2022-2023学年内江三模试题及答案解析

内江市高中2023届第三次模拟考试题

数学（理科）

1.本试卷包括第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分,

考试时间120分钟。

2.答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号；答第D卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作

答，字体工整,笔迹清楚；不能答在试题卷上。

3.考试结束后，监考员将答题卡收回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.

L已知复数(1+3i)(2z-z)=10,其中i是虚数单位,z是z的共匏复数，则z=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.已知全集U=R,M=-4%+3&0|,N={xl/og2XW1},则C〃(MUN)=

A.(-8Q］u(3,+8)B.(-oo,3)C.(-c»,l)u(3,+oo)D.(3+8)

3.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字,空气质量指数划分为［0,50)、［50,100)、

［100,150）、［150,200）、［200,300）和［300,500）六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、

“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级.如图是某市空气质量指数

4月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说

法中正确的是

A.从2日到5日空气质量越来越差

B.这14天中空气质量指数的中位数是214

0123456789

C.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日

D.这14天中空气质量指数的平均数约为189

4.我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧］

棱垂直于底面的四棱锥.某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长2

高三三模考试数学（理科）试卷第1页（共4页）

6.已知函数/⑷十-a和g（”）有相同的极大值，则》=

A.2B.0C.-3D.-1

7.水平桌面上放置了4个半径为2的小球,4个小球的球心构成正方形,且相邻的两个小球相

切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为

A.4B.2立+2C.6D.2#+2

8.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标

竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午

太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影

长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据某地的以至正午阳光？至正午阳光

地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午太、•

阳高度角（即乙4BC）约为32.5。,夏至正午太阳高度、圭面\、

角（即乙40C）约为79.5。,圭面上冬至线与夏至线之\南玲——--

间的距离（即05的长）为14米，则表高（即AC的长）\夏至线冬至线\

a?7

约为（其中，tan32.5。=tan79.5。=年）

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

9.已知圆锥的母线长为2,侧面积为2A■，则过顶点的截面面积的最大值等于

A.73B.J2C.2D.3

22

10.已知双曲线C：、-方=1（Q>0,6>0）上有不同的三点4ap，且4、3关于原点对称，直

ab

a

线PA、PB的斜率分别为%、L，且%人­kpB=j，则离心率e的值为

A.百B.qC."D.廖

222

IL将函数/（%）=si3（g>0）的图象向右平移半个单位长度后得到函数g⑴的图象，若

（0,第是g（%）的一个单调递增区间，且g⑴在（。m）上有5个零点，则侬=

A.1B.13C.9D.5

ic、几,13,264,.

12.设a=ln—,b=—,c=tan彳n,则

A.c>b>aB.c>a>6C.b>c>aT）.a>c>b

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知|a|=4,|了|=3,且a_L（a+2b），则向量Q在向量分上的投影为________.

14.若（％+Q）5（2-/）的展开式的各项系数和为32,则该展开式中，的系数是_______.

15.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为（；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为

次.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局

高三三模考试数学（理科）试卷第2页（共4页）

甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为.

16.已知4（8（3,0）,尸是圆O：x2+/=49上的一个动点，则sinZAPB的最大值为

三、解答题:本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足%=2,Sn+1=2Sn+2.

（1）求数列｛。.｝的通项公式；

（2）记勾=（几+1命+2）'求数列｛4｝的前〃项和

18.（本小题满分12分）

某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单甲乙

位:台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为4800108

了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平7522023

均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.0312ab

（1）当a=1,6=0时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为加，乙3143

型号电视机的“星级卖场”数量为八比较m,n的大小关系;

（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个

数，求X的分布列和数学期望；

（3）记乙型号电视机销售量的方差为52,根据茎叶图推断a与b分别取何值时,广达到最

小值.（只需写出结论）

19.（本小题满分12分）

在445。中，44。3=45。,8。=3,过点4作/1。_1.3。,交线段BC于点0（如图1）,沿4。

将助折起,使乙劭C=90。（如图2）,点E,M分别为棱BC,AC的中点

（1）求证:CZUME；

（2）给出下列三个条件:①图1中-*,②图1中方=1~荏+③图2中三

棱锥4-BCD的体积最大.

在其中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.

问题:已知（填番号），试在棱CD上确定一点N,使得©V_L5M,并求平面BMN

与平面CRV的夹角的余弦值.

注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.

