《高等数学上册 第3版》 刘金林 习题及答案 第3章（导数应用）习题解答

PAGEPAGE48习题解答习题3.11.验证罗尔定理对函数在区间上的正确性．解：因为在区间上连续在内可导且,所以由罗尔定理知至少存在一点使得．而知，由连续函数的介值定理知，确实存在使得．2.证明对函数在区间上应用拉格朗日中值定理时所求得的总是位于区间的中点．证明：因为函数在闭区间上连续在开区间内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点使得即化简上式得：故3.函数在区间上是否满足柯西中值定理的条件？若满足条件，求出定理中的.解容易验证在区间上满足柯西中值定理的条件．又，而，即，化简上式得：，故4.不用求出函数的导数，说明方程有几个根？并指出它们所在的区间.（1）解容易验证在区间上满足罗尔定理的条件，因此存在为的根；类似地在区间上也满足罗尔定理的条件，因此分别存在、为的根．由于得最高次数为3，因此只有三个根．（2）解容易验证在区间上满足罗尔定理的条件，因此存在为的根（无数个）；其中5.设实数满足，证明方程在内至少有一个实根．证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导，且，．所以满足罗尔定理的条件．又，由罗尔定理知至少存在一点使得．即方程在内至少有一个实根．6.利用中值定理证明下列不等式：（1）；证明(1)设则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即而所以．（2）；证明（）设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)因为nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)（3）； 证明（3）设则在上连续在内可导由拉格朗日中值定理存在使即而所以．（4）.证明（4）设则在上连续在内可导由拉格朗日中值定理存在使,即：，因为，所以，从而所以.7.（1）证明：（）；证明设，因为（）所以f(x)C其中C是一常数取，得到=；又，因此（）；（2）若在区间内有，证明在此区间内（为任意常数）．证明：设，因为所以其中C是一常数因此（为任意常数）．8.若函数在区间内具有二阶导数，且，其中，证明：至少存在一点，使得．证明：由题意可知在区间上连续在内可导，且．由罗尔定理，存在使．类似地也存在使．进一步，可知在区间上满足罗尔定理条件，因此存在，使得．9.设函数在闭区间上满足罗尔定理的条件，且不恒等于常数，证明：在内至少存在一点，使得．证明：因为，且不恒等于常数，所以至少存在一点，使得．不妨设，显然在闭区间上满足拉格朗日中值定理，于是至少存在一点，使得．同理可证的情形．10.设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：至少存在一点，使得．证明：设，显然在闭区间上满足罗尔定理，于是至少存在一点，使得，而，从而．11.设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，证明：至少存在一点，使．证明：令，易见、在闭区间上连续，在开区间内可导，且，因此、满足柯西中值定理，于是至少存在一点，使得．即．12.证明：若函数在内满足关系式，且，那么．证明：作辅助函数，易见在内连续可导，并且,所以其中C是一常数，即，.又由知．所以.13.假设函数在的某邻域内具有阶导数，且，试用柯西中值定理证明：．证明：已知在的某邻域内具有阶导数，在该邻域内任意取一点，由柯西中值定理得，其中介于之间.又，其中介于之间.依此类推，得，其中介于之间.记，因此.习题3.21.利用罗必达法则求下列极限：（1）；解：原式==.（2）；解：原式==.（3）；解：原式====.（4）；解：原式===.（5）解：原式＝===.（6）解：原式===.（7）解：原式==.（8）；解：原式=.（9）解：原式====（10）；解：原式=====.（11）；解：原式==，又.所以，原式==.（12）；解：原式==，又，所以，原式=.（13）；解：原式==，又====，所以，原式==（14）；解：原式==，又，所以，原式=（15）；解：原式==.（16）；解：原式==，又，所以，原式=.2.验证极限存在，但不能用罗必达法则计算出来．解：原式==，所以，极限存在．但是=不存在，不能用罗必达法则．3.设，其中具有二阶导数，并且，，求．解：.习题3.31.将多项式展开成的多项式．解：因为，，，所以按的幂展开的多项式为2.应用麦克劳林公式，按的幂展开函数．解：因为，，，，，所以按的幂展开的多项式为3.求函数的阶带有拉格朗日型余项的马克劳林公式.解：因为，从而，4.求函数的带有拉格朗日型余项的3阶马克劳林公式.解：，，，，从而的3阶马克劳林公式为，5.