2023年山东省泰安市中考数学模拟试卷(三)及答案解析

2023年山东省泰安市中考数学模拟试卷（三）

一．选择题（每题4分，本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超

过一个，均记零分）

1．（4分）下列实数中，最大的数是（）

A．﹣|﹣4|B．0C．1D．﹣（﹣3）

2．（4分）2018年国庆小长假，泰安市旅游再次交出漂亮“成绩单”，全市纳入重点监测的

21个旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元，将132000000

用科学记数法表示为（）

A．1.32×109B．1.32×108C．1.32×107D．1.32×106

3．（4分）下列运算正确的是（）

A．a3•a4＝a12B．a5÷a﹣3＝a2

C．（3a4）2＝6a8D．（﹣a）5•a＝﹣a6

4．（4分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

5．（4分）如图，直线a∥b，直线c分别交a、b于点A、C，∠BAC的平分线交直线b于

点D，若∠2＝50°，则∠1的度数是（）

A．50°B．60°C．80°D．100°

6．（4分）某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，

结果如表：

年龄1212141516

人数12231

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则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）

A．15，14B．15，13C．14，14D．13，14

7．（4分）如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）

A．40°B．50°C．80°D．90°

8．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+6＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）

A．±2B．±C．2或3D．或

9．（4分）函数y＝和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能

是（）

A．B．C．D．

10．（4分）如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，BC＝1，则阴影部分的面积是（）

A．1+πB．+πC．+πD．1+π

11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正

方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在

x轴上，则PM+PN的最小值是（）

第2页（共6页）

A．6B．10C．2D．2

12．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD

于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①BE＝2AE；②△

DFP∽△BPH；③；④DP2＝PH•PC；其中正确的是（）

A．①②③④B．①③④C．②③D．①②④

二、填空题（每题4分，本大题共6小题，满分24分只要求填写最后结果，每小题填对得

4分）

13．（4分）不等式组的解集是．

14．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数m的取值

范围是．

15．（4分）如图是某圆锥的主视图和左视图，则该圆锥的表面积是．

16．（4分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔400海里的A处，它

沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时B处与

灯塔P的距离为海里．

17．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB

的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为．

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18．（4分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），

点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1

交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正

方形的面积是．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2+．

20．（10分）民俗村的开发和建设带动了旅游业的发展，某市有A、B、C、D、E五个民俗

旅游村及“其它”景点，该市旅游部门绘制了2018年“五•一”长假期间民俗村旅游情

况统计图如下：

根据以上信息解答：

（1）2018年“五•一”期间，该市五个旅游村及“其它”景点共接待游客万人，

扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图；

（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2019年“五•一”节将有70万游客选

择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E民俗村旅游？

（3）甲、乙两个旅行团在A、C、D三个民俗村中，同时选择去同一个民俗村的概率是

多少？请用画树状图或列表法加以说明．

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21．（11分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，

n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，求△ABC的面积．

22．（11分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的

中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD．连接MF，NF．

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

23．（12分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明

在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量

相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．

（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；

（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，

则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，

小明一天通过乙灯笼获得利润y元．

①求出y与x之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

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24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，

0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过

点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，

四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；

（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别

找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

25．（14分）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在AC上（且不与点A，

C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，连接AD，分别以AB，

AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；

（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断

线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否

发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

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2023年山东省泰安市中考数学模拟试卷（三）

参考答案与试题解析

一．选择题（每题4分，本大题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超

过一个，均记零分）

1．【分析】根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数

大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．

【解答】解：﹣|﹣4|＝﹣4，﹣（﹣3）＝3，

3＞1＞0＞﹣4，

故选：D．

【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握比较大小的法则．

2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：132000000＝1.32×108；

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．

【解答】解：A、a3•a4＝a7，故A错误；

B、a5÷a﹣3＝a8，故B错误；

C、（3a4）2＝9a8，故C错误；

D、（﹣a）5•a＝﹣a6，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方，掌握运

算法则是解题的关键．

4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

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C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合．

5．【分析】利用平行线的性质求出∠BAD，再根据角平分线的定义，求出∠DAC即可解决

问题．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠BAD＝∠2＝50°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝50°，

∴∠1＝180°﹣∠BDA﹣∠DAC＝80°，

故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

6．【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后

再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如

果是偶数个则找中间两位数的平均数．

【解答】解：15出现的次数最多，15是众数．

一共9个学生，按照顺序排列第5个学生年龄是14，所以中位数为14．

故选：A．

【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．

7．【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+

∠BCD＝180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．

【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，

∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝140°，

∴∠BAD＝40°，

∴∠BOD＝80°，

故选：C．

【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关

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键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

