10027r

或，(/Q)=-ECO^+J—⑦

1-001

如果xS)是白色随机序列，那么它的自相关序列应当是一个幅度为&Jo)的冲激序列，即

上式代入式②，得

5式")=£凡,(0户(〃加加=鼠(0)⑧

由式⑥、⑧有

、(学+样左)=鼠(0)，

上式说明，假设要x(〃)是白色随机序列，那么要求

、(学+百口=常数。

32、用雷达测量地球和月球之间的距离d,测量过程用以下方程描述

其中以")是均值为零，方差为b：的白噪声序列，它表示测量误差。为了提高测量精度，现采用以下两

种滤波器分别对进行处理x(n),试比拟其方差b；的大小。

滤波器1

滤波器2

式中0＜。＜1。

解答：两个滤波器的系统函数分别为

因此两滤波器的直流增益=无直流失真。两滤波器输出噪声平均功率为

lim^=0.^=0

因此lim2

—■Clax

a-

33、简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差异。

信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随

机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，

在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信

号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。

功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于

数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型

输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。

34、两个联合平稳信号X«）和y«）的互相关函数为：

其中Z（7）为单位阶跃函数。求互功率谱密度Sxy（⑼和S氏（。）。

解：直接查傅氏变换表，得

利用互谱密度的性质有

2-ja>

S(a))=S(—CD)

•YAYl、/YIY、'

(2-jco)2+<®o

35、观测信号为火幻=$（幻+6（外,其中有信号是5（左）为恒量平稳序列，其统计特征已求得为

噪声e（左）是零均值白噪声，且与有用信号不相关，即

求维纳滤波器？

解：观测y（Q的自相关函数为

观测有y（幻与有用信号之间的互相关函数为：

Rys（m）=E｛[s（k）+e（k）]s（k+m）｝=E｛s（k）s（k+m）+e（k）s（k+m）｝=3^]

那么维纳-霍甫方程式为：

由此得维纳滤波器为：

故滤波输出为：

36、平稳信号s（口形成的滤波器为

其中v（Q为方差为0.64的零均值白噪声。观测信号为

其中e（Q是零均值单位（即方差为1）白噪声。求维纳滤波器（其脉冲响应序列的项数指

定为2）。

解：由s（Q的形成滤波器得其频率特性为

s（Q的功率谱密度为：

上式的收敛域必是包括z平面单位圆在内的环域，因为只有这样谱密度才存在。那么s（口的

自相关函数为上式的傅氏反变换即双边z反变换：

容易验证，符合上述收敛域的原函数为

其中右边序列｛[0.62,0.6,｝的2变换成y（口的自相关函数为

z-0.6

另外,M幻与s（Q的互相关函数为

当维纳滤波器的脉冲响应序列为2项时，维纳-霍夫方程式为

把算得的相关函数代入上式，得

这就是维纳滤波器的脉冲响应函数。

38、设观测量y(幻由有用信号s(Q和与s(口不相关的零均值白噪声e(口相加而成，即

且已估计出它们的相关函数分别为

Rs(m)=0.8^,Re(m)=0.45^(m)(m--1,0,1…)

求非因果维纳滤波器的频率特性。

解：

又有

故有

最后可得，非因果维纳滤波器的频率特性为

41、令x⑴是一个是不变的标量随机变量，它在加性高斯白噪声v(t)中被观测，即y(t)=x(t)+v(t)为观测

数据，假设用kahnan滤波器自适应估计x(t),试设计kahnan滤波器。

(1)构造离散时间的状态空间方程

(2)求出状态变量想x(k)的更新公式。

解：x(t)是一个时不变的随机变量，故x(t)关于时间t的一阶导数等于0,即有x=0

这就是连续时间的状态方程。观测方程为y(t)=x(t)+v(t)

令x(t)是一个具有均值Xo、方差00的随机变量，记做x~(Xo,p0);加性观测噪声v(t)的均值为0,方

差为成,记做v(t)~[0,b；)。现在，用T=1作为采样间隔，对x(t)和v(t)等离散化，那么离散时间的

状态空间模型：

x(n+l)=x(n)

y(n)=x(n)+v(n)

式中，加性观测噪声v(n)~N(0,b；).

