2023-2024学年浙江省宁波市北仑区八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2023-2024学年浙江省宁波市北仑区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.杭州亚运会秉承“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念,下列四个图形中，属于轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

2.直角三角形的一个锐角是70。，则它的另一个锐角是（）

A.20°B.70°C.110°D.20°或70°

3.两根木棒的长度分别为law,2cm,取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木

棒的长度可以是（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

4.若x<y,则()

A.x+l>y+lB.x-l>y—1C.2x>2yD.--

5.在平面直角坐标系中,点4（5,5）关于y轴的对称点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.如图，AABC和ADEF中，AC=DF,乙ACB=ZF,添加下列哪一个条件

无法证明△A8&△£(£■/()

A.AB=DEB.ZX=乙DC.BC=EFD.乙B=Z.DEF

7.已知点（3,%），（―7,力）都在直线V=-2久+1上，则月，月的大小关系为（）

A.Yi>y2B.=y2C.<y2D.不能比较

8.下列命题是真命题的是（）

A.同角的补角相等

B.一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等

C.有公共顶点且相等的两个角是对顶角

D.两个无理数的和仍是无理数

9.已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角.其中作

法正确的是（）

10.甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往8地，甲、乙分别以不同的速度匀速前

行乙比甲晚0.5%出发，并且在中途停留1〃后，按原来速度的一半继续前进.此过程中，甲、乙两人离A地

的路程s（加n）与甲出发的时间t（h）之间的关系如图.下列说法：①A,2两地相距24如7；②甲比乙晚到B地

1/2；③乙从A地刚出发时的速度为72km"；④乙出发受八与甲第三次相遇.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是.

12.用不等式表示尤减去y大于-2：.

13.若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4,则斜边上的中线长为.

14.已知函数y=-4刀-16,则该函数与y轴交点的坐标是

15.定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”.若等腰三角形

ABC是三倍三角形，且其中一边长为3,则AABC的周长为

16.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，在线段AC上取一点£>,使CD=

CB,作力E18。交3。延长线于点E.点P是线段A2中点，连结CP,EF,EF

交/于点G.若皿=皿,则称=

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

解一元一次不等式（组）

(1)8-2%>6；

(2x-1>x+1

⑷[%+8<4%-1

18.（本小题8分）

如图，点A,2均在第一象限.

（1）将点A向下平移4个单位，试作出相应的点4.

（2）试用无刻度直尺在x轴上找一点P,使得PA+PB最小.

19.(本小题8分)

如图，ABAC=4ABD=90°,AC=BD,AD,BC交于点O,过点。作。E1AB于点E.

(1)求证：=OB；

(2)若力E=6,求48的长.

20.(本小题10分)

如图，已知48=4。，^BAD=^CAE,ZB=z£>,A。与BC交于点P,点C在DE上.

(1)求证：AC=AE-,

(2)若NB=36°,AAPC=72°.

①求NE的度数；

②求证：CP=CE.

21.(本小题10分)

已知一次函数y=kx+6(k,b为常数，且k力0).

(1)若此一次函数的图象经过4(1,2),B(3,5)两点，

①求该一次函数的表达式；

②当y>4时，求自变量x的取值范围；

(2)若k+6<0,点P(6,a)(a>0)在该一次函数图象上.求证：fc>0.

22.(本小题12分)

根据以下素材，探索完成任务.

如何确定拍照打卡板

设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图

1）,图2为其平面设计图.该打卡板是轴对称

素

图形，由长方形。E/G和等腰三角形ABC组

材

成，且点8,F,G,C四点共线.其中，点A

到BC的距离为1.2米，FG=0.8米，DG=1.5

图1

米.

B

因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种

素材料分别制作长方形OE/G与等腰三角形

材4BC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价

为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平DC

方米.

图2

问题解决

小聪说：“如果我设计的方案中C2长与C,。两

任

点间的距离相等，那么最高点8到地面的距离就是

务推理最大高度

线段。G长”，他的说法对吗？请判断并说明理

由.

任

假设CG长度为x米，等腰三角形A8C的面积为S.

务探究等腰三角形ABC面积

求S关于x的函数表达式.

任

小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费

务确定拍照打卡板

用不超过180元，请你确定CG长度的最大值.

23.（本小题12分）

如图1,在平面直角坐标系中，直线/与x轴正半轴的夹角为30。，点8为/上任意一点，点4（a,0）在无轴

正半轴上.以AB为边作等边三角形ABC,OB交AC于点0.

(1)若a=1,^.OAB=120。时，则AB=.

(2)当a=6,AB=5时，求：

①OB的长；

②点C的坐标.

(3)如图2,延长8C交y轴于点E,连结。C.求证：CD+CE=OC.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:A、C、。中的图形不是轴对称图形，故A、C、。不符合题意；

8中的图形是轴对称图形，故B符合题意.

