用样本估计总体 高频考点精讲（解析版）2024年高考数学一轮复习（艺考生基础版）

用样本估计总体（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：百分位数的估计

题型二：总体集中趋势的估计

角度1：样本的数字特征

角度2：频率分布直方图中的数字特征

题型三：总体离散程度的估计

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：总体百分位数的估计

（1）第P百分位数的定义

一般地，一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有P%的数

据小于或等于这个值,且至少有（1-P）%的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组“个数据的第P百分位数的步骤：

第1步,按从小到大排列原始数据.

第2步,计算，="Xp0/0.

第3步，若，不是整数,而大于，的比邻整数为j,则第P百分位数为第j项数据;若，是整数，

则第P百分位数为第，项与第（i+1）项数据的平均数.

知识点二：样本的数字特征

（1）众数

一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据）称为这组数据

的众数.

（2）中位数

一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个

数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.

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(3)平均数

一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据看,4，了3…，匕的平

均数为最=,+々+.+.X”

n

(4)标准差与方差

如果有几个数据苞，X,,/•,X“那么平均数；=芯+.+%+x“，标准差为：

n

S=J—[(X]—X)~+(4—X)~++(X“一X)~]，方差：

Vn~

s-=—[(Xj—x)2+(x—%)-++(x—x)2]

n9n

知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值

(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数；

(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形

底边中点的横坐标之和.

知识点四：平均数，方差的线性关系：

数据平均数方差

X]fX?,X3'f工〃X52

x+Z72

xx+b,x2+b,3,xn+bx+b5

axx,ax2,ax3,axnaxa2s2

ax{+b,ax2+b,ax3+b,axn+bax+ba2s2

第二部分：典型例题剖析

题型一：百分位数的估计

典型例题

例题1.(2022•广东佛山•高三阶段练习)已知机是1,2,3,4,5,6的第75百分位数,

随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数小于小的概率为()

A.±12B.-C.-4D.-5

2356

【答案】B

【详解】由题意可知：1,2,3,4,5,6的第75百分位数根=5,

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随机抛掷一枚质地均匀的骰子，基本事件个数是6,则点数小于〃，的基本事件共有4个,

42

由古典概型的概率公式可得：点数小于m的概率P=~=~,

63

故选：B.

例题2.（2022•新疆•乌鲁木齐101中学高一期末）某城市抽样了100户居民月均用水量

（单位：Q,并作出频率分布表

分组频数频率

[1,1.5)60.060

[1.5,2)180.180

[2,2.5)440.440

[2.5,3)160.160

[3,3.5)110.110

[3.5,4)50.050

估计80百分位数为（）

A.2.625B.2.750C.2.875D.3.125

【答案】C

【详解】0.06+0.18+0.44=0.68,0.06+0.18+0.44+0.16=0.84,

80百分位数位于［2.5,3）,则80百分位数为2.5+黑一x0.5=2.875.

0.84—0.68

故选：C.

例题3.（2022•湖北•沙市中学高二阶段练习）数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,%6.6的第63

百分位数是4.5,则实数x的取值范围是.

【答案】［4.5,小）

【详解】8*63%=5.04,故数据的第63百分位数是第6个数据为4.5,故xe［4.5,+s）.

故答案为：［4.5,+8）

例题4.（2022•浙江省杭州第二中学高二期中）某校高二年级一名学生一学年以来七次月

考数学成绩（满分100分）依次为84,86,78,82,84,89,96,则这名学生七次月考数

学成绩的第70百分位数为.

【答案】86

【详解】解：根据题意，七次考试的成绩从小到大依次为：78,82,84,84,86,89,96；

又由7x70%=4.9,

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故则这名学生七次月考数学成绩的第70百分位数为86；

故答案为：86.

同类题型归类练

1.（2022•全国•高三专题练习）某读书会有5名成员，寒假期间他们每个人阅读的节本数分

别如下：3,5,4,2,1,则这组数据的60%分位数为（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：L2,3,4,5,且5x60%=3,

可得这组数据的60%分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数为三=3.5.

故选：B.

2.（2022•全国•高三专题练习）一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大

分别是2,4,5,尤，11,14,15,39,41,50,已知该小组数学测试成绩名次的40%分位

数是9.5,贝口的值是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【详解】依题意10・40%=4是整数，那么40%分位数9.5就是第4,第5位数的平均值，于

是方一=9.5,解得x=8.

