2.4.1根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题列二次函数关系式（2010•丽水）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y= B．y= C．y= D．y=【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a2=x2．故选：C．【点评】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．（2005•南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．【考点】根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×30+45+2x2×120化简即可．（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费=195元，即可列出方程求解．【解答】解：（1）y=（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120=240x2+180x+45；（2）由题意可列方程为240x2+180x+45=195，整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）∴x=0.5，∴2x=1，答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．【点评】本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．（2009•庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2．故选：C．【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．（2005•甘肃）如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（）A．y=﹣x2+x B．y=﹣x2+x C．y=﹣x2﹣x D．y=x2﹣x【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得．【解答】解：连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1=2﹣y，OM=2﹣x，O1M=y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2﹣y）2﹣（2﹣x）2=y2，解得y=﹣x2+x．故选A．【点评】作连心线，连接圆心和切点得到直角三角形是常用的辅助线作法是本题的考查对象．（2012•泾川县校级模拟）如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则此抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣20）2+16．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】由图中可知此函数解析式已知道顶点（20，16），可用顶点式进行表示，设解析式为y=a（x﹣20）2+16，因为图象经过原点（0，0），由此即可确定a，然后即可确定函数关系式．【解答】解：依题意得此函数解析式顶点为（20，16），∴设解析式为y=a（x﹣20）2+16，∴函数图象经过原点（0，0），∴0=400a+16，∴a=﹣，∴y=﹣（x﹣20）2+16．故填空答案：y=﹣（x﹣20）2+16．【点评】本题主要考查用待定系数法确定二次函数的解析式，解题时应根据情况设抛物线的解析式从而使解题简单，此题设为顶点式比较简单．（2009•甘南州）如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM的长为x，则y关于x的函数关系式是y=﹣x2+x（0＜x＜4）（要求写出自变量x的取值范围）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；圆与圆的位置关系；相切两圆的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OO1，O1M，在直角三角形OO1M中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接OO1，O1M，那么OM2+O1M2=OO12，（2﹣x）2+y2=（2﹣y）2．整理得y=x2+x（0＜x＜4）．【点评】读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．（2009•泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为y=x2+4x（0＜x≤6）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理可得BD=10，因为DM=x，所以BM=10﹣x，过点M作ME⊥BC于点E，可得到△BME∽△BDC，然后根据相似三角形的性质得到=，由此即可用x表示ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系式．【解答】解：∵AB=8，BC=6，∴CD=8，∴BD=10，∵DM=x，∴BM=10﹣x，如图，过点M作ME⊥BC于点E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴=，∴ME=8﹣x，而S△MBP=×BP×ME，∴y=x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．故填空答案：y=x2+4x（0＜x≤6）．【点评】本题的难点是利用相似得到△MBP中BP边上的高ME的代数式，此题主要考查了利用相似三角形的性质确定函数关系式．（2007•哈尔滨）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）的关系式为y=﹣x2+15x．（不要求写出自变量x的取值范围）【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC=（30﹣x），然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．【解答】解：∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC=（30﹣x），菜园的面积=AB×BC=（30﹣x）•x，∴y=﹣x2+15x．故填空答案：y=﹣x2+15x．【点评】此题首先利用矩形的周长公式用x表示BC，然后利用矩形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长．（2007•眉山）如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为y=（20﹣2t）2．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题；动点型．【分析】根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：AM=20﹣2t，则重叠部分面积y=×AM2=（20﹣2t）2，y=（20﹣2t）2（0≤t≤10）．故答案为：y=（20﹣2t）2（0≤t≤10）【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．需注意AM的值的求法．（2001•陕西）某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是y=x2．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y=ax2．根据AB=1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可求解．【解答】解：设函数关系式为y=ax2，A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），那么﹣2.4=0.8×0.8×a，即a=﹣，即y=﹣x2．【点评】根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．（2001•青岛）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为y=﹣x．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】由题意抛物线过点（0，0）和（40，0），抛物线的对称轴为x=20，根据待定系数法求出函数的解析式．