求函数按的幂展开的带有皮尔诺型余项的阶泰勒公式.解：因为，所以6.求函数的带有皮尔诺型余项的阶马克劳林展开式．解：因为，从而.7.求常数、、的值以及的表达式，使下式成立．解：设，则，所以因此，，，8.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差：（1）；（2）；（3）解：（1）因为（介于之间），所以，而（介于之间），因此.（2）；解：（2）因为，，（介于之间），所以，而.（3）；解：（3）因为，，（介于之间），所以，.9.利用麦克劳林公式求下列极限（1）;（1）解：（1）用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，得;（2）用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，得;习题3.41.确定下列函数的单调区间：（1）；解：（1）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢0+0y↘↗↘可见函数在(-¥,-1]、[1,+¥)内单调减少,在[-1,1]内单调增加．（2）；解：（2）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢0+0y↘↗↘可见函数在(-¥,-1]、[1,+¥)内单调减少,在[-1,1]内单调增加．（3）；解：（3）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(0,1/2)1/2(1/2,+¥)y¢0+y↘↗所以函数在(0,1/2]内单调减少,在[1/2,+¥)内单调增加．（4）；解：（4）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(0,1)1(1,2)y¢+0y↗↘所以函数在[0,1]内单调增加,在[1,]内单调减少．（5）；解：（5）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(-¥,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,+¥)y¢00+y↘↘↗可见函数在(-¥,1/2]内单调减少,在[1/2,+¥)内单调增加．（6）（）；解：（6）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：xy¢0+0-y↘↗↘可见函数在,内单调减少,在内单调增加．（7）；解：（7）函数的定义域为，且．令，得驻点，另外为函数的不可导点．列表得：xy¢+不存在+0不存在+y↗↗↘↗可见函数在,内单调增加,在内单调减少．（8）；解：（8）函数的定义域为，且，令，得驻点，另外为函数的不可导点．列表得：x(-¥,0)0(0,)(,+¥)y¢+不存在-0+y↗↘０↗可见函数在,内单调增加,在内单调减少．2.证明下列不等式：（1）当时，；证明：（1）设,则f(x)在[1,+¥)内连续．因为所以f(x)在(1,+¥)内是单调增加的，从而当x>1时f(x)>f(1)=0,即亦.()（2）当时，；证明：（2）设，则f(x)在[0,/2]内连续，在(0,/2)内可导．因为所以f(x)在(0,/2)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即．再设，则g(x)在(0,/2)内可导，并且所以g(x)在(0,/2)内是单调减少的，从而当时，有，即，亦．综上所叙：当时，有．（3）当时，；证明：（3）设,则f(x)在[0,+¥)内连续．因为所以f(x)在(0,+¥)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即亦.()（4）当时，；证明：（4）设,则f(x)在[0,/2)内连续．因为，令，由可知在[0,/2)是单调增加的，即．从而，于是f(x)在[0,/2)内是单调增加的，有，．即当时，．（5）当时，；证明：（5）设，因为，故当时，单调增加，从而，即，亦即，.(6)当、为正整数，且时，．证明：（6）设，则在上连续，且，令，由可知在（0,+¥)是单调减少的，即．从而，于是f(x)在（0,+¥)是单调减少的．因此当、为正整数，且时，有亦即.3.设常数，讨论方程在内实根的个数．解：设，则．令，得驻点，．当时，，在上单调增加，；当时，，在上单调减少，.故由零点定理知，在，内分别有一零点，即方程在内实根的个数为2.4.单调函数的导函数是否必为单调函数？解：单调函数的导函数不一定是单调函数．如，因为，并且在任何有限区间内只有有限个零点，因此在内为单调增加函数，但它的导函数在内却不是单调函数．5.