故选：C

3.（2022,全国•高三专题练习）在某次数学测验中，6位学生的成绩分别为：78,85,t,

82,75,80,他们的平均成绩为81,则他们成绩的75%分位数为.

【答案】85

【详解】解：由题意知78+85+1+82+75+80=6x81,

解得/=486-400=86,

把这组数据按从小到大的顺序记为：75,78,80,82,85,86,

指数；=np°/o=6x75%=4.5,

因此，这组数据的75%分位数为85.

故答案为：85.

4.（2022•黑龙江•建三江分局第一中学高一期中）某车间12名工人一天生产某产品（单位：

kg）的数量分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4,

则所给数据的下四分位数是.

【答案】13.7

【详解】将12个数据从小到大排序，13,13.5,13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2,

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15.4,15.7,15.8,

由12x25%=3,

则所给数据的第25百分位数是136；13.8=13.7.

故答案为：13.7.

题型二：总体集中趋势的估计

角度L样本的数字特征

典型例题

例题1.（2022•天津•高一期末）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数

分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.记这组数据的中位数为。，平均数为b,

众数为c,则（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】c

【详解】这10个数据已经从小到大进行了排序，...中位数。=与"=15,众数为c=17,

10+12+14+14+15+15+16+17+17+17「

平均数6=------------------------------------=1444.7,:.c>a>b.

10

故选：C

例题2.（2022•广东实验中学附属江门学校高一开学考试）在“美丽乡村”评选活动中，

某乡镇7个村的得分如下：10,7,6,9,8,9,5,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9

【答案】D

【详解】某乡镇7个村的得分：1。，7,6,9,8,9,5,由小到大排序为：5,6,7,8,9,9,10,

所以中位数为8,众数为9.

故选：D.

例题3.（2022•黑龙江•建三江分局第一中学高一期中）10名工人某天生产同一零件，

生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为中位数

为人众数为c,则有（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【详解】解：重新排列得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.

贝I］有：a=-Lx(i5+i7+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,&=|x(15+15)=15,c=17.

所以c>b>a

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故选：D.

例题4.（多选）（2022•江苏常州•高一期末）某同学连续抛掷质地均匀的骰子10次,

向上的点数分别为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,则这10个数的（）

A.众数为2和3B.平均数为3

Q

C.标准差为gD.第85百分位数为4.5

【答案】AB

【详解】对于A,因为2和3出现的次数最多，均为3次，所以众数为2和3,所以A正确,

对于B,平均数为\x（l+3x2+3x3+4+5x5）=3,所以B正确，

对于C,标准差为s=J]x[（l_3）2+3x（2-3）2+3x（3—3）2+（4—3）2+2x（5_3）,所

以C错误，

对于D,因为这组数从小到大排列为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,且10x85%=8.5,

所以第85百分位数为第9个数5,所以D错误，

故选：AB

例题5.（多选）（2022•甘肃定西•高一阶段练习）某位同学连续抛掷质地均匀的骰子8

次，向上的点数分别为1,3,3,3,4,6,6,6,则这8个数（）

A.众数为3和6B.中位数为3C.平均数为4D.第65百分位数为4

【答案】AC

【详解】因为3和6出现的次数均为3,且出现的次数最多，因此众数为3和6,故A正确；

3+4

这8个数的中位数为〒=3.5,故B错误:

I口业乙、，1+3X3+4+6X3

平均数为---------------=4,故C正确;

O

因为一共有8个数，由8x65%=5.2,且上述8个数是按照从小到大排列的，

所以第65百分位数为6,故D错误.

故选：AC

例题6.（2022•全国•高二课时练习）如图是2020年某大学自主招生面试环节中，7名

评委为某考生打出的分数的茎叶图，该组数据的众数为.

79

844647

93

【答案】84

【详解】解：根据茎叶图可知，7名评委为某考生打出的分数分别为79,84,84,84,86,87,93,

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所以，该组数据的众数为84.