故选：B.

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判

断.

本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.

2.【答案】A

【解析】解：•••直角三角形的一个锐角是70。，

•••它的另一个锐角是：180°-90°-70°=20°.

故选：A.

利用三角形的内角和即可求解.

本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180。.

3.【答案】B

【解析】解：=2+1=3,

1cm（第三边<3cm,

纵观各选项，能组成三角形的第三根木棒的长度是20n.

故选：B.

根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后选择答案即

可.

本题考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出第三边的取值范围是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：x<y,

%+1<y+1,

・•・选项A不符合题意；

x<y,

%—1<y—1,

・•・选项5不符合题意；

x<y,

・•・2%<2y,

・•・选项。不符合题意；

,•・x<y,

.Xy

选项。符合题意.

故选：D.

根据x<y,应用不等式的基本性质，逐项判断即可.

此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式

子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的

两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

5.【答案】B

【解析】解:点4（5,5）关于y轴对称点坐标为：（—5,5）,

则（-5,5）在第一象限.

故选：B.

直接利用关于y轴对称点的性质进而得出答案.

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

6.【答案】A

【解析】解：••・AC=DF,乙4cB=NF,

添加4B=DE时，没有SSA定理，不能证明△ABCgADEF,故A符合题意；

当添加N4=ND时，根据ASA,也可证明△ABCgzkDEF,故8不符合题意；

当添加BC=EF时，根据SAS,也可证明A4BC之ADEF,故C不符合题意；

当添加NB=ADEF时，根据44S,也可证明AABC之ADEF,故。不符合题意；

故选：A.

根据全等三角形的判定定理，即可得出结论.

本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,还有直角三角形

全等的乩定理.

7.【答案】C

【解析】解：y=-2»+1中，一2<0,

・•・一次函数y=-2久+1中，y随X增大而减小，

•••-7<3,

yi<y2-

故选：c.

由一次项系数k<0,结合一次函数的性质，再根据-7<3即可得出结论.

本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：A、同角的补角相等，所以A选项为真命题；

8、一条直线截另外两条平行直线所得到的同位角相等，所以8选项为假命题；

C、有公共顶点且角的两边共线的两个角是对顶角，所以C选项为假命题；

D、两个无理数的和可能是有理数，若与-/I,与所以。选项为假命题.

故选：A.

根据补角的定义对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据对顶角的定义对C进行判断；利用

反例对。进行判断.

本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，

“那么”后面解的部分是结论.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说

明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

9.【答案】C

【解析】解：由作图可知，作图正确的有②③，

故选：C.

根据作一个角的平分线，作一个角等于己知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可.

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

10.【答案】D

【解析】解：从图中可以看出，A,8两地相距24加1,甲比乙晚到8地朋，

故①②正确，符合题意；

设从A地刚出发时的速度为诙7H//1,

则工+2=2-1-0.5,

v0.5v

解得。=72,

・••乙从A地刚出发时的速度为72km",

故③正确，符合题意；

根据图象可知，甲的速度为半=8(km/h),乙在途中停留球后，二者第三次相遇，

乙中途停留前运动时间为"=(㈤，

设乙继续前进［小时后二者相遇，

根据题意得：8(0.5+±+1+t)=12+363

O

解得”告，

故第三次相遇为乙出发后*+1+/=4%),

oZ114

故④正确.符合题意.

故选：D.

根据函数与图象的关系以此计算即可判断.

本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题.

11.【答案】(-2,3)

【解析】解：由坐标系可得：点A的坐标是(-2,3).

故答案为：(-2,3).

直接利用平面直角坐标系得出A点坐标.

此题主要考查了点的坐标，正确利用平面坐标系是解题关键.

12.【答案】x-y>-2

【解析】解：由题意得：x-y>-2.

故答案为：x-y>-2.

首先表示“x减去y”，再表示“大于-2”即可.

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词，选准不等号.

13.【答案】2.5

【解析】【分析】

根据勾股定理求出根据直角三角形斜边上中线求出CD即可.

本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出

CD=是解此题的关键.

【解答】

解：•••N4CB=90。，AC=3,BC=4,由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=5,

•••CD是△ABC中线，

11

.•.CD=^AB=/5=2.5,

故答案为：25

14.【答案】(0,-16)

【解析】解：对于y=-4x-16,当x=0时，y=-16,

•••一次函数y=-4x-16与y轴交点的坐标是(0,-16).

故答案为;(0,—16).

对于y=-4x-16,当x=0时，y=-16,由此可得改一次函数与y轴交点的坐标.

此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标的方法与技巧是

解决问题的关键.