求下列函数的极值：（1）；解：(1)函数的定义域为(-,+),且,驻点为列表x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+0-0+y↗7极大值↘6极小值↗可见函数在x=0处取得极大值7,在x=1处取得极小值6.（2）；解：（2）函数的定义域为(-,+),且,驻点为列表x(-,-3/2)-3/2(-3/2,-1/2)-1/2(-1/2,1)1(1,+)y+0-0+0+y↗0极大值↘-27/2极小值↗↗可见函数在x=-3/2处取得极大值0,在x=-1/2处取得极小值-27/2.（3）；解：（3）函数的定义域为(-,+),且．令，驻点为列表x(-,0)0(0,+)y-0+y↘0极小值↗可见函数在x=0处取得极小值0.（4）；解：（4）函数的定义域为(-,+),且,驻点为，不可导点为．列表x(-,-a)-a(-a,0)0(0,a(a,+)y-不存在+0-不存在+y↘0极小值↗极大值↘0极小值↗可见函数在处取得极小值0,在处取得极大值.（5）；解：（5）函数的定义域为(-,+),且,驻点为，不可导点为．列表x(-,0)0(0,6)6(6,7)7(7,+)y+0-0+不存在+y↗0极大值↘-36极小值↗↗可见函数在处取得极大值0,在处取得极小值.（6）（）；解：（6）,驻点为．列表x(-,)(,+)y+0-y↗极大值↘可见函数在处取得极大值.（7）；解：（7）函数的定义域为(-,+),且，驻点为，．由于，知为极大值；，知为极小值．（8）.解：（8）函数的定义域为,且，驻点为,列表x(0,12/5)12/5(12/5,+)y-0+y↘-1/24极小值↗可见函数在处取得极小值.6.问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解：,，要使函数在处取得极值,必有,即，.当时,.因此,当时,函数f(x)在处取得极值,而且取得极大值,极大值为.7.求下列函数的最大值或最小值，如果都存在，均求出：（1），；解：（1），令,得驻点为．（其中不在定义域内）计算函数值得，，. 经比较得出函数的最大值为，最小值为.（2），；解：（2），，在内，函数的驻点为，不可导点为.计算函数值得，，，，.经比较得出函数的最大值为，最小值为.（3），；解：（3），令,得驻点为．计算函数值得,,经比较得出函数的最大值为，最小值为.（4），；解：（4），令,得驻点为（其中不合）．列表得x(0,1)1(1,+)y+0-y↗极大值↘所以函数在x=1处取得极大值.又因为驻点只有一个,所以这个极大值也就是最大值,即函数在x=1处取得最大值,最大值为.（5），.解：（5），令,得驻点为．列表得x(-,)(,0)y-0+y↘极小值↗所以函数在处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在处取得最小值,最小值为.8.一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：由V=r2h,得.于是容器表面积为：S=r2+2rh(0x+),.令S=0,得驻点.因为,所以S在驻点处取得极小值,也就是最小值.这时相应的高为.底半径与高的比为．9.用一块半径为的圆形铁皮，剪去一圆心角为的扇形后，做成一个漏斗形容器，问为何值时，容器的容积最大？解：设漏斗的底周长为l、底半径为r、高为h，那么,.漏斗的容积为().，令，得驻点为.由问题的实际意义,V一定在(0,2)内取得最大值,而V在(0,2)内只有一个驻点,所以该驻点一定也是最大值点.因此当时,漏斗的容积最大.10.证明在所有面积为已知的矩形中，正方形的外接圆的半径为最小．解：设矩形的一边长为，则另一边长为（为矩形面积）．那么矩形外接圆的半径满足：．令，，．令,得驻点．因为,所以在驻点处取得极小值，而在内只有一个驻点,所以该驻点一定也是最小值点，这时矩形的另一边长为，也就是为正方形．11.用三块相同的木板做成一个断面为梯形的水槽，问倾斜角为多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？(设流速为)解：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积愈大，流量愈大．因此，求流量最大，也就是求槽的横截面面积最大．设横截面面积为，由于截面为梯形，所以，在直角三角形中，，，又，于是，故令，得和（不合舍去），从而有唯一驻点为．所以当时，横截面面积最大，即水槽的流量最大，最大流量为．12.要在飞机场的停机坪两旁装灯，已知停机坪的宽度为米，问灯要装多高才能使停机坪中间照得最亮？（一点的照度，其中是光线的入射角，是与光源之间的距离，是比例系数．）解：设灯要装在离地面的高度为米，则停机坪中间的照度可表示为的函数：，，．令,得驻点．因为实际问题中灯的高低影响停机坪中间的亮度,所以确实有最大值．