高三三模考试数学（理科）试卷第3页（共4页）

20.(本小题满分12分)

若存在实数七6,使得函数/(*)和g(x)对其定义域上的任意实数％同时满足汉久)2版+

6且g(x)W版+6,则称直线/h=丘+6为函数/(“)和g(x)的“隔离直线”.已知/(%)=z2,g

(%)=2elnx(其中e为自然对数的底数).试问：

(1)函数/(%)和g(“)的图象是否存在公共点,若存在，求出公共点坐标，若不存在，说明

理由；

(2)函数/(%)和g(%)是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程;若不存

在,请说明理由.

21.(本小题满分12分)

如图，曲线G是以原点。为中心,凡、匕为焦点的椭圆的一部分，曲47

线。2是以。为顶点、%为焦点的抛物线的一部分M是曲线G和c2的一/

个交点，且乙”2K为钝角，1”/=/,1”21=1.x.

22\K。口尸2:

(1)求曲线G和的方程；\限

(2)过F2作一条与%轴不垂直的直线，分别和曲线G和。2交于5、

E、C、D四点，若G为CD的中点，，为3E的中点，黑二^詈是否为定值？若是，请求出此

定值;若不是，请说明理由.

请考生在第22、23题中任选一题作答，并用23铅笔将所选题号涂黑如果多做，则按所做

的第一题计分.

22.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系中，将曲线G向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横

坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的去得到曲线G,以坐标原点。为极点声轴的正半轴为极

轴，建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为p=4cosa.

(1)求曲线C2的参数方程；

(2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长

的最大值，并求周长最大时点M的坐标.

23.(本小题满分10分)

已知函数/(%)=12%-41+I%2+al(xe/?).

(1)若a=1，求证：/(%)三4；

(2)若对于任意％e[1,2]，都有/(%)W4,求实数a的取值范围.

高三三模考试数学(理科)试卷第4页(共4页)

内江市高中2023届第三次模拟考试题

数学（理科）参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.）

1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.D8.C9.C10.B11.D12.A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

13.——14.515.-16.—

37213

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.解：（1）当几=1时，由S“+i=2S=2得:$2=2S[+2,即%+a2=2al+2,

又的=2,/.a2=4；............................................................................................................1分

当n^2时,%.=S„+1-Sn=2S“+2-2Sn-1-2=2an,................................................3分

又a[=2,a2=4满足a2=2at，即当n=1时,%+1=2Q“成立，..................4分

数列｛册｝是以2为首项,2为公比的等比数列,二%=2"(〃eN*)...........................6分

<sn0“+1r\n

(2)由(1)得也=餐_上,.............................9分

(n+1)(n+2)n+2n+1

2n1+1+1

■—»+***+―，+•••+”,__^―^―+-----------------=--------I

324354n+1nn+2n+l~n+2

18.解：⑴甲组数据的平均数为10+1O+14+18+22/25+27+30+41+43=2牝....1分

乙组数据的平均数为10+18+20+22+23/31+32+31+30+43=26,...................2分

易知m=5,n=5,所以m=n；............................................................................................4分

(2)X的可能取值为0,1,2,............................................................................................5分

p(Vnx或Cg2p,y]、5y6C/2zy

P(X=0)=-；3-=d，P(X=l)=-^-=—,Pp(｛X=2)=-f-=—,...........................88分

CqO>C[0'C]0,

X的分布列为：

(3)当a=6=0时,s?达到最小值.........................................12分

19.解：(1)证明：•「CDlAD,CDLBD,ADdBD=D,AD,BDC^ABDt

CZ?1ABD,ABCABD,/.CD1AB.............................................................2分

又分别为4C,5c的中点,CO_LME...........................................4分

(2)选①，在图1所示的△48C中，由2m25=-^-=-2tanB...................................2分

31-tanii

解得tanB=2或tanB=-y(舍去)........................................4分

An

设40=。0=处在凡ZVIBO中，切几3=慧=六Y=2,解得％=2,・・.8。=1...............6分

DU5-x

高三三模考试数学（理科）试题答案第1页（共4页）

以点D为原点,DB,DC,DA分别为孙y,z轴建立如图所示的坐标系D-xyz,攵

D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),4,(0,0,2),4/(0,1,1)y,1,0),(jlljW=(-1,/PX

1,1).................................................................................................................7分/^

设N(0,Q,0),则说=(一/«-1,0)

■■ENlBM,-.EN.BM=0,n^-y,a-l,0)•(-1,1,1)=0,解得.=今,

当加=/(即N是CO的靠近。的一个四等分点)时闻_L5M...........................8分

=。,1八

设平面的的一^向量炀=&%),的=(-1.,0卜由n,BN一人+—y=0,

〃•丽=0,得

-x+y+z=0,

令4=1，则几=(1,2,-1),取平面CBN的一个法向量m=(0,0,1),10分

_1(0,0,1)♦(1,2,-1)1=上

贝！)|cos<m,n>

\m\IniA/12+12+(-I)26

.♦・平面的与平面CB/V的夹角的余弦值为哙....................................12分

O

选②，在图1所示的△ABC中，设丽=人阮，

则茄=荏+而=荏+入记/+A(左-丽=(1-A)AB+\AC,...................................4分

又•.•方=拜+1■就，由平面向量基本定理知人=1•，即皿)=1...............................6分

(以下步骤同上)

选③，在图1所示的△45C中，设8。="(0<x<3),则CO=3-孙

/.AD=CD=3-%.