上述状态空间模型的kalman滤波算法如下：

,、K(n,n-1)

g(n)=-----------------7

K(〃,〃-1)+er；

X(n+l)=%(n)+g(n)[y(n)-尤(n)]

K(n+1,n)=K(n,n-1)[1-g(n)]=g(n)cr,2

g(n)的一般表达式：

由于K(l,O)=E{|x⑴一E{x(l)}/}=%故当n=l时有

K(l,0)

g(D=

K(l,0)+4Po+a；

K(2,l)=g(l)o-J

K(2,l)

当n=2时,那么有g(2)=Po

K(2,l)+b；2°o+矣

K(3,2)=g⑵P。

2%+bv

n=3时，有

g⑶=士」

左(3,2)+aJ3〃。+4

2

K(4,3)=g(3)S；=]

3p0+S,

假设令

Pc

g(n-l)=--------------2

d)p°+&

2

K(n,n-l)=g(n-1)°「=---^°-----j

那么

,、k(n,n-l)Po

g(n)=-----------=--------------2

k(n,n-l)+^v〃Po+Sv

2

k(n+l,n)=g(n)】

n+

P0dv

42、卡尔曼滤波和维纳滤波的关系及存在的问题。

答：卡尔曼滤波有一个过渡过程，而在稳态下与维纳滤波有相同的结果，是因为它们都是以最小均方误

差为准那么的线性估计器。卡尔曼滤波与维纳滤波中解决最正确滤波的方法也不相同。维纳滤波是用频

域及传递函数的方法，而卡尔曼滤波是用时域及状态变量的方法，在理论上是维纳滤波的推广和开展，

特别是在处理多变量系统，时变线性系统及非线性系统的最正确滤波等领域，提供了一种比拟有效的方

法，克服了基于频域处理所遇到的困难。困难包括：维纳滤波要求平稳，而卡尔曼滤波那么不要求；他

容许初始时间不是负无穷大，这在很多情况下是有实际意义的；卡尔曼滤波的另一个不同点是把状态或

信号过程的产生看成是白噪声鼓励有限维数系统的输出；止匕外，维纳滤波要求过程的自相关函数和互关

函数的简单(先验)知识，而卡尔曼滤波那么要求时域中状态变量及信号产生过程的详细知识。卡尔曼滤

波在时域上采用线性递推形式对观测值进行处理，能实时地给出系统状态的最优估计，并突破了单维输

入和输出的限制。卡尔曼滤波算法的这些优点使它在信号和信息系统中得到了比拟广泛的应用。卡尔曼

滤波算法在具体应用中也存在一些实际问题，包括：

(1)模型误差和数值发散。

即使能够获得精确的模型，也常会因精确模型太复杂，维数过高而与实时处理必须减少计算量及尽

量简化模型的要求相矛盾。近似或化简的模型与精确模型之间存在误差，模型误差必然会给滤波带来影

响，严重时还会造成滤波结果不收敛。

2)实时要求。

影响卡尔曼滤波算法的实时性主要是状态维数n和增益矩阵的计算,它们往往有很大的计算量。

一般在计算中采取某些措施，例如应用定常系统新算法或在精度损失允许的情况下尽量减少维数等到措

施，从而减少计算量以满足实时滤波的要求。

43、卡尔曼滤波的特点

卡尔曼滤波具有以下的特点：

答：(1)算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；

离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。

(2)用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信

号可以是平稳的，也可以是非平稳的，即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。

(3)卡尔曼滤波采取的误差准那么仍为估计误差的均方值最小。

44、令为，……/是一个具有概率密度函数/(羽〃,筋)=不、/*"/(2也的正态分布得到的随机

，2的2

观测样本，试确定均值〃和方差(T2的最大似然估计。

解：似然函数是均值〃和方差er?二者的函数，故有

N,1昌,

,N2

从而有L=In/(%1，.,xj/LI,§-)=--ln(2^-)--ln(o-)-22(x,.-//)

