押安徽卷第11-14题（根的判别式核心素养、反比例函数与一次函数、一题多问）（解析版）-备战2024年中考数学

押安徽卷第11-14题押题方向一：根的判别式3年安徽真题考点命题趋势2022年安徽卷第12题判别式从近年安徽中考来看，一元二次方程中根的判别式是考查重点，难度较低。预计2024年安徽卷还将继续考察根的判别式为避免丢分，学生应扎实掌握。1．（2022·安徽·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．【答案】21）一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．1．已知关于x的一元二次方程x2+（b﹣3）x﹣b＝0，该方程的根的情况为（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝b2﹣2b+9，再进行配方法和非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝（b﹣3）2﹣4（﹣b）＝b2﹣2b+9＝（b﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．2．若关于x的方程x2﹣2x﹣4k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A． B． C．k≥﹣ D．k＞﹣【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4k）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4k）≥0，解得k≥﹣．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（）A．存在一个k，使得方程只有一个实数根 B．无实数根 C．一定有两个不相等的实数根 D．一定有两个相等的实数根【分析】当k＝0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝（k﹣1）2＞0即可判断原方程有实数根．【解答】解：∵k＜1，∴当k＝0时，原方程为﹣x+1＝0，解得：x＝1；当k≠0时，Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】根据条件得到c＝b﹣2，根据判别式求根的情况即可判断．【解答】解：∵实数b，c满足c﹣b+2＝0，∴c＝b﹣2，∴Δ＝b2﹣4c＝b2﹣4（b﹣2）＝（b﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．5．已知关于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0有至少一个实数解，则a的取值范围是a≥﹣4．【分析】分两种情况讨论：当a＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当a≠0时，方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则当Δ≥0时，方程有实数解，求解即可．【解答】解：当a＝0时，原方程为：﹣4x﹣1＝0，则方程为一元一次方程，有一个实数解；当a≠0时，方程ax2﹣4x﹣1＝0是一元二次方程，则当Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＝16+4a≥0时，方程有实数解，解得：a≥﹣4，综上，关于x的方程ax2﹣4x﹣1＝0有至少一个实数解，则a的取值范围是a≥﹣4．故答案为：a≥﹣4．【点评】本题考查根据方程的解的情况求字母系数取值范围．熟练掌握一元二次方程有解，则Δ≥0是银题的关键．注意分类讨论．6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是k≥且k≠1．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个实数根，∴，解得：k≥且k≠1．故答案为：k≥且k≠1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．7．请写出一个正整数k的值，使得关于x的方程x2﹣5x+2k＝0有实数根，那么k的值可以是3（答案不唯一）.（写出一个即可）【分析】根据关于x的方程x2﹣5x+2k＝0有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后根据k是正整数，求出答案即可．【解答】解：∵若关于x的方程x2﹣5x+2k＝0有实数根，则Δ＝b2﹣4ac≥0，（﹣5）2﹣4×1×2k≥0，25﹣8k≥0，﹣8k≥﹣25，，∵k为正整数，∴k＝3或2或1，故答案为：3（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．押题方向二：数学文化素养渗透3年安徽真题考点命题趋势2023年安徽卷第13题勾股定理从近年安徽中考来看，数学文化素养渗透，也是安徽历年考查重点，难度较低。预计2024年安徽卷还将继续考查数学文化素养渗透，为避免丢分，学生应扎实掌握。2021年安徽卷第12题估算1．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝．【分析】根据BD＝（BC+）和AB＝7，BC＝6，AC＝5，可以计算出BD的长，再根据BC的长，即可计算出CD的长．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案为：1．【点评】本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．2.（2021·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是_______.答案：1解析：由2<<3,1<﹣1<2,所以整数n=11）本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．2）本题是无理数的估算，熟记1-20的平方是解题的关键。1．为了满足广大人民群众日益增长的体育运动需求，也为了纪念北京奥运会成功举办，国务院批准，从2009年起，每年8月8日为“全民健身日”，长跑因为其便捷性及有效性是人们最喜爱的运动方式之一，普通人长跑5公里的平均速度约为左右，估计的值在（）A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间【分析】先估算出的值的范围，从而估算出+1的值的范围，即可解答．【解答】解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴2＜+1＜3，∴估计的值在2到3之间，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点．在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径AC”走横平竖直的路．已知AB＝6米，BC＝8米，请问与捷径AC相比多走了多少米？