2024届河北省部分高中高考一模数学

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.设集合A={—1,0,1,2,3},B={xeN|3-2x>0},则AB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{2,3}

2.已知复数z满足z+z=2,z-z=-4i,则目=（）

A.1B.2C,V5D.2A/5

3.已知向量a=（2,nz）,Z>=（m+l,l）,且a与b方向相反，若c=（2,l）,则a在c方向上的投影向量的

坐标是（）

5.某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义

法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中

间，他的两侧均为两男一女，则总的站排方法共有（）

A.300种B.432种C.600种D.864种

6.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.

“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、

踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点尸，A,

B,C,满足PC=2,PC,平面ABC,AB±AC,若ZXABC的面积为2,则制作该“鞠”的外包皮

革面积的最小值为（）

A.一nB.87rC.127rD.16〃

3

7.若数列｛4｝满足a”.=—^"，产0且4W—1）,贝：出。23+1与叫2+1的比值为（）

2an+3%023%022

A.-B.-C.2D.3

32

22

8.已知椭圆C：斗+二=1（。〉人〉0）的左、右焦点分别为《，F一尸为C上一点，满足

ab

PF｝LPF2,以C的短轴为直径作圆O,截直线尸耳的弦长为后,则C的离心率为（）

A/5V32V3

A.-----B.-----C.-D.-----

3233

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4

若数据须，”的标准差为则数据的标准差为

B.x2,x3,•••,xs,2X],2X2,2x3,•••,2%2s

C.随机变量X服从正态分布N（l,2）,若P（X>O）=z，则P（0<X<2）=5

397

D.随机变量X服从二项分布5（4,p）,若方差。（X）=“则P（X=2）=F

10.已知三棱锥S-ABC,则下列论述正确的是（）

A.若点S在平面ABC内的射影点为ZXABC的外心，则S4=Sfi=SC

B.若点S在平面ABC内的射影点为A,则平面S3c与平面ABC所成角的余弦值为9卫

S&SBC

C.若NBAC=90°,点S在平面ABC内的射影点为BC的中点X,则S,A,B,C四点一定在以X为球

心的球面上

D.若NB4c=90°,S,A,B,C四点在以BC中点//为球心的球面上，且S在平面ABC内的射影点的

轨迹为线段BC（不包含2,C两点），则点S在球X的球面上的轨迹为以BC为直径的圆（不包括2,C

两点）

H.投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p,记4表示事件“在"次投掷中，硬币正

面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（）

A.4与天是互斥事件B.P（4）=p2

c.p（4+J=（i—2p）p（4）+。D.p（怎）>p（怎+2）

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.若/(x)=xeA+2靖(O),则曲线y=/(x)在x=1处的切线方程为

13.在(x+2y)(x-4的展开式中含一武的系数为

14.已知抛物线V=4%的焦点为F过点厂的直线/交抛物线于A,8两点，AB的中点为尸，以4B为

直径的圆与y轴交于N两点，当NMPN取最大值时，此时sinNMPN=.

四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)

已知函数=f+ax-21nx(aeR).

(1)当。=0时，求〃尤)的极值;

(2)若“X)在区间［1,2］上单调递减，求a的取值范围.

16.(15分)

已知ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且Z?=c—2/?cosA.

(1)求证：A=2B-.

(2)若AABC的面积为15",且2a=3Z?,求b.

17.(15分)

为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中

考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图①为学生期中考试数学成绩

的频率分布直方图，图②为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上

视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知

数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%.

(1)根据图①、图②中的数据，画出2x2列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析数学

成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？

(2)用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机抽样，随机抽取

5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人

数X的分布列和数学期望.

n(ad-be)一

附：z2其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

X。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（17分）

已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规

则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中

的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验，否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完

全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.

（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随

机变量X,求X的分布列和数学期望；

（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第"轮不成功，也停止试验），记乙在第

左伏wN*,左V”）轮使得试验成功的概率为则乙能试验成功的概率为「（〃）=£[,证明：

k=\

p（〃）＜]

19.（17分）

r2v21

已知椭圆c：r+==1（。〉。〉0）的左、右焦点分别为片，E，离心率为一，经过点耳且倾斜角为

ab2

的直线/与椭圆交于A,8两点（其中点A在无轴上方），△?1时的周长为8.

（1）求C的方程；

（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面4月8）与y轴负半轴

和x轴所确定的半平面（平面8月心）互相垂直.

（i）若求异面直线A耳和5工所成角的余弦值；

（ii）是否存在使得折叠后△A3K的周长为?？若存在，求tan。的值；若不存在,

请说明理由.

参考答案及解析

一、选择题

1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.D8.A

二、选择题

9.BCD10.ABD11.ACD

三、填空题

12.y=（2e—2）x—e13.2414.—

四、解答题

15.解：（1）当a=0时，/（x）=x2-21nx,定义域为

则/，（x）=2x——=———.（2分）

XX

令/'（九）>0,解得％>1,令/'（尤）<0,解得0<%<1,

故/（%）在x=l处取得极小值，/（1）=1,（4分）

所以/（%）的极小值为/（1）=1，无极大值.（5分）

（2）因为"％）在区间［1,2］上单调递减，

所以在区间［1,2］上，/f（%）<0,

22

所以/'（X）=2X+Q——<0,即——2%.（8分）

XX

2

令g（x）=——2x,只需aWg（x）疝J（9分）

显然g（%）在区间［1,2］上单调递减,

所以gGUg⑵=1-4=-3,（12分）

所以aW—3,即。的取值范围为（—8,—3］.（13分）

力22_2

16.（1）证明：（解法一）由余弦定理得COSA=-----------,

2bc

力2+2_2「_卜

因为Z;=c—26cosA,所以-----------=——,（1分）

2bc2b

所以=〃+/，（2分）

._1、ja?+，­/_|_beC~\~bQ.