【解答】解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），∴y=ax（x﹣40）①又∵函数过点（20，16）代入①得20a（20﹣40）=16，解得a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣x；故答案为y=﹣x．【点评】此题主要考查二次函数的基本性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．（1999•南昌）有一个边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，则面积的增加值y（cm2）与边长的增加值x（cm）之间的函数关系式是y=x2+4x．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】增加的面积=新正方形的面积﹣边长为2cm的正方形的面积．【解答】解：由题意得：y=（x+2）2﹣22=x2+4x．故应填：y=x2+4x．【点评】解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．（2010•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．（1）求a的值．（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【考点】根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】计算题；压轴题；动点型．【分析】（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；III当2.5＜t≤3时，S=﹣t+12，IIII当3＜t＜4时，S=CQ•CPsin∠BCD=CQ•CPsin∠B=×（6﹣3t）×（10﹣2t）×=t2﹣t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，得到，=或=，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．【解答】解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，∴AC+BC=14，又∵AC﹣BC=2，∴AC=8，BC=6，∴a=8×6=48，答：a的值是48．（2）∵∠ACB=90°，∴AB==10．又∵D为AB的中点，∴CD=AB=5，∵sinB==，过C作CE⊥AB于E，根据三角形的面积公式得：AC•BC=AB•CE，6×8=10CE，解得：CE=，过P作PK⊥BQ于K，∵sinB=，∴PK=PB•sinB，∴S△PBQ=BQ×PK=BQ•BPsinB，（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，=t2﹣t+24，（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，=﹣t+12；（III）当2.5＜t≤3时，S=CQ•PCsin∠BCD=×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；（IIII）当3＜t＜4时，∵△PHC∽△BCA，∴，∴=，∴PH=8﹣1.6t，∴S=CQ•PH=CQ•PH=×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）=t2﹣t+48．答：S与t之间的函数关系式是：S=t2﹣t+24（0＜t≤1）或S=﹣t+12（1＜t≤2.5），或S=﹣t+12（2.5＜t≤3），或S=t2﹣t+48．（3＜t＜4）．②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，∴=，∴t=2.5，当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，=，或=，t=，或t=2.5，∵1＜t＜4，∴t=，t=2.5，符合题意，∴当t=2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．【点评】本题主要考查对锐角三角函数的定义，根据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．（2014•淮北模拟）一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm，其中一直角边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数的关系式是（）A．y=10x B．y=x（20﹣x） C．y=x（20﹣x） D．y=x（10﹣x）【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据已知表示出两条直角边的长，再利用直角三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据一直角边长为xcm，则另一条直角边为（20﹣x）cm，根据题意得出：y=x（20﹣x）．故选：C．【点评】此题主要考查了直角三角形的面积应用，得出两条直角边的长是解题关键．（2013秋•蚌埠期中）有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm，面积是sm2，则s与x的关系式是（）A．s=﹣3x2+24x B．s=﹣2x2﹣24x C．s=﹣3x2﹣24x D．s=﹣2x2+24x【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】AB为xm，则BC为（24﹣3x）m，利用长方体的面积公式，可求出关系式．【解答】解：S=（24﹣3x）x=24x﹣3x2．故选：A．【点评】考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够表示出矩形的长与宽．正方形的边长是4，如果边长增加x，面积就增加y，那么y与x之间的函数关系式为y=x2+8x．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据增加的面积=新正方形的面积﹣边长为2cm的正方形的面积，求出即可．【解答】解：由题意得：y=（x+4）2﹣42=x2+8x．故答案为：y=x2+8x【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．（2010•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．（1）求a的值．（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【考点】根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】计算题；压轴题；动点型．【分析】（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；III当2.5＜t≤3时，S=﹣t+12，IIII当3＜t＜4时，S=CQ•CPsin∠BCD=CQ•CPsin∠B=×（6﹣3t）×（10﹣2t）×=t2﹣t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，得到，=或=，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．【解答】解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，∴AC+BC=14，又∵AC﹣BC=2，∴AC=8，BC=6，∴a=8×6=48，答：a的值是48．（2）∵∠ACB=90°，∴AB==10．又∵D为AB的中点，∴CD=AB=5，∵sinB==，过C作CE⊥AB于E，根据三角形的面积公式得：AC•BC=AB•CE，6×8=10CE，解得：CE=，过P作PK⊥BQ于K，∵sinB=，∴PK=PB•sinB，∴S△PBQ=BQ×PK=BQ•BPsinB，（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，=t2﹣t+24，（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，=﹣t+12；（III）当2.5＜t≤3时，S=CQ•PCsin∠BCD=×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；（IIII）当3＜t＜4时，∵△PHC∽△BCA，∴，∴=，∴PH=8﹣1.6t，∴S=CQ•PH=CQ•PH=×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）=t2﹣t+48．