（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【分析】根据勾股定理求出AC，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6米，BC＝8米，由勾股定理得：AC＝＝＝10（米），∵AB+BC﹣AC＝6+8﹣10＝14，∴与捷径AC相比多走了4米，故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买班，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、班价各几何？”其大意是：今有人合伙买班石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、班价各是多少？若设人数为x，则根据题意可列方程（）A． B． C． D．【分析】根据总的钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：由题意可得，，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．4．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（）A．x•（60+x）＝864 B．x•（60﹣2x）＝864 C．x•（30﹣x）＝864 D．x•（60﹣x）＝864【分析】设宽为x步，则长为（60﹣x）步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设宽为x步，则长为（60﹣x）步，依题意，得：x（60﹣x）＝864，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（）A．3x+10（5﹣x）＝30 B． C． D．10x+3（5﹣x）＝30【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒（5﹣x）斗，再根据一共有30斗谷子列出方程即可．【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．二．填空题（共4小题）6．《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列二元一次方程组为．【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵大容器5个，小容器1个，总容量为3斛，∴5x+y＝3；∵大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，∴x+5y＝2．∴根据题意可列方程组．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．则车有15辆．【分析】设车有x辆，根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设车有x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9，解得：x＝15．∴车有15辆．故答案为：15．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值为．【分析】设直角三角形的两个直角边为a，b（a＜b），利用数形结合和勾股定理建立方程即可求出a，b，进而求出正切，作答即可．【解答】解：设直角三角形的两个直角边为a，b（a＜b），∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴根据勾股定理斜边的平方为a2+b2，∴a2+b2＝25，小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，解得a＝3，b＝4，∴tanα＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是数形结合．9．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为80cm，求“千斤”下面一截琴弦长为（）cm（保留根号）．【分析】根据黄金分割的定义即可解决问题．【解答】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，则令“千斤”下面一截琴弦长为xcm，所以，解得x＝，所以“千斤”下面一截琴弦长为（）cm．故答案为：（）．【点评】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．押题方向三：反比例函数（一次函数）的图象与性质3年安徽真题考点命题趋势从近年安徽中考来看，反比例函数与一次函数的图象与性质主要考查函数的增减性（大小比较）、函数过象限等，试题以填空题形式呈现，难度中等；预计2024年安徽卷还将继续重视对反比例函数或一次函数的图象与性质的考查。2022年安徽卷第13题反比例函数过象限问题2021年安徽卷第19题一次函数与反比例1．（2022·安徽·中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．【答案】32．（2021·安徽·中考真题）已知正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y=6(1)求k,m的值；(2)在图中画出正比例函数y=kx的图像，并根据图像，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．∴m＝3．∴A（3，2）将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．∴k＝．（2）如图：∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0．

1、一次函数的k值决定函数的增减性，若k＞0，y随x的增大而增大；若k＜0，y随x的增大而减小；

2、一次函数的b值决定直线和y轴的交点，若b＞0，与y轴正半轴相交；若b＜0，与y轴负半轴相交；当b＝0时，图象过原点.3、反比例函数，当k＞0，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。4、大小比较问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。1．如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，AE＝2DE，若△DCE的面积为9，则k的值为54．【分析】过点A作AF⊥x轴于F，设点A的坐标为（a，b），则AF＝b，AB＝CD＝a，证△DOE∽△DFA得OE＝，再根据△DCE的面积为9得ab＝54，然后根据点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上即可得出k的值．