8．【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2k）2﹣4×6＝0，然后解关于k的方程即可．

【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2k）2﹣4×6＝0，

解得k＝±．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac

有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的

实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

9．【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象

是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：∵函数y＝和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0），

∴当a＞0时，函数y＝在第一、三象限，一次函数y＝﹣ax+1经过一、二、四象限，

故选项A、B错误，选项C正确；

当a＜0时，函数y＝在第二、四象限，一次函数y＝﹣ax+1经过一、二、三象限，故

选项D错误；

故选：C．

【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，

利用分类讨论的方法解答．

10．【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形

的圆心角为60度，即可求出半径的长1，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；

【解答】解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OA，OB，OC，

∴OD是BC的垂直平分线

∴，

∴AB＝AC，

∴A在BC的垂直平分线上，

∴A、O、D共线，

∵∠ACB＝75°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝75°，

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∴∠BAC＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△BOC是等边三角形，

∴OA＝OB＝OC＝BC＝1，

∵AD⊥BC，AB＝AC，

∴BD＝CD，

∴OD＝OB＝，

∴AD＝1+，

∴S△ABC＝BC•AD＝，

S△BOC＝BC•OD＝，

∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝+﹣＝，

故选：B．

【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影＝S△ABC+S

扇形BOC﹣S△BOC是解题的关键．

11．【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M

（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于

x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM+PN的最小值，根据勾股

定理即可得到结论．

【解答】解：∵正方形OABC的边长是6，

∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，

∴M（6，），N（，6），

∴BN＝6﹣，BM＝6﹣，

∵△OMN的面积为10，

∴6×6﹣×6×﹣6×﹣×（6﹣）2＝10，

∴k＝24或﹣24（舍去），

∴M（6，4），N（4，6），

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作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM+PN的最小值，

∵AM＝AM′＝4，

∴BM′＝10，BN＝2，

∴NM′＝＝＝2，

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称﹣最小距离问题，勾股定

理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

12．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．

【解答】解：∵△BPC是等边三角形，

∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，

在正方形ABCD中，

∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠ABE＝∠DCF＝30°，

∴BE＝2AE；故①正确；

∵PC＝CD，∠PCD＝30°，

∴∠PDC＝75°，

∴∠FDP＝15°，

∵∠DBA＝45°，

∴∠PBD＝15°，

∴∠FDP＝∠PBD，

∵∠DFP＝∠BPC＝60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正确；

∵∠DCF＝90°﹣60°＝30°，

∴tan∠DCF＝＝，

∵△DFP∽△BPH，

∴＝＝，

∵BP＝CP＝CD，

∴＝＝；故③错误；

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∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴＝，

∴DP2＝PH•PC，故④正确；

故选：D．

【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，

解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．

二、填空题（每题4分，本大题共6小题，满分24分只要求填写最后结果，每小题填对得

4分）

13．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【解答】解：，

由①得，x＜3，

由②得，x≥1，

所以不等式组的解集为1≤x＜3，

故答案为：1≤x＜3．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求

不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

14．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m

﹣1）×（﹣1）≥0，然后解不等式求出它们的公共部分即可．

【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）×（﹣1）≥0．

解得m≥0且m≠1．

故答案为m≥0且m≠1．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac

有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的

实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

15．【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积和底面积，从而求得

表面积．

【解答】解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，

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∴圆锥的底面周长为8π，

圆锥的母线长为＝5，

∴圆锥的侧面积＝×8π×5＝20π，

底面积为42π＝16π，

∴表面积为20π+16π＝36π

故答案为：36π．

【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一

扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

16．【分析】如图作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，求出PE，在Rt△PBE中，根据PB＝2PE