答：S与t之间的函数关系式是：S=t2﹣t+24（0＜t≤1）或S=﹣t+12（1＜t≤2.5），或S=﹣t+12（2.5＜t≤3），或S=t2﹣t+48．（3＜t＜4）．②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，∴=，∴t=2.5，当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，=，或=，t=，或t=2.5，∵1＜t＜4，∴t=，t=2.5，符合题意，∴当t=2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．【点评】本题主要考查对锐角三角函数的定义，根据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据增加的面积=新正方形的面积﹣边长为5的正方形的面积，求出即可．【解答】解：由题意得：y=（x+5）2﹣52=x2+10x．故y与x之间的函数表达式为y=x2+10x．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．如图，一块草地是长30m，宽为20m．现在中间修筑两条相互垂直的宽为xm的小路．设空余部分的面积为ym2，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据题目中的信息，我们将图形转化一下，很容易列出y与x的函数关系式，由题目可以得到x的取值范围．【解答】解：根据题意和图形可得下图：∵一块草地是长30m，宽为20m．现在中间修筑两条相互垂直的宽为xm的小路．设空余部分的面积为ym2，∴空白部分的面积为：y=（30﹣x）（20﹣x）=x2﹣50x+600．即y与x的函数关系式为：y=x2﹣50x+600（0＜x＜20）．【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数的关系式，关键是利用数学中转化的思想，将复杂问题简单化．某养猪专业户利用一堵砖墙（长度足够）围成一个长方形猪栏，围猪栏的栅栏一共长40m，设这个长方形的相邻两边的长分别为x（m）和y（m）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；（2）若长方形猪栏砖墙部分的长度为5m，求自变量x的取值范围．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】（1）由题意可得y关于x的函数表达式，由x＞0，40﹣2x＞0，从而可以得出x的取值范围．（2）由题意可知，y≤5，然后根据第一问中的表达式可以确定x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意可得，2x+y=40，∴y=40﹣2x．∴自变量x满足的条件为．解不等式组得，0＜x＜20．∴y关于x的函数表达式为：y=40﹣2x（0＜x＜20）．（2）由题意可得，40﹣2x≤5，解得，x≥17.5．故长方形猪栏砖墙部分的长度为5m，自变量x的取值范围为：17.5≤x＜20．【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数的关系式并且确定自变量的取值范围，关键是明确题意，找出相应的关系，确定自变量的取值范围．（2014•滨州二模）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣1【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】动点型．【分析】易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．【解答】解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．∴∠BAE=∠FEC．∴△ABE∽△ECF那么AB：EC=BE：CF，∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．∴AB•CF=EC•BE，即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．化简得：y=x2﹣x+1．故选C．【点评】本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式．根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键．（2014秋•怀远县校级期末）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）A．y=（60+2x）（40+2x） B．y=（60+x）（40+x） C．y=（60+2x）（40+x） D．y=（60+x）（40+2x）【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】挂图的面积=长×宽=（60+2x）（40+2x）．【解答】解：长是：60+2x，宽是：40+2x，由矩形的面积公式得则y=（60+2x）（40+2x）．故选A．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．（2012秋•谯城区校级期末）一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2） C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）2【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．【解答】解：二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．故选A．【点评】本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．（2009秋•龙岗区校级月考）在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（）A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2 C．y=﹣（x2+4） D．y=﹣πx2+16π【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】剩下面积=半径为4的圆的面积﹣半径为x的圆的面积=16π﹣πx2=﹣πx2+16π【解答】解：半径为4的圆的面积16π，半径为x的圆的面积πx2．因而函数解析式是：y=﹣πx2+16π．故选D．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．（2009•庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2．故选：C．【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．（2015•永州模拟）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是y=﹣x2．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据这个函数过原点，那么可设为y=kx2，有CO和AB的长，那么A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可解决．【解答】解：设为y=kx2，由CO和AB的长，那么A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），将其代入函数中得：﹣2.4=0.8×0.8×k，解得k=﹣．那么函数的解析式就是：y=﹣x2．【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．（2007•自贡）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x） C．y=a（1﹣x2） D．y=a（1﹣x）2【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．【解答】解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．则函数解析式是y=a（1﹣x）2．故选D．【点评】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．（2015•巴中模拟）设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是S=﹣x2+3x，自变量x的取值范围是0＜x＜3．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】直接利用矩形的性质表示出窗户的长，进而得出其面积，进而求出取值范围．【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x2+3x．自变量x的取值范围是：0＜x＜3．故答案为：S=﹣x2+3x，0＜x＜3．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确运用矩形的性质是解题关键．（2013秋•綦江县校级期末）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表．那么s与t之间的函数关系式是s=2t2．