222CT同

分别求L关于〃和的偏导，然后令偏导为零，得到

ariN

从0可以解出^Z七=元

加NH

RI1N

将其代入y=0可解得端=大£5—君2

N标

1N1N

由样本均值元=^2%和样本方差b?=——z（七一元）2是无偏的，因此均值最大似然估计a双为无

Ni=iN-1i=i

偏估计，而方差的最大似然估计那么是有偏的。

45、Burg递推较levenson递推法有什么优势，并写出Burg递推法求解AR模型参数的递推公式。

答：[1）列文森（levenson）递推法需要先由信号的观测数据估计自相关函数，这是它的缺点，而伯格

[Burg）递推法那么由信号观测数据直接计算AR模型的参数，Burg递推法利用levenson递推公式，导

出前向预测误差和后向预测误差，并按照它们最小的原那么求出，从而防止求自相关函数这一难题。

（1）Burg递推法求AR模型参数的递推公式如下：

普（。）=：外5）「①

Ni=i

见=九(。)②

ej(〃)=%(〃)几=0,l,2,3,・・.,N-l③

4⑺=x(n)n=0,l,2,3,...,N-l@

N-l

-2三-1(〃)4T*(〃)

kp=N-2-----------------------------

n=p

%=(1-即2)用⑥

-"pT，+kpal-l,p-ii=0,1,2,3,…,〃-1⑦

a「p=kp⑧

f

ep(«)=e(i(zz)+左p/T(ri)n=p+l,p+2,...N-1@

4(«)=&(«-l)+(")"=p,p+l,...N-2⑩

46、简述正交性原理信义，维纳滤波原理及其结论。

解:⑴正交性原理：E[u(n-k)eopt(n)}=0,JI=0,1,2,...

文字表述：使代价函数/最小化的充分必要条件是估计误差e卯(〃)与输入"(0),正交。

（1）定义Mxl输入向量

那么其相关矩阵为

式中使用了自相关函数的性质凡左)=月:“(左)，类似地，输入与期望响应的互相关向量为

/=E[u(n)-d^(n)｝

=(&,d(0),&凡,d(-M+l))r

综上式子可以将winer-Hopf方程组写成紧凑的矩阵形式

尺rvopt，=7①

式中W则表示横向滤波器的"xl最优抽头权向量：wopt=[woptQ,woptl,，叱"MT。

由矩阵方程①，立即可以得到最优抽头权向量的解为

满足这个关系的离散时间横向滤波器称为维纳滤波器。

47、关于维纳滤波器的两个主要结论：

①维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：[1)输入向量M(")的自相关矩阵R;〔2)

输入向量M(”)与期望响应d(九)的互相关向量7。

②维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。

48、已经信号的四个观察数据为尤(〃)=｛%(0),XI),尤(2),%(3)｝=｛3,6,4,2)分别用自相关法和协方差法

估计AR(1)模型参数。

解：自相关法：

协方差法：

49、假定｛%(九)｝是一个满足差分方程式

x(〃)1)+―・(〃一p)=e(〃),e(〃)〜％(O,4)的AR(p)过程，且该过程是在一与x(〃)

独立的加性观测白噪声v(")中观测的，即y(")=x(m+v5),其中｛v(〃)｝的方差为b；,求｛y(〃)｝的

功率谱。

解：由差分方程式可得｛%(〃)｝的谱密度

当x(n)与v(n)互相独立时,与⑺=R*⑺+&⑺

故｛y(n)｝的功率谱py(0)=0(0)+pv(⑼

cr2

所以夕y(④)=

|A(z)「

z=e>

50、分别解释“滤波”和“预测”。

解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)=8(n)称为滤波；用过去的观测值来估计当前的

或将来的信号y(")=W"+N),NN0,称为预测。

51、介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。

解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递

函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前

值，它的解形式是状态变量值。维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计

维纳滤波器要求信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求状态方程和量测方程。

52、以下图中x(n)=s(n)+w(n),且与统计独立，其中的自相关序列为火具根)=0.6阿，w(n)是方差

为1的单位白噪声，试设计一个N=2的维纳滤波器来估计s(n),并求最小均方误差。

x(n)=s(n)+w(:'