故答案为：84

例题7.(2022•湖北•武汉市第十七中学高二期中)已知一组数据

2^+4,2X2+4,2X3+4,2JC4+4,的平均数和方差均为4,贝!J为+1,々+L』+1，匕+1的方差为

【答案】1

【详解】由题意得：2工1+4+2%+4+2%+4+2工4+4=16,

解得：2玉+29+2鼻+2匕=0,%+%+W+Z=0,

2222

KI[(2X1+4-4)+(2X2+4-4)+(2X3+4-4)+(2X4+4-4)]=4,

2

解得:x：+x2+引+xj=4,

故占+1,%+1，苫3+1,%+1的平均数为；(无1+1+工2+1+忍+1+看+1)=1，

故方差为][(X[+1—1)+(4+]—1)+(%3+1—1)+(^4+1—1)]=+%2+$2+xj)=1・

故答案为：1

例题8.(2022•上海•高二单元测试)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：

甲：512554528549536556534541522538

乙：515558521543532559536548527531

(1)用茎叶图表示两学生的成绩；

(2)分别求两学生成绩的中位数和平均数.

【答案】(1)作图见解析

(2)甲学生成绩的中位数为537,乙学生成绩的中位数为534；甲学生成绩的平均数为537,

乙学生成绩的平均数为537

(1)

两学生成绩的茎叶图如图所示：

甲乙

-

251I

285217

46853126

195438

465589

(2)

将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为:

甲：512522528534536538541549554556

乙：515521527531532536543548558559

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从以上排列可知甲学生成绩的中位数为*538=537,

,配人田餐3±八皿3532+536O

乙学生成绩的中位数为——-——=534.

2

12+22+28+34+36+38+41+49+54+56…

甲学生成绩的平均数为500+---------------------------------------------------------=537,

10

15+21+27+31+32+36+43+48+58+59…

乙学生成绩的平均数为500+-----------------------------------------------------------=53/.

10

同类题型归类练

1.（2022•浙江丽水•高一期末）从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,

88,90,92,92,92,96,96,98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数，第75百

分位数分别为（）

A.92,85B.92,88C.92,96D.96,96

【答案】C

【详解】由己知得82,85,88,90,92,92,92,96,96,98的众数为92,

将这组数据从小到大排列为82,85,88,90,92,92,92,96,96,98,

则10x75%=7.5,取第8个数为96,即第75百分位数为96,

故选：C.

2.（2022・广西•高二学业考试）下图是某城市5月24日到6月7日共15天的空气质量指

数的茎叶图，则该城市15天的空气质量指数的众数为（）

12455

59821

3000502

A.12B.15C.30D.32

【答案】C

【详解】根据茎叶图可知，众数为30.

故选：C

3.（2022•全国•高三专题练习）某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况,

随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8,18,15,

20,16,21,19,18,19,10,6,20,20,23,25,这组数据的中位数和众数分别

是（）

A.18,20B.18.5,20C.19,20D.19.5,20

【答案】C

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【详解】将这组数据按从小到大的顾序排列：6,8,10,15,16,18,18,19,19,20,

20,20,21,23,25,

这组数据的中位数和众数分别是19和20.

故选：C

4.（2022•河南•宁陵县高级中学高一阶段练习）一组数据1,10,5,2,x,2,且2〈尤＜5,

若该数据的众数是中位数的1倍，则该数据的平均数为（）

A.3B.4C.4.5D.5

【答案】B

3

【详解】易得众数为2,则中位数为2x^=3,将数据按照从小到大排列得1,2,2,x,5,

10,则中位数为彳=3,解得x=4,

2

贝I］平均数为！x（l+2+2+4+5+10）=4.

6

故选：B.

5.（2022•江西赣州•二模（理））一组数据按从小到大排列为2,3,3,x,7,10,若这组

数据的平均数是中位数的3倍，则下列说法错误的是（）

4

A.x=5B.众数为3C.中位数为4D.方差为§23

6

【答案】D

【详解】这组数据的平均数为三匕，而中位数为千，

62

2s+x=5=3+IY,解得尤=5,故A正确，

642

此时该组数据的众数为3,故B正确，

而中位数为辞=4,故C正确，

故D错误，

故选：D.

6.（2022・贵州•高三阶段练习（理））如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名员工连续5天内

的日产量数据（单位：箱）.已知这两组数据的平均数分别为焉，五，若这两组数据的中位

数相等，则（）

第9页共23页

64y

23

03

A.x甲>xz,B.x甲=无乙

C.x甲乙D.x甲,x乙的大小关系不确定

【答案】C

【详解】由题意得两组数据的中位数为83,则x=3,

-74+76+83+91+92…-70+y+82+83+90+93418+y…

贝nIl]x甲=-----------------=83.2,尤乙=--------------------=—>83.2,

故选：C

7.（2022•广东广州•高二期中）已知数据玉,马，…，毛的平均数为4,则数据

2占一1,29一1,…,2x,一1的平均数为（）

A.16B.15C.8D.7

【答案】D

【详解】由平均数的性质知：2再-1,2%-1,…,2x“-l的平均数为2x4—1=7.

