上海市闵行区2024届高三年级下册学业质量调研（二模）数学试卷（含答案解析）

上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研(二模)数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.集合N={x|2x+lV0},5={-2,-1,0},贝!.

2.已知复数z满足(2+i)z=3+4i(i为虚数单位)，则忖=.

3.始边与x轴的正半轴重合的角a的终边过点(3,-4),贝|sin(a+7i)=.

4.在(2x-l)6的二项展开式中，V项的系数为.

5.已知正实数4、6满足a+26=1,则湖的最大值为.

6.已知等比数列{%}的前"项和为5“，且出=3,«5=81,贝.

7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承

建1号子项目,则不同的承建方案有种.

8.函数y=4-x在x=l处的切线方程为.

X

9.已知£、3是空间中两个互相垂直的单位向量，向量)满足/1=3,且入£=工％=1，当4

取任意实数时，/-痴+研的最小值为.

2

10.双曲线「：/-2=1的左右焦点分别为斗鸟，过坐标原点的直线与「相交于48两点，

6

若忻8]=2怩闻，贝1」不・而=.

11.对于任意的尤1、％eR,且％>0,不等式卜*'-xj+3工2-引>a恒成立，则实数。的取值

范围为.

12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边

三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4

个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.

二、单选题

13.设aeR,则“/>i"是"/>],,的()

试卷第1页，共4页

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.己知了=/(x),xeR为奇函数，当x>0时，/(x)=log2X-l,则集合{x"(-x)-/(无)<0}

可表示为()

A.(2,+co)B.(—°°)—2)

C.(-a>-2)U(2,+«))D.(-2,0)U(2,+s)

15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病

的关系，调查数据如下表：

不吸烟者吸烟者总计

不患慢性气管炎者121162283

患慢性气管炎者134356

总计134205339

假设4:患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量/,得/。7.468,

2

根据/分布概率表:P(Z>6.635)«0.01,尸(/>5,024)«0.025,P(炉>3.841)x0.05,

尸(/22.706)20.1.给出下列3个命题，其中正确的个数是()

①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%；

②有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；

③/分布概率表中的0.05、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认

为不太可能发生.

A.0个B.1个C.2个D.3个

16.已知/(x)=sinx,集合。=[-}自，r={(x,y)|2f(x)+f(y)=Q,x,yeD},

Q={(x,y)|2/(x)+/(y)>0,x,yeD],关于下列两个命题的判断，说法正确的是()

命题①：集合「表示的平面图形是中心对称图形；

命题②：集合。表示的平面图形的面积不大于

12

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

试卷第2页，共4页

三、解答题

17.在锐角AABC中，角4B、C所对边的边长分别为0、6、c,且26siM-Ga=0.

⑴求角8；

⑵求sitU+sinC的取值范围.

18.如图，已知/BCD为等腰梯形，ADHBC,ZBAD=120°,P/_L平面48cD,

AB=AD=AP=2.

(1)求证：PC工AB；

(2)求二面角C-BP-A的大小.

19.ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理

工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到

训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试

时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它

回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1,且每次输入问题,

ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT,小张和

ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确

作答其中的9个.

(1)求小张能全部回答正确的概率；

(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；

(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.

20.如图，已知椭圆G：?+/=i和抛物线。2：/=2处(p>0),C?的焦点尸是。的上顶

点，过厂的直线交C2于可、N两点,连接N。、并延长之，分别交G于A、3两点，

连接AB,设“OMN、的面积分别为％加、S&OAB•

试卷第3页，共4页

⑴求P的值；

⑵求西.丽的值；

s

(3)求肃”的取值范围.

21.已知定义在(0,+s)上的函数了=/(x)的表达式为/(x)=sinx-xcosx,其所有的零点

按从小到大的顺序组成数列｛斗｝("21,〃eN).

⑴求函数了=/(无)在区间(0,无)上的值域；

(2)求证：函数y=/(x)在区间("71,(〃+1)兀)(〃21/eN)上有且仅有一个零点；

小小、工("+1)兀

(3)求证：兀<xn+l-xn<-----.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.{-2,-1}

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】N={x|2x+lW0}=]xxV-；,,

所以4「8={_2,-1}.

故答案为：{-2,-1}.

2.

【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.

3+4i(3+4i)(2-i)10+5i

【详解】由(2+i)z=3+4i得2.、=-7—=2+1,

2+1+5

所以目="TT=下，

故答案为：V5.

4-

3.—/0.8

5

【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解.