15.【答案】12或8

【解析】解：如果底边长是3,

若两腰的和是3的三倍，即为9,满足三角形三边关系定理，则△ABC的周长是9+3=12,

若腰与底边的和是腰长的三倍，求出腰长是1.5,不满足三角形三边关系定理；

如果腰长是3,

若两腰的和是底边的三倍，底边长是2,满足三角形三边关系定理，则448。的周长是3+3+2=8,

若腰与底边的和是腰长的三倍，求出底边长是6,不满足三角形三边关系定理，

・•.△4BC的周长为12或8.

故答案为：12或8.

分两种情况，底边长是3或腰长是3,由三角形三边关系定理，“三倍三角形”的定义即可求解.

本题考查等腰三角形的性质，关键是理解“三倍三角形”的定义，并分情况讨论.

16.【答案】72

【解析】解：如图，延长所到T,使得FT=EF,连接AT,BT,CT,CE.

•・•Z.AEB=90°,AF=FB,

.・.EF=AF=FB=FT,

・•・四边形AE8T是矩形，

・•.Z,EBT=90°,AE=DE=BT,

•・•乙CBD=Z.CDB=45°,

・•.Z.CBT=Z.CDE=135°,

•・•CB=CD,

・•・CBT^LCDE(SAS),

・•.CT=CE,

•・•EF=FT,

・•・CF1EF,

设BC=CD=m.

CB=CD=m,乙BCD=90°,

•••Z-CBD=Z.CDB=45°,BD=AD—yTZmy

••・Z-DBA=Z.DAB,

•・•乙BDC=4DBA+乙DAB,

•••乙BAD=/-DBA=22.5°,

•••乙ADE=乙CDB=45°,£.AED=90°,

・•・^DAE=A.ADE=45°,

・•・^FAE=22.5°+45°=67.5°,

FA—FE,

・•.AAEF=^LFAE=67.5°,

・•・/,AGE=180°-45°-67.5°=67.5°,

••・乙AGE=^AEG=67.5°,

•••AE=AG,

vAD=V_2m,AE=DE,

•••AE=DE=m,

•••AG=m,

•••CG=AC-AG=m+y/~2m—m=

CG^J~2mr—

•.•而=k=互

故答案为：V-2.

延长EF到T,使得FT=EF,连接AT,BT,CT,CE.利用全等三角形的性质证明CT=CE,设BC=CD=

zn.想办法证明4H=AE=ni即可解决问题.

本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

17.【答案】解：⑴「8-2%>6,

-2x>6—8,

则—2x>-2,

•••%<1；

(2)由2比一1>久+1得：x>2,

由x+8<4x—1得：x>3,

则不等式组的解集为x>3.

【解析】(1)依次移项、合并同类项，系数化为1即可得出答案；

(2)分别求出每个不等式的解集，继而可得答案.

本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据.

18.【答案】解:(1)如图，点4即为所求.

(2)如图，连接力'B,交无轴于点尸，连接AP,

此时PH+PB=PA+P8=48,为最小值，

则点P即为所求.

【解析】(1)根据平移的性质作图即可.

(2)连接AB,交x轴于点P,则点尸即为所求.

本题考查作图-平移变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关

键.

19.【答案】(1)证明：在AABC与△B4D中，

AC=BD

乙BAC=AABD=90°,

.AB=BA

△力BgAB4D(SaS),

/-ABC=/-BAD,

OA=OB；

(2)解：由(1)知04=OB,

又；OE1AB,

AB=2AE=2x6=12.

【解析】(1)根据SAS证明力D,得到乙4BC=NB4D,根据等腰三角形的判定即可证得04=

05；

(2)根据等腰三角形的性质得到力B=2AE,即可求解.

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，正确证明AABC之△B4D是解决本题的

关键.

20.【答案】(1)证明：・•・ABAD=Z.CAE,

乙BAD+Z.DAC=乙CAE+Z.DAC,

即NB4C=^DAE,

在4BAC^AD4E中，

Z-B=乙D

AB=AD，

.Z-BAC=Z.DAE

也△DAEQ4s4),

・•.AC=AE；

(2)①解：vZB=36°,^APC=72°,

・••4BAP=Z.APC一乙B=72°-36°=36°,

Z.CAE=36°,

'^BAC^LDAE,

•••AC—AE,

1i

・•.Z.ACE=ZF=1X(180°-Z.CAE)=^x(180°-36°)=72°；

②证明：•••△8AC四△DAE,

Z.ACB=Z-E,

•••Z-ACB=Z.ACE,Z.APC=乙E,

在△ZCP和△ZCE中，

Z-APC=Z.E

4ACP=/.ACE,

AC=AC

•••△"「四△ACE(A4S),

・•.CP=CE.