故选：D.

8.（多选）（2022•福建•石狮市第八中学高一阶段练习）给定一组数5,4,3,5,3,2,

2,3,1,2,则这组数据的（）

O

A.中位数为3B.方差为gC.众数为2和3D.第85%分位数为4.5

【答案】ABC

【详解】将数据从小到大排序为1，2,2,2,3,3,3,4,5,5,

3+3

故中位数为故A正确；

众数为2,3,故C正确；

这组数据的第85百分位数为10x85%=8.5,8.5不是整数，故取第9个数字，第9个数字为

5,故D错误.

故选：ABC.

9.（2022,天津•南开中学高一期末）某次数学考试中20个人的成绩如下：101,103,107,

110,112,113,116,123,124,125,125,125,126,128,134,135,137,139,144,

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148,若这组数据的众数为。，中位数为6,极差为。，则a+6+c=.

【答案】297

【详解】由题意，a=125,b=125,c-148-101=47,故a+6+c=125+125+47=297

故答案为：297

10.（2022•江西•九江高二期中）如图，茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、

乙两组各五名学生的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为

105.4,则无，y的值分别为.

甲组乙组

589

x2106y9

74115

【答案】6）8

【详解】因为甲组数据的中位数为106,所以第三名学生的成绩为中位数106,得x=6.

又因为乙组数据的平均数为105.4,所以++（1*）+109+115=105%解得y=8.

故填：6,8

11.（2022・山东•高密三中高三阶段练习）数据：1,2,2,3,4,5,6,6,7,8,中位数

为m,60%百分位数为。，则机=,a=.

911

【答案】4.5##—5.5##

22

【详解】由题意得中位数加=2=4.5,而10x60%=6,则60%百分位数为a=半=5.5,

22

故答案为：4.5,5.5

角度2：频率分布直方图中的数字特征

典型例题

例题1.（2022•天津市咸水沽第一中学模拟预测）耀华中学全体学生参加了主题为“致敬

建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取

的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出

频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

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A.直方图中x的值为0.004

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为30人

C.估计全校学生的平均成绩为84分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

【答案】C

【详解】由直方图可得：（0.005+0.010+0.015+^+0.040）x10=1,解得彳=0。3，故A错

误，

在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为10x0.015x400=60人，故B错误

估计全校学生的平均成绩为55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分，故C正确

全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为90+三xl0=95分，故D错误

0.4

故选：C

例题2.（2022•四川省绵阳南山中学高二开学考试）某校统计了高二年级1000名学生的

数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方

图如图所示，则这1000名学生期末成绩的平均分估计值为（精确到整数）

【答案】94

【详解】由频率分布直方图，得(0.006+0.014+0.02+0.008+4)x20=1,

解得。=0.002,则这1000名学生期末成绩的平均分估计值为

0.006x20x60+0.014x20x80+0.02x20x100+0.008x20x120+0.002x20x140

=7.2+22.4+40+19.2+5.6=94.4-94.

故答案为：94.

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例题3.(2022•全国•高一单元测试)为了解学生的周末学习时间(单位：小时)，高一

年级某班班主任对该班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据按照[。，4),

[4,8),[8,12),[12,16),口6,20]分成5组.得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求该班学生该周末的学习时间不少于8小时的人数；

(2)试估计这40名同学该周末学习时间的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表)

【答案】⑴8

(2)5.4小时

①由图可知，该班学生该周末的学习时间不少于8小时的频率为

(0.025+2x0.0125)x4=0.2.则40名学生中周末的学习时间不少于8小时的人数为

40x0.2=8.

⑵估计这40名同学该周末学习时间的平均数为

0.125x4x2+0.075x4x6+0.025x4x10+0,0125x4x14+0.0125x4x18=5.4(小时)，所以

估计这40名同学该周末学习时间的平均数为5.4小时.

例题4.(2022•四川广安•高二期末(文))冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世

界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北

京和张家口举行.为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全

校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分

布直方图(如图所示)，

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其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100].