【详解】始边与％轴的正半轴重合的角。的终边过点(3,-4),

.-44

人Ijli」lsina=厅/汨F==——5，

4

故sin(a+7i)=-sina=—.

4

故答案为：

4.-160

【分析】写出二项展开式的通项，由》的指数为3求得一值，则答案可求.

【详解】(2x-1/的二项展开式的通项为：

&1=((2工广(一1)"=(一1>25.&*尸(=0,1,...,6).

由6-r=3,得r=3.

(2xT)6的二项展开式中，V项的系数是一23XC：=-160.

答案第1页，共12页

故答案为：-160.

5.-/0.125

8

【分析】利用基本不等式可求得打的最小值.

【详解】因为正实数。、。满足。+26=1,贝！］而=工..加三［、1交殳［=］

2212J8

当且仅当［a+=22』b时，即当;7时，等号成立，故打的最大值为1，

1O

4

故答案为：

O

6.121

【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.

【详解】设公比为9,故/=&="=27,解得q=3,

a23

所以％=—=1,

q

故答案为：121

7.96

【分析】完成承建任务可分五步，由分步乘法计数原理可得结果.

【详解】完成承建任务可分五步：

第一步，安排1号有4种；

第二步，安排2号有4种；

第三步，安排3号有3种；

第四步，安排4号有2种；

第五步，安排5号有1种.

由分步乘法计数原理知，共有4*4x3x2x1=96种.

故答案为96

【点睛】本题考查分步乘法计数原理，正确分步是解题的关键，属于基础题.

8.3x+y-4=0

答案第2页，共12页

【分析】切线的斜率是在X=1处的导数，切线过（1,/。）），由直线的点斜式方程可以求出切

线方程.

【详解】==所以=⑴=一3,

所以在尤=1处的切线方程为=即3x+y-4=0,

故答案为：3x+y-4=0.

9.不

【分析】由向量的模长和数量积的运算结合二次函数求出最值即可.

【详解】因为卜卜W=La-B=O，,卜3,c-a—c-b—}>

所以‘一2（a+旬|=c+X1a+A,2b-22a-c-2M>-c+2Aa-b

=2储-42+9=2（4-1）2+7,

所以当4=1时，*痴+初|的最小值为近，

故答案为：近.

10.4

【分析】由双曲线的对称性可得四边形/月夕《为平行四边形，根据双曲线的定义和

闺a=2闺乩得闺/|=|巴同=2,|耳目=|名⑷=4,中，由余弦定理得cos/BB£=-g,

耳•豆=后可后用cos/4工8=存|用可cos"//^耳）,代入求值即可.

2

【详解】双曲线「：/一匕=1,实半轴长为1,虚半轴长为灰，焦距寓闾=2近，

由双曲线的对称性可得内到=内4闺⑷=|乙到，有四边形AF{BF2为平行四边形,

令闺旬=|区同=机则闺a=内止2m,由双曲线定义可知M-|M=

答案第3页，共12页

故有2加一次=2,即冽=2,即由力|=优4=冽=2,闺4=同旬=4,

△两鸟中，由余弦定理，

|片司2=E砰+叵砰一2内同.区冏©os/月5片，

即28=16+4-16cosNEB片，得cos/工56=一；，

行.行=|可H顺卜os=|曰'布kos(71-N与)=2X4Xg=4.

故答案为：4.

11.(-<»,2)

【分析】通过构造函数，利用导数分别求卜"-引和「引的最小值即可.

【详解】设函数/(x)=e-x,定义域为R,则/■'(x)=e-l,

当x<0时，/f(x)<0；当x>0时，>0,

则“X)在(-e,0)上单调递减，在(0,+司上单调递增，

/(X)最小值为/"(0)=1,

所以当玉=0时，产-闻有最小值1；

1Y_1

设函数g(x)=x-lnx,定义域为(0,+e),贝！|g<x)=l--=---,

XX

当0<x<l时，g'(x)<0；当x>l时，g'(x)>0,

则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+«0上单调递增，

g(x)最小值为g(l)=l,

所以当X?=l时，llnx?-司有最小值1,

不等式-xJ+Rn%-xj>a恒成立，则有2>0,

所以实数。的取值范围为(一叫2).

故答案为：(一叫2).

12.20.

【分析】结合正四面体的结构特征，判断求解空间中这8个点最多可连接成等边三角形的个

答案第4页，共12页

【详解】空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体，

正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，

新增加的4个点，又构成1个正四面体，

所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成4+3x4+4=20个等边三角形.

