2.3群的同态和同态基本定理

定义2.3.2

---核

二、群同态的性质

定理2.3.1

---群同态的性质

定理2.3.2---同态映射

例3§2.3群的同态和同态基本定理

一、群的同态定义2.3.1

---同态映射

例1

例2

三、群同态基本定理

定理2.3.3---核的性质

定理2.3.4

---群同态基本定理

例4

例5

例6

例8

例7一、群的同态

映射.如果对任意的有

定义2.3.1

设与是两个群,是到的

则称是群到的一个同态映射(homomorphism),简

称同态.

当同态映射是满射时,称为群到的满同态

(epimorphism),并称群与同态,记作

当同态映射是单射时,称为到的单同态

（monomorphism）.

由此定义立即可知,群的同构映射一定是同态映同态时,是到的同构映射.

射.而当群到群的同态映射既是单同态又是满

于是,由此得.所以是到

的单映射.注在（2.3.1）式中,我们虽然用同一个记号

“”来表示群到群的运算,但这仅仅是为了方便,决不表示等式两边的运算与是一样的.读

者必须明白,等式左边的是在中进行的运算,而

右边的却是在中进行的运算,在讨论具体

的群时,应该将“”用它们各自的运算符号代替.例１设，是两个群，是单位元.对任

意的,令

则对任意的,所以是到的同态映射.

例2

设是整数加群,是全体非零实数

关于数的乘法所构成的乘法群.令

显然是到的映射.且对任意的,有

因此是到的同态映射.

例3设为全体实系数多项式关于多项式的

加法所构成的群.则是到它自身的映射.且对任意的有所以是到它自身的同态映射.易知,这是一个满同态.

例４设为群,是的正规子群.对商群,令则是满映射,且对任意,有

故是到商群的同态映射.映射为自然同态(naturalhomomorphism).

通常称这样的同态二、群同态的性质

定理2.3.1

设是群到的同态映射,与分

别是与的单位元,．则

(1)将的单位元映到的单位元,即;

(2)将的逆元映到的逆元.即;

(3)设是任一整数,则;

(4)如果有限,则

证(1)因与分别是与的单位元,所以

从而由消去律得

即为的单位元.

(2)直接计算可得

从而又由消去律得

即为的逆元.

(3)当时,当时,当时,

(4)设,则

所以

设为群到群的映射,，分别为与的

非空子集.记

则与分别是与的非空子集.与分别称为子集与在的象(image)与原象(inverseimage).注意,仅仅是一个集合的记号,并不表示映射是可逆的.定理2.3.2

设是群到的同态映射,与

分别是与的子群.则

(1)是的子群；

(2)是的子群；

(3)如果是的正规子群,则是的

正规子群；

(4)如果是的正规子群,则是的正

规子群.

证(1)对任意的,有,因此所以是的子群.

(2)对任意的,有,则于是.所以是的子群.(3)由(1)知,是的子群.又对任意的

,,则,于是

所以是的正规子群.

(4)由(2)知,是

的子群.又对任意的

,则,而是的正规子群,故

从而

所以是的正规子群.

定义2.3.2

设是群到的同态映射,是

的单位元.称在中的原象

为同态映射的核(kernel),记作.

定理2.3.3

设是群到的同态映射,则

是的正规子群.

证易知是的正规子群.从而由定理2.3.2(4)

知是的正规子群.

例5例1至例4中的同态映射的核分别是，

，

，.

例6

试求到的所有同态映射,并求每一

个同态映射的核.

解

设是到的任一同态映射.因为是

由定理2.3.1(4)知,.又因为

所以所以的可能的取值为

循环群,所以由完全确定.因,从而

由此得对应的同态映射与相应的核分别为

注

我们知道,群同态保持了群双方的运算.因此,群与其同态象在结构上有一定的相似之

处.同态核可以看作是群与其同态象之间的相似程度的一个度量.如果,则,从而与的结构完全相同.如果,则我们

不能由获得群的任何信息.而在其他情况下,都或多或少地给出了群的部分信息.三、群同态基本定理

的满同态,

定理2.3.4

设是群到群

则证

由定理2.3.3知,是的正规子群,所以有

商群.令

所以,即

(1)如果,则,于是,

这说明,的定义与代表元的选取无关,从而为

到的映射.

(2)对任意的,因为是满映射,所以存在,使.从而

因此,是到的满映射.

(3)如果,则

于是,由此得.所以是到

的单映射.

(4)对任意的,有

所以群同态基本定理的一些应用

例7

设为任一大于的正整数.令(1)显然为到的映射.

(2)对任意的,,有.所以

为到的满映射.

(3)对任意的,有

所以为到的满同态.

(4)同态的核

从而由同态基本定理

注

由这个例子可知,应用群同态基本定理证

明群的同构,一般有以下五个步骤:

第一步

建立群与群的元素之间的对应关系

,并证明为到的映射;第二步

证明为到的满映射;

第三步证明为到的同态映射;

第四步

计算同态的核;

第五步应用群同态基本定理得.例8

设为的子群,为的正规子群.则

是的正规子群且

证令

(1)显然是到的映射.

(2)对任意的,其中,,由于,故

所以是到的满映射.(3)对任意的,

所以是到的满同态.

(4)同态的核

(5)由同态基本定理知,为的

正规子群且

本结论通常称为第二同构定理.