即可解决问题．

【解答】解：如图作PE⊥AB于E．

在Rt△PAE中，∵∠PAE＝45°，PA＝400海里，

∴PE＝AE＝×400＝200海里，

在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，

∴PB＝2PE＝400海里，

故答案为：400．

【点评】本题考查的是解直角三角形﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义、方向角

的概念是解题的关键．

17．【分析】分析题目，作BH⊥OA于H，如图，利用矩形的性质得OA＝OC＝OB，∠ABC

＝90°，则根据勾股定理可计算出AC＝5，AO＝OB＝；接下来利用三角形的等面积法，

可计算出BH的值，进而利用勾股定理可计算出OH的值；接下来根据相似三角形的判

定定理可证明△OBH∽△OEA，最后利用相似三角形的性质可求出的值．

【解答】解：作BH⊥OA于H，如图，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB，

在Rt△ABC中，

AC＝＝＝5，

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∴OB＝AO＝．

∵AB•BC＝BH•AC，

∴BH＝＝，

在Rt△OBH中，OH＝＝＝．

∵EA⊥CA，

∴BH∥AE，

∴△OBH∽△OEA，

∴＝，

∴＝＝＝．

故答案为：．

【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质，

正确作出辅助线是解决此题的关键．

18．【分析】先利用勾股定理求出AB＝BC＝AD，再用三角形相似得出A1B＝，A2B2＝

22016

（），找出规律A2016B2016＝（），即可．

【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），

∴OA＝1，OD＝2，BC＝AB＝AD＝

∵正方形ABCD，正方形A1B1C1C，

∴∠OAD+∠A1AB＝90°，∠ADO+∠OAD＝90°，

∴∠A1AB＝∠ADO，

∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，

∴△AOD∽△A1BA，

∴，

∴，

∴A1B＝，

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∴A1B1＝A1C＝A1B+BC＝，

2

同理可得，A2B2＝＝（），

3

同理可得，A3B3＝（），

2016

同理可得，A2016B2016＝（），

201624032

∴S第2016个正方形的面积＝＝[（）]＝5×（），

故答案为5×（）4032

【点评】此题是正方形的性质题，主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性

质和判定，解本题的关键是求出几个正方形的边长，找出规律．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．【分析】先化简分式，然后将a的值代入即可．

【解答】解：原式＝[]•

＝•

＝

＝，

当a＝2+时，

原式＝＝＝．

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．

20．【分析】（1）根据A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市景点共接待游客数，

用360°乘以D对应的百分比可得其圆心角度数，总人数乘以B对应百分比求得其人数

即可补全条形图；

（2）根据样本估计总体的思想解决问题即可；

（3）根据甲、乙两个旅行团在A、C、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根

据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．

【解答】解：（1）该市五个旅游村及“其它”景点共接待游客15÷30%＝50（万人），

扇形统计图中D民俗村所对应的圆心角的度数是18%×360°＝64.8°，

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B景点接待游客数为：50×24%＝12（万人），

补全条形统计图如下：

故答案为：50，64.8°；

（2）估计选择去E民俗村旅游的人数约为70×＝8.4（万人）；

（3）画树状图可得：

∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点

的结果有3种，

∴同时选择去同一个民俗村的概率是．

【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及概率的计算的综

合应用，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．当有两个元素时，可用树形

图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把B的坐标代入反

比例函数的解析式，求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程

组，求出方程组的解即可；

（2）求出BC＝|﹣2|＝2，BC边上的高是|﹣3|+2，代入三角形的面积公式求出即可．

【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y＝的图象上，

∴m＝6，

∴反比例函数的解析式为y＝，

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∴n＝＝﹣2，

∵点A（2，3），B（﹣3，﹣2）在y＝kx+b的图象上，

∴

∴

∴一次函数的解析式为y＝x+1．

（2）以BC为底，则BC边上的高为3+2＝5，

S△ABC＝×2×5＝5，

答：△ABC的面积是5．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反

比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，

题型较好，难度适中．

22．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三

角形的性质，可得∠EAB+∠EBA＝90°，根据三角形外角的性质，可得答案；

（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD

的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC

的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系，根据两边对应成比例且夹

角相等的两个三角形相似，可得答案．

【解答】（1）答：△BMN是等腰直角三角形．

证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．

∵BN平分∠ABE，

∠EBN＝∠ABN．

∵AC⊥BD，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠EBA＝90°，

∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝（∠BAE+∠ABE）＝45°．

∴△BMN是等腰直角三角形；

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（2）答：△MFN∽△BDC．

证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，

∴FM∥AC，FM＝AC．

∵AC＝BD，

∴FM＝BD，即．

∵△BMN是等腰直角三角形，

∴NM＝BM＝BC，即，

∴．

∵AM⊥BC，

∴∠NMF+∠FMB＝90°．

∵FM∥AC，

∴∠ACB＝∠FMB．

∵∠CEB＝90°，

∴∠ACB+∠CBD＝90°．

∴∠CBD+∠FMB＝90°，

∴∠NMF＝∠CBD．

∴△MFN∽△BDC．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰

直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

23．【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120

元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；

（2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的

解析式；

②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．

【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题

意得：

＝，

解得x＝26，

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经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，

∴x+9＝26+9＝35，

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．

（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，

答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．

②∵a＝﹣2＜0，

∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17，

物价部门规定其销售单价不高于每对65元，

∴x+50≤65，

∴x≤15，

∵x＜17时，y随x的增大而增大，

∴当x＝15时，y最大＝2040．

15+50＝65．

答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．

【点评】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解

对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等

难度．

24．【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；

（2）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；

（3）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，

∴，

解得，

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，

（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，

∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，

∴x2﹣4x﹣