故答案为：20.

13.B

【分析】判断“/>1，，和“/>1”之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】当/>1时，或。<-1,不能推出有/>1成立；

当/>1时，贝。0>1,必有/>1成立，

故“/>1”是>1”的必要非充分条件，

故选：B

14.D

【分析】利用函数奇偶性可得不等式/■(-x)-"x)<()等价于〃x)>0,再求出函数解析式,

利用对数函数单调性解不等式可得结果.

【详解】因为了=〃x)为奇函数，所以/(T)-/(X)<0等价于-2/(x)<0,BP/(x)>0；

当x>0时，/(x)=log2x-1,gp/(x)=log2x-l>0,解得X>2；

当x<0时，-x>0,可得/(-》)=-/(切=1082(-力-1,所以/(x)=l-log2(f),

解不等式/(x)=lTog2(-x)>0,可得一2<x<0,

综上可得集合｛x|/(-%)-/(%)<0｝可表示为(-2,0)U(2,+8).

故选：D

15.D

【分析】根据%2=7.468,与临界值表对照判断.

【详解】解：因为解。7.468,且力226.635,

所以有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，

即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于5%,

故①②正确；

/分布概率表中的0Q5、0.01等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为

答案第5页，共12页

不太可能发生.故③正确;

故选：D

16.A

【分析】根据/(x)=sinx是奇函数，可以分析出当(》/)€「时(r,-y)所以集合「表

示的平面图形是中心对称图形；结合集合「代表的曲线及不等式的范围可以确定集合。表示

的平面图形，从而求得面积，与工进行比较.

12

【详解】对于：r={(x/)|2/(x)+/3=0,xje。},集合。=局,三关于原点中心对称，

且函数/(x)=sinx是奇函数，

若(x,y)er贝IJ2/(x)+/(y)=0贝IJ2/(-x)+/(-y)=-2/(x)-/(y)=-[2/(x)+/(y)]=0,

即若(xj)则(r,-力即集合「表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是

真命题；

对于Q={(%/)12/(x)+/(y)>O,X,^GD),

由2/(x)+f(y)=0即2sinx+siny=0知siny=—2sinx,

设％=siny/£-py,贝!K与歹---对应且看随〉的增大而增大，1』，

又由,=-2sinx矢口一2sinx£[—l,l],sinx£~W，

结合xe知在xe范围内，，与x——对应且/随x的增大而减小，

_22」|_66

所以在xe范围内，V与一一对应且了是关于尤的减函数，

_66」|_22_

由①可知2sinx+siny=0图象关于原点中心对称，所以可得至2sinx+siny=0在

答案第6页，共12页

代入点可得2sin=+sin==3>0,所以2sinx+siny20的区域是右半部分，

[22)22

面积为正方形面积的一半，即集合。表示的平面图形的面积S=:x7rx兀=:无2>[兀)故

2212

②是假命题.

故选：A.

【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围

第一步：得到等式对应的曲线；

第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否

符合不等式；

第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧

区域为不等式所表示的区域.

17.(1)-

(2)(|,A/3].

【分析】(1)由已知结合正弦定理可得结果；

(2)根据"BC为锐角三角形求出/€(：]),利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简

27r

siiL4+sinC=sin4+sin(—~，根据正弦函数性质可得结果.

【详解】(1)2加-Sa=0，

2sirk4sin5-A/5sirU=0,

又丁/sin4wO,

/.sin5=^~，.二B

(2)由(1)可知，B",且小5C为锐角三角形,

八/兀

0<A<—

2

所以

八一2兀.71

0<C=A<

32

贝Usin4+sinC=sin4+sin(--A)=—siib4+cosZ=Ksin(Z+—),

3226

答案第7页，共12页

、兀/兀兀

r因-f-t为r彳〈力+:〈2二

363

3

siivl+sinCe(―,^A].

18.(1)证明见解析;

(2)arctanV6.

【分析】(1)连接/C,利用等腰梯形的性质证得Z8工ZC,再利用线面垂直的性质判定推

理即得.

(2)取BP的中点作出二面角C-AP-N的平面角，在RtA/HC中求解即得.

【详解】(1)连接/C,在等腰梯形48co中，ADHBC,/A4D=120。，AB=AD=2,

则CD=AD=2,ZADC=120°,于是ZDAC=30°,ABAC=90°,即1/C,

由尸/_L平面/BCD,ABczABCD,得

而P/c4C=4尸4,/Cu平面R4C,因此481平面川C,又尸Cu平面R4C,

所以尸CL48.

