2024年辽宁省普通高等学校招生全国统一考试（模拟2）数学试题

按秘密级事项管理2024年辽宁省普通高等学校招生全国统一考试【模拟2】数学命题：丹东宋润生铁岭谢建武注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则z的虚部为（）A．1 B． C． D．i2．双曲线C的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．33．设，则“”是的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知点M，N在圆上，点P在直线上，点Q为MN中点，若，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．35．某疾病全球发病率为，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为，则某人检测成阳性的概率约为（）A． B． C． D．6．展开式中含项的系数为（）A． B． C．5 D．1257．圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球O表面与该圆锥侧面交线长为（）A． B． C． D．8．已知a，，若，，则b的可能值为（）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数据，，，…，的平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d，由这数据由方程得到新数据，，，…，，则所得新数据的（）A．平均数是2a B．中位数是 C．方差是4c D．极差是10．函数（，）经过点，图像上距离y轴最近的最高点为，距离y轴最近的最低点为N，若O为坐标原点，则（）A． B． C．可取 D．11．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（）A．若PA与C相切，则PB也与C相切B．C．若点P在x轴上，则为定值D．若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如果两个平面垂直，那么____________________垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．13．记为等比数列的前n项的和，若，，则__________．14．在中，若，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，证明：为单调递增函数．16．（15分）某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求X的分布列及数学期望；（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．17．（15分）如图，已知菱形ABCD和菱形ADEF的边长均为2，，，M，N分别为AE、BD上的动点，且．（1）证明：平面EDC；（2）当MN的长度最小时，求AF与平面MND所成面角的正弦值．18．（17分）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设，，不全为0，不全为0，则，当且仅当存在一个数k，使得时，等号成立．（1）请你写出柯西不等式的二元形式；（2）设P是棱长为的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值；（3）已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数i、，均有．求证：对任意，，恒有．19．（17分）动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线．（1）求曲线的轨迹方程；（2）设A，B为的左右顶点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记和的面积分别为，，求的最大值．数学【模拟2】试题评分参考一、选择题1．答案：A解：，，则z的虚部为1．2．答案：D解：根据三角形相似可得C的离心率为．3．答案：C解：当时，因为，所以是奇函数．因为，所以函数单调递增．因此．4．答案：A解：圆的圆心为，半径为2，由垂径定理，故点P在以为圆心，1为半径的圆上．点C到直线的距离，于是的最小值为．5．答案：D解：由题意，未患病者判定为阳性的概率为，患病者判定为阳性的概率为，某人检测成阳性包含两种情况：①非患者检测为阳性的概率为；②患者检测为阳性的概率为，所以某人检测成阳性的概率为．6．答案：B解法1：是5个之积，展开后得到有两种可能：1个取，4个取，得到含有的项为．2个取，2个取，1个取，得到含有的项为．因此含项的系数为．解法2：，二项展开得．二项展开得．由得，或因此含项的系数为．7．答案：D解：作圆锥的轴截面PAB，设轴截面PAB与球O交点为，，为中点，则，，，交线长为．8．答案：B解：由得，设，则．，当时，，单调递增，当时，，单调递减．因为，所以．二、选择题9．答案BC解：，，…的平均数是，中位数是，方差是4c，极差是2d．10．答案：AC解：，选项A正确．不妨取得可取，选项B错误，选项C正确．因为，，所以，故，选项D错误．11．答案：ABD解法1：常规解法设，代入可得，设，，则，．由可得，若PA与C相切，则，代入得，可得，也与C相切，选项A正确．图（1），设，则，所以，选项B正确．图（2），当时，不是定值，选项C错误．若点P在x轴上，且满足，由与面积关系得，不妨设点A在第一象限，图（3），A，B在准线上的射影分别为，，于M，根据抛物线定义可得，选项D正确．解法2：小题解法，需要记准抛物线焦点弦性质因为过抛物线焦点弦端点的两条切线的交点在准线上，可知A正确．因为以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切，所以，选项B正确．设，代入可得，设，，则，．若点P在x轴上，设，则不是定值，选项C错误．因为，由与面积关系得，不妨设点A在第一象限，则，可得，从而，选项D正确．【抛物线焦点弦结论很重要，结论的证明方法更为重要！】已知AB过抛物线的焦点F弦，，，那么；；．设A，B在抛物线准线上的射影分别为，，点M是的中点，那么（1）；（2）；（3）．进一步还有：（4）以AF为直径的圆与y相切．（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）AM与交点在y轴上．（7）．（8）与交于原点．（9），，，．（10）过A，B分别作抛物线的切线，设M是两切线交点，那么：①两切线相互垂直；②点M一定在抛物线的准线上．三、填空题12．答案：一个平面内解：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．13．答案：解：设数列公比为q，由知，可得，解得．由得，所以．14．答案：解：．由余弦定理得．由正弦定理得，从而．所以．四、解答题15．解法1：（1）．……2分当时，，．故曲线在处的切线方程为．……5分（2）定义域为，当时，．……7分设，则在单调递增．……9分当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，从而．……11分当且仅当且时，．于是当时，为单调递增函数．……13分解法2：（1）同解法1．（2）定义域为，．……7分设，则为单调递增函数等价于且没有连续的x值使．……9分，设，则在单调递增．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以，……11分当且仅当时，．于是当时，为单调递增函数．……13分16．解：（1）X所有可能取值为2，3，4，且……2分，，．……4分故X的分布列为X234PX的数学期望．……6分（2）记事件为“甲最终得分为i分”，事件B为“乙获得奖励”．由题意知，若乙获得奖励i的可能取值为8，9，且，．……8分当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则．……10分当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则……12分因为，所以乙获得奖励的概率．……15分17．解：（1）延长AN交直线DC于点G，连结EG，因为，所以，又，所以，所以．……4分因为平面EDC，平面EDC，所以平面EDC．……6分（2）取AD的中点O，连接BO，FO，由题意为等边三角形，所以．同理．……7分以O为坐标原点，方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设得，，．因为，所以平面BOF，因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．因为，所以，．设，则，，所以．从而，当时，MN取最小值，此时．……11分设为平面MND的法向量，则即可取．……13分因为，所以AF与平面MND所成面角的正弦值为．……15分18．解：（1）柯西不等式的二元形式为：设，，，，则．当且仅当时等号成立．……4分（2）正四面体ABCD的体积等于为顶点，四个面为底面的三棱锥体积之和，即．所以，因此．由柯西不等式得．从而，当且仅当时等号成立．因此的最小值为．……11分（3）对，记，，…，是1，2，…，n的一个排列，且满足．由条件②得：，于是，对任意的，都有．……13分由柯西不等式得．所以．从而，当时，，故．……17分19．解：（1）设，由题意，化简得线的轨迹方程为．……6分（2），，设，则，所以直线AM与BM的斜率之积为．……8分因为直线BM与BN的斜率之积为，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．……10分因为，设，由得，．由对称性知MN经过x轴上的定点，因为，由，得，所以MN经过定点．……13分所以．设，因为，所以．设，，因为当时，，当时，，所以．因此，当且仅当取等号，取等号时，，．于是当，时，取最大值．……17分解法2：（1）同解法1．（2），，设，则，所以直线AM与BM的斜率之积为．……8分因为直线BM与BN的斜率之积为，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．……10分因为，设，由得，．由，知，故点N在上．由对称性知MN经过x轴上的