【解答】解：过点A作AF⊥x轴于F，如下图所示：设点A的坐标为（a，b），则AF＝b，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝a，∵AE＝2DE，∴AD＝3DE，∵AF⊥x轴，∠EOD＝90°，∴OE∥AF，∴△DOE∽△DFA，∴OE：AF＝DE：AD，即OE：b＝DE：3DE，∴OE＝，∵△DCE的面积为9，∴CD•OE＝9，即，∴ab＝54，∵点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝ab＝54．故答案为：54．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．2．如图，正方形ABCD的顶点A在x轴上，E是AD的中点，反比例函数的图象经过正方形的顶点B．若OA＝1，tan∠OAE＝2，则k＝10.【分析】作BF⊥x轴，垂足为F，利用相似比求出AF＝4，BF＝2，继而求出点B坐标，最后求出k值即可．【解答】解：如图，作BF⊥x轴，垂足为F，∵E是AD的中点，OA＝1，tan∠OAE＝2，∴OE＝2，∴AE＝＝，∴AB＝AD＝2，∵OE∥BF，∴△OAE∽△FBA，∴，∴AF＝4，BF＝2，∴OF＝OA+AF＝1+4＝5，∴B（5，2），∵点B在反比例函数图象上，∴k＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．3．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，AB＝2．（1）若点A的坐标为（，2），则a+b的值是﹣2．（2）若点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，CD∥AB，CD＝3，AB与CD之间的距离为1，则a﹣b的值是6．【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得a、b的值，进而求得a+b的值；（2）设A点的纵坐标为n，由题意可知C点的纵坐标为n﹣1，根据AB∥x轴，AB＝2得出﹣＝2，得到a﹣b＝2n，根据CD∥AB，CD＝3，得出﹣＝3，得到a﹣b＝3n﹣3，即可得出2n＝3n﹣3，解得n＝3，即可求得a﹣b＝6．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，AB＝2，∴B（﹣，2），∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴a＝＝1，b＝﹣＝﹣3，∴a+b＝﹣2．故答案为：﹣2；（2）设A点的纵坐标为n，则C点的纵坐标为n﹣1，∵AB∥x轴，AB＝2，∴A（，n），B（，n），∴﹣＝2，∴a﹣b＝2n，∵CD∥AB，CD＝3，∴C（，n﹣1），D（，n﹣1），∴﹣＝3，∴a﹣b＝3n﹣3，∴2n＝3n﹣3，∴n＝3，∴a﹣b＝2n＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示点的坐标是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣4），AC与x轴交于点D．（1）若OB＝1，求tan∠OBC＝4．（2）若CD＝4AD，点A在y＝（x＞0）的图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．【分析】（1）根据正切的定义代入数据计算即可；（2）作AE⊥x轴，利用条件证明△ADE∽△CDO得到AE＝1，再利用条件证明△ABE∽△DCO列出，设DE＝n．则BO＝OD＝4n，BE＝9n，根据相似比代入计算出n值，得到A（，1），根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．【解答】解：（1）∵C（0，﹣4），∴OC＝4，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝4，tan∠OBC＝＝4．故答案为：4．（2）如图，作AE⊥x轴，垂足为E，∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO，∴△ADE∽△CDO，∵CD＝4AD，∴，∴AE＝1，又∵y轴平方∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∽△DCO，∴，设DE＝n．则BO＝OD＝4n，BE＝9n，∴，∴n＝，∴OE＝5n＝，∴A（，1），∴k＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0，x＞0）的图象分别与边AO，AB交于点C，D．若D为AB的中点，则的值等于．【分析】作CE⊥x轴于点E，通过证得△OCE∽△OAB，得到＝（）2，设A点坐标为（a，b），则S△OAB＝，利用线段中点坐标公式得到D点坐标为（a，），再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝ab，利用反比例函数系数k的几何意义求得S△OCE＝＝ab，有进步即可求得的值．【解答】解：作CE⊥x轴于点E，∴△OCE∽△OAB，∴＝（）2，设A点坐标为（a，b），∴S△OAB＝＝，∵点D为斜边AB的中点，∴D点坐标为（a，），而点D在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，∴k＝a•b＝ab，∴S△OCE＝＝ab，∴＝＝（）2，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得三角形的面积是解题的关键．6．如图，点A（1，m）和B（n，2）在反比例函数的图象上，点C，D分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为4．【分析】先求出AB＝，再分别作点A关于y轴的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交y轴于点D，交x轴于点C，此时四边形ABCD的周长最小，依据两点间距离公式计算最小值即可．【解答】解：∵点A（1，m）和B（n，2）在反比例函数的图象上，∴m＝2n＝4，∴m＝4，n＝2，∴A（1，4），B（2，2）．∴AB＝＝，如图，分别作点A关于y轴的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交y轴于点D，交x轴于点C，此时四边形ABCD的周长最小．根据点的对称性质可知A′（﹣1，4），B′（2，﹣2），∴A′B′＝＝3，∴四边形ABCD周长的最小值为：3+＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握两点间距离公式是关键．7．如图，在直角坐标系中，过函数上一点A分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点B、C．则△OBC的面积为．【分析】延长AB交y轴于点E，延长AC交x轴于点F，连接OA，利用面积关系推出点B是AE中点，点C是AF的中点，利用S△BOC＝S矩形AEOF﹣S△EBO﹣S△GOF﹣S△ABC代入数据计算即可．