由于驻点在内是唯一的,所以的最大值只可能在取得．13.一房地产公司有50套公寓要出租．当月租金定为1000元时，公寓能全部租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，问房租定为多少元时可获得最大收入？解：设房租定为x元,纯收入为R元.当x1000时,R=50x-50100=50x-5000,且当x=1000时,得最大纯收入45000元.当x1000时,.令R=0得(1000,+)内唯一驻点x=1800.因为,所以x=1800为极大值点,同时也是最大值点.最大值为R=57800.因此,房租定为1800元可获最大收入习题3.51.求下列曲线的凹凸区间与拐点（1）；解：（1）函数的定义域为(-,+),且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,)(,+¥)y¢¢-0+yÇ拐点È所以曲线在(-¥,]内是凸的,在[,+¥)内是凹的,拐点为(,).（2）；解：(2)函数的定义域为(-,+),且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐点Èln2拐点Ç可见曲线在(-¥,-1]和[1,+¥)内是凸的,在[-1,1]内是凹的,拐点为(-1,ln2)和(1,ln2).(3)；解：(3)函数的定义域为，且，．列表得x(-¥,0)(0,+¥)y¢¢+-yÈÇ可见曲线在(-¥,0)内是凹的,在(0,+¥)内是凸的．（4）；解：(4)函数的定义域为,且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,-1)(-1,2)2(2,+¥)y¢¢--0+yÇÇ拐点È可见曲线在(-¥,-1)和(-1,2]内是凸的,在[2,+¥)内是凹的,拐点为(2,).（5）；解：(5)函数的定义域为,且，.令y¢¢=0,得，不可导点为．列表x(-¥,-1)-1(-1,0)0(0,+¥)y¢¢-0+不存在-yÇ1拐点È4拐点Ç可见曲线在(-¥,-1]和[0,+¥)内是凸的,在[-1,0]内是凹的,拐点为、.（6）；解：(5)函数的定义域为,且，.令y¢¢=0,得，不可导点为．列表x(-¥,-1)-1(-1,0)0(0,+¥)y¢¢-0+不存在+yÇ拐点È0非拐点È可见曲线在(-¥,-1]内是凸的,在[-1,0]和[0,+¥)内是凹的,拐点为．2.问和为何值时，点是曲线的拐点？解：y¢=3ax2+2bx,y¢¢=6ax+2b.要使(1,3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点,必须y(1)=3且y¢¢(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程组得,．3.证明下列不等式，并解释其几何意义（1）（）；证明：设，则，．当时，．因此在内图形是凹的，故对任何恒有，即（2）（）；证明：取函数，则，，因此在内图形是凹的，故对任何，恒有，即（3）（）．证明：取函数，则，，因此在内图形是凹的，故对任何，恒有，即亦即．4.已知函数在点处取得极值，且点是曲线的拐点，求常数的值．解：，，依条件有，即，解之得：．5.证明曲线有三个位于同一直线上的拐点．证明：．令，得.当时，，因此曲线在内是凸的．当时，，因此曲线在内是凹的．当时，，因此曲线在内是凸的．当时，，因此曲线在内是凹的．所以曲线有拐点、、由于，因此这三个拐点位于同一直线上．6.设函数在点的某邻域内可导，且（为正整数，）根据的取值，讨论是否为曲线的拐点．解：由无穷小与函数极限的关系，可知，其中为时的无穷小.于是令，则为通过点处的切线方程，因此为曲线与相应切线纵坐标之间的差．当为奇数时，由（1）得，若，则，此时曲线在内是凸的；若，则，此时曲线在内是凹的，故为曲线的拐点；当为偶数时，由（1）得，若，则，此时曲线在的邻域内是凹的，故不为曲线的拐点；习题3.61.求下列曲线的渐近线：（1）；解：（1），，所以函数有水平渐近线和铅直渐近线．（2）；解：（2），所以函数有水平渐近线．（3）；解：（3），所以函数有铅直渐近线．（4）；解：（4），，所以函数有水平渐近线和铅直渐近线．（5）解：（5）所以函数有铅直渐近线．*2.求下列曲线的全部渐近线：（1）；（2）；解：（1）易见曲线无水平渐近线和铅直渐近线。，，所以函数有斜渐近线．解：（2）易见曲线无水平渐近线。,又，，所以函数有铅直渐近线和斜渐近线．3.作出下列函数的图形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：略习题3.71.求下列曲线在指定点处的曲率及曲率半径：（1），在处；解：（1）两边对x求导数得,,.,.所求曲率为，曲率半径为．（2），在处；解：（2），；,所求曲率为.