»心维纳滤波的输入和输出的关系

解：依题思，信号的：一(")=6(")(m)=6(W),代入

SS

-J-----Ah(n)

R⑺=工鼠(加凡5/=—1,得

m=0

解得：h(0)=0.451,h(1)=0.165

N-l

将上式结果代入式E=Rss⑼-£h°pt(m)Rs(m)，求得最小均方误差:

■hnm=0

1

Ee2(n),=Rss⑼Rss1m)=1-h(0)-0.6h(1)=0.45

上1mM=0

1.某独立观测序列七，々，，/，其均值为m,方差为现有两种估计算法:

rY\-一/xnm2=------------>xn

算法A：均值估计为Ng,算法%均值估计为一N-lg

请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。(12分)

1N

答：算法A：均值估计为N„=1,那么

[N]N12

E(M>=%£m=mD(mi)=-YJD(Xii)=-3

N"=1,N„=1N，，均值估计㈣是无偏估计

1.设u(〃)是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱S(w)>0o

证明：将u(〃)通过冲激响应为h(w)的LTI离散时间系统，设其频率响应H(w)为

w-w2

H(w)=0:，输出随机过程y(«)的功率谱为Sy(w)=|H(W)|S(W)

0：w-w0

输出随机过程y⑺的平均功率为r(0)=^-『S,,(⑺4v=(J：：S(w)

ydw

当频率宽度Aw——>0时，上式可表示为「M=(叱))(Aw)20

71

由于频率w0是任意的，所以有S(w)20

5、假定输入信号｛x(t)｝是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为H(/)=N。，且线性系统的冲激响应

为\efJ〉0

[0,else

求输出y(t)=x(t)*h⑴的功率谱及协方差函数。

解：由题知，系统的传递函数为

有此得出⑺2=H⑺H…序匚育=K

由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得

输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有

6、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。

答：(1)相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期

图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。

[2)此方法的具体步骤是：

①给出观察序列M°)，x⑴，…MN—1),估计出自相关函数：

②对自相关函数在(-M,M)内作Fourier变换，得到功率谱：

式中，一般取1,0(机)为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳一辛欣定理的主要内容。

答：(1)连续时间信号相应的维纳-辛欣定理主要内容：

连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

(2)离散时间信号相应的维纳-辛欣定理主要内容：

离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

12、AR谱估计的根本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？

答：U)AR谱估计的根本原理是：p阶的AR模型表示为：x(〃)=-*9/5-i)+M(〃)

其自相关函数满足以下YW方程:

取m=0,1,2,…,p,可得到如下矩阵方程：.

「&D(加)=

「凡(0)4(1)…

在实际计算中，长度为N中襁f⑺6①)...，向犷货9可以估计其自

j••,一.

।••...•:.

相关函数氐(加)，再利用以h嬲方盾,若求出参嫌他0,.噌，及姬于是可求出x(")的功率谱

的估计值。

13、信号模型为s(n)=s(n-l)+w(n),测量模型为x(n)=s(n)+v(n),这里w(n)和v(n)都是均值为零的白噪声,

其方差分别为0.5和1,v(n)与s(n)和w(n)都不相关。现设计一因果IIR维纳滤波器处理x(n),以得到

对s(n)的最正确估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。

解：根据信号模型和测量模型方程可看出以下参数值：a=l,c=l,Q=0.5,R=lo将它们代入Ricatti方

程Q=P-a2RP/(R+c2P)

得O.5=P-P/(1+P