【解答】解：延长AB交y轴于点E，延长AC交x轴于点F，连接OA，∵点B在函数y＝图象上，点A在函数y＝，∴S△OBE＝，S△OAE＝1，∴点B是AE中点，同理点C是AF的中点，∴S△ABC＝S矩形AEOF＝＝，∴S△BOC＝S矩形AEOF﹣S△EBO﹣S△GOF﹣S△ABC＝2﹣﹣﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值几何意义是解答本题的关键．押题方向四：一题多问3年安徽真题考点命题趋势2023年安徽卷第14题二次函数的性质，平移等从近年安徽中考来看，一题多问是填空题中的小压轴问题，一般是两问，有点难度。预计2024年安徽卷还将继续考查以三角形，四边形、二次函数等形式产生一题多问，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年安徽卷第14题特殊四边形、三角形的判定和性质2022年安徽卷第14题二次函数的性质1．（2023·安徽·中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．（1）k＝；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k＝．故答案为：．（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴AC的解析式为y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，当D的坐标为（2+2，）时，BD2＝（2+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；当D的坐标为（2﹣2，）时，BD2＝（2+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用．2.（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）________°；（2）若，，则________．【答案】①45②.3.（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中为实数.若抛物线经过点，则_______.（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是_______答案：0，2解析：（1）把（-1，m）带入y=x2+（a+1）x+a,可得：1-（a+1）+a=m,m=0抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得平移后的解析式为y1=x2+（a+1）x+a+2,由顶点公式可得抛物线顶点的纵坐标为k=，当a=1时抛物线顶点的纵坐标的最大值是2，故答案是0，2本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用．本题考察了正方形的性质，全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，解题的关键是灵活应用这些判定和性质。本题考察的二次函数的平移、二次函数的图象和顶点坐标等知识，难度不大，考生要熟练掌握其性质是解题的关键。1．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为6；（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝．【分析】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解；（2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2＝，x1x2＝﹣9，进而求解．【解答】解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图：设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即抛物线的表达式为：y＝x2+c①，PQ＝2xQ＝6，故答案为：6；（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°，设直线CH的解析式为y＝x+b，将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②，联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0，则x1+x2＝，x1x2＝﹣9，则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝，则|x1﹣x2|＝，由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°，则CH＝|x1﹣x2|＝，故答案为：．也可采取以下方法：设过点C（6，8）的直线和x轴的夹角为45°，故设该直线的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式得：8＝6+b，解得：b＝2，则直线的表达式为：y＝x+2，由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2，联立上述两式得：x2＝x+2，解得：x＝6或﹣1.5，则|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5，则CH＝7.5×＝．【点评】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．2．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4．（1）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，则m＝2．（2）若该函数图象与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是﹣2＜m≤2．【分析】（1）由抛物线对称轴的公式即可求解；（2）由Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，得到抛物线和x轴有两个交点，进而求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝2＝﹣，解得：m＝2，故答案为：2；（2）Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，则抛物线和x轴有两个交点，当x1•x2＝m2﹣4＜0且m≠﹣2时，符合题意，解得：﹣2＜m≤2，故答案为：﹣2＜m≤2．【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．3．已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）和B两点，与y轴交于点C．（1）该抛物线的对称轴是直线x＝﹣（用含a的代数式表示）；（2）若AB＝3，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，点P为x轴下方抛物线上一点，且△BPC的面积被x轴分成1：2两部分，则点P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣2，﹣1）．