因为cos5=--------------=---------=------=一，（3分）

laclaclalb

所以2cos2旌1=2（4]-1=^^bc-b2c-b

，（4分）

2b2

所以cosA=cos26,（5分）

又A,5e（O,〃），所以A=25.（6分）

（解法二）由正弦定理得cosA=smC-sm',

2sin5

所以sinC=2cosAsin5+sinjB,（2分）

因为A,B,。为A45c的内角，所以A+5+C=»,

所以sinC=sin（A+5）=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcos5-cosAsin5=sin瓦（4分）

即sin（A-_B）=sinjB,（5分）

又A,5w（O,»）,所以A=25.（6分）

（2）解：（解法一）由（1）可知/

因为2a=3/7,所以（改]=b2+bc,即c=?6,（8分）

UJ4

七一6+b^-c9

所以cosC=-------------—,（10分）

lab

因为Ce（O,»）,所以sinC>0,sinC=Jl—cos?C=竟.（12分）

记ZXABC的面积为S,

mn。17•r13b15币达5

则S=—absmC=-------b-------=1547,

22216

所以解得5=8.（15分）

（解法二）由正弦定理得^^=—也，

sinAsinB

即-----------（7分）

2sinBcosBsin5

因为A,Be（0,7i）,所以sinA>。，且sin5>0,

所以cos3=2,（8分）

2b

-3

又2a=3b,所以cos5=—,

4

所以sinB=Vl-cos2B=,

4

所以COSA=COS2JB=2COS2JB-1=—,

8

所以sinA=±夕，（10分）

8

sh

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=.（12分）

记A45c的面积为S,

则5=,。65诂。=’.改0.文=15巾,

22216

所以解得5=8.（15分）

17.解：（1）由题意可得（0.0025+0.005+0.0175+机+0.01）x20=1,

解得加=0.015.（2分）

数学成绩优秀的有100x50%=50人，不优秀的有100x50%=50人，经常整理错题的有

100x（40%+20%）=60人，不经常整理错题的有100—60=40人，经常整理错题且成绩优秀的有

50x70%=35A,贝I

数学成绩优秀数学成绩不优秀合计

经常整理352560

不经常整理152540

合计5050100

（4分）

零假设为"o：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关,

根据列联表中的数据，经计算得到可得力2=10°义（35x25-15x25）=至＞3841=,（6分）

50x50x60x4060-05

根据小概率值。=0.05的独立性检验，我们推断“。不成立，即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有

关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（7分）

（2）由分层随机抽样知随机抽取的5名学生中，经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则

X的可能取值为0,1,2,

经常整理错题的3名学生中，恰抽到左人记为事件&（%=0,1,2）,

则尸（4）=（左=0,1,2,3）.（9分）

由（1）知经常整理数学错题的学生中数学成绩优秀的学3生5占卫7数学成绩不优秀的学生占

6012

255

6012

参与座谈的2名学生中，经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件（加=0,1,2）,

则p（闻4）=1,尸（闻A）=

。（闻4）=

2

5735

P（4|A）=C；x---X—=—

121272

P（X=O）=P（4）.P（闻4）+P（A〉P（闻A）+P（4）-P（闻4）

i2,2

=§xl+£c；cx：』+与x亘=193

2

C；C-5.12C；144480

尸（x=i）=/（a）•尸（4|A）+/（4）P（4|4）

=cC*c^'xZ+C|x35=119

2

c'5■12C；72240

4949

尸（x=2）=P（4“（周&）=4x—=二，（13分）

c144480

故X的分布列为

X012

19311949

P

480240480

（14分）

19311Q49

则数学期七（乂）=0乂±+1><"+2><上=0.7.（15分）

'7480240480

18.（1）解：由题意得X的可能取值为1,2,3,

在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为工，

3

2

所以P（X=1）=I（2分）

依题意，在第二轮中，盒中有一个白球、两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为

4

21

所以P（X=2）==—,（4分）

18

易知P（X=3）=1—[P（X=1）+P（X=2）]=9,（5分）

所以X的分布列为

X123

£15

P

9186

（6分）

11549

数学期望石（X）=lx—+2x—+3x9=（7分）

v7918618

（2）证明：当左之2时，不难知道&=11—"11—

1——--------j-，（8分）

.（k+1）（左+2）

因为11—"1

1——

if」（4+1）（左+2『

2x43x5kx（k+2）121

----------------,---------------——X-------------------------,

32（左+1）2仕+2）23（左+1）化+2）

21211

所以兄=—x-----------------------------------（^>2）.（11分）

3（左+1）（攵+2）3U+1k+2

[19

由（i）可知<二—,又《=—=11

199311+11+2

21211

所以其=—X-----------------------------------------------------左£N*）,（14分）

3（左+1）（左+2）3^+1k+2

n7

所以（）11121

P“=f1=w*---=-----------------（------7<-，

2~33-4

k=lJ〃+1〃+233+2）3

即（17分）

19.解:⑴由桶圆的定义知|明|+|明|=2%忸制+忸闾=2”,

所以△ABE的周长L=4a=8,所以a=2.（1分）

又。的离心率为工，所以，=工,

2a2

所以c=l,b2=a2—c2=3,（3分）

22

所以C的方程为土+匕=1.（4分）

43

（2）⑴联立直线/：y—0=6（％+1）与^+]-=1,

求得A（O,G）（因为点A在x轴上方）及B.（5分）

（55）

以。为坐标原点，折叠后原》轴负半轴、原x轴、原y轴正半轴所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

则耳（0,—1,0），A（0,0,