(1)求频率分布直方图中a的值：

(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数.(结果保留一位小数)

【答案】(1)a=0.006

(2)众数75；中位数76.4

(1)由(0.004+a+0.018+0.022X2+0.028)x10=1,得a=0.006

⑵50名学生竞赛成绩的众数为四詈=75

设中位数为机,则0.04+0.06+0.22+(m-70)x0.028=0.5

解得机b76.4

所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4

例题5.(2022•全国•高一期末)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布

直方图如图.

(2)估计总体中成绩落在[50,60)中的学生人数；

(3)根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；

540

【答案】(1)。=0.005；(2)2人；(3)众数为75,中位数为〒.

【详解】(1)(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=l,解得a=0.005.

(2)由频率分布直方图得成绩落在[50,60)中的频率为2axl0=0.1,

估计总体中成绩落在[50,60)中的学生人数为：20x0.1=2人.

(3)根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：”2=75,

2

由于前2组的频率和10x(0.01+0.015)=0.25<0.5,前3组的频率和

10x(0.01+0.015+0.035)=0.6>0.5,

所以中位数在第3组，设中位数为心则

(0.01+0.015)xl0+0.035(x-70)=0.5

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所以中位数为不

同类题型归类练

1.（多选）（2022•山东荷泽•高一期末）某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健

康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所

示，则下列说法正确的有（）

A.频率分布直方图中a的值为0.005

B.估计这100名学生成绩的中位数约为77

C.估计这100名学生成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为160

【答案】AB

【详解】对于A,由频率分布直方图可得10（2a+3a+7a+6a+2a）=l,解得。=0.005,所以

A正确，

对于B,由频率分布直方图可知，前2组的频率和为10x5x0.005=0.25<0.5,前3组的频

率和为10x12x0.005=0.6>0.5,所以中位数在第3组，设中位数为了,则

0.25+7x0.005（%-70）=0.5,解得x^77,所以B正确，

对于C,由频率分布直方图可知成绩在70到80的最多，所以众数为75,所以C错误，

对于D,由频率分布直方图可知成绩在［60,70）的频率为3x0.005x10=0.15,所以总体中成

绩落在［60,70）内的学生人数约为0.15x1000=150人，所以D错误，

故选：AB

2.（2022•吉林・长春外国语学校高一期中）2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱

在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是"天宫课堂”在广大学生心中引起强

烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣.某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中

第15页共23页

随机抽取了100名学生进行笔试(试卷满分100分)，记录下他们的成绩，并整理得到如下

频率分布直方图.

频率

⑴求频率分布直方图中m的值；

(2)估计100名学生成绩的中位数(精确到0.1).

【答案】⑴机=0.030

⑵71.7

(l)0.010xl0-K).015xl0+0.020xl0+mxl0+0.015xl0+0.010xl0=l,解得：m=0.030.

(2)设中位数为x,贝iJ0.010xl0+0.015xl0+0.020xl0+0.03x(x-70)=0.5,解得了271.7.

3.(2022•广西・钦州一中高二期中(文))6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干

旱日”，旨在进一步提高世界各国人民对防治荒漠化重要性的认识，唤起人们防治荒漠化的

责任心和紧迫感.为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚集联合国2030可持续发展目

标一一实现全球土地退化零增长.自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持

续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地

抽测了400株树苗的高度(单位：cm),得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中实数。的值和抽到的树苗的高度在［175,215)的株数；

(2)估计苗圃中树苗的高度的平均数和中位数.(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)

【答案】(1)a=0.0250,342

(2)189.8,190

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(I)/(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300+a+0.0080+0.0020)xl0=l,

・•.a—0.0250,

抽到的树苗的高度在［175,215)的株数为400x(0.0225+0.0300+0.0250+0.0080)x10=342

(株)

(2)苗圃中树苗的高度的平均数：

160x0.0015x10+170x0.0110x10+180x0.0225x10+190x0.0300x10+200x0.0250x10

+210x0.0080x10+220x0.0020x10=189.8(cm)

设中位数为Mem),因为(0.0015+0.0110+0.0225)/10=0.35<0.5,

(0.0015+0.0110+0.0225+0.030)x10=0,65>0.5,贝U185cx<195,

(0.0015+0.0110+0.0225)x10+0.030(^-185)=0.5,所以x=190.

4.(2022•全国•高一课时练习)今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将

120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示.