曲率半径为．（3），在处；解：（3），；,在任意点所求曲率为.曲率半径为．（4），在处．解：（4），.在处，所求曲率为曲率半径为．2.曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．解：,.在任意点处的曲率,在任意点处的曲率半径,其导数为.令,得因为当时;当时,,所以是的极小值点,同时也最小值点.当时因此在曲线上点处曲率半径最小最小曲率半径为.3.求曲线在其上一点处的曲率半径．解：因为，所以，，在一点处的曲率半径，曲率半径为.4.一工件的表面呈椭圆弧形的一部分(椭圆短轴附近部分)，其方程为（单位为毫米），现在用圆柱形铣刀去加工，问铣刀的直径应选多大，才能获得较好的效果．解：为了在铣削时不使圆柱形铣刀与工件相接触处附近的的部分工件铣去太多，圆柱形铣刀的半径应不大于工件椭圆弧形上相关各点处曲率半径的最小值．方程两边对x求导数得,,.,.所求曲率为，所以在顶点处的曲率半径为．这说明选用砂轮的半径应不超过毫米，即铣刀的直径不超过125毫米5.一架飞机沿抛物线路径（轴铅直向上，单位为米），作俯冲飞行，在原点处的速度为，飞行员体重是公斤，求飞机俯冲至最低点即原点时，飞行员对座椅的压力．解：，抛物线在原点处的曲率半径为.所以向心力（牛顿）因此座椅对飞行员的压力为（牛顿）.*6.求曲线在点处的曲率圆方程．解：，,故，.设曲线在处的曲率中心坐标为，则，，曲率半径为，因此在处的曲率圆方程为.*7.求曲线的渐屈线方程．解：两边对x求导数得,,.故的渐屈线方程，其中为参数，消去参数，可得渐屈线的直角坐标方程.习题3.81.证明方程在区间内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，使误差不超过．解：设，显然在内连续．又因为，，且在区间内大于零，故方程在内有唯一实根．就是一个根的隔离区间．计算得：，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，于是．即取作为根的不足近似值，取作为根的过剩近似值，其误差都小于．2.证明方程在区间内有唯一的实根，并用牛顿切线法求这个根的近似值，使误差不超过．解：设，显然在内连续．因为，，所以就是一个根的隔离区间，且在区间上，．由于与同号，故取的弧端作切线．应用公式（3-21），得；；；．上述计算到此不能再继续，与相等，说明迭代已经趋于稳定，并且，，于是．因此，以或作为根的近似值，其误差都不超过．3.求方程的近似根，使误差不超过．解：用牛顿切线法.设，显然在内连续．因为，，所以就是一个根的隔离区间，且在区间上，．由于与同号，故取的弧端作切线．应用公式（3-21），得；；；．上述计算到此不能再继续，与相等，说明迭代已经趋于稳定，并且，，于是．因此，以或作为根的近似值，其误差都不超过．4.求方程的近似根，使误差不超过．解：设，显然在内连续．且，，所以就是一个根的隔离区间，且在区间内大于零，故方程在内有唯一实根．现用二分法求这个根的近似值，计算得：，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，故，，，故，，，故，，，故，，，故，，，于是．即取作为根的不足近似值，取作为根的过剩近似值，其误差都小于．总习题31.选择题（1）设满足方程，且，，则函数在点处（）（A）取得极大值（B）某个邻域内单调增加（C）取得极小值（D）某个邻域内单调减少．解：因为，又，，得到，由函数取得极值的第二充分条件知:函数在点处取得极大值,故选（A）.（2）设存在，且，，则下列结论成立的是（）（A）是的极小值点（B）是的极大值点（C）是曲线的拐点（D）是的驻点解：，由无穷小与函数极限的关系知：，其中为时的无穷小，于是（不妨假设）．从而在点的两侧的符号发生改变，即在经过点时，曲线的凹凸性发生了改变，故选（C）.（3）若，在内，，则在内（）（A），（B）， （C），（D），解：由可知为奇函数，并且对称于原点，容易得到选（C）.（4）曲线的铅直渐近线的条数是（C）（A）0（B）1（C）2（D）3解：，为函数的可去间断点，所以，为曲线的铅直渐近线，故选（C）.（5）若函数在区间内二阶可导，且，则对任意正常数，必有（）（A）（B）（C）（D）不存在解：由拉格朗日中值定理：，其中介于之间，，故选（B）.（6）设在上，满足，则、和的大小顺序为（）（A）（B）（C）（D）解：由可知在上单调递增，所以．又，，因此选（B）.2.填空题（1）设当时，与是等价无穷小，则，．解：由题设有，因此要求.（2）．解：原式（3）设函数，则在处取极小值解：，，令，得到驻点，此时（4）设函数在区间内二阶可导，且曲线在点处与曲线相切，在内与曲线有相同的凹凸性，则方程在内有个实根．解：对曲线而言，，．故，，在内．由Taylor公式，又，故存在，使得，由零点定理知