【解析】(1)证明△8AC也△D4EQ4S/),由全等三角形的性质得出结论；

(2)①由三角形外角的性质求出NC4E=40。，由全等三角形的性质得出AC=4E,由等腰三角形的性质可

求出答案；

②证明△ACPmAACEiAAS},由全等三角形的性质得出结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解

题的关键.

21.【答案】(1)解：①•••一次函数丫=/£久+匕(乂》为常数，且k彳0)的图象经过4(1,2),B(3,5)两点，

f,_3

・•.dj2解得：-2,

13k+b=5b=-

<2

该一次函数的表达式为：y=|x+p

21?1

②对于y=，％+2，当y=4时，-x+-=4,

解得：%=p

•・,对于一次函数y=|%+g,y随x的增大而增大，

・•.当%>1时，y>4,

・•・当y>4时，求自变量兀的取值范围久>(；

(2)证明：・・・一次函数y=k%+b为常数，且kA0)的图象经过点P(6,a)(a>0),

••・6k+b=a,

va>0,

6/c+b>0,

/c+b<0,

••・6k+b>k+b,

・•・k>0.

【解析】(1)①将4(1,2),8(3,5)代入)/=攵％+6之中求出女，人的值即可得该一次函数的表达式；

②由①可知该一次函数的表达式丫=|久+会再由y=4求出x=3然后根据一次函数的性质可得当y>4

时自变量x的取值范围；

(2)将点P(6,a)代入y=kx+b之中得6k+b—a,根据a>0得6k+b>0,再结合k+b<。得6k+b>

k+b,据此即可得出结论.

此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次

函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键.

22.【答案】解：任务1：他的说法对，理由如下：

如图：过点8作DC于点”，

.­.乙BHC=90°.

•••四边形EFGO是长方形,

.­.乙DGC=90°.

.­.乙BHC=KDGC,

在△BCH与ADCG中，

2BHC=ZDGC

乙BCH=乙DCG,

.BC=DC

.•.△BCH之△DCG(A4S),

BH=DG.

最高点8到地面的距离就是线段。G长.

任务2：•••该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形，

.♦.设BF=CG=x,贝=2x+0.8.

又△ABC的高为1.2米，

-1

三角形ABC的面积S=Ix(2%+0.8)x1,2=1.2%+0.48.

任务3：由题意，当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，

又长方形的面积为：DHDE=0.8x1,5=1.2(平方米)，

•••1.2x85+(1.2%+0.48)X100<180.

解得比<0.25,

故CG长度的最大值为0.25米.

【解析】任务1：依据题意，过点B作BH，DC于点G,BCH^ADCG(AAS),据此即可判定；

任务2：依据题意，设BF=CG=x,可得BC=2*+0.8,△力BC的高为1.2米，进而表示出S关于x的函

数表达式；

任务3：依据题意，结合任务2,列不等式，即可求解.

本题主要考查了全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及

性质，不等式的实际应用是解决本题的关键.

23.【答案】1

【解析】(1)解：；^AOB=30",^OAB=120",

AAABO=180°-30°-120°=30°,

•••Z-ABO=Z-AOB,

AB=OA=a=1,

故答案为：1；

(2)解：作AG12于G,

如图1,

图1

当点2在BG上时，

作BQ1。4于Q,将小BQ4绕点B逆时针旋转60。至4BEC,

作E/1BQ于/,作CF104作EF1CF于F,

N40B=30°,

■-AG=3,OG=^-OA=3<3.

乙z

VAB=5,

BG=4,

OB=3<3-4,

...BQ=^OB=OQ=亨。8=^-，

：.BI=』BE=』BQ=IE=噂BE=^-BQ=CE=AQ=OA-OQ=6-

22x422x4xx2

3+4/3

----------,

2

r-,13+4/3V33-/3+12DCDT3-/3—4

・•・EFr=aCE=一1，CruF=—rCTE?=--一，QnTI=BQ-BI=4，

cc-Z7Ie9-4/3,9-4<3,3+4/315—473,“3/3-4,3/3+123/3+4

••OQ+IE+EF==—^，QnjI+CF==—^，

^,15-4/33/3+4.

如图2,

图2

当点8在0G的延长线上时,

0B=3<3+4,

BQ=\0B=OQ=^-OB=2±±fl,

nr1nr1nc3V-3+47厂73,尸nc9+4A/-3人八八八八人9+4V-3

•••BI=-BE=-BQ=---，IE=—BrE=—BQ=---，CE=AQ=OQ—OA=-----6r=

22y422y4yy2

4/3-3

---------9

2

14V-3—3，厂V3，厂12—3V-3crncr>T3V3+4

，r，，

•••EF=-2CE=-4--CF=—2CE=——4-——yQI=BQ<—BI=-4