《高等数学上册 第3版》 刘金林 习题及答案 第2章（导数）习题解答

PAGEPAGE32习题解答习题2.11．求函数在点处的左、右导数，并说明在点处是否可导．解；．因为，所以在点处不可导．2．设，求及，并说明是否存在．解；．因为不存在，所以不存在．3．设，求．解．4．讨论下列函数在点处的连续性与可导性：(1)；解因为，所以函数在点处连续．因为，，所以，从而函数在点处不可导．(2)；解因为，所以函数在点处连续．因为，所以函数在点处可导．(3)．解因为，所以函数在点处不连续，从而在点处不可导．5．若为偶函数，且存在，证明．证因为为偶函数，且存在，所以，从而．6．设函数在点处可导，与均为常数，证明：．证因为函数在点处可导，所以．7．利用幂函数的导数公式求下列函数的导数：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)．解．8．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解因为，所以切线斜率为，法线斜率为．于是，所求切线方程为；所求法线方程为．9．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解因为，所以切线斜率为，法线斜率为．于是，所求切线方程为，即；所求法线方程为，即．10．在曲线上求一点，使该点的切线平行于直线．解设所求点为，则由题设知，，从而．故所求之点为．11．证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．证设为双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线斜率为．于是，切线方程为，即．切线在两坐标轴上的坐标分别为与，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．于是，双曲线上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．习题2.21．求下列函数的导数：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解．(9)；解．(10)；解．(11)；解．(12)．解．2．求下列函数的导数：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解(9)；解．(10)；解．(11)；解．(12)；解．(13)；解．(14)；解．(15)；解．(16)；解．(17)；解．(18)；解．(19)；解．(20)；解．(21)；解．(22)；解．(23)；解．(24)；解．(25)；解．(26)；解．(27)；解．(28)；解．(29)；解．(30)；解．3．求下列函数在指定点处的导数：(1)，求；解，．(2)，求；解，．(3)，求；解，．(4)，求．解．4．设为可导函数，求下列函数的导数：(1)；解．(2)；解(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)．解．5．设，且为可导函数，求．解令，则，，从而．于是，．6．设，且为可导函数，求．解等式两边对求导，得，故．7．求下列分段函数的导数：(1)；解当时，．由于，故．于是，．(2)．解当时，；当时，．由于，，故，，从而不存在．于是，（不存在）．习题2.31．求下列函数的二阶导数：(1)；解，．(2)；解，．(3)；解，．(4)；解，．(5)；解，．(6)．解，．2．设二阶可导，求下列函数的二阶导数：(1)；解，．(2)．解，．3．求下列函数的指定阶导数：(1)，求；解，，，．(2)，求；解．(3)，求．解．4．求下列函数的阶导数：(1)；解，，，，一般地，．(2)；解，，，，一般地，．(3)；解，，，，一般地，．(4)；解因为，所以．(5)；解因为，所以，．(6)；解因为，所以．(7)；解．(8)．解．习题2.41．求下列方程所确定的隐函数的导数：(1)；解方程两边对求导，得，从而．(2)；解方程两边对求导，得，从而．(3)；解方程两边对求导，得，从而．(4)．解方程两边对求导，得，从而．2．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数：(1)；解方程两边对求导，得，从而．于是，．(2)；解方程两边对求导，得，从而于是，．(3)；解方程两边对求导，得．从而．于是，．(4)．解方程两边对求导，得，从而．于是，．3．求下列方程所确定的隐函数在处的一阶导数与二阶导数：(1)；解方程两边对求导，得，①式①两边对求导，得②当时，．将，代入式①得，．再将，，代入式②得，．(2)．解方程两边对求导，得，①式①两边对求导，得②当时，．将，代入式①得，．再将，，代入式②得，．4．求下列函数的导数：(1)；解两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．(2)；解．(3)；解两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．(4)．解两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．5．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解方程两边对求导，得，从而．于是，切线斜率为，法线斜率为．故所求切线方程为，所求法线方程为．6．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解方程两边对求导，得，从而．