（1）求实数。的值，并求80分是成绩的多少百分位数？

（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；

（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间［90,100］内的员工中，随机选取2名员工到某社区

开展"学知识、健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间［90,100］内的员工中恰有3

名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率.

4

【答案】（1）a=0.005,80分是成绩的75百分位数；（2）71分；（3）不

【详解】解：（1）10x（a+3a+4a+5o+6a+«）=l,解得a=0.005；

1-10（4x0.005+0.005）=0.75，所以80分是成绩的75百分位数.

（2）45x0.05+55x0.15+65x0.25+75x0.30+85x0.20+95x0.05=71（^）；

所以这次知识竞赛的平均成绩是71分.

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（3）这次知识竞赛成绩落在区间[90,100]内的员工有120x0.05=6名.

记"至少有一个男性员工被选中"为事件A,记这6人为1,2,3,4,5,6号，其中男性员

工为1,2,3号，则样本空间

Q=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6））

A=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）｝,所以

P（A）=-=-.

V'155

答：至少有i名男性员工被选中的概率为楙4.

5.（2022•新疆,江苏中学高一期中）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业

加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上

赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质

量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组:

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[90,100],得到如下频率分布直方图.

（1）求出直方图中加的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数

（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）.

【答案】（1）m=0.030；（2）平均数为71,中位数为73.33.

【详解】（1）由10x（0.010+0.015+0.015+〃?+0.025+0.05）=l,得加=0.030.

（2）平均数为元=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

设中位数为力，则0.1+0.15+0.15+（1-70）x0.03=0.5,得〃=寸，73.33.

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.

题型三：总体离散程度的估计

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典型例题

例题1.（2022•四川•川大附中高三期中（理））已知某样本的容量为100,平均数为80,

方差为95,现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70,

另一个错将80记录为100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为元，方

差为S2,则（）

A.x=80,s2<95B.x=8O,s2>95C.x>80,s2<95D.亍<80,s2>95

【答案】A

*、45.lx，L.xsx-i--AF।j斗j、，100x80—70—100+90+80„„

【详解】根n据题意知，重新求得样本的平均数为----------..........=80,

设收集的98个准确数据为X1,%，…，/8,

22

则95=+［（芭-80）2+（々_go）?++（/_go）?+a。_80）+（100-80）］

=焉［（再—80）2+（尤2-80）2+.+（尤98-80）2+50。］,

2

$2=焉［（为一80）2+（%—80）2++（马8_80）2+（90-80）2+（80_80）］

2

s?=焉［（玉一80）+（无2-80）2++（4―80）2+1oo］<95,

故选:A.

例题2.（多选）（2022•贵州六盘水•高一期末）在某次数学测试中，甲、乙两个班的成

绩统计如下表：

班级人数平均分方差

甲20852

乙30903

记这两个班数学成绩的总平均分为无，方差为底，则（）

A.元=88B.x=87.5C.S2=8.6D.S2=2.5

【答案】AC

_onQQ

【详解】依题意X与X85+才90=34+54=88,

S2=乳2+（85一88）1+韶3+（90一88）1=86

故选：AC

例题3.（2022•全国•高一专题练习）以下是甲、乙两名运动员的射击成绩（单位：环）：

甲：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.则（用

“甲”或“乙”填空）的稳定性更佳.

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【答案】乙

…刀，7+8+7+9+5+4+9+10+7+4「

【详解】强j=----------------------------=7，

110

s甲2='><02+12+02+22+(-2)2+(-3)2+22+32+02+(-3)2=4,

9+5+7+8+7+6+84-6+7+7”

=--------------------------------------------=7，

乙10

s乙2=^x22+(-2)2+02+12+02+(-1)2+12+(-1)2+02+02=1.2

因为所以乙的成绩更加稳定.

故答案为：乙.

例题4.(2022•新疆•乌鲁木齐101中学高一期末)为参加数学选拔赛，某校对高二年级

理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下：

理科：8079817994928590

文科：9480908173849080

(1)计算出理科、文科两组同学成绩的平均数；

(2)通过计算理科、文科两组同学成绩的方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模

拟测试中发挥更好.[备注：方差/=:"%-司2]

【答案】(1)理科的平均数为85；文科的平均数为84；

(2)理科同学发挥的更好些.

【详解】(1)解：设理科的平均数为或，文科的平均数为无，

—11

则有玉=-(80+79+81+79+94+92+85+90)=-x68O=85,

88

—11

%=—(94+80+90+81+73