时间t/s1234…距离s/m281832…【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】图表型．【分析】通过观察发现：距离都为偶数，应都与2有关，所以表中数据的规律可以确定为t秒时，距离为2×t2．【解答】解：∵1秒时，距离为2；2秒时，距离为2×4=2×22；3秒时，距离为2×9=2×32；4秒时，距离为2×16=2×42；∴t秒时，距离为2×t2s=2t2．【点评】解决本题的关键是发现距离都与2有关，进而得到规律．（2013•荥阳市校级模拟）如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线可以用y=0.0225x2﹣0.9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，请你写出左面钢缆的表达式y=0.0225x2+0.9x+10（x≤0）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】由于两个函数都交于y轴的一点，那么c相等．两个函数的开口方向和开口度在同一直角坐标系中是一样的，所以a相同，a相等，由于两个函数的对称轴关于y轴对称，那么两个函数的b互为相反数．【解答】解：把y=0.0225x2﹣0.9x+10（x＞0）中的一次项系数﹣0.9变成相反数得到：y=0.0225x2+0.9x+10（x≤0）．【点评】解决本题的关键是根据函数特点得到函数的常数值．（2013秋•郑州校级月考）如图所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式S=﹣x2+30x（0＜x＜30）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】60厘米为长方形的周长=2（一边长+另一边长），则另一边长=周长÷2﹣一边长，为（30﹣x）cm；依据面积=一边长×另一边长可以求出函数解析式，根据线段应大于0即可求得函数自变量的取值范围．【解答】解：设矩形的一边长是xcm，则另一边长是30﹣xcm，则矩形的面积S=﹣x2+30x（0＜x＜30）．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．（2012•永春县校级自主招生）如图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是y=．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据三角函数分别表示出BQ，QP，PC的长，就可以求得△BPQ与△CPR的面积，进而求出函数解析式．【解答】解：∵BP=x，∠B=60°，∠PQB=90°，∴BQ=x，QP=x，PC=1﹣x．∴△BPQ的面积=×BQ×QP=x2，那么AQ=1﹣x，可得到QR=﹣x，则PR=﹣x．过点R做RD⊥PC，则RD=，∴△CPR的面积=×PC×RD=．∵△BPQ与△CPR的面积之和为y，∴y=（3x2﹣4x+2）=x2﹣x+，∴y=x2﹣x+．【点评】解决本题的关键是根据所给条件利用三角函数得到相应的三角形的各边的长．（2012•谷城县模拟）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是y=﹣．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标求得a．【解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2=4a，a=﹣，故y=﹣．【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．（2012•杭州模拟）经市场调查，某种商品的进价为每件6元，专卖商店的每日固定成本为150元．当销售价为每件10元时，日均销售量为100件，单价每降低1元，日均销售量增加40个．设单价为x元时的日均毛利润为y元，则y关于x的函数解析式为y=﹣40x2+740x﹣3150（6≤x≤10）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据单价每降低1元，日均销售量增加40个．那么单价为x元时，日均销售量增加了（10﹣x）×40=400﹣40x（个）．根据日均毛利润=每件的利润×销售的件数﹣商店每日的固定成本，即可求得函数解析式．【解答】解：单价为x元时，日销量是（400﹣40x+100）个；每件的利润是：（x﹣6）元；则利润y=（x﹣6）（400﹣40x+100）﹣150，即y=﹣40x2+740x﹣3150（6≤x≤10）．故答案为：y=﹣40x2+740x﹣3150（6≤x≤10）．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式．（2011秋•南京期末）如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是y=4x2+260x+4000．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．【解答】解：依题意得y=（80+2x）（50+2x）=4x2+260x+4000．故答案为：y=4x2+260x+4000．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，此题主要利用了长方形的面积公式解题．（2011春•甘州区期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．则商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式为y=﹣2x2+60x+800．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（40﹣降低的价格）×（20+增加的件数），把相关数值代入即可求解．【解答】解：∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，∴现在每件的利润为（40﹣x）元，∴y=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800．【点评】解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．（2009•泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为y=x2+4x（0＜x≤6）．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理可得BD=10，因为DM=x，所以BM=10﹣x，过点M作ME⊥BC于点E，可得到△BME∽△BDC，然后根据相似三角形的性质得到=，由此即可用x表示ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系式．【解答】解：∵AB=8，BC=6，∴CD=8，∴BD=10，∵DM=x，∴BM=10﹣x，如图，过点M作ME⊥BC于点E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴=，∴ME=8﹣x，而S△MBP=×BP×ME，∴y=x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．故填空答案：y=x2+4x（0＜x≤6）．【点评】本题的难点是利用相似得到△MBP中BP边上的高ME的代数式，此题主要考查了利用相似三角形的性质确定函数关系式．（2008秋•苏州校级期中）矩形周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函数关系为y=﹣x2+8x．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】矩形周长为16cm，则两邻边之和为8cm，一边长为xcm，另一边长为（8﹣x）cm，根据矩形的，面积公式列函数式．【解答】解：因为矩形一边长为xcm，则另一边长为（8﹣x）cm，依题意得：矩形的面积y=x（8﹣x），即y=﹣x2+8x．故应填：y=﹣x2+8x．【点评】本题考查了用矩形边长表示矩形面积，列函数式的方法．（2007•眉山）如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让