(2)取BP的中点“，连接S,/〃，由4B=/P,得_LPB,

在A1DC中，AC=2ADcosADAC=273,

由尸/_L平面/BCD,NCu平面/BCD,得4cLp4,

则PC=ylP^r+AC27AB。+AC?=BG于是CHYBP,

因此NCH4为二面角C-AP-N的平面角，

PAIAC,AC1AS,P4cA8=4P4ABu平面/BP,

则/C_L平面23尸，又/Xu平面43尸，则/C_L/8,

在RtA/"C中，C4=2A/3，AH=垃,则tanNCH4=0=布,

AH

所以二面角C-BP-A的大小为arctanV6.

答案第8页，共12页

1

19.⑴历;

(2)0.9；

(3)小张答对题数的的期望为8.1,方差为0.09,ChatGPT答对题数的期望为8.1,方差为0.81.

【分析】(1)根据古典概型的概率公式，即可求得答案；

(2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件8表示仪一个问题能被ChatGPT正确

回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案；

(3)根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案；

【详解】(1)设小张答对的题数为X,贝”(X=9)=条=，

jo1U

(2)设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确

回答”，

由题意知尸(7)=0.1,尸(5⑷=0.98,P小区)=0.18,

贝1J尸(4)=1-尸(1)=0.9,

P(B)=P(Br>A)+P(Br\A)=P0f3及―r(T)

=0.98x0.9+0.18x0.1=0.9；

(3)设小张答对的题数为X,则X的可能取值是8,9,

9

且P(X=8)=^C8^cl=29,P(X=9)=CWi

aio,最io

a

设ChatGPT答对的题数为Y,则¥服从二项分布5(9,—),

91

贝l]E(X)=8xm+9x历=8.1,£«)=,9=9x0.9=8.1,

£>(X)=(8-—)2x—+(9-—)2x—=0.09,

10101010

D(Y)=叫=9x0.9x0.1=0.81.

20.(1)0=2

(2)-3

⑶[2,+8)

答案第9页，共12页

【分析】(1)由抛物线的焦点坐标求P的值；

(2)设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求两.丽的值；

S2\OM•ON\

(3)设直线NO、的方程，与椭圆联立方程组表示出乙,XR,由膏皿」J,化

^AOAB

简并结合基本不等式求取值范围.

【详解】(1)椭圆G：3+/=1的上顶点坐标为(0,1),

则抛物线c2的焦点为尸(0,1),故。=2.

(2)若直线与了轴重合，则该直线与抛物线C?只有一个公共点，不符合题意,

所以直线MN的斜率存在，设直线九W的方程为歹=履+1,点M(XQI)、N(x2,y2),

y=kx+l

联立可得/_4丘_4=0,A=16严+16>0恒成立，则再％=-4,

x2

,22

0M,ON=玉％2+=再X2+=-4+1=—3.

(3)设直线NO、MO的斜率分别为匕、k2,其中占>0,k2<0,

2

y=kxx可得(4左：+1卜2

联立=4,解得工=±

x1+4/=4J%+1

2

点A在第三象限，则/=一］%+1

2

点5在第四象限，同理可得四=,4代+i，

且左色二%92二石工2

x{x2164

S.M\OMON\信h•勾

22

S.OAB\OB。4|巧•xA

J%+1J%+1

<%+*蜴+1)="+为2口2H+2=2,

当且仅当时，等号成立.

答案第10页，共12页

乎4勺取值范围为［2,+8).

'△OAB

【点睛】方法点睛：

解答直线与圆锥曲线的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或旧建立一元二次方程,

然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的

设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥

曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形

的面积等问题.

21.(1)(0,71)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)求得/(x)的导数，判断/卜)的单调性，可得所求值域；

(2)讨论"为奇数，或偶数时，/(无)的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；

(3)由(2)可知函数/(x)在(〃兀,5+1)兀)(w>l,weN)上且仅有一个零点x“，再由零点

存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明.

【详解】(1)由/''(%)=cosx-(cosx-xsinx)=xsin尤，

当xe(O㈤时，/0(x)>0,即函数了=/(无)在区间(0,兀)上是严格增函数，

且〃0)=0，/(兀)=兀，

所以在区间(0㈤上的值域为(0,兀).

(2)当+兀)时，

①当〃是偶数时，#