折起后40_10。,401_30,且300。。=0,30、0。0平面BCD,

40_L平面BCD,............................................................................................................2分

又(BDC=90°,/.SABCD=y-x(3-%),

VA-BCD=9。,S^BCD=；(3-久),3-X(3-%)=；(%3-6%2+9%),xe(0,3),.......4分

J32o

令/(%)=4-(x3-6x2+9%)$(x)=:(%-1)(%-3),

oZ

当0<%<1时,/(%)>0;当1<%<3时,/(x)<0,

.•.当％=50=1时,三棱锥4-8CZ)的体积最大................................6分

(以下步骤同上)

20.解：(1)设F(x)-f(x)-g(x)=x2-2elnx(x>0),...............................................1分

/.F'(x)=24_在=2(%-石)("+痴),令?(4)=(),得％=而，....................2分

XX

高三三模考试数学(理科)试题答案第2页(共4页)

当0<X〈痴时，尸'(X)<0,x>石时，尸'(》)>0,

故当了=后时,/(4)取到最小值，最小值是0,...............................4分

从而函数/(%)和gQ)的图象在』=做有公共点，其坐标为(石,e).............5分

(2)由(1)可知，函数/(%)和g(x)的图象在％=石处有公共点，

如果存在/(%)和g(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,.................6分

设隔离直线方程为y-e=k(x-Ve)y=kx-k^e+e,

由A:4+e(xeR),可得丫一五+kJe-e^Q在xwR上恒成立，

贝必=必_4左)+46="-2后)200,只有人=2痴，.........................8分

此时直线方程为:y=2伍-e..............................................9分

下面证明g(x)W2向-e恒成立，

令G(a)=2y[ex-e-g(x)=27^v-e-2eln%,

G'(x)=2G在=2向-2e=2石(x-五),当/石时,G，Q)=0,

XXX

当0<%(指时G，(x)<0,函数单调递减声>后时,G，(％)>0,函数单调递增，

则当％=屈寸,G，(x)取到最小值是0,......................................11分

所以6(%)=2最-e-g(%)N0,则g(%)这2向-e当％>0时恒成立.

•••函数/(%)和g(%)存在唯一的隔离直线y=2而；-e.......................12分

21.解：(1)设曲线a的方程为今+$=1(Q>b>0),则2a=明1+1福1=4+春=6,

得Q=3,................................................................1分

设4(%,/、储(」,0)、/2(，,0),曲线。2的方程为/=4%其中C>0,

则(%+c)2+/=(热,(X-c)2+y2=(y)，

3

两式/目减得xc=­,......................................................2分

由抛物线定义可知=%+c=1~,......................................3分

因为乙4尸2K为钝角，则％>c，解得3,.................................4分

X=T

所以，曲线G的方程为卷+?=1卜4)，..................................5分

曲线。2的方程为y2..........................................6分

(2)设区(0，％)、£(%2,”)、。(巧，，3)必44，%),设直线BE的方程为X+1,其中m

x=my+1,.

）可得（8zn~+9）y~+16zny-64=0,

I8v+9y~2=72

16/n64

…i.............8分

高三三模考试数学(理科)试题答案第3页(共4页)

x=my+

联立可得/_4zny_4=0,，3+%=46，,3%=-410分

./=4x

夕

A/1+nf•ly,-y1,VI+ZT?3+%

\BE\­\GF\22/(力一先)2，(力+%>

所以2

'\CD\•\HF\7(%+%>•(力-LA

2A/1+zn2•ly-yI•vT+zn%+%

342

256

4

(%+”)2-yly2.(9+%>8m2+916m2°

5--------•,--------=312分

(力+灼>(%+%)2-%力16m'+16

22.解：⑴由p=4cosa得p?=4pcosa,将，。‘代入整理得，

,pcosa=x

曲线G的普通方程为(4-2)2+y2=4,........................................................................2分

■X=x'—2

设曲线G上的点为(％',-),变换后的点为(%y),由题可知坐标变换为1,,

，%，=%+22

即，一。，代入曲线G的普通方程，整理得曲线的普通方程9+/=1,……4分

ly=2y