于是，切线斜率为，法线斜率为．故所求切线方程为，．，所求法线方程为．7．求下列参数方程所确定的函数的一阶导数与二阶导数：(1)；解，．(2)；解，．(3)；解，．(4)．解，．8．求由参数方程所确定的函数的三阶导数．解，，．9．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解点对应于参数．，所求切线的斜率为，所求法线的斜率为．故所求切线方程为，所求法线方程为．10．一长为米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以的速率滑离墙壁，试求当梯子与墙壁的夹角为时，该夹角增加的速率．解设梯子离墙壁m时，梯子与墙壁的夹角为，则由题意得，两边对时间求导得，，于是，，从而．故当梯子与墙壁的夹角为时，该夹角增加的速率为．11．一气球从离开观察员处离地面铅直上升，当气球高度为时，其速率为．求此时观察员视线的仰角增加的速率．解设气球高度为时，观察员视线的仰角为，则由题意得，两边对时间求导得，，于是，，从而．故当气球高度为时，观察员视线的仰角增加的速率为．12．注水入深上顶直径的正圆锥形容器中，其速率为．当水深为时，其表面上升的速率为多少？解设水深为时，其表面半径为，则，从而容器中水的体积为．上式两边对时间求导得，．于是，，从而．故当水深为时，其表面上升的速率为，约为．习题2.51．设函数的图形如图2-6所示，试在图2-6(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出点处的、及，并说明其正负．解(a)，，；(b)，，；(c)，，；(d)，，．2．设，求，．解(1)．(2)．3．求下列函数的微分：(1)；解．(2)；解．(3)；解.(4);解．(5)；解.(6)；解．(7)；解．(8)．解．4．求下列方程所确定的隐函数的微分：(1)；解方程两边求微分，得，从而．(2)；解方程两边求微分，得，从而．(3)；解方程两边求微分，得，从而．(4)．解方程两边求微分，得，从而．5．将适当的函数填入下列括号内使等式成立：(1)；(2)；(3)；(4);(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)应填．(2)应填．(3)应填．(4)应填．(5)应填．(6)应填．(7)应填．6．设扇形的圆心角，半径，如果不变，减少，问扇形的面积大约改变了多少？又如果不变，增加，问扇形的面积大约改变了多少？解.(1)如果不变，则（cm2）．故扇形的面积约减少．(2)如果不变，则（cm2）．故扇形的面积约增加．7．计算下列各式的近似值：(1)；(2)．解(1)令，，，则．(2)令，，，则．＊8．计算球体体积时，要求精确度在以内，问这时测量直径的相对误差不能超过多少？解设测量直径的绝对误差为，由直径计算体积的绝对误差为，则．因为，所以，于是，，从而，即测量直径的相对误差不能超过．总习题21．选择题(1)设，则（）．(A)(B)(C)(D)解因为，所以．所以应选D．(2)设，则在处（）．(A)左、右导数都存在但不相等(B)左、右导数都存在且相等(C)左导数存在、右导数不存在(D)左导数不存在、右导数存在解因为，，所以函数在点处左导数存在、右导数不存在．故应选Ｃ．(3)设函数在处可导，，则是在处可导的（）．(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分非必要条件解因为函数在处可导，所以；．于是，在处可导．故应选Ａ．(4)设函数在点的某个邻域内有定义，则在点处可导的一个充分条件是（）．(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在解因为，所以应选D．(5)设，若存在，而不存在，则（）．(A)(B)(C)(D)解因为，，所以，但不存在．故应选Ｂ．(6)若，在内，，则在内（）．(A)，(B)，(C)，(D)，解因为，所以是奇函数，从而是偶函数，是奇函数．于是，当时，，从而，．故应选Ｃ．(7)的不可导点共有（）．(A)个(B)个(C)个(D)个解据导数的定义，容易证明：是函数的可导点而是函数的不可导点．所以函数的不可导点共有个，即应选Ｃ．2．填空题(1)设，则．解因为，所以．于是，，从而．(2)设，其中为可导函数，且，，则．解因为，所以．(3)已知，，则．解因为，所以．(4)设，则．解因为为首项系数为1的10次多项式，所以．(5)设函数在处连续，且，则．解因为函数在处连续，且，所以，且．于是，．(6)设，则．解．(7)设，其中为可导函数，且，则．解，(8)曲线在点处的切线方程为．解因为，所以切线斜率．于是切线方程为．(9)设函数由方程确定，则．解方程两边取对数得，再两边求微分得，故．(10)设曲线与都通过点，且在该点有公共切线，则，，．解因为由题设得，，即，解之得．3．求下列函数的导数：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．(6)；解．(7)；解当时，，由于，，故，，从而不存在．于是，（不存在）．(8)．解当时，；当时，．由于，，故，，从而不存在．于是，（不存在）．4．求下列方程所确定的隐函数的导数：(1)；解方程两边对求导得，从而．(2)．解方程两边对求导得，从而．5．设函数由方程确定，求．解方程两边对求导得，从而，．于是．6．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，求．解方程两边取对数得，方程两边对求导得，从而，．7．求下列参数方程所确