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2中，得出a，b的关系，从而得出结论；（2）先根据AB＝3求出点B坐标，再根据题意判断函数解析式，然后根据△BPC的面积被x轴分成1：2两部分分类讨论即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2中，得a﹣b+2＝0，∴b＝a+2，∴对称轴x＝﹣＝﹣，故答案为：﹣；（2）∵A（﹣1，0），AB＝3，∴B（2，0）或（﹣4，0），当B（2，0）时，把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，∴对称轴为x＝﹣，抛物线开口向下，不满足当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，不符合题意，舍去；当B（﹣4，0）时，把把A（﹣1，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x+2，∴对称轴为x＝﹣，抛物线开口向上，满足当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，符合题意，连接BP，BC，PC，设PC交x轴于点D，∵△BPC的面积被x轴分成1：2两部分，∴①S△BDC：S△BDP＝1：2，即：＝1：2，令y＝0，则y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，设P（m，﹣m2﹣m﹣2），∴：＝1：2，∴﹣m2﹣m﹣2﹣4＝0，∵（﹣）2﹣4×（﹣）×（﹣6）＝﹣12＝﹣＜0，∴﹣m2﹣m﹣2﹣4＝0无实数根，∴S△BDC：S△BDP＝1：2不存在；②S△BDC：S△BDP＝2：1，即：＝2：1，∴﹣m2﹣m﹣2＝1，解得m1＝﹣2，m2＝﹣3，当m＝﹣2时，﹣m2﹣m﹣2＝﹣1，∴P（﹣2，﹣1），当m＝﹣3时，﹣m2﹣m﹣2＝﹣1，∴P（﹣3，﹣1）．综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，关键是用待定系数法求函数解析式．4．如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB＝4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD＝2﹣时，△CEF的面积最小值为．【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于点J，EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DTAC于点T．设DJ＝x．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J，EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DT⊥AC于点T．设DJ＝x．∵△ABC是等边三角形，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ＝2，AJ＝2，∴AD2＝DJ2+AJ2＝x2+12，∵∠AJD＝∠ADE＝∠DKE＝90°，∴∠DAJ+∠ADJ＝90°，∠ADJ+∠KDE＝90°，∴∠DAJ＝∠KDE，∵AD＝DE，∴△AJD≌△DKE（AAS），∴DJ＝EK＝x，∵∠ATD＝∠AHF＝∠DAF＝90°，∴∠DAT+∠FAH＝90°，∠FAH+∠AFH＝90°，∴∠DAT＝∠AFH，∵AD＝AF，∴△DTA≌△AHF（AAS），∴AT＝FH，∵CT＝CD＝（x+2），∴AT＝FJ＝4﹣（x+2）＝3﹣x，∴S阴＝S正方形ABCD﹣S△ADC﹣S△DCE﹣S△ACF＝x2+12﹣×（2+x）×2﹣（x+2）×x﹣×4×（3﹣x）＝x2﹣x+6﹣2，∵＞0，∴S阴有最小值，当x＝时，最小值为＝，此时BD＝2﹣．故答案为：2﹣，．【点评】本题考查二次函数的最值，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．5．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处．（1）当点F落在矩形对角线AC上时，则BE的长为3；（2）当△CDF是以DF为腰的等腰三角形时，则BE的长为或．【分析】（1）根据勾股定理，得到，AB＝AF＝6，继而得到CF＝AC﹣AF＝4，设BE＝EF＝x，则CE＝BC﹣BE＝（8﹣x），利用勾股定理解答即可．（2）分DF＝CF和DF＝DC两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．【解答】解：（1）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴∠ABC＝90°，∴，根据折叠的性质，得AB＝AF＝6，∠ABC＝∠AFE＝90°∴CF＝AC﹣AF＝4，设BE＝EF＝x，则CE＝BC﹣BE＝（8﹣x），∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3．故答案为：3．（2）当DF＝CF时，如图，过点F作FM⊥DC于点M，FG⊥AD于点G，∴四边形DMFG是矩形，，根据折叠的性质，得AB＝AF＝CD，∠BAE＝∠FAE，∴，∴∠GAF＝30°，∴∠BAE＝∠FAE＝∠GAF＝30°，∴；当DF＝DC时，如图，过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，∴DF＝DC＝AB＝AF＝6，∴直线FM是矩形的对称轴，∴，四边形ABNM是矩形，∴，AB＝MN＝6，∴FN＝MN﹣FM＝，设BE＝EF＝x，则EN＝BN﹣BE＝（4﹣x），∴解得．故答案为：或．【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．6．如图，矩形ABCD中，P是AD边上的动点，连接点P与AB边的中点E，将△APE沿PE翻折得到△OPE，延长PO交边BC于点F，作∠PFC的平分线FG，交边AD点G．（1）若∠AEP＝35°，则∠PFG＝55°；（2）若AB＝2，且E、O、G三点共线，则AP＝．【分析】（1）根据矩形的性质得∠APE＝55°，由折叠得∠APE＝∠OPE，进而可以解决问题；（2）过点G作GH⊥CD于点H，得矩形DCHG，矩形AGHB，证明△GFO≌△GFH（AAS），得GO＝GH＝2，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠AEP＝35°，∴∠APE＝90°﹣35°＝55°，由折叠可知：∠APE＝∠OPE，∴∠APF＝2∠APE，∵GF平分∠PFC，∴∠PFC＝2∠PFG，∴∠PFG＝∠APE＝55°，故答案为：55；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，如图，过点G作GH⊥CD于点H，得矩形DCHG，矩形AGHB，∴AB＝CD＝GH＝2，∠GHF＝90°，由折叠